Worksheet: The Chain Rule

In this worksheet, we will practice finding the derivatives of composite functions using the chain rule.

Q1:

Find the first derivative of the function đ‘Ļ = ī€š 5 đ‘Ĩ − 6 ī… īŠ¨ īŠŦ .

  • A 6 ī€š 5 đ‘Ĩ − 6 ī… īŠ¨ īŠĢ
  • B 6 0 đ‘Ĩ ī€š 5 đ‘Ĩ − 6 ī… īŠ¨ īŠĢ
  • C 6 ī€š 5 đ‘Ĩ − 6 ī… īŠ¨ īŠ­
  • D 6 0 đ‘Ĩ ī€š 5 đ‘Ĩ − 6 ī… īŠ¨ īŠ­

Q2:

If đ‘Ļ = ī€ŧ 8 đ‘Ĩ īˆ c o s īŠĢ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 8 đ‘Ĩ ī€ŧ 8 đ‘Ĩ īˆ īŠĢ īŠĢ s i n
  • B 4 0 đ‘Ĩ ī€ŧ 8 đ‘Ĩ īˆ īŠŦ īŠĢ s i n
  • C − 8 đ‘Ĩ ī€ŧ 8 đ‘Ĩ īˆ īŠĢ īŠĢ c o s
  • D − 4 0 đ‘Ĩ ī€ŧ 8 đ‘Ĩ īˆ īŠŦ īŠĢ c o s
  • E − 4 0 đ‘Ĩ ī€ŧ 8 đ‘Ĩ īˆ īŠĢ īŠĢ c o s

Q3:

Determine the derivative of đ‘Ļ = ī€š − 2 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ + 4 ī… īŠ¨ īŠĢ īŠĢ .

  • A đ‘Ļ ′ = 5 5 ī€š − 4 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ ī… ī€š − 2 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ + 4 ī… īŠ¨ īŠ¨ īŠĢ īŠĒ
  • B đ‘Ļ ′ = ī€š − 4 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ ī… ī€š − 2 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ + 4 ī… īŠ¨ īŠ¨ īŠĢ īŠĢ
  • C đ‘Ļ ′ = ( − 4 đ‘Ĩ − 3 ) ī€š − 2 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ + 4 ī… īŠ¨ īŠĢ īŠĒ
  • D đ‘Ļ ′ = 5 5 ( − 4 đ‘Ĩ − 3 ) ī€š − 2 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ + 4 ī… īŠ¨ īŠĢ īŠĒ
  • E đ‘Ļ ′ = 5 5 ( − 4 đ‘Ĩ − 3 ) ī€š − 2 đ‘Ĩ − 3 đ‘Ĩ + 4 ī… īŠ¨ īŠĢ īŠĢ

Q4:

Find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ if đ‘Ļ = ( 5 đ‘Ĩ ) t a n c o t .

  • A 5 đ‘Ĩ ( 5 đ‘Ĩ ) c s c s e c c o t īŠ¨ īŠ¨
  • B − 5 đ‘Ĩ ( 5 đ‘Ĩ ) c s c s e c c o t īŠ¨
  • C − 5 đ‘Ĩ ( 5 đ‘Ĩ ) c s c s e c c o t
  • D − 5 đ‘Ĩ ( 5 đ‘Ĩ ) c s c s e c c o t īŠ¨ īŠ¨
  • E − 5 đ‘Ĩ ( 5 đ‘Ĩ ) c s c s e c c o t īŠ¨

Q5:

Find the first derivative of đ‘Ļ âˆļ đ‘Ļ = − 7 ī€š 3 đ‘Ĩ ī… s e c t a n īŠŠ .

  • A − 6 3 đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… t a n t a n t a n s e c s e c t a n īŠ¨ īŠŠ īŠ¨ īŠŠ
  • B − 6 3 đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… t a n t a n t a n s e c s e c t a n īŠ¨ īŠŠ īŠŠ
  • C 6 3 đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… t a n t a n t a n s e c s e c t a n īŠ¨ īŠŠ īŠ¨ īŠŠ
  • D − 2 1 đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ ī€š 3 đ‘Ĩ ī… t a n t a n t a n s e c s e c t a n īŠŠ īŠŠ īŠ¨ īŠŠ

Q6:

Find the first derivative of the function đ‘Ļ = √ 8 đ‘Ĩ − 9 đ‘Ĩ s i n īŠŽ .

  • A 4 − 3 6 9 đ‘Ĩ √ 8 đ‘Ĩ − 9 đ‘Ĩ s i n s i n īŠ­ īŠŽ
  • B 4 + 3 6 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ √ 8 đ‘Ĩ − 9 đ‘Ĩ s i n c o s s i n īŠ­ īŠŽ
  • C 4 − 3 6 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ √ 8 đ‘Ĩ − 9 đ‘Ĩ s i n c o s s i n īŠ­ īŠŽ
  • D 4 − 4 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ √ 8 đ‘Ĩ − 9 đ‘Ĩ s i n c o s s i n īŠ­ īŠŽ

Q7:

If đ‘Ļ = √ 8 đ‘Ĩ − 5 đ‘Ĩ s i n īŠĒ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 1 0 5 đ‘Ĩ 5 đ‘Ĩ + 4 √ 8 đ‘Ĩ − 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n īŠŠ īŠĒ
  • B − 2 0 5 đ‘Ĩ 5 đ‘Ĩ + 8 √ 8 đ‘Ĩ − 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n īŠŠ īŠĒ
  • C √ 8 đ‘Ĩ − 5 đ‘Ĩ ī€ē − 2 0 5 đ‘Ĩ 5 đ‘Ĩ + 8 ī† s i n s i n c o s īŠĒ īŠŠ
  • D − 2 0 5 đ‘Ĩ 5 đ‘Ĩ + 8 s i n c o s īŠŠ
  • E 1 0 5 đ‘Ĩ 5 đ‘Ĩ + 4 √ 8 đ‘Ĩ 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n īŠŠ īŠĒ

Q8:

If đ‘Ļ = ī€ŧ đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ + 5 īˆ c o s īŠ­ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 5 ī€ģ ī‡ ī€ģ ī‡ ( 9 đ‘Ĩ + 5 ) s i n c o s ī— īŠ¯ ī— īŠ° īŠĢ īŠŦ ī— īŠ¯ ī— īŠ° īŠĢ īŠ¨
  • B 3 5 ī€ģ ī‡ ī€ģ ī‡ ( 9 đ‘Ĩ + 5 ) s i n c o s ī— īŠ¯ ī— īŠ° īŠĢ īŠŦ ī— īŠ¯ ī— īŠ° īŠĢ īŠ¨
  • C 7 ī€ŧ đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ + 5 īˆ c o s īŠŦ
  • D − 7 ī€ŧ đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ + 5 īˆ ī€ŧ đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ + 5 īˆ s i n c o s īŠŦ
  • E − 3 5 ī€ģ ī‡ ī€ģ ī‡ ( 9 đ‘Ĩ + 5 ) s i n c o s ī— īŠ¯ ī— īŠ° īŠĢ īŠŦ ī— īŠ¯ ī— īŠ° īŠĢ īŠ¨

Q9:

Find the first derivative of the function đ‘Ļ = ī€š 4 4 đ‘Ĩ ī… s i n c s c īŠ¨ .

  • A − 3 2 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ ī€š 4 4 đ‘Ĩ ī… c s c t a n c o s c s c īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • B − 3 2 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ ī€š 4 4 đ‘Ĩ ī… c s c c o t c o s c s c īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • C 3 2 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ ī€š 4 4 đ‘Ĩ ī… c s c c o t c o s c s c īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨
  • D − 3 2 đ‘Ĩ 4 đ‘Ĩ ī€š 4 4 đ‘Ĩ ī… c o t c o s c s c īŠ¨ īŠ¨ īŠ¨

Q10:

If đ‘Ļ = − 8 ( 6 đ‘Ĩ ) − ( 6 đ‘Ĩ ) s i n s i n c o s s i n , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 6 6 đ‘Ĩ ī‘ − 8 ( 6 đ‘Ĩ ) + ( 6 đ‘Ĩ ) ī c o s c o s s i n s i n s i n
  • B − 6 6 đ‘Ĩ ī‘ − 8 ( 6 đ‘Ĩ ) − ( 6 đ‘Ĩ ) ī c o s c o s s i n c o s s i n
  • C c o s c o s s i n c o s s i n 6 đ‘Ĩ ī‘ − 8 ( 6 đ‘Ĩ ) + ( 6 đ‘Ĩ ) ī
  • D 6 6 đ‘Ĩ ī‘ − 8 ( 6 đ‘Ĩ ) + ( 6 đ‘Ĩ ) ī c o s c o s s i n s i n s i n

Q11:

Find the derivative of the function đ‘Ļ = √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) c o s s i n t a n .

  • A đ‘Ļ ′ = 2 𝜋 ( 𝜋 đ‘Ĩ ) ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n īŠ¨
  • B đ‘Ļ ′ = 𝜋 ( 𝜋 đ‘Ĩ ) ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n īŠ¨
  • C đ‘Ļ ′ = 𝜋 ( 𝜋 đ‘Ĩ ) ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) 2 √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n īŠ¨
  • D đ‘Ļ ′ = − 𝜋 ( 𝜋 đ‘Ĩ ) ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) 2 √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n īŠ¨
  • E đ‘Ļ ′ = 𝜋 ( 𝜋 đ‘Ĩ ) √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) 2 √ ( 𝜋 đ‘Ĩ ) c o s t a n s i n s i n t a n s i n t a n

Q12:

Find the first derivative of the function đ‘Ļ = − 2 ( 4 đ‘Ĩ ) c o t c o s .

  • A − 8 4 đ‘Ĩ ( 4 đ‘Ĩ ) s i n c s c c o s īŠ¨
  • B − 2 4 đ‘Ĩ ( 4 đ‘Ĩ ) s i n c s c c o s īŠ¨
  • C 2 4 đ‘Ĩ ( 4 đ‘Ĩ ) s i n c s c c o s īŠ¨
  • D 8 4 đ‘Ĩ ( 4 đ‘Ĩ ) s i n c s c c o s īŠ¨

Q13:

If đ‘Ļ = ī€š đ‘Ĩ ī… s i n c o s īŠŠ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 3 đ‘Ĩ đ‘Ĩ ī€š đ‘Ĩ ī… s i n c o s c o s c o s īŠ¨ īŠŠ
  • B 3 đ‘Ĩ đ‘Ĩ ī€š đ‘Ĩ ī… s i n c o s c o s c o s īŠ¨ īŠŠ
  • C − 3 đ‘Ĩ đ‘Ĩ s i n c o s īŠ¨
  • D − 3 đ‘Ĩ đ‘Ĩ s i n c o s īŠŠ
  • E − 3 đ‘Ĩ ī€š đ‘Ĩ ī… c o s c o s c o s īŠ¨ īŠŠ

Q14:

If đ‘Ļ = ( 8 đ‘Ĩ − 4 ) s i n īŠ¨ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 1 6 đ‘Ĩ ( 8 đ‘Ĩ − 4 ) c o s īŠ¨
  • B 1 6 đ‘Ĩ ( 8 đ‘Ĩ − 4 ) c o s īŠ¨
  • C 1 6 đ‘Ĩ ( 8 đ‘Ĩ − 4 ) s i n īŠ¨
  • D − ( 8 đ‘Ĩ − 4 ) c o s īŠ¨

Q15:

If đ‘Ļ = 6 ī€š 6 đ‘Ĩ − 1 1 ī… t a n īŠ¨ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 6 ī€š 6 đ‘Ĩ − 1 1 ī… s e c īŠ¨ īŠ¨
  • B 7 2 đ‘Ĩ ī€š 6 đ‘Ĩ − 1 1 ī… s e c īŠ¨
  • C − 7 2 đ‘Ĩ ī€š 6 đ‘Ĩ − 1 1 ī… s e c īŠ¨ īŠ¨
  • D 7 2 ī€š 6 đ‘Ĩ − 1 1 ī… s e c īŠ¨ īŠ¨
  • E 7 2 đ‘Ĩ ī€š 6 đ‘Ĩ − 1 1 ī… s e c īŠ¨ īŠ¨

Q16:

If đ‘Ļ = 5 2 đ‘Ĩ c o s īŠŠ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 3 0 2 đ‘Ĩ s i n īŠ¨
  • B − 5 2 đ‘Ĩ 2 đ‘Ĩ c o s s i n īŠ¨
  • C − 3 0 2 đ‘Ĩ 2 đ‘Ĩ c o s s i n īŠĒ
  • D 3 0 2 đ‘Ĩ c o s īŠ¨
  • E − 3 0 2 đ‘Ĩ 2 đ‘Ĩ c o s s i n īŠ¨

Q17:

If đ‘Ļ = ( 1 2 5 đ‘Ĩ ) c o s c o s , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 1 2 ( 1 2 5 đ‘Ĩ ) 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n
  • B − 6 0 ( 1 2 5 đ‘Ĩ ) 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n
  • C − 1 2 ( 1 2 5 đ‘Ĩ ) 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n
  • D 6 0 ( 1 2 5 đ‘Ĩ ) 5 đ‘Ĩ s i n c o s s i n
  • E − ( 1 2 5 đ‘Ĩ ) s i n c o s

Q18:

Find the first derivative of the function đ‘Ļ = − 6 đ‘Ĩ c o t īŠŽ .

  • A 4 8 đ‘Ĩ 6 đ‘Ĩ īŠ­ īŠ¨ īŠŽ c s c
  • B c s c īŠ¨ īŠŽ 6 đ‘Ĩ
  • C − 4 8 đ‘Ĩ 6 đ‘Ĩ īŠ­ īŠ¨ īŠŽ c s c
  • D 4 8 đ‘Ĩ 6 đ‘Ĩ īŠ­ īŠ¨ īŠ­ c s c

Q19:

If đ‘Ļ = ī„ ī€š 2 + 4 đ‘Ĩ ī… īŽĸ t a n īŠ­ īŠŽ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 7 3 ī„ ī€š 2 + 4 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ đ‘Ĩ īŽĸ t a n t a n s e c īŠ­ īŠ§ īŠ§ īŠŦ īŠ¨
  • B 2 2 4 3 ī„ ī€š 2 + 4 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ đ‘Ĩ īŽĸ t a n t a n s e c īŠ­ īŠĢ īŠ­
  • C 2 2 4 3 ī„ ī€š 2 + 4 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ đ‘Ĩ īŽĸ t a n t a n s e c īŠ­ īŠŽ īŠŽ
  • D 2 2 4 3 ī„ ī€š 2 + 4 đ‘Ĩ ī… đ‘Ĩ đ‘Ĩ īŽĸ t a n t a n s e c īŠ­ īŠĢ īŠŦ īŠ¨

Q20:

If đ‘Ļ = ( 2 7 đ‘Ĩ + 2 7 đ‘Ĩ ) s i n c o s īŠ¨ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 8 1 4 đ‘Ĩ c o s
  • B 5 6 ( 7 đ‘Ĩ + 7 đ‘Ĩ ) s i n c o s īŠ¨
  • C 4 7 đ‘Ĩ + 4 7 đ‘Ĩ s i n c o s
  • D 5 6 1 4 đ‘Ĩ c o s

Q21:

If đ‘Ļ = ī€ŧ 1 7 đ‘Ĩ īˆ s i n īŠ¯ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 1 7 đ‘Ĩ ī€ŧ 1 7 đ‘Ĩ īˆ īŠ§ īŠĻ īŠ¯ s i n
  • B c o s ī€ŧ 1 7 đ‘Ĩ īˆ īŠ¯
  • C − 1 5 3 đ‘Ĩ ī€ŧ 1 7 đ‘Ĩ īˆ īŠ§ īŠĻ īŠ¯ c o s
  • D 1 7 đ‘Ĩ ī€ŧ 1 7 đ‘Ĩ īˆ īŠ¯ īŠ¯ c o s

Q22:

If đ‘Ļ = 9 √ đ‘Ĩ t a n , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 9 √ đ‘Ĩ s e c īŠ¨
  • B 9 √ đ‘Ĩ 2 √ đ‘Ĩ s e c
  • C − 9 √ đ‘Ĩ 2 √ đ‘Ĩ s e c īŠ¨
  • D 9 √ đ‘Ĩ 2 √ đ‘Ĩ s e c īŠ¨

Q23:

If đ‘Ļ = 8 √ 1 0 đ‘Ĩ c o s , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A − 4 0 √ 1 0 đ‘Ĩ c o s
  • B − 8 0 1 0 đ‘Ĩ √ 1 0 đ‘Ĩ s i n c o s īŠŠ
  • C − 8 1 0 đ‘Ĩ √ 1 0 đ‘Ĩ s i n c o s
  • D − 4 0 1 0 đ‘Ĩ √ 1 0 đ‘Ĩ s i n c o s
  • E 8 0 1 0 đ‘Ĩ √ 1 0 đ‘Ĩ s i n c o s

Q24:

If đ‘Ļ = 9 đ‘Ĩ t a n īŠ¯ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 9 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ t a n s e c īŠŽ īŠ¨
  • B − 8 1 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ t a n s e c īŠŽ īŠ¨
  • C 8 1 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ t a n s e c īŠŽ īŠ¨
  • D 8 1 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ t a n s e c īŠ¯ īŠ¨
  • E 8 1 9 đ‘Ĩ 9 đ‘Ĩ t a n s e c īŠŽ

Q25:

If đ‘Ļ = ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… t a n īŠŽ īŠŠ , find d d đ‘Ļ đ‘Ĩ .

  • A 8 ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… t a n s e c īŠ­ īŠŠ īŠ¨ īŠŠ
  • B 2 4 ī€š 2 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… īŠ¨ īŠ­ īŠŠ īŠŠ t a n s e c
  • C 2 4 ī€š 2 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… īŠ¨ īŠ­ īŠŠ t a n
  • D 2 4 ī€š 2 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… īŠ¨ īŠ­ īŠŠ īŠ¨ īŠŠ t a n s e c
  • E 2 4 ī€š 2 + 9 đ‘Ĩ ī… ī€š 6 đ‘Ĩ − 7 + 9 đ‘Ĩ ī… īŠ¨ īŠ¨ īŠŠ s e c

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.