Worksheet: Integration by Partial Fractions with Quadratic Factors

In this worksheet, we will practice using partial fractions to evaluate integrals of rational functions with irreducible quadratic factors.

Q1:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπ‘₯π‘₯(π‘₯+1)d.

  • Alnln|π‘₯|βˆ’12ο€Ήπ‘₯+1+1(2π‘₯+2)+𝐾
  • Blnln|π‘₯|βˆ’ο€Ήπ‘₯+1+1ο€Ί2(π‘₯+1)+𝐾
  • Clnln|π‘₯|βˆ’12ο€Ήπ‘₯+1+1(π‘₯+1)+𝐾
  • Dlnln|π‘₯|βˆ’12ο€Ήπ‘₯+1+1(π‘₯+1)+𝐾
  • Elnln|π‘₯|βˆ’12ο€Ήπ‘₯+1ο…βˆ’1(2π‘₯+2)+𝐾

Q2:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ2𝑠+2(𝑠+1)(π‘ βˆ’1)π‘ οŠ¨οŠ©d.

  • AtanοŠ±οŠ§οŠ±οŠ§οŠ¨οŠ±οŠ¨π‘ βˆ’(π‘ βˆ’1)βˆ’ο€Ήπ‘ +1+𝐾
  • BtanοŠ±οŠ§οŠ±οŠ§οŠ±οŠ¨π‘ +(π‘ βˆ’1)βˆ’(π‘ βˆ’1)+𝐾
  • CtanοŠ±οŠ§οŠ±οŠ¨οŠ±οŠ©π‘ βˆ’(π‘ βˆ’1)βˆ’(π‘ βˆ’1)+𝐾
  • DtanοŠ±οŠ§οŠ±οŠ§οŠ±οŠ¨π‘ +(π‘ βˆ’1)+(π‘ βˆ’1)+𝐾
  • EtanοŠ±οŠ§οŠ±οŠ§οŠ±οŠ¨π‘ +(𝑠+1)+(𝑠+1)+𝐾

Q3:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ8π‘₯+8π‘₯+2(4π‘₯+1)π‘₯d.

  • Atan2π‘₯βˆ’14π‘₯+1+𝐾
  • Btan2π‘₯+14π‘₯+1+𝐾
  • Ctanπ‘₯βˆ’14π‘₯+1+𝐾
  • Dtan2π‘₯βˆ’24π‘₯+1+𝐾
  • Etan2π‘₯βˆ’14π‘₯+1+𝐾

Q4:

Use partial fractions to evaluate 𝑠+81𝑠(𝑠+9)𝑠οŠͺd.

  • Aln|𝑠|+18(𝑠+9)+𝐾
  • Bln|𝑠|+9(𝑠+9)+𝐾
  • Cln|𝑠|βˆ’18(𝑠+9)+𝐾
  • Dln|𝑠|+9(𝑠+9)+𝐾
  • Eln|𝑠|βˆ’9(𝑠+9)+𝐾

Q5:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπœƒβˆ’4πœƒ+2πœƒβˆ’3πœƒ+1(πœƒ+1)πœƒοŠͺd.

  • AtanοŠ±οŠ§οŠ¨οŠ¨οŠ¨πœƒ+1πœƒ+1βˆ’14(πœƒ+1)+𝐾
  • Btanπœƒ+2πœƒ+1βˆ’14(πœƒ+1)+𝐾
  • CtanοŠ±οŠ§οŠ¨οŠ¨οŠ¨πœƒ+2πœƒ+1βˆ’14(πœƒ+1)+𝐾
  • DtanοŠ±οŠ§οŠ¨οŠ¨οŠ¨πœƒ+2πœƒ+1+14(πœƒ+1)+𝐾
  • EtanοŠ±οŠ§οŠ¨οŠ¨οŠ¨πœƒ+2πœƒ+1βˆ’1(πœƒ+1)+𝐾

Q6:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ(π‘₯+1)(3π‘₯)+9π‘₯+π‘₯(9π‘₯+1)(π‘₯+1)π‘₯tand.

  • Atanln(3π‘₯)3+|π‘₯+1|+1π‘₯+1+𝐾
  • Bο€Ή(3π‘₯)6βˆ’|π‘₯+1|βˆ’1π‘₯+1+𝐾tanln
  • Ctanln(3π‘₯)6+|π‘₯+1|+1π‘₯+1+𝐾
  • Dο€Ή(3π‘₯)6+|π‘₯+1|+1π‘₯+1+𝐾tanln
  • Etanln(3π‘₯)6βˆ’|π‘₯+1|+1π‘₯+1+𝐾

Q7:

Use partial fractions to evaluate ο„Έβˆ’2π‘₯+4(π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1)π‘₯d.

  • Alntanlnο€Ήπ‘₯+1+π‘₯βˆ’2|π‘₯βˆ’1|+1π‘₯βˆ’1+𝐾
  • Blntanlnο€Ήπ‘₯+1+π‘₯+2|π‘₯βˆ’1|βˆ’1π‘₯βˆ’1+𝐾
  • Clntanlnο€Ήπ‘₯+1+π‘₯βˆ’2|π‘₯βˆ’1|βˆ’1π‘₯βˆ’1+𝐾
  • Dlntanlnο€Ήπ‘₯+1+π‘₯βˆ’2|π‘₯βˆ’1|βˆ’13(π‘₯βˆ’1)+𝐾
  • E12ο€Ήπ‘₯+1+π‘₯βˆ’2|π‘₯βˆ’1|βˆ’1π‘₯βˆ’1+𝐾lntanln

Q8:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπ‘₯βˆ’π‘₯+2π‘₯βˆ’1π‘₯d.

  • A23|π‘₯|+13ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1+√32π‘₯+1√3+𝐾lnlntan
  • B23|π‘₯βˆ’1|+13ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1ο…βˆ’βˆš32π‘₯+1√3+𝐾lnlntan
  • C23|π‘₯βˆ’1|+16ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1+√32π‘₯+1√3+𝐾lnlntan
  • D23|π‘₯βˆ’1|+16ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1ο…βˆ’βˆš32π‘₯+1√3+𝐾lnlntan
  • E23|π‘₯βˆ’1|+16ο€Ήπ‘₯+π‘₯+1ο…βˆ’βˆš32π‘₯+1√3+𝐾lnlntan

Q9:

Use partial fractions to evaluate 𝑦+2𝑦+1(𝑦+1)π‘¦οŠ¨οŠ¨οŠ¨d.

  • A2π‘¦βˆ’2𝑦+1+𝐾tan
  • BtanοŠ±οŠ§οŠ¨π‘¦+1𝑦+1+𝐾
  • CtanοŠ±οŠ§οŠ¨π‘¦βˆ’1𝑦+1+𝐾
  • DtanοŠ±οŠ§π‘¦βˆ’1𝑦+1+𝐾
  • Etanπ‘¦βˆ’1𝑦+1+𝐾

Q10:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ1π‘₯+π‘₯π‘₯οŠͺd.

  • Alnlnln|π‘₯|βˆ’13|π‘₯+1|βˆ’13||π‘₯βˆ’π‘₯+1||+𝐾
  • Blnlnln|π‘₯|βˆ’16|π‘₯+1|βˆ’16||π‘₯βˆ’π‘₯+1||+𝐾
  • Clnlnln|π‘₯|+13|π‘₯+1|+13||π‘₯βˆ’π‘₯+1||+𝐾
  • Dlnlnln|π‘₯|+23|π‘₯+1|+23||π‘₯βˆ’π‘₯+1||+𝐾
  • Elnlnln|π‘₯|βˆ’23|π‘₯+1|βˆ’23||π‘₯βˆ’π‘₯+1||+𝐾

Q11:

Use partial fractions to evaluate ο„Έ3𝑑+𝑑+4𝑑+π‘‘π‘‘βˆšοŠ©οŠ§οŠ¨οŠ©d.

  • Alnο€Ώ9√2+πœ‹6
  • Blnο€Ό94+πœ‹12
  • Clnο€Ώ9√2+πœ‹12
  • Dlnο€Ό92+πœ‹12
  • Elnο€Ώ18√2+πœ‹12

Q12:

Use partial fractions to evaluate ο„Έπ‘₯(π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)π‘₯d.

  • A12π‘₯+14|π‘₯βˆ’1|+14|π‘₯+1|+𝐾tanlnln
  • B12π‘₯+12|π‘₯βˆ’1|βˆ’12|π‘₯+1|+𝐾tanlnln
  • C12π‘₯βˆ’12|π‘₯βˆ’1|βˆ’14|π‘₯+1|+𝐾tanlnln
  • D14π‘₯+14|π‘₯βˆ’1|βˆ’14|π‘₯+1|+𝐾tanlnln
  • E12π‘₯+14|π‘₯βˆ’1|βˆ’14|π‘₯+1|+𝐾tanlnln

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.