Worksheet: The Fundamental Theorem of Calculus: Functions Defined by Integrals

In this worksheet, we will practice applying the fundamental theorem of calculus to find the derivative of a function defined by an integral.

Q1:

Use the fundamental theorem of calculus to find the derivative of the function ℎ(đ‘ĸ)=ī„¸âˆš3𝑡4𝑡+2𝑡ī‘īŠĒd.

  • A ℎ ′ ( đ‘ĸ ) = − 3 ( 4 đ‘ĸ − 2 ) 2 √ 3 đ‘ĸ ( 4 đ‘ĸ + 2 ) īŠ¨
  • B ℎ ′ ( đ‘ĸ ) = √ 3 𝑡 4 𝑡 + 2
  • C ℎ ′ ( đ‘ĸ ) = √ 3 đ‘ĸ 4 đ‘ĸ + 2
  • D ℎ ′ ( đ‘ĸ ) = − 3 ( 4 𝑡 − 2 ) 2 √ 3 𝑡 ( 4 𝑡 + 2 )
  • E ℎ ′ ( đ‘ĸ ) = − 3 ( 4 𝑡 − 2 ) 2 √ 3 𝑡 ( 4 𝑡 + 2 ) īŠ¨

Q2:

Given that ī„¸đ‘“(đ‘Ĩ)đ‘Ĩ=đ‘Ĩ−7đ‘Ĩ−đ‘Ĩ+9+dCīŠŠīŠ¨, find 𝑓′(1).

Q3:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function 𝑅(đ‘Ļ)=ī„¸3𝑡2𝑡𝑡īŠĢī˜īŠ¨sind.

  • A 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = 3 đ‘Ļ 2 đ‘Ļ īŠ¨ s i n
  • B 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = − 3 đ‘Ļ 2 đ‘Ļ īŠ¨ s i n
  • C 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = 6 𝑡 2 𝑡 + 6 𝑡 2 𝑡 īŠ¨ c o s s i n
  • D 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = 6 𝑡 2 𝑡 − 6 𝑡 2 𝑡 īŠ¨ c o s s i n
  • E 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = − 3 𝑡 2 𝑡 īŠ¨ s i n

Q4:

Find the derivative of the function 𝑔(đ‘Ĩ)=ī„¸5𝑡𝑡𝑡īŠ§īŠ°ī—īŠ§īŠąīŠ¨ī—sind.

  • A 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = ( 1 0 − 2 0 đ‘Ĩ ) ( 1 − 2 đ‘Ĩ ) + ( 5 + 5 đ‘Ĩ ) ( 1 + đ‘Ĩ ) s i n s i n
  • B 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = ( 5 − 2 đ‘Ĩ ) ( 1 − 2 đ‘Ĩ ) + ( 5 + 5 đ‘Ĩ ) ( 1 + đ‘Ĩ ) s i n s i n
  • C 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − ( 5 − 1 0 đ‘Ĩ ) ( 1 − 2 đ‘Ĩ ) + ( 5 + 5 đ‘Ĩ ) ( 1 + đ‘Ĩ ) s i n s i n
  • D 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − ( 1 0 − 2 0 đ‘Ĩ ) ( 1 − 2 đ‘Ĩ ) + ( 5 + 5 đ‘Ĩ ) ( 1 + đ‘Ĩ ) s i n s i n
  • E 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − ( 1 0 − 2 0 đ‘Ĩ ) ( 1 − 2 đ‘Ĩ ) − ( 5 + 5 đ‘Ĩ ) ( 1 + đ‘Ĩ ) s i n s i n

Q5:

Find the derivative of the function đ‘Ļ(đ‘Ĩ)=ī„¸(1−đ‘Ŗ)đ‘ŖīŠĒī—īŠŠī—sincoslnd.

  • A đ‘Ļ ′ ( đ‘Ĩ ) = 3 đ‘Ĩ ( 1 − 3 đ‘Ĩ ) + 4 đ‘Ĩ ( 1 − 4 đ‘Ĩ ) s i n l n c o s c o s l n s i n
  • B đ‘Ļ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 3 đ‘Ĩ ( 1 − 3 đ‘Ĩ ) + 4 đ‘Ĩ ( 1 − 4 đ‘Ĩ ) s i n l n c o s c o s l n s i n
  • C đ‘Ļ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 3 đ‘Ĩ ( 1 − 3 đ‘Ĩ ) − 4 đ‘Ĩ ( 1 − 4 đ‘Ĩ ) s i n l n c o s c o s l n s i n
  • D đ‘Ļ ′ ( đ‘Ĩ ) = − ( 1 − 3 đ‘Ĩ ) + ( 1 − 4 đ‘Ĩ ) l n c o s l n s i n
  • E đ‘Ļ ′ ( đ‘Ĩ ) = ( 1 − 3 đ‘Ĩ ) + ( 1 − 4 đ‘Ĩ ) l n c o s l n s i n

Q6:

Suppose that 𝑓 is a function on the interval [𝑎,𝑏] and we are able to define 𝐹 by 𝐹(đ‘Ĩ)=ī„¸đ‘“(𝑡)𝑡ī—īŒēd. We find that 𝐹 is NOT differentiable on (𝑎,𝑏). What can we conclude?

  • AThere is a mistake because whenever we integrate a function, it must be differentiable and 𝐹′(đ‘Ĩ)=𝑓(đ‘Ĩ).
  • B 𝑓 is continuous everywhere on (𝑎,𝑏).
  • C 𝑓 is discontinuous somewhere in the interval (𝑎,𝑏).
  • D 𝑓 is discontinuous everywhere on (𝑎,𝑏).
  • E 𝑓 is not differentiable everywhere on (𝑎,𝑏).

Q7:

The figure shows the graph of the function ī„¸đ‘“(𝑡)𝑡.ī—īŠĻd

Which of the following is the graph of đ‘Ļ=𝑓(đ‘Ĩ)?

  • A
  • Bnone of the above
  • C
  • D
  • E

Q8:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function đ‘Ļ=ī„¸2𝑡2+𝑡𝑡īŠĢī—īŠ°īŠŠīŠĒīŠĢd.

  • A đ‘Ļ ′ = 2 ( 5 đ‘Ĩ + 3 ) 2 + ( 5 đ‘Ĩ + 3 ) īŠĢ
  • B đ‘Ļ ′ = 1 0 ( 5 𝑡 + 3 ) 2 + ( 5 𝑡 + 3 ) īŠĢ
  • C đ‘Ļ ′ = 2 𝑡 2 + 𝑡 īŠĢ
  • D đ‘Ļ ′ = 2 ( 5 𝑡 + 3 ) 2 + ( 5 𝑡 + 3 ) īŠĢ
  • E đ‘Ļ ′ = 1 0 ( 5 đ‘Ĩ + 3 ) 2 + ( 5 đ‘Ĩ + 3 ) īŠĢ

Q9:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function đ‘Ļ=ī„¸5(5𝜃)𝜃ī—īŠ¨īŠ¨īŽŖcosd.

  • A đ‘Ļ ′ = 5 ī€š 5 đ‘Ĩ ī… c o s īŠ¨ īŠĒ
  • B đ‘Ļ ′ = 5 0 5 𝜃 5 𝜃 s i n c o s
  • C đ‘Ļ ′ = 2 0 đ‘Ĩ ī€š 5 đ‘Ĩ ī… īŠŠ īŠ¨ īŠĒ c o s
  • D đ‘Ļ ′ = 5 ( 5 𝜃 ) c o s īŠ¨
  • E đ‘Ļ ′ = − 5 0 5 𝜃 5 𝜃 s i n c o s

Q10:

Use the fundamental theorem of calculus to find the derivative of the function 𝑔(đ‘Ĩ)=ī„¸ī€š1+𝑡ī…đ‘Ąī—īŠŠīŠĢlnd.

  • A 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = ī€š 1 + đ‘Ĩ ī… l n īŠĢ
  • B 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 5 𝑡 1 + 𝑡 īŠĒ īŠĢ
  • C 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 5 đ‘Ĩ 1 + đ‘Ĩ īŠĒ īŠĢ
  • D 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = ī€š 1 + 𝑡 ī… l n īŠĢ
  • E 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 1 1 + 𝑡 īŠĢ

Q11:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function 𝑔(𝑠)=ī„¸ī€š3𝑡−4𝑡ī…đ‘ĄīīŠ§īŠŠīŠĢīŠĒd.

  • A 𝑔 ′ ( 𝑠 ) = 4 ī€š 9 𝑡 − 2 0 𝑡 ī… ī€š 3 𝑡 − 4 𝑡 ī… īŠ¨ īŠĒ īŠŠ īŠĢ īŠĒ
  • B 𝑔 ′ ( 𝑠 ) = 4 ī€š 9 𝑠 − 2 0 𝑠 ī… ī€š 3 𝑠 − 4 𝑠 ī… īŠ¨ īŠĒ īŠŠ īŠĢ īŠŠ
  • C 𝑔 ′ ( 𝑠 ) = ī€š 3 𝑡 − 4 𝑡 ī… īŠŠ īŠĢ īŠĒ
  • D 𝑔 ′ ( 𝑠 ) = 4 ī€š 9 𝑡 − 2 0 𝑡 ī… ī€š 3 𝑡 − 4 𝑡 ī… īŠ¨ īŠĒ īŠŠ īŠĢ īŠŠ
  • E 𝑔 ′ ( 𝑠 ) = ī€š 3 𝑠 − 4 𝑠 ī… īŠŠ īŠĢ īŠĒ

Q12:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function 𝐹(đ‘Ĩ)=ī„¸âˆš2−3𝑡𝑡īŠĒī—secd.

  • A 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 3 𝑡 𝑡 2 √ 2 − 3 𝑡 s e c t a n s e c
  • B 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = √ 2 − 3 𝑡 s e c
  • C 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 3 đ‘Ĩ đ‘Ĩ 2 √ 2 − 3 đ‘Ĩ s e c t a n s e c
  • D 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = √ 2 − 3 đ‘Ĩ s e c
  • E 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = − √ 2 − 3 đ‘Ĩ s e c

Q13:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function 𝑔(đ‘Ĩ)=ī„¸âˆ’2𝑡𝑡ī—īŠ¨īŠĒd.

  • A 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 8 𝑡 īŠŠ
  • B 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 8 đ‘Ĩ īŠŠ
  • C 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 2 𝑡 īŠĒ
  • D 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 2 đ‘Ĩ īŠĒ
  • E 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 8 đ‘Ĩ īŠĒ

Q14:

Find the derivative of the function 𝑔(đ‘Ĩ)=ī„¸đ‘ĸ−3đ‘ĸ+5đ‘ĸīŠĒī—īŠŠī—īŠ¨īŠ¨d.

  • A 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 4 ī€š 1 6 đ‘Ĩ − 3 ī… 1 6 đ‘Ĩ + 5 + 3 ī€š 9 đ‘Ĩ − 3 ī… 9 đ‘Ĩ + 5 īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • B 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 1 6 đ‘Ĩ − 3 1 6 đ‘Ĩ + 5 + 9 đ‘Ĩ − 3 9 đ‘Ĩ + 5 īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • C 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 1 6 đ‘Ĩ − 3 1 6 đ‘Ĩ + 5 − 9 đ‘Ĩ − 3 9 đ‘Ĩ + 5 īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • D 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 4 ī€š 1 6 đ‘Ĩ − 3 ī… 1 6 đ‘Ĩ + 5 + 3 ī€š 9 đ‘Ĩ − 3 ī… 9 đ‘Ĩ + 5 īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • E 𝑔 ′ ( đ‘Ĩ ) = 4 ī€š 1 6 đ‘Ĩ − 3 ī… 1 6 đ‘Ĩ + 5 − 3 ī€š 9 đ‘Ĩ − 3 ī… 9 đ‘Ĩ + 5 īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨

Q15:

Find the derivative of the function 𝐹(đ‘Ĩ)=ī„¸2𝑒𝑡īŠ¨ī—īŠĢī—īīŽĄīŽĄd.

  • A 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 2 đ‘Ĩ 𝑒 − 2 𝑒 īŠĒ ī— īŠ¨ īŠĢ ī— īŽŖ īŽĄ
  • B 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 8 đ‘Ĩ 𝑒 + 1 0 𝑒 īŠĒ ī— īŠ¨ īŠĢ ī— īŽŖ īŽĄ
  • C 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 8 đ‘Ĩ 𝑒 − 1 0 𝑒 īŠĒ ī— īŠ¨ īŠĢ ī— īŽĄ īŽĄ
  • D 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 8 đ‘Ĩ 𝑒 − 1 0 𝑒 īŠĒ ī— īŠ¨ īŠĢ ī— īŽŖ īŽĄ
  • E 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 8 đ‘Ĩ 𝑒 + 1 0 𝑒 īŠĒ ī— īŠ¨ īŠĢ ī— īŽŖ īŽĄ

Q16:

Given that 𝐹(đ‘Ĩ)=ī„¸đ‘Ąđ‘ĄīŠĒī—√ī—īŠąīŠ§tand, find 𝐹′(đ‘Ĩ).

  • A 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 4 4 đ‘Ĩ − 1 2 √ đ‘Ĩ √ đ‘Ĩ t a n t a n īŠą īŠ§ īŠą īŠ§
  • B 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = − 4 4 đ‘Ĩ + 1 2 √ đ‘Ĩ √ đ‘Ĩ t a n t a n īŠą īŠ§ īŠą īŠ§
  • C 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 4 đ‘Ĩ + √ đ‘Ĩ t a n t a n īŠą īŠ§ īŠą īŠ§
  • D 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 4 đ‘Ĩ − √ đ‘Ĩ t a n t a n īŠą īŠ§ īŠą īŠ§
  • E 𝐹 ′ ( đ‘Ĩ ) = 4 4 đ‘Ĩ + 1 2 √ đ‘Ĩ √ đ‘Ĩ t a n t a n īŠą īŠ§ īŠą īŠ§

Q17:

Let đ‘Ļ=ī„¸âˆš2+5𝑡𝑡īŠ¨īŠ¨ī—īŠ¨sind. Use the Fundamental Theorem of Calculus to find đ‘Ļ′.

  • A đ‘Ļ ′ = − ī„ 2 + 5 2 đ‘Ĩ s i n īŠ¨
  • B đ‘Ļ ′ = ī„ 2 + 5 2 đ‘Ĩ s i n īŠ¨
  • C đ‘Ļ ′ = − 2 ( 2 đ‘Ĩ ) ī„ 2 + 5 2 đ‘Ĩ c o s s i n īŠ¨
  • D đ‘Ļ ′ = √ 2 + 5 𝑡 īŠ¨
  • E đ‘Ļ ′ = 2 ( 2 đ‘Ĩ ) ī„ 2 + 5 2 đ‘Ĩ c o s s i n īŠ¨

Q18:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function đ‘Ļ=ī„¸3𝜃5𝜃𝜃ī‘ŊīŽĸ√īŠĢī—tand.

  • A đ‘Ļ ′ = 3 𝜃 5 𝜃 t a n
  • B đ‘Ļ ′ = 1 5 2 ī€ģ 5 √ 5 đ‘Ĩ ī‡ t a n
  • C đ‘Ļ ′ = − 1 5 2 ī€ģ 5 √ 5 đ‘Ĩ ī‡ t a n
  • D đ‘Ļ ′ = 3 √ 5 đ‘Ĩ ī€ģ 5 √ 5 đ‘Ĩ ī‡ t a n
  • E đ‘Ļ ′ = − 3 √ 5 đ‘Ĩ ī€ģ 5 √ 5 đ‘Ĩ ī‡ t a n

Q19:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function ℎ(đ‘Ĩ)=ī„¸3𝑧𝑧+2𝑧√ī—īŠĒīŠ¨īŠĒd.

  • A ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = 3 √ 𝑧 2 ( 𝑧 + 2 ) īŠ¨
  • B ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = đ‘Ĩ đ‘Ĩ + 2 īŠ¨
  • C ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = 6 𝑧 + 1 2 𝑧 − 1 2 𝑧 ( 𝑧 + 2 ) īŠĒ īŠĢ īŠĒ īŠ¨
  • D ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = 3 𝑧 𝑧 + 2 īŠ¨ īŠĒ
  • E ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = 3 √ đ‘Ĩ 2 ( đ‘Ĩ + 2 ) īŠ¨

Q20:

Given that 𝑓(đ‘Ĩ)=ī„¸ī€š8đ‘Ĩ−5đ‘Ĩ+4ī…đ‘ĨīŠ¨d, find dd𝑓đ‘Ĩ.

  • A 1 6 đ‘Ĩ − 5
  • B16
  • C 8 đ‘Ĩ − 5 đ‘Ĩ + 4 īŠ¨
  • D 8 3 đ‘Ĩ − 5 2 đ‘Ĩ + 4 đ‘Ĩ īŠŠ īŠ¨

Q21:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function ℎ(đ‘Ĩ)=ī„¸âˆ’đ‘Ąđ‘ĄīŒžīŠ¨īŽ¤ī‘lnd.

  • A ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 5 đ‘Ĩ
  • B ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 5 𝑡
  • C ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 2 5 đ‘Ĩ 𝑒 īŠĢ ī—
  • D ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 𝑡 l n
  • E ℎ ′ ( đ‘Ĩ ) = − 1 𝑡

Q22:

Given that ī„¸đ‘“(đ‘Ĩ)đ‘Ĩ=3đ‘Ĩ+đ‘Ĩ−8đ‘Ĩ+5+dCīŠŠīŠ¨, find 𝑓′(−1).

Q23:

Use the Fundamental Theorem of Calculus to find the derivative of the function 𝑅(đ‘Ļ)=ī„¸âˆ’đ‘Ą3𝑡𝑡īŠ§ī˜īŠ¨sind.

  • A 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = đ‘Ļ 3 đ‘Ļ īŠ¨ s i n
  • B 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = − 3 𝑡 3 𝑡 − 2 𝑡 3 𝑡 īŠ¨ c o s s i n
  • C 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = − đ‘Ļ 3 đ‘Ļ īŠ¨ s i n
  • D 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = 𝑡 3 𝑡 īŠ¨ s i n
  • E 𝑅 ′ ( đ‘Ļ ) = − 3 𝑡 3 𝑡 + 2 𝑡 3 𝑡 īŠ¨ c o s s i n

Q24:

The graph of a function 𝑓 is shown. Which is the graph of an antiderivative of 𝑓?

  • A 𝑎
  • B 𝑐
  • C 𝑏

Q25:

The figure shows the graph of the function ī„¸đ‘“(𝑡)𝑡.ī—īŠĻd

Which of the following is the graph of đ‘Ļ=𝑓(đ‘Ĩ)?

  • A(b)
  • B(a)
  • C(c)
  • D(d)

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.