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Worksheet: Higher-Order Derivatives

Q1:

Find the first and second derivatives of the function 𝐺 ( π‘Ÿ ) = 3 √ π‘Ÿ βˆ’ 5 √ π‘Ÿ 5 .

  • A 𝐺 β€² ( π‘Ÿ ) = 3 π‘Ÿ βˆ’ 5 π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 1 2 4 5 , 𝐺 β€² β€² ( π‘Ÿ ) = 3 π‘Ÿ βˆ’ 5 π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 3 2 9 5
  • B 𝐺 β€² ( π‘Ÿ ) = 3 π‘Ÿ βˆ’ 5 π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 1 2 4 5 , 𝐺 β€² β€² ( π‘Ÿ ) = βˆ’ 3 2 π‘Ÿ + 4 π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 3 2 9 5
  • C 𝐺 β€² ( π‘Ÿ ) = 3 2 π‘Ÿ βˆ’ π‘Ÿ 1 2 1 5 , 𝐺 β€² β€² ( π‘Ÿ ) = βˆ’ 3 4 π‘Ÿ + 4 5 π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 1 2 4 5
  • D 𝐺 β€² ( π‘Ÿ ) = 3 2 π‘Ÿ βˆ’ π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 1 2 4 5 , 𝐺 β€² β€² ( π‘Ÿ ) = βˆ’ 3 4 π‘Ÿ + 4 5 π‘Ÿ βˆ’ βˆ’ 3 2 9 5
  • E 𝐺 β€² ( π‘Ÿ ) = 3 2 π‘Ÿ βˆ’ π‘Ÿ 1 2 1 5 , 𝐺 β€² β€² ( π‘Ÿ ) = βˆ’ 3 4 π‘Ÿ + 4 5 π‘Ÿ 1 2 1 5

Q2:

Given that 𝑦 = π‘Ž π‘₯ + 𝑏 π‘₯ 3 2 , 𝑦 β€² β€² β€² = βˆ’ 1 8 , and  𝑦 π‘₯  = βˆ’ 1 4 d d 2 2 π‘₯ = 2 , find π‘Ž and 𝑏 .

  • A π‘Ž = βˆ’ 6 , 𝑏 = 2 9
  • B π‘Ž = βˆ’ 3 , 𝑏 = βˆ’ 2 5
  • C π‘Ž = βˆ’ 6 , 𝑏 = βˆ’ 4 3
  • D π‘Ž = βˆ’ 3 , 𝑏 = 1 1

Q3:

Find the third derivative of the function 𝑦 = 4 4 π‘₯ 2 π‘₯ s i n .

  • A βˆ’ 1 7 6 π‘₯ 2 π‘₯ + 1 7 6 2 π‘₯ s i n c o s
  • B 3 5 2 π‘₯ 2 π‘₯ + 5 2 8 2 π‘₯ c o s s i n
  • C 1 7 6 π‘₯ 2 π‘₯ βˆ’ 1 7 6 2 π‘₯ s i n c o s
  • D βˆ’ 3 5 2 π‘₯ 2 π‘₯ βˆ’ 5 2 8 2 π‘₯ c o s s i n
  • E βˆ’ 8 π‘₯ 2 π‘₯ c o s

Q4:

If 𝑦 = 5 π‘₯ s i n , find 2 5 ο€½ 𝑦 π‘₯  + ο€Ώ 𝑦 π‘₯  d d d d 2 2 2 2 .

Q5:

True or False: ( 𝑓 𝑔 ) β€² β€² = 𝑓 β€² β€² 𝑔 + 𝑓 𝑔 β€² β€² .

  • Afalse
  • Btrue

Q6:

Given 𝑦 = √ π‘₯ βˆ’ 9 , find d d 2 2 𝑦 π‘₯ .

  • A 1 2 ( π‘₯ βˆ’ 9 ) 3 2
  • B 3 4 ( π‘₯ βˆ’ 9 ) 3 2
  • C βˆ’ 4 ( π‘₯ βˆ’ 9 ) 3 2
  • D βˆ’ 1 4 ( π‘₯ βˆ’ 9 ) 3 2

Q7:

Given that 𝑦 = ( π‘₯ βˆ’ 7 ) ( 4 π‘₯ + 7 ) , and 𝑧 = π‘₯ + 5 π‘₯ + 9 2 , determine d d d d 2 2 2 2 𝑦 π‘₯ + 𝑧 π‘₯ .

Q8:

Find given .

Q9:

If 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘Ž π‘₯ + 7 π‘₯ βˆ’ 8 π‘₯ + 9 3 2 , and 𝑓 β€² β€² ( 9 ) = βˆ’ 9 , find π‘Ž .

  • A βˆ’ 8 9
  • B βˆ’ 1 6
  • C βˆ’ 1 6 9
  • D βˆ’ 2 3 5 4

Q10:

Given that 𝑦 = 3 π‘₯ βˆ’ 5 2 π‘₯ + 7 2 2 , determine d d 2 2 𝑦 π‘₯ .

  • A 6 2 π‘₯ ( 2 π‘₯ + 7 ) 2 2
  • B 6 2 ο€Ή 7 βˆ’ 6 π‘₯  ( 2 π‘₯ + 7 ) 2 2 4
  • C 7 βˆ’ 6 π‘₯ ( 2 π‘₯ + 7 ) 2 2 3
  • D 6 2 ο€Ή 7 βˆ’ 6 π‘₯  ( 2 π‘₯ + 7 ) 2 2 3
  • E 6 2 ο€Ή 7 + 6 π‘₯  ( 2 π‘₯ + 7 ) 2 2 3

Q11:

Find the third derivative of the function 𝑦 = βˆ’ 1 1 π‘₯ + 1 4 π‘₯ .

  • A βˆ’ 1 4 π‘₯ 4
  • B 2 8 π‘₯ 3
  • C 8 4 π‘₯ 4
  • D βˆ’ 8 4 π‘₯ 4

Q12:

Find the first and second derivatives of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 3 π‘₯ βˆ’ 0 . 0 4 π‘₯ 3 4 .

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 3 π‘₯ βˆ’ 0 . 0 4 π‘₯ 2 3 , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 3 π‘₯ βˆ’ 0 . 0 4 π‘₯ 2
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 9 π‘₯ βˆ’ 0 . 1 6 π‘₯ 3 4 , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 2 7 π‘₯ βˆ’ 0 . 6 4 π‘₯ 3 4
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 9 π‘₯ βˆ’ 0 . 1 6 π‘₯ 4 5 , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 3 6 π‘₯ βˆ’ 0 . 8 π‘₯ 5 6
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 9 π‘₯ βˆ’ 0 . 1 6 π‘₯ 2 3 , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 1 8 π‘₯ βˆ’ 0 . 4 8 π‘₯ 2
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 3 π‘₯ βˆ’ 0 . 0 4 π‘₯ 4 5 , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = 0 . 0 0 3 π‘₯ βˆ’ 0 . 0 4 π‘₯ 5 6

Q13:

Given that 𝑦 = βˆ’ 4 π‘₯ 2 π‘₯ + 4 2 π‘₯ c o s s i n , find d d 2 2 𝑦 π‘₯ at π‘₯ = 5 πœ‹ 2 .

  • A8
  • B0
  • C βˆ’ 4
  • D βˆ’ 4 0 πœ‹

Q14:

Given that 𝑦 = 4 9 π‘₯ 5 t a n , determine 𝑦 β€² β€² .

  • A 3 6 5 9 π‘₯ 5 s e c 2
  • B 6 4 8 2 5 9 π‘₯ 5 9 π‘₯ 5 s e c t a n
  • C 6 4 8 2 5 9 π‘₯ 5 9 π‘₯ 5 s e c t a n 2 2
  • D 6 4 8 2 5 9 π‘₯ 5 9 π‘₯ 5 s e c t a n 2

Q15:

Find the third derivative of the function 𝑦 = π‘₯ + 5 π‘₯ + 3 π‘₯ + 2 π‘₯ βˆ’ π‘₯ βˆ’ 9 5 4 3 2 .

  • A 2 0 π‘₯ + 6 0 π‘₯ + 1 8 π‘₯ 3 2
  • B π‘₯ + 5 π‘₯ + 3 2
  • C 6 0 π‘₯ + 1 2 0 π‘₯ + 1 8 π‘₯ 5 4 3
  • D 6 0 π‘₯ + 1 2 0 π‘₯ + 1 8 2

Q16:

Given that 𝑦 = ( βˆ’ 4 π‘₯ + 7 ) ο€Ή βˆ’ 7 π‘₯ βˆ’ 4  2 , determine d d 2 2 𝑦 π‘₯ .

  • A 1 4 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ 3 2
  • B 8 4 π‘₯ βˆ’ 9 8 π‘₯ + 1 6 2
  • C 7 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ + 4 2
  • D 1 6 8 π‘₯ βˆ’ 9 8

Q17:

Find the second derivative of the function 𝑦 = 5 π‘₯ βˆ’ 4 2 π‘₯ βˆ’ 3 at the point ( 2 , 6 ) .

Q18:

Given 𝑦 = βˆ’ π‘₯ βˆ’ 8 π‘₯ βˆ’ 8 2 and d d 2 2 𝑦 π‘₯ βˆ’ 9 π‘˜ + 4 = 8 . Find the value of π‘˜ .

  • A βˆ’ 2
  • B βˆ’ 1 4 9
  • C6
  • D βˆ’ 2 3

Q19:

Find d d s i n 5 1 5 1 π‘₯ ( π‘₯ ) by finding the first few derivatives and observing the pattern that occurs.

  • A βˆ’ π‘₯ s i n
  • B c o s π‘₯
  • C s i n π‘₯
  • D βˆ’ π‘₯ c o s
  • E 5 1 π‘₯ π‘₯ s i n c o s 5 0

Q20:

If , find .

  • A
  • B
  • C
  • D

Q21:

Determine the value of the second derivative of the function 𝑦 = 1 2 π‘₯ βˆ’ 8 π‘₯ at ( 1 , 4 ) .

  • A16
  • B48
  • C βˆ’ 8
  • D βˆ’ 1 6

Q22:

Evaluate d d d d s e c π‘₯  βˆ’ 3 π‘₯ + π‘₯ ο€Ή 2 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯   3 5 .

  • A 4 0 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ 4 2 2 3 t a n s e c s e c
  • B 4 0 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ π‘₯ + 9 π‘₯ 3 2 2 3 t a n s e c s e c
  • C 4 0 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ π‘₯ 3 2 t a n s e c
  • D 4 0 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ 3 2 2 3 t a n s e c s e c

Q23:

Given that 𝑦 = √ 2 π‘₯ βˆ’ 5 , determine 𝑦 β€² β€² β€² .

  • A βˆ’ 1  ( 2 π‘₯ βˆ’ 5 ) 3
  • B 1 √ 2 π‘₯ βˆ’ 5
  • C 3 8  ( 2 π‘₯ βˆ’ 5 ) 5
  • D 3  ( 2 π‘₯ βˆ’ 5 ) 5
  • E 3 ( 2 π‘₯ βˆ’ 5 ) 2

Q24:

If 𝑦 ∢ 𝑦 = βˆ’ π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯ + 1 5 5 , find 𝑦 β€² β€² .

  • A βˆ’ 6 0 π‘₯ βˆ’ 4 0 π‘₯ ( βˆ’ π‘₯ + 1 ) 8 3 5 4
  • B βˆ’ 6 0 π‘₯ βˆ’ 4 0 π‘₯ ( βˆ’ π‘₯ + 1 ) 8 3 5 2
  • C βˆ’ 1 0 π‘₯ ( βˆ’ π‘₯ + 1 ) 4 5 2
  • D βˆ’ 6 0 π‘₯ βˆ’ 4 0 π‘₯ ( βˆ’ π‘₯ + 1 ) 8 3 5 3

Q25:

Given that 𝑦 = 6 π‘₯ + 3 π‘₯ βˆ’ 7 π‘₯ + 6 5 2 , determine d d 2 2 𝑦 π‘₯ .

  • A 3 0 π‘₯ + 6 π‘₯ βˆ’ 7 π‘₯ 5 2
  • B 3 0 π‘₯ + 6 π‘₯ βˆ’ 7 4
  • C 6 π‘₯ + 3 π‘₯ βˆ’ 7 4
  • D 6 ο€Ή 2 0 π‘₯ + 1  3