Worksheet: Integration by Partial Fractions with Quadratic Factors

In this worksheet, we will practice using partial fractions to evaluate integrals of rational functions with irreducible quadratic factors.

Q1:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπ‘₯π‘₯(π‘₯+1)d.

  • A l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ( 2 π‘₯ + 2 ) + 𝐾  
  • B l n l n | π‘₯ | βˆ’ ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ο€Ί 2 ( π‘₯ + 1 )  + 𝐾   
  • C l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ( π‘₯ + 1 ) + 𝐾   
  • D l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + 1 ( π‘₯ + 1 ) + 𝐾   
  • E l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  βˆ’ 1 ( 2 π‘₯ + 2 ) + 𝐾  

Q2:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ2𝑠+2(𝑠+1)(π‘ βˆ’1)π‘ οŠ¨οŠ©d.

  • A t a n        𝑠 βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) βˆ’ ο€Ή 𝑠 + 1  + 𝐾
  • B t a n       𝑠 + ( 𝑠 βˆ’ 1 ) βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + 𝐾
  • C t a n       𝑠 βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) βˆ’ ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + 𝐾
  • D t a n       𝑠 + ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + ( 𝑠 βˆ’ 1 ) + 𝐾
  • E t a n       𝑠 + ( 𝑠 + 1 ) + ( 𝑠 + 1 ) + 𝐾

Q3:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ8π‘₯+8π‘₯+2(4π‘₯+1)π‘₯d.

  • A t a n    2 π‘₯ βˆ’ 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • B t a n    2 π‘₯ + 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • C t a n    π‘₯ βˆ’ 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • D t a n    2 π‘₯ βˆ’ 2 4 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • E t a n 2 π‘₯ βˆ’ 1 4 π‘₯ + 1 + 𝐾 

Q4:

Use partial fractions to evaluate 𝑠+81𝑠(𝑠+9)𝑠οŠͺd.

  • A l n | 𝑠 | + 1 8 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 
  • B l n | 𝑠 | + 9 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾  
  • C l n | 𝑠 | βˆ’ 1 8 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 
  • D l n | 𝑠 | + 9 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 
  • E l n | 𝑠 | βˆ’ 9 ( 𝑠 + 9 ) + 𝐾 

Q5:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπœƒβˆ’4πœƒ+2πœƒβˆ’3πœƒ+1(πœƒ+1)πœƒοŠͺd.

  • A t a n      πœƒ + 1 πœƒ + 1 βˆ’ 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾
  • B t a n πœƒ + 2 πœƒ + 1 βˆ’ 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾   
  • C t a n      πœƒ + 2 πœƒ + 1 βˆ’ 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾
  • D t a n      πœƒ + 2 πœƒ + 1 + 1 4 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾
  • E t a n      πœƒ + 2 πœƒ + 1 βˆ’ 1 ( πœƒ + 1 ) + 𝐾

Q6:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ(π‘₯+1)(3π‘₯)+9π‘₯+π‘₯(9π‘₯+1)(π‘₯+1)π‘₯tand.

  • A t a n l n   ( 3 π‘₯ ) 3 + | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • B ο€Ή ( 3 π‘₯ )  6 βˆ’ | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 π‘₯ + 1 + 𝐾 t a n l n   
  • C t a n l n ( 3 π‘₯ ) 6 + | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾
  • D ο€Ή ( 3 π‘₯ )  6 + | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾 t a n l n   
  • E t a n l n   ( 3 π‘₯ ) 6 βˆ’ | π‘₯ + 1 | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾

Q7:

Use partial fractions to evaluate ο„Έβˆ’2π‘₯+4(π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1)π‘₯d.

  • A l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾   
  • B l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ + 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾   
  • C l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾   
  • D l n t a n l n ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 3 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + 𝐾     
  • E 1 2 ο€Ή π‘₯ + 1  + π‘₯ βˆ’ 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾 l n t a n l n   

Q8:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπ‘₯βˆ’π‘₯+2π‘₯βˆ’1π‘₯d.

  • A 2 3 | π‘₯ | + 1 3 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  + √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n   
  • B 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 3 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  βˆ’ √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n   
  • C 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 6 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  + √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n   
  • D 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 6 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  βˆ’ √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n   
  • E 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 6 ο€Ή π‘₯ + π‘₯ + 1  βˆ’ √ 3 2 π‘₯ + 1 √ 3 + 𝐾 l n l n t a n 

Q9:

Use partial fractions to evaluate 𝑦+2𝑦+1(𝑦+1)π‘¦οŠ¨οŠ¨οŠ¨d.

  • A 2 𝑦 βˆ’ 2 𝑦 + 1 + 𝐾 t a n   
  • B t a n    𝑦 + 1 𝑦 + 1 + 𝐾
  • C t a n    𝑦 βˆ’ 1 𝑦 + 1 + 𝐾
  • D t a n   𝑦 βˆ’ 1 𝑦 + 1 + 𝐾
  • E t a n 𝑦 βˆ’ 1 𝑦 + 1 + 𝐾 

Q10:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ1π‘₯+π‘₯π‘₯οŠͺd.

  • A l n l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 3 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 
  • B l n l n l n | π‘₯ | βˆ’ 1 6 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 6 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 
  • C l n l n l n | π‘₯ | + 1 3 | π‘₯ + 1 | + 1 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 
  • D l n l n l n | π‘₯ | + 2 3 | π‘₯ + 1 | + 2 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 
  • E l n l n l n | π‘₯ | βˆ’ 2 3 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 2 3 | | π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 | | + 𝐾 

Q11:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ3𝑑+𝑑+4𝑑+π‘‘π‘‘βˆšοŠ©οŠ§οŠ¨οŠ©d.

  • A l n ο€Ώ 9 √ 2  + πœ‹ 6
  • B l n ο€Ό 9 4  + πœ‹ 1 2
  • C l n ο€Ώ 9 √ 2  + πœ‹ 1 2
  • D l n ο€Ό 9 2  + πœ‹ 1 2
  • E l n ο€Ώ 1 8 √ 2  + πœ‹ 1 2

Q12:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπ‘₯(π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)π‘₯d.

  • A 1 2 π‘₯ + 1 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n  
  • B 1 2 π‘₯ + 1 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 2 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n  
  • C 1 2 π‘₯ βˆ’ 1 2 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n  
  • D 1 4 π‘₯ + 1 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n  
  • E 1 2 π‘₯ + 1 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 t a n l n l n  

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