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Worksheet: Properties of the Cube Roots of Unity

Q1:

Let ๐œ” be a complex cube root of unity. Evaluate ( 1 + ๐œ” ) ๏€น 1 + ๐œ” ๏… ๏€น 1 + ๐œ” ๏… ๏€น 1 + ๐œ” ๏… ๏€บ 1 + ๐œ” ๏† ๏Šจ ๏Šช ๏Šฎ ๏Šจ ๏Žก ๏‘ƒ ๏Žช ๏Ž  .

Q2:

Evaluate ๏€ผ 3 1 โˆ’ 4 ๐œ” โˆ’ 3 1 โˆ’ 4 ๐œ” ๏ˆ 2 2 .

  • A โˆ’ 4 3 2 2 8 9
  • B โˆ’ 4 3 2 1 6 9
  • C 1 6 4 9
  • D โˆ’ 4 8 4 9

Q3:

Evaluate 3 ๐œ” ( ๐œ” โˆ’ 1 ) ๏€น ๐œ” โˆ’ 1 ๏… ( 1 2 ๐œ” + 6 ) ( 6 ๐œ” + 1 2 ) 2 2 2 .

  • A โˆ’ 1 2
  • B 1 1 2
  • C 1 2
  • D โˆ’ 1 1 2

Q4:

Evaluate ๏€ผ โˆ’ 5 โˆ’ 4 ๐œ” โˆ’ 4 ๐œ” ๏ˆ ๏€น โˆ’ 2 + 3 ๐œ” + 3 ๐œ” ๏… 2 2 .

Q5:

What is ๏€ผ โˆ’ 8 ๐œ” + 1 ๏ˆ ๏€ผ 5 + 5 ๐œ” + 1 ๐œ” ๏ˆ ?

Q6:

Evaluate ๏€น ๐œ” โˆ’ ๐œ” ๏… 2 1 4 .

Q7:

Evaluate ๏€น 5 + 5 ๐œ” + 7 ๐œ” ๏… 2 โˆ’ 4 .

  • A 1 3 4 3 ๐œ”
  • B16
  • C 1 6 ๐œ” 2
  • D 1 1 6 ๐œ”
  • E 6 ๐œ”

Q8:

Evaluate ๏€น 2 + 2 ๐œ” โˆ’ ๐œ” ๏… 2 6 .

  • A 7 2 9 ๐œ” 2
  • B โˆ’ ๐œ”
  • C โˆ’ 1
  • D729

Q9:

Given that ๐œ” is the complex cube root of unity, evaluate ( 1 โˆ’ ๐œ” ) ( 1 โˆ’ ๐œ” ) ( 1 โˆ’ ๐œ” ) โ‹ฏ ( 1 โˆ’ ๐œ” ) ( 1 โˆ’ ๐œ” ) 2 4 2 2 2 ๐‘› โˆ’ 2 2 ๐‘› โˆ’ 1 .

  • A1
  • B 3 2 ๐‘›
  • C โˆ’ 1
  • D 3 ๐‘›
  • E3

Q10:

Evaluate ๏€ฝ 2 1 + ๐œ” ๐‘– โˆ’ 4 ๐œ” + 4 ๐‘– 2 + 2 ๐œ” ๐‘– ๏‰ 2 6 .

  • A512
  • B 5 1 2 ๐‘–
  • C โˆ’ 5 1 2
  • D โˆ’ 5 1 2 ๐‘–

Q11:

Evaluate ๏€น โˆ’ 4 + 5 ๐œ” โˆ’ 4 ๐œ” ๏… ๏€น โˆ’ 6 โˆ’ ๐œ” โˆ’ 6 ๐œ” ๏… ๏€น โˆ’ 1 โˆ’ 5 ๐œ” โˆ’ ๐œ” ๏… ๏€น 9 + 4 ๐œ” + 9 ๐œ” ๏… 2 2 1 6 1 3 1 1 8 1 0 .

Q12:

Evaluate ๏€พ 9 โˆ’ 8 ๐œ” + ๐œ” 9 ๐œ” โˆ’ 8 + ๐œ” โˆ’ 5 + 8 ๐œ” โˆ’ 3 ๐œ” 5 ๐œ” โˆ’ 3 ๐œ” + 8 ๏Š 2 2 2 2 1 0 .

Q13:

If ๐œ” is one of the cubic roots of unity, then evaluate ๏€พ ๐‘Ž + ๐‘ ๐œ” + ๐‘ ๐œ” ๐‘Ž ๐œ” + ๐‘ + ๐‘ ๐œ” โˆ’ ๐‘ + ๐‘ ๐œ” ๐‘ + ๐‘ ๐œ” ๏Š 2 2 2 2 .

Q14:

Evaluate ๏€น โˆ’ 7 โˆ’ 6 ๐œ” โˆ’ 7 ๐œ” ๏… 2 5 .

  • A โˆ’ 2 6 ๐œ”
  • B1
  • C โˆ’ 2 1 6
  • D ๐œ” 2

Q15:

Evaluate ( 1 โˆ’ ๐œ” ) ๏€น 2 โˆ’ 2 ๐œ” ๏… ๏€น 5 โˆ’ 5 ๐œ” ๏… ๏€น 3 โˆ’ 3 ๐œ” ๏… 2 1 3 1 4 .

Q16:

Evaluate ๏€น 4 + 6 ๐œ” + 4 ๐œ” ๏… 2 โˆ’ 6 .

  • A 1 2 1 6 ๐œ”
  • B64
  • C 6 4 ๐œ” 2
  • D 1 6 4
  • E 6 4 ๐œ”

Q17:

Evaluate ๏€น 1 โˆ’ 5 ๐œ” + ๐œ” ๏… ๏€น 1 + ๐œ” โˆ’ 9 ๐œ” ๏… 2 2 .

Q18:

Evaluate ๏€น 6 โˆ’ ๐œ” + ๐œ” ๏… ๏€น 6 + ๐œ” โˆ’ ๐œ” ๏… 2 2 .

Q19:

What is ๏€ผ 1 โˆ’ 5 ๐œ” + 1 ๐œ” ๏ˆ ๏€ผ โˆ’ 5 โˆ’ 9 ๐œ” โˆ’ 5 ๐œ” ๏ˆ 5 2 7 ?

Q20:

Evaluate 1 3 + 2 ๐œ” + ๐œ” + 1 4 + 2 ๐œ” + 3 ๐œ” 2 2 .

  • A 5 3
  • B 5 7
  • C 3 7
  • D1

Q21:

Evaluate ๏€ผ 1 + 8 ๐œ” + ๐œ” ๏ˆ ๏€ผ 1 + ๐œ” + 5 ๐œ” ๏ˆ 2 2 .

Q22:

Evaluate ๏€น 1 + 5 ๐œ” + ๐œ” ๏… + ๏€น 7 + ๐œ” + ๐œ” ๏… 1 1 1 0 2 2 3 2 2 .

  • A โˆ’ ๐œ” 2
  • B31
  • C 2 5 ๐œ” + 7
  • D 1 6 ๐œ” + 6
  • E โˆ’ 5 ๐œ” + 6 ๐œ” 2

Q23:

Evaluate ๏€ผ 3 ๐œ” โˆ’ 2 โˆ’ 4 ๐œ” ๏ˆ + ๏€พ โˆ’ 1 โˆ’ 2 ๐œ” โˆ’ 3 ๐œ” ๏Š 2 2 2 2 .

  • A 1 3 1 2 ๐œ” 2
  • B โˆ’ 1 3 1 2 ๐œ”
  • C 1 3 1 2 ๐œ”
  • D โˆ’ 1 3 1 2 ๐œ” 2

Q24:

Evaluate ๏€พ 3 โˆ’ 5 ๐œ” 3 ๐œ” โˆ’ 5 โˆ’ 9 + 4 ๐œ” 9 ๐œ” + 4 ๏Š 2 2 6 .