Worksheet: Equation of a Straight Line in Parametric Form

In this worksheet, we will practice finding the equation of a straight line in parametric form using a point on the line and the vector direction of the line.

Q1:

Find the parametric equations of the straight line that passes through the point ( โˆ’ 9 , 8 ) with direction vector ( 4 , โˆ’ 7 ) .

  • A ๐‘ฅ = โˆ’ 9 + 8 ๐พ , ๐‘ฆ = 4 โˆ’ 7 ๐พ
  • B ๐‘ฅ = 8 โˆ’ 7 ๐พ , ๐‘ฆ = โˆ’ 9 + 4 ๐พ
  • C ๐‘ฅ = 8 + 4 ๐พ , ๐‘ฆ = โˆ’ 9 โˆ’ 7 ๐พ
  • D ๐‘ฅ = โˆ’ 9 + 4 ๐พ , ๐‘ฆ = 8 โˆ’ 7 ๐พ

Q2:

Find the parametric equations of the straight line that makes an angle of 1 3 5 โˆ˜ with the positive ๐‘ฅ -axis and passes through the point ( 1 , โˆ’ 1 5 ) .

  • A ๐‘ฅ = โˆ’ 1 5 โˆ’ ๐พ , ๐‘ฆ = 1 + ๐พ
  • B ๐‘ฅ = 1 + ๐พ , ๐‘ฆ = 1 โˆ’ 1 5 ๐พ
  • C ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 1 5 โˆ’ ๐พ
  • D ๐‘ฅ = 1 + ๐พ , ๐‘ฆ = โˆ’ 1 5 โˆ’ ๐พ

Q3:

Consider the line shown that passes through the point ( 3 , 4 ) and makes an angle of 45 degrees with the positive ๐‘ฅ -axis.

Suppose that the distance between ( 3 , 4 ) and any point ( ๐‘ฅ , ๐‘ฆ ) on the line is ๐‘Ÿ .

Write, in terms of ๐‘Ÿ , an expression for the horizontal distance ๐‘ฅ โˆ’ 3 between the two points.

  • A ๐‘Ÿ
  • B ๐‘Ÿ 2 2
  • C ๐‘Ÿ 2
  • D ๐‘Ÿ โˆš 2

Write, in terms of ๐‘Ÿ , an expression for the vertical distance ๐‘ฆ โˆ’ 4 between the two points.

  • A ๐‘Ÿ 2
  • B ๐‘Ÿ
  • C ๐‘Ÿ 2 2
  • D ๐‘Ÿ โˆš 2

Hence, write a pair of parametric equations which describe the line.

  • A ๐‘ฅ = 3 + ๐‘Ÿ โˆš 2 , ๐‘ฆ = 4 + ๐‘Ÿ โˆš 2
  • B ๐‘ฅ = 3 โˆ’ ๐‘Ÿ โˆš 2 , ๐‘ฆ = 4 + ๐‘Ÿ โˆš 2
  • C ๐‘ฅ = 3 + ๐‘Ÿ โˆš 2 , ๐‘ฆ = 4 โˆ’ ๐‘Ÿ โˆš 2
  • D ๐‘ฅ = 3 โˆ’ ๐‘Ÿ โˆš 2 , ๐‘ฆ = 4 โˆ’ ๐‘Ÿ โˆš 2

Find the coordinates of the point on the line which is at a distance of 4 from ( 3 , 4 ) .

  • A ( 3 + 2 โˆš 2 , 4 + 2 โˆš 2 )
  • B ( 3 โˆ’ 2 โˆš 2 , 4 โˆ’ 2 โˆš 2 )
  • C ( 3 โˆ’ 2 โˆš 2 , 4 + 2 โˆš 2 )
  • D ( 3 + 2 โˆš 2 , 4 โˆ’ 2 โˆš 2 )

Q4:

Write a pair of parametric equations with parameter ๐‘Ÿ describing the shown line.

  • A ๐‘ฅ = 2 + ๐‘Ÿ 2 , ๐‘ฆ = 3 โˆ’ ๐‘Ÿ โˆš 3 2
  • B ๐‘ฅ = 2 โˆ’ ๐‘Ÿ 2 , ๐‘ฆ = 3 โˆ’ ๐‘Ÿ โˆš 3 2
  • C ๐‘ฅ = 2 โˆ’ ๐‘Ÿ 2 , ๐‘ฆ = 3 + ๐‘Ÿ โˆš 3 2
  • D ๐‘ฅ = 2 + ๐‘Ÿ โˆš 3 2 , ๐‘ฆ = 3 + ๐‘Ÿ 2

Q5:

Write the parametric equation of the straight line that passes through the point ( ๐‘Ž , ๐‘ ) and makes an angle of ๐œƒ with the positive ๐‘ฅ -axis as shown.

  • A ๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž ( ๐œƒ ) = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ ( ๐œƒ ) s i n s i n
  • B ๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž ( ๐œƒ ) = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ ( ๐œƒ ) c o s c o s
  • C ๐‘Ÿ = ๐‘ฅ + ๐‘Ž ( ๐œƒ ) = ๐‘ฆ + ๐‘ ( ๐œƒ ) c o s s i n
  • D ๐‘Ÿ = ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘Ž ( ๐œƒ ) = ๐‘ฆ โˆ’ ๐‘ ( ๐œƒ ) c o s s i n

Q6:

The equations ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 ๐‘ก + 2 parameterize the line segment between ( 1 , 2 ) and ( 3 , โˆ’ 1 ) over the interval 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 .

Which of the following is a parameterization of the line segment on โˆ’ 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 0 ?

  • A ๐‘ฅ = โˆ’ 2 ๐‘ก โˆ’ 3 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 ๐‘ก + 1
  • B ๐‘ฅ = โˆ’ 2 ๐‘ก + 3 , ๐‘ฆ = 3 ๐‘ก โˆ’ 1
  • C ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก + 3 , ๐‘ฆ = 3 ๐‘ก + 1
  • D ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก + 3 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 ๐‘ก โˆ’ 1
  • E ๐‘ฅ = 3 ๐‘ก โˆ’ 2 , ๐‘ฆ = โˆ’ ๐‘ก โˆ’ 3

Which of the following is a parameterization of the line segment on 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 that starts at ( 3 , โˆ’ 1 ) and ends at ( 1 , 2 ) ?

  • A ๐‘ฅ = โˆ’ 2 ๐‘ก + 3 , ๐‘ฆ = 3 ๐‘ก โˆ’ 1
  • B ๐‘ฅ = 3 ๐‘ก โˆ’ 2 , ๐‘ฆ = โˆ’ ๐‘ก โˆ’ 3
  • C ๐‘ฅ = โˆ’ 2 ๐‘ก โˆ’ 3 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 ๐‘ก + 1
  • D ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก + 3 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 ๐‘ก โˆ’ 1
  • E ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก + 3 , ๐‘ฆ = 3 ๐‘ก + 1

Which of the following is a parameterization of the line segment on 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 2 ?

  • A ๐‘ฅ = ๐‘ก โˆ’ 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 2 ๐‘ก + 2
  • B ๐‘ฅ = 4 ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 6 ๐‘ก + 2
  • C ๐‘ฅ = ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 2 ๐‘ก + 2
  • D ๐‘ฅ = ๐‘ก โˆ’ 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 3 2 ๐‘ก โˆ’ 2
  • E ๐‘ฅ = 4 ๐‘ก โˆ’ 1 , ๐‘ฆ = โˆ’ 6 ๐‘ก โˆ’ 2

If the parameterizations you have given above correspond to a particle moving along the line segment, how does the parameterization over interval 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 2 relate to the one over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 ?

  • AOver 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 2 , the particle is moving half as fast as over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 .
  • BOver 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 2 , the particle is moving three times as fast as over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 .
  • COver 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 2 , the particle is moving twice as fast as over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 .
  • DOver 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 2 , the particle is moving one-third as fast as over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 .

Q7:

Consider the points ๐ด , ๐ต , and ๐ถ and the line segments in the figure.

Give the parameterization of ๐ด ๐ต over the interval 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 .

  • A ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฆ = ๐‘ก
  • B ๐‘ฅ = ๐‘ก , ๐‘ฆ = 1
  • C ๐‘ฅ = ๐‘ก , ๐‘ฆ = 0
  • D ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก
  • E ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = 2 ๐‘ก โˆ’ 1

Give the parameterization of ๐ต ๐ถ over the interval 3 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 5 .

  • A ๐‘ฅ = ๐‘ก โˆ’ 2 , ๐‘ฆ = 3
  • B ๐‘ฅ = 3 , ๐‘ฆ = ๐‘ก โˆ’ 2
  • C ๐‘ฅ = 2 , ๐‘ฆ = ๐‘ก โˆ’ 3
  • D ๐‘ฅ = ๐‘ก โˆ’ 3 , ๐‘ฆ = 2
  • E ๐‘ฅ = 2 , ๐‘ฆ = 3

Find functions ๐‘“ and ๐‘” defined for 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 5 so that ๐‘ฅ = ๐‘“ ( ๐‘ก ) , ๐‘ฆ = ๐‘” ( ๐‘ก ) parameterizes the given path from ๐ด to ๐ถ .

  • A ๐‘“ ( ๐‘ก ) = ๏ญ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = ๏ญ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f
  • B ๐‘“ ( ๐‘ก ) = ๏ญ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = ๏ญ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f
  • C ๐‘“ ( ๐‘ก ) = ๏ญ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = ๏ญ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f
  • D ๐‘“ ( ๐‘ก ) = ๏ญ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = ๏ญ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f
  • E ๐‘“ ( ๐‘ก ) = ๏ญ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก + 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = ๏ญ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 i f i f

Q8:

Let ๐ด = ( 1 , 1 ) and ๐ต = ( 1 , 3 ) . Which of the following is a parameterization of ๐ด ๐ต over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 that starts at ๐ด and ends at ๐ต .

  • A ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = 2 ( ๐‘ก + 1 )
  • B ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก + 1
  • C ๐‘ฅ = ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = 1
  • D ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = 2 ๐‘ก + 1
  • E ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = 1

Q9:

Let ๐ด = ( 1 , 1 ) and ๐ต = ( 1 , 2 ) . Which of the following is a parameterisation of ๐ด ๐ต over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 that starts at ๐ต and ends at ๐ด .

  • A ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = 2 + ๐‘ก
  • B ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก + 1
  • C ๐‘ฅ = 2 โˆ’ ๐‘ก , ๐‘ฆ = 1
  • D ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = 2 โˆ’ ๐‘ก
  • E ๐‘ฅ = ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = 1

Q10:

Find the parameterization ๐‘ฅ = ๐‘“ ( ๐‘ก ) , ๐‘ฆ = ๐‘” ( ๐‘ก ) of the path ๐ด , ๐ต , ๐ถ , ๐ท using the interval 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 9 .

  • A ๐‘“ ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก + 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 3 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 0 + ๐‘ก 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 8 โˆ’ ๐‘ก 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f
  • B ๐‘“ ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 3 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , ๐‘ก โˆ’ 1 0 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , ๐‘ก โˆ’ 8 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f
  • C ๐‘“ ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก + 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 3 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , ๐‘ก + 1 0 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , ๐‘ก โˆ’ 8 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f
  • D ๐‘“ ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ 1 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 3 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 0 โˆ’ ๐‘ก 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 8 โˆ’ ๐‘ก 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f
  • E ๐‘“ ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ 3 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , ๐‘ก โˆ’ 2 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 1 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 0 โˆ’ ๐‘ก 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f , ๐‘” ( ๐‘ก ) = โŽง โŽช โŽจ โŽช โŽฉ ๐‘ก 1 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 3 , 3 3 < ๐‘ก โ‰ค 5 , 8 โˆ’ ๐‘ก 5 < ๐‘ก โ‰ค 7 , 1 7 < ๐‘ก โ‰ค 9 i f i f i f i f

Q11:

Let ๐ด = ( 1 , 1 ) and ๐ต = ( 1 , 2 ) . Find the parameterisation of ๐ด ๐ต over 0 โ‰ค ๐‘ก โ‰ค 1 that starts at ๐ด and ends at ๐ต .

  • A ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก โˆ’ 1
  • B ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก
  • C ๐‘ฅ = ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก
  • D ๐‘ฅ = 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก + 1
  • E ๐‘ฅ = ๐‘ก + 1 , ๐‘ฆ = ๐‘ก

Q12:

A cube with side 3 sits with a vertex at the origin and three sides along the positive axes. Find the parametric equations of the main diagonal from the origin.

  • A ๐‘ฅ = 3 + ๐‘ก , ๐‘ฆ = 3 + ๐‘ก , ๐‘ง = 3 + ๐‘ก
  • B ๐‘ฅ = 3 , ๐‘ฆ = 3 , ๐‘ง = 3
  • C ๐‘ฅ = 1 + 3 ๐‘ก , ๐‘ฆ = 1 + 3 ๐‘ก , ๐‘ง = 1 + 3 ๐‘ก
  • D ๐‘ฅ = 3 ๐‘ก , ๐‘ฆ = 3 ๐‘ก , ๐‘ง = 3 ๐‘ก

Q13:

True or False: There is only one way to parameterize the line segment from ( 1 , 2 ) to ( 3 , โˆ’ 1 ) .

  • Afalse
  • Btrue

Q14:

Find the parametric equations of the straight line that passes through the point ( 9 , โˆ’ 7 ) with direction vector ( 3 , 2 ) .

  • A ๐‘ฅ = 9 โˆ’ 7 ๐พ , ๐‘ฆ = 3 + 2 ๐พ
  • B ๐‘ฅ = โˆ’ 7 + 2 ๐พ , ๐‘ฆ = 9 + 3 ๐พ
  • C ๐‘ฅ = โˆ’ 7 + 3 ๐พ , ๐‘ฆ = 9 + 2 ๐พ
  • D ๐‘ฅ = 9 + 3 ๐พ , ๐‘ฆ = โˆ’ 7 + 2 ๐พ

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.