Worksheet: Differentiation of Logarithmic Functions

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In this worksheet, we will practice finding the derivatives of logarithmic functions.

Q1:

Find d d 𝑦 𝑥 , given that 𝑦 = ( 4 𝑥 + 5 ) l n .

  • A 4 4 𝑥 + 5
  • B 2 8 4 𝑥 + 5
  • C 2 8 ( 4 𝑥 + 5 )
  • D 1 ( 4 𝑥 + 5 )

Q2:

Determine d d 𝑦 𝑥 , given that 𝑦 𝑦 = − 1 4 𝑥 − 7 : l n .

  • A 2 0 𝑥 ( 4 𝑥 − 7 )
  • B − 2 0 𝑥 4 𝑥 − 7
  • C 2 0 𝑥 4 𝑥 − 7
  • D − 2 0 𝑥 ( 4 𝑥 − 7 )

Q3:

Find d d 𝑦 𝑥 , given that 𝑦 = − 8 𝑥 7 𝑥 − 3 l n .

  • A 1 5 𝑥 − 3 7 𝑥 − 3 𝑥
  • B 7 𝑥 − 3 𝑥 1 5 𝑥 − 3
  • C 7 𝑥 − 3 𝑥 7 𝑥 − 6
  • D 7 𝑥 − 6 7 𝑥 − 3 𝑥

Q4:

Find d d 𝑦 𝑥 , given that 𝑦 = 3 𝑥 3 𝑥 l n .

  • A 3 𝑥 + 1 8 𝑥 3 𝑥 l n
  • B 9 𝑥 + 1 8 𝑥 3 𝑥 l n
  • C 3 𝑥 + 1 8 𝑥 3 𝑥 l n
  • D 9 𝑥 + 1 8 𝑥 3 𝑥 l n

Q5:

Differentiate 𝐹 ( 𝑡 ) = − 4 ( 𝑡 ) 2 𝑡 l n s i n .

  • A 𝐹 ′ ( 𝑡 ) = 8 ( 𝑡 2 𝑡 + 2 𝑡 ) 𝑡 l n c o s s i n l n
  • B 𝐹 ′ ( 𝑡 ) = 8 𝑡 ( 𝑡 𝑡 2 𝑡 + 2 𝑡 ) 𝑡 l n c o s s i n l n
  • C 𝐹 ′ ( 𝑡 ) = 8 𝑡 ( 𝑡 𝑡 2 𝑡 − 2 𝑡 ) 𝑡 l n c o s s i n l n
  • D 𝐹 ′ ( 𝑡 ) = − 8 𝑡 ( 𝑡 𝑡 2 𝑡 + 2 𝑡 ) 𝑡 l n c o s s i n l n
  • E 𝐹 ′ ( 𝑡 ) = − 8 ( 𝑡 2 𝑡 + 2 𝑡 ) 𝑡 l n c o s s i n l n

Q6:

Find d d 𝑦 𝑥 , given that 𝑦 = 9 𝑥 9 𝑥 l n .

  • A 9 ( 9 𝑥 − 1 ) 9 𝑥 l n l n
  • B 9 ( 9 𝑥 − 𝑥 ) 9 𝑥 l n l n
  • C 9 ( 𝑥 − 9 𝑥 ) 9 𝑥 l n l n
  • D 9 ( 1 − 9 𝑥 ) 9 𝑥 l n l n

Q7:

If 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 ( 2 𝑥 + 4 𝑥 ) l n l n , find 𝑓 ′ ( 1 ) .

  • A 1 9
  • B1
  • C 1 2
  • D3
  • E9

Q8:

Differentiate the function 𝐻 ( 𝑧 ) = 𝑎 − 𝑧 𝑎 + 𝑧 l n .

  • A 𝐻 ′ ( 𝑧 ) = 2 𝑎 𝑧 𝑧 − 𝑎
  • B 𝐻 ′ ( 𝑧 ) = − 2 𝑎 𝑧 𝑧 − 𝑎
  • C 𝐻 ′ ( 𝑧 ) = 𝑧 − 𝑎 2 𝑎 𝑧
  • D 𝐻 ′ ( 𝑧 ) = − 2 𝑎 𝑧 𝑧 − 𝑎
  • E 𝐻 ′ ( 𝑧 ) = 2 𝑎 𝑧 𝑧 − 𝑎

Q9:

Differentiate 𝑔 ( 𝑡 ) = √ 4 𝑡 − 9 l n .

  • A 𝑔 ′ ( 𝑡 ) = − 2 𝑡 √ 4 𝑡 − 9 l n
  • B 𝑔 ′ ( 𝑡 ) = − 4 𝑡 √ 4 𝑡 − 9 l n
  • C 𝑔 ′ ( 𝑡 ) = 2 𝑡 √ 4 𝑡 − 9 l n
  • D 𝑔 ′ ( 𝑡 ) = 4 𝑡 √ 4 𝑡 − 9 l n

Q10:

Differentiate 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 2 𝑥 l n s i n .

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 5 𝑥 c o t
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 5 2 𝑥 t a n
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 0 𝑥 c o t
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 1 0 𝑥 c o t
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 1 0 𝑥 t a n

Q11:

Differentiate 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 ( 5 𝑥 ) s i n l n .

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 2 5 𝑥 ( 5 𝑥 ) c o s l n
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 2 5 ( 5 𝑥 ) c o s l n
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 2 5 𝑥 ( 𝑥 ) c o s l n
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 2 5 𝑥 ( 5 𝑥 ) c o s l n
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 2 5 ( 5 𝑥 ) c o s l n

Q12:

Given that 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 c o s l n , determine 𝑓 ′ ( 1 ) .

Q13:

Differentiate the function 𝑦 = [ ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) ] t a n l n .

  • A − 𝑎 ( ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) ) 𝑎 𝑥 + 𝑏 s e c l n
  • B 𝑎 ( ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) ) 𝑎 𝑥 + 𝑏 s e c l n
  • C − ( ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) ) s e c l n
  • D s e c l n ( ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) )
  • E ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) ( ( 𝑎 𝑥 + 𝑏 ) ) 𝑎 s e c l n

Q14:

Given that 𝑦 = − 3 4 ( 7 𝑥 + 7 𝑥 ) l n t a n s e c , determine d d 𝑦 𝑥 .

  • A − 2 1 4 7 𝑥 s e c
  • B − 2 1 7 𝑥 + 7 𝑥 7 𝑥 4 7 𝑥 + 4 7 𝑥 t a n s e c s e c t a n s e c
  • C − 3 4 7 𝑥 + 4 7 𝑥 t a n s e c
  • D − 3 4 7 𝑥 s e c

Q15:

Given that 𝑦 = 8 ( ( 9 𝑥 ) ) l n l n l n , find d d 𝑦 𝑥 .

  • A − 8 𝑥 9 𝑥 ( 9 𝑥 ) l n l n l n
  • B 8 ( 9 𝑥 ) l n l n
  • C − 8 ( 9 𝑥 ) l n l n
  • D 8 𝑥 9 𝑥 ( 9 𝑥 ) l n l n l n

Q16:

A factory’s production of 𝑦 units in 𝑡 days is governed by the relation 𝑦 = 4 0 0 1 0 − 𝑒 . What is the rate of change of production with respect to time on the fifth day?

  • A 0 . 8 𝑒
  • B 3 2 0 𝑒
  • C 3 2 0 𝑒
  • D − 4 0 0 𝑒

Q17:

Determine the first derivative of 𝑦 = − 𝑒 + 2 𝑥 l n .

  • A − 𝑒 + 1 6 𝑥
  • B − 𝑒 4 + 1 6 𝑥
  • C − 𝑒 + 2 𝑥
  • D − 𝑒 4 + 2 𝑥

Q18:

Find the first derivative of the function 𝑦 = − 5 𝑥 + 2 𝑥 l n .

  • A 𝑥 5 𝑥 − 2 2 0 𝑥 − 4
  • B − 2 0 𝑥 + 4 𝑥
  • C 2 0 𝑥 − 4 𝑥 ( 5 𝑥 − 2 )
  • D − 2 0 𝑥 + 4 𝑥 ( − 5 𝑥 + 2 𝑥 ) l n

Q19:

Find the first derivative of the function 𝑦 = − 7 𝑥 6 𝑥 l n .

  • A − 2 8 𝑥 6 𝑥 − 7 6 l n
  • B − 1 1 2 𝑥
  • C − 2 8 𝑥 6 𝑥 + 1 l n
  • D − 2 8 𝑥 6 𝑥 + 1 l n

Q20:

Find d d 𝑦 𝑥 , given that 𝑦 = 4 𝑥 + 3 4 𝑥 − 7 l n l n .

  • A − 1 6 𝑥 ( 4 𝑥 − 7 ) l n
  • B − 1 0 𝑥 ( 4 𝑥 − 7 ) l n
  • C − 4 0 𝑥 ( 4 𝑥 − 7 ) l n
  • D − 4 0 𝑥 ( 4 𝑥 − 7 ) l n

Q21:

Differentiate 𝑦 = − 5 | 5 𝑥 − 5 𝑥 + 3 | l n .

  • A 𝑦 ′ = − 7 5 𝑥 − 2 5 𝑥 5 𝑥 − 5 𝑥 + 3
  • B 𝑦 ′ = − 7 5 𝑥 − 2 5 5 𝑥 − 5 𝑥 + 3
  • C 𝑦 ′ = − 5 5 𝑥 − 5 𝑥 + 3
  • D 𝑦 ′ = − 2 5 𝑥 − 2 5 𝑥 + 1 5 1 5 𝑥 − 5
  • E 𝑦 ′ = − 7 5 𝑥 − 2 5 | 5 𝑥 − 5 𝑥 + 3 | l n

Q22:

Differentiate 𝑓 ( 𝑥 ) = − 5 √ 𝑥 + 4 l n , and determine its domain.

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 5 𝑥 2 √ 𝑥 + 4 l n , 1 𝑒 , ∞
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 5 𝑥 √ 𝑥 + 4 l n , 1 𝑒 , ∞
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 5 𝑥 2 √ 𝑥 + 4 l n , 1 𝑒 , ∞
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 5 2 𝑥 √ 𝑥 + 4 l n , 1 𝑒 , ∞
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 5 2 𝑥 √ 𝑥 + 4 l n , 1 𝑒 , ∞

Q23:

Differentiate 𝑓 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 4 𝑥 l n , and determine its domain.

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 2 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 , ( − ∞ , − 4 ) ∪ ( 0 , ∞ )
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 𝑥 − 4 𝑥 + 4 𝑥 , ( − ∞ , − 4 ) ∪ ( 0 , ∞ )
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 1 𝑥 + 4 𝑥 , ( − ∞ , − 4 ) ∪ ( 0 , ∞ )
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 1 𝑥 + 4 𝑥 , ℝ
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 2 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 , ℝ

Q24:

Differentiate 𝑓 ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 3 ( 𝑥 − 3 ) − 3 l n , and determine its domain.

  • A 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 ( 𝑥 − 3 ) − 1 2 ( 𝑥 − 3 ) + 1 2 3 ( 𝑥 − 3 ) ( ( 𝑥 − 3 ) − 1 ) l n l n l n , ( 3 , 𝑒 + 3 ) ∪ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • B 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 ( 𝑥 − 3 ) − 8 𝑥 − 1 2 ( 𝑥 − 3 ) + 1 2 3 ( 𝑥 − 3 ) ( ( 𝑥 − 3 ) − 1 ) l n l n l n , ( 3 , 𝑒 + 3 ) ∪ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • C 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = 4 𝑥 ( 𝑥 − 3 ) − 8 𝑥 − 1 2 ( 𝑥 − 3 ) + 1 2 ( 𝑥 − 3 ) ( ( 𝑥 − 3 ) − 1 ) l n l n l n , ( 3 , 𝑒 + 3 ) ∪ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • D 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 ( 𝑥 − 3 ) − 1 2 ( 𝑥 − 3 ) + 1 2 3 ( 𝑥 − 3 ) ( ( 𝑥 − 3 ) − 1 ) l n l n l n , ( − ∞ , 3 ) ∪ ( 3 , 𝑒 + 3 ) ∪ ( 𝑒 + 3 , ∞ )
  • E 𝑓 ′ ( 𝑥 ) = − 4 𝑥 ( 𝑥 − 3 ) − 8 𝑥 − 1 2 ( 𝑥 − 3 ) + 1 2 3 ( 𝑥 − 3 ) ( ( 𝑥 − 3 ) − 1 ) l n l n l n , ( − ∞ , 3 ) ∪ ( 3 , 𝑒 + 3 ) ∪ ( 𝑒 + 3 , ∞ )

Q25:

Differentiate 𝑃 ( 𝑣 ) = 2 𝑣 5 𝑣 − 3 l n .

  • A 𝑃 ′ ( 𝑣 ) = − 1 0 𝑣 𝑣 − 1 0 𝑣 − 6 𝑣 ( 5 𝑣 − 3 ) l n
  • B 𝑃 ′ ( 𝑣 ) = − 1 0 𝑣 𝑣 + 1 0 𝑣 − 6 ( 5 𝑣 − 3 ) l n
  • C 𝑃 ′ ( 𝑣 ) = − 1 0 𝑣 𝑣 + 1 0 𝑣 − 6 𝑣 ( 5 𝑣 − 3 ) l n
  • D 𝑃 ′ ( 𝑣 ) = 2 3 𝑣
  • E 𝑃 ′ ( 𝑣 ) = − 1 0 𝑣 𝑣 + 1 0 𝑣 − 6 𝑣 ( 5 𝑣 − 3 ) l n

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