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Worksheet: Differentiation of Natural Logarithmic Functions

Q1:

Find d d 𝑦 π‘₯ , given that 𝑦 = ( 4 π‘₯ + 5 ) l n 7 .

  • A 4 4 π‘₯ + 5
  • B 1 ( 4 π‘₯ + 5 ) 7
  • C 2 8 ( 4 π‘₯ + 5 )
  • D 2 8 4 π‘₯ + 5

Q2:

Find d d 𝑦 π‘₯ , given that 𝑦 = ο€Ύ βˆ’ 8 π‘₯ 7 π‘₯ βˆ’ 3  l n 2 .

  • A 1 5 π‘₯ βˆ’ 3 7 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ 2
  • B 7 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ 1 5 π‘₯ βˆ’ 3 2
  • C 7 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ 7 π‘₯ βˆ’ 6 2
  • D 7 π‘₯ βˆ’ 6 7 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ 2

Q3:

A factory’s production of 𝑦 units in 𝑑 days is governed by the relation 𝑦 = 4 0 0 ο€Ή 1 0 βˆ’ 𝑒  βˆ’ 0 . 8 𝑑 . What is the rate of change of production with respect to time on the fifth day?

  • A 0 . 8 𝑒 4
  • B βˆ’ 4 0 0 𝑒 4
  • C 3 2 0 𝑒 4
  • D 3 2 0 𝑒 4

Q4:

Find the first derivative of the function 𝑦 = ο€Ή βˆ’ 5 π‘₯ + 2 π‘₯  l n 4 2 .

  • A βˆ’ 2 0 π‘₯ + 4 π‘₯ 3
  • B βˆ’ 2 0 π‘₯ + 4 π‘₯ ( βˆ’ 5 π‘₯ + 2 π‘₯ ) 3 4 2 l n
  • C π‘₯ ο€Ή 5 π‘₯ βˆ’ 2  2 0 π‘₯ βˆ’ 4 2 2
  • D 2 0 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ ( 5 π‘₯ βˆ’ 2 ) 2 2

Q5:

Find the first derivative of the function 𝑦 = βˆ’ 7 π‘₯ 6 π‘₯ 4 4 l n .

  • A βˆ’ 2 8 π‘₯ ο€Ή 6 π‘₯  βˆ’ 7 6 3 4 l n
  • B βˆ’ 1 1 2 π‘₯ 2
  • C βˆ’ 2 8 π‘₯ ο€Ή ο€Ή 6 π‘₯  + 1  4 4 l n
  • D βˆ’ 2 8 π‘₯ ο€Ή ο€Ή 6 π‘₯  + 1  3 4 l n

Q6:

Find d d 𝑦 π‘₯ , given that 𝑦 = 9 π‘₯ 9 π‘₯ l n .

  • A 9 ( π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ ) 9 π‘₯ l n l n 2
  • B 9 ( 1 βˆ’ 9 π‘₯ ) 9 π‘₯ l n l n 2
  • C 9 ( 9 π‘₯ βˆ’ π‘₯ ) 9 π‘₯ l n l n 2
  • D 9 ( 9 π‘₯ βˆ’ 1 ) 9 π‘₯ l n l n 2

Q7:

Find d d 𝑦 π‘₯ , given that 𝑦 = 4 π‘₯ + 3 4 π‘₯ βˆ’ 7 l n l n .

  • A βˆ’ 4 0 π‘₯ ( 4 π‘₯ βˆ’ 7 ) l n
  • B βˆ’ 1 6 π‘₯ ( 4 π‘₯ βˆ’ 7 ) l n 2
  • C βˆ’ 1 0 π‘₯ ( 4 π‘₯ βˆ’ 7 ) l n 2
  • D βˆ’ 4 0 π‘₯ ( 4 π‘₯ βˆ’ 7 ) l n 2

Q8:

Differentiate the function 𝐻 ( 𝑧 ) = ο„ž π‘Ž βˆ’ 𝑧 π‘Ž + 𝑧 l n 2 2 2 2 .

  • A 𝐻 β€² ( 𝑧 ) = 2 π‘Ž 𝑧 𝑧 βˆ’ π‘Ž 2 4 4
  • B 𝐻 β€² ( 𝑧 ) = βˆ’ 2 π‘Ž 𝑧 𝑧 βˆ’ π‘Ž 2 4 4
  • C 𝐻 β€² ( 𝑧 ) = βˆ’ 2 π‘Ž 𝑧 𝑧 βˆ’ π‘Ž 2 4 4
  • D 𝐻 β€² ( 𝑧 ) = 2 π‘Ž 𝑧 𝑧 βˆ’ π‘Ž 2 4 4
  • E 𝐻 β€² ( 𝑧 ) = 𝑧 βˆ’ π‘Ž 2 π‘Ž 𝑧 4 4 2

Q9:

Find d d 𝑦 π‘₯ , given that 𝑦 = 3 π‘₯ 3 π‘₯ 6 3 l n .

  • A 3 π‘₯ + 1 8 π‘₯ 3 π‘₯ 5 5 3 l n
  • B 3 π‘₯ + 1 8 π‘₯ 3 π‘₯ 3 5 3 l n
  • C 9 π‘₯ + 1 8 π‘₯ 3 π‘₯ 3 5 3 l n
  • D 9 π‘₯ + 1 8 π‘₯ 3 π‘₯ 5 5 3 l n

Q10:

If 𝑓 ( π‘₯ ) = 3 ( 2 π‘₯ + 4 π‘₯ ) l n l n , find 𝑓 β€² ( 1 ) .

  • A 1 9
  • B1
  • C 1 2
  • D9
  • E3

Q11:

Given that 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€Ί π‘₯  c o s l n 2 , determine 𝑓 β€² ( 1 ) .

Q12:

Differentiate 𝑦 = βˆ’ 5 | 5 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 3 | l n 3 .

  • A 𝑦 β€² = βˆ’ 7 5 π‘₯ βˆ’ 2 5 π‘₯ 5 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 3 2 3
  • B 𝑦 β€² = βˆ’ 2 5 π‘₯ βˆ’ 2 5 π‘₯ + 1 5 1 5 π‘₯ βˆ’ 5 3 2
  • C 𝑦 β€² = βˆ’ 5 5 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 3 3
  • D 𝑦 β€² = βˆ’ 7 5 π‘₯ βˆ’ 2 5 5 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 3 2 3
  • E 𝑦 β€² = βˆ’ 7 5 π‘₯ βˆ’ 2 5 | 5 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 3 | 2 3 l n

Q13:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 √ π‘₯ + 4 l n , and determine its domain.

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ 2 √ π‘₯ + 4 l n ,  1 𝑒 , ∞  4
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 2 π‘₯ √ π‘₯ + 4 l n , ο€Ό 1 𝑒 , ∞  4
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ 2 √ π‘₯ + 4 l n , ο€Ό 1 𝑒 , ∞  4
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 2 π‘₯ √ π‘₯ + 4 l n ,  1 𝑒 , ∞  4
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ √ π‘₯ + 4 l n ,  1 𝑒 , ∞  4

Q14:

Differentiate 𝐹 ( 𝑑 ) = βˆ’ 4 ( 𝑑 ) 2 𝑑 l n s i n 2 .

  • A 𝐹 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 8 ( 𝑑 2 𝑑 + 2 𝑑 ) 𝑑 l n c o s s i n l n
  • B 𝐹 β€² ( 𝑑 ) = 8 𝑑 ( 𝑑 𝑑 2 𝑑 + 2 𝑑 ) 𝑑 l n c o s s i n l n
  • C 𝐹 β€² ( 𝑑 ) = 8 ( 𝑑 2 𝑑 + 2 𝑑 ) 𝑑 l n c o s s i n l n
  • D 𝐹 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 8 𝑑 ( 𝑑 𝑑 2 𝑑 + 2 𝑑 ) 𝑑 l n c o s s i n l n
  • E 𝐹 β€² ( 𝑑 ) = 8 𝑑 ( 𝑑 𝑑 2 𝑑 βˆ’ 2 𝑑 ) 𝑑 l n c o s s i n l n

Q15:

Given that 𝑦 = βˆ’ 3 4 ( 7 π‘₯ + 7 π‘₯ ) l n t a n s e c , determine d d 𝑦 π‘₯ .

  • A βˆ’ 3 4 7 π‘₯ s e c
  • B βˆ’ 3 4 7 π‘₯ + 4 7 π‘₯ t a n s e c
  • C βˆ’ 2 1 ο€Ή 7 π‘₯ + 7 π‘₯  7 π‘₯ 4 7 π‘₯ + 4 7 π‘₯ t a n s e c s e c t a n s e c 2
  • D βˆ’ 2 1 4 7 π‘₯ s e c

Q16:

Given that 𝑦 = 8 ( ( 9 π‘₯ ) ) l n l n l n , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A βˆ’ 8 π‘₯ 9 π‘₯ ( 9 π‘₯ ) l n l n l n
  • B 8 ( 9 π‘₯ ) l n l n
  • C βˆ’ 8 ( 9 π‘₯ ) l n l n
  • D 8 π‘₯ 9 π‘₯ ( 9 π‘₯ ) l n l n l n

Q17:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = 5 ( 5 π‘₯ ) s i n l n .

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 2 5 ( 5 π‘₯ ) c o s l n
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c o s l n
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 2 5 π‘₯ ( π‘₯ ) c o s l n
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 2 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c o s l n
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 5 ( 5 π‘₯ ) c o s l n

Q18:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = 5 ο€Ί 2 π‘₯  l n s i n 2 .

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ c o t
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 1 0 π‘₯ c o t
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 5 2 π‘₯ t a n
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 1 0 π‘₯ c o t
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 1 0 π‘₯ t a n

Q19:

Differentiate the function 𝑦 = [ ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) ] t a n l n .

  • A βˆ’ π‘Ž ( ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) ) π‘Ž π‘₯ + 𝑏 s e c l n 2
  • B s e c l n 2 ( ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) )
  • C ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) ( ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) ) π‘Ž s e c l n 2
  • D π‘Ž ( ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) ) π‘Ž π‘₯ + 𝑏 s e c l n 2
  • E βˆ’ ( ( π‘Ž π‘₯ + 𝑏 ) ) s e c l n 2

Q20:

Determine d d 𝑦 π‘₯ , given that 𝑦 𝑦 = ο€Ό βˆ’ 1 4 π‘₯ βˆ’ 7  : l n 5 .

  • A βˆ’ 2 0 π‘₯ ( 4 π‘₯ βˆ’ 7 ) 4 5 2
  • B 2 0 π‘₯ 4 π‘₯ βˆ’ 7 4 5
  • C 2 0 π‘₯ ( 4 π‘₯ βˆ’ 7 ) 4 5 2
  • D βˆ’ 2 0 π‘₯ 4 π‘₯ βˆ’ 7 4 5

Q21:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€Ή π‘₯ + 4 π‘₯  l n 2 , and determine its domain.

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 1 π‘₯ + 4 π‘₯ 2 , ( βˆ’ ∞ , βˆ’ 4 ) βˆͺ ( 0 , ∞ )
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 π‘₯ + 4 π‘₯ + 4 π‘₯ 2 , ℝ
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 1 π‘₯ + 4 π‘₯ 2 , ℝ
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 π‘₯ + 4 π‘₯ + 4 π‘₯ 2 , ( βˆ’ ∞ , βˆ’ 4 ) βˆͺ ( 0 , ∞ )
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + 4 π‘₯ 2 2 , ( βˆ’ ∞ , βˆ’ 4 ) βˆͺ ( 0 , ∞ )

Q22:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 3 l n , and determine its domain.

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) + 1 2 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) ( ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 ) l n l n l n 2 , ( 3 , 𝑒 + 3 ) βˆͺ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 8 π‘₯ βˆ’ 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) + 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) ( ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 ) l n l n l n , ( 3 , 𝑒 + 3 ) βˆͺ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 8 π‘₯ βˆ’ 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) + 1 2 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) ( ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 ) l n l n l n 2 , ( βˆ’ ∞ , 3 ) βˆͺ ( 3 , 𝑒 + 3 ) βˆͺ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 8 π‘₯ βˆ’ 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) + 1 2 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) ( ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 ) l n l n l n 2 , ( 3 , 𝑒 + 3 ) βˆͺ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) + 1 2 3 ( π‘₯ βˆ’ 3 ) ( ( π‘₯ βˆ’ 3 ) βˆ’ 1 ) l n l n l n 2 , ( βˆ’ ∞ , 3 ) βˆͺ ( 3 , 𝑒 + 3 ) βˆͺ ( 𝑒 + 3 , ∞ )

Q23:

Differentiate 𝑃 ( 𝑣 ) = 2 𝑣 5 𝑣 βˆ’ 3 l n .

  • A 𝑃 β€² ( 𝑣 ) = 2 3 𝑣
  • B 𝑃 β€² ( 𝑣 ) = βˆ’ 1 0 𝑣 𝑣 + 1 0 𝑣 βˆ’ 6 ( 5 𝑣 βˆ’ 3 ) l n 2
  • C 𝑃 β€² ( 𝑣 ) = βˆ’ 1 0 𝑣 𝑣 βˆ’ 1 0 𝑣 βˆ’ 6 𝑣 ( 5 𝑣 βˆ’ 3 ) l n 2
  • D 𝑃 β€² ( 𝑣 ) = βˆ’ 1 0 𝑣 𝑣 + 1 0 𝑣 βˆ’ 6 𝑣 ( 5 𝑣 βˆ’ 3 ) l n 2
  • E 𝑃 β€² ( 𝑣 ) = βˆ’ 1 0 𝑣 𝑣 + 1 0 𝑣 βˆ’ 6 𝑣 ( 5 𝑣 βˆ’ 3 ) l n

Q24:

Determine the first derivative of 𝑦 = βˆ’ 𝑒 + 2 π‘₯ π‘₯ 4 l n 8 .

  • A βˆ’ 𝑒 + 1 6 π‘₯ π‘₯ 4
  • B βˆ’ 𝑒 4 + 2 π‘₯ π‘₯ 4
  • C βˆ’ 𝑒 + 2 π‘₯ π‘₯ 4
  • D βˆ’ 𝑒 4 + 1 6 π‘₯ π‘₯ 4

Q25:

Differentiate 𝑔 ( 𝑑 ) = √ 4 𝑑 βˆ’ 9 l n .

  • A 𝑔 β€² ( 𝑑 ) = 4 𝑑 √ 4 𝑑 βˆ’ 9 l n
  • B 𝑔 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 2 𝑑 √ 4 𝑑 βˆ’ 9 l n
  • C 𝑔 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 4 𝑑 √ 4 𝑑 βˆ’ 9 l n
  • D 𝑔 β€² ( 𝑑 ) = 2 𝑑 √ 4 𝑑 βˆ’ 9 l n