Worksheet: Integration by Partial Fractions with Quadratic Factors

In this worksheet, we will practice using partial fractions to evaluate integrals of rational functions with irreducible quadratic factors.

Q1:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ π‘₯ π‘₯ ( π‘₯ + 1 ) d 2 2 .

  • A l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ( π‘₯ + 1 ) + 𝐾 2 2 2
  • B l n l n | π‘₯ | βˆ’ ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ο€» 2 ο€Ή π‘₯ + 1   + 𝐾 2 2 2
  • C l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  βˆ’ 1 ( 2 π‘₯ + 2 ) + 𝐾 2 2
  • D l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ( 2 π‘₯ + 2 ) + 𝐾 2 2
  • E l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ( π‘₯ + 1 ) + 𝐾 2 2 2

Q2:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ 2 𝑠 + 2 ( 𝑠 + 1 ) ( 𝑠 βˆ’ 1 ) 𝑠 2 3 d .

  • A t a n βˆ’ 1 βˆ’ 2 βˆ’ 3 𝑠 βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + 𝐾
  • B t a n βˆ’ 1 βˆ’ 1 2 βˆ’ 2 𝑠 βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) βˆ’ ο€Ή 𝑠 + 1  + 𝐾
  • C t a n βˆ’ 1 βˆ’ 1 βˆ’ 2 𝑠 + ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + 𝐾
  • D t a n βˆ’ 1 βˆ’ 1 βˆ’ 2 𝑠 + ( 𝑠 βˆ’ 1 ) βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + 𝐾
  • E t a n βˆ’ 1 βˆ’ 1 βˆ’ 2 𝑠 + ( 𝑠 + 1 ) + ( 𝑠 + 1 ) + 𝐾

Q3:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ 8 π‘₯ + 8 π‘₯ + 2 ( 4 π‘₯ + 1 ) π‘₯ 2 2 2 d .

  • A t a n βˆ’ 1 2 2 π‘₯ βˆ’ 2 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • B t a n 2 π‘₯ βˆ’ 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾 2
  • C t a n βˆ’ 1 2 2 π‘₯ + 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • D t a n βˆ’ 1 2 2 π‘₯ βˆ’ 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • E t a n βˆ’ 1 2 π‘₯ βˆ’ 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾

Q4:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ 𝑠 + 8 1 𝑠 ( 𝑠 + 9 ) 𝑠 4 2 2 d .

  • A l n | 𝑠 | + 1 8 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 2
  • B l n | 𝑠 | βˆ’ 9 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 2
  • C l n | 𝑠 | βˆ’ 1 8 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 2
  • D l n | 𝑠 | + 9 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 2
  • E l n | 𝑠 | + 9 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 2 2

Q5:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ πœƒ βˆ’ 4 πœƒ + 2 πœƒ βˆ’ 3 πœƒ + 1 ( πœƒ + 1 ) πœƒ 4 3 2 2 3 d .

  • A t a n βˆ’ 1 2 2 2 πœƒ + 1 πœƒ + 1 βˆ’ 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾
  • B t a n πœƒ + 2 πœƒ + 1 βˆ’ 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾 2 2 2
  • C t a n βˆ’ 1 2 2 2 πœƒ + 2 πœƒ + 1 βˆ’ 1 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾
  • D t a n βˆ’ 1 2 2 2 πœƒ + 2 πœƒ + 1 βˆ’ 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾
  • E t a n βˆ’ 1 2 2 2 πœƒ + 2 πœƒ + 1 + 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾

Q6:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ ( π‘₯ + 1 ) ( 3 π‘₯ ) + 9 π‘₯ + π‘₯ ( 9 π‘₯ + 1 ) ( π‘₯ + 1 ) π‘₯ 2 βˆ’ 1 3 2 2 t a n d .

  • A t a n l n βˆ’ 1 ( 3 π‘₯ ) 3 + | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • B t a n l n ( 3 π‘₯ ) 6 + | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • C t a n l n βˆ’ 1 ( 3 π‘₯ ) 6 βˆ’ | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • D ο€Ή ( 3 π‘₯ )  6 + | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾 t a n l n βˆ’ 1 2
  • E ο€Ή ( 3 π‘₯ )  6 βˆ’ | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 π‘₯ + 1 + 𝐾 t a n l n βˆ’ 1 2

Q7:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ βˆ’ 2 π‘₯ + 4 ( π‘₯ + 1 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 ) π‘₯ 2 2 d .

  • A l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ + 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾 2 βˆ’ 1
  • B 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾 l n t a n l n 2 βˆ’ 1
  • C l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾 2 βˆ’ 1
  • D l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾 2 βˆ’ 1
  • E l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 3 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + 𝐾 2 βˆ’ 1 βˆ’ 3

Q8:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 2 π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯ 2 3 d .

  • A 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 3 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  βˆ’ √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n 2 βˆ’ 1
  • B 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 6 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  + √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n 2 βˆ’ 1
  • C 2 3 | π‘₯ | + 1 3 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  + √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n 2 βˆ’ 1
  • D 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 6 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  βˆ’ √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n 2 βˆ’ 1
  • E 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 6 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  βˆ’ √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n 2

Q9:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ 𝑦 + 2 𝑦 + 1 ( 𝑦 + 1 ) 𝑦 2 2 2 d .

  • A t a n βˆ’ 1 𝑦 βˆ’ 1 𝑦 + 1 + 𝐾
  • B t a n 𝑦 βˆ’ 1 𝑦 + 1 + 𝐾 2
  • C t a n βˆ’ 1 2 𝑦 + 1 𝑦 + 1 + 𝐾
  • D t a n βˆ’ 1 2 𝑦 βˆ’ 1 𝑦 + 1 + 𝐾
  • E 2 𝑦 βˆ’ 2 𝑦 + 1 + 𝐾 t a n βˆ’ 1 2

Q10:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ 1 π‘₯ + π‘₯ π‘₯ 4 d .

  • A l n l n l n | π‘₯ | + 1 3 | π‘₯ + 1 | + 1 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 2
  • B l n l n l n | π‘₯ | βˆ’ 2 3 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 2 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 2
  • C l n l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 6 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 6 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 2
  • D l n l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 3 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 2
  • E l n l n l n | π‘₯ | + 2 3 | π‘₯ + 1 | + 2 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 2

Q11:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ 3 𝑑 + 𝑑 + 4 𝑑 + 𝑑 𝑑 √ 3 1 2 3 d .

  • A l n ο€Ώ 1 8 √ 2  + πœ‹ 1 2
  • B l n ο€Ό 9 4  + πœ‹ 1 2
  • C l n ο€Ό 9 2  + πœ‹ 1 2
  • D l n ο€Ώ 9 √ 2  + πœ‹ 1 2
  • E l n ο€Ώ 9 √ 2  + πœ‹ 6

Q12:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ π‘₯ ( π‘₯ + 1 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 1 ) π‘₯ 2 2 d .

  • A 1 2 π‘₯ + 1 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 2 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n βˆ’ 1
  • B 1 4 π‘₯ + 1 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n βˆ’ 1
  • C 1 2 π‘₯ + 1 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n βˆ’ 1
  • D 1 2 π‘₯ + 1 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n βˆ’ 1
  • E 1 2 π‘₯ βˆ’ 1 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n βˆ’ 1

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