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Worksheet: Algebraic Evaluation of Limits at Infinity

In this worksheet, we will practice evaluating limits at infinity algebraically for polynomial and rational functions.

Q1:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 6 π‘₯ π‘₯ βˆ’ 6 .

  • A βˆ’ 1
  • B 0
  • C 6
  • D ∞

Q2:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ ο„ž 1 6 π‘₯ + 8 9 π‘₯ + 3 .

  • A 1 6 9
  • B ∞
  • C 0
  • D 4 3

Q3:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 3 π‘₯ + 3 8 π‘₯ + 9 π‘₯ + 1 .

  • A 1 8
  • B 3
  • C ∞
  • D 0

Q4:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 2 ο€Ώ 3 π‘₯ 8 π‘₯ + 4 βˆ’ 7 π‘₯ ( 2 π‘₯ + 7 )  .

  • A 0
  • B 4 5 1 9 6
  • C ∞
  • D βˆ’ 1 1 8

Q5:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 2 βˆ’ 3 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + 8 .

  • A βˆ’ 3 8
  • B ∞
  • C 0
  • D 3 4

Q6:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 4 3 2 4 3 2 3 π‘₯ βˆ’ π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 3 π‘₯ + 2 π‘₯ βˆ’ 8 π‘₯ βˆ’ π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ βˆ’ 8 .

  • A ∞
  • B βˆ’ 3
  • C βˆ’ ∞
  • D3

Q7:

Find l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 2 3 9 βˆ’ 8 π‘₯ + 6 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ .

  • A9
  • B βˆ’ ∞
  • C βˆ’ 2
  • D ∞
  • E5

Q8:

Consider the polynomial 𝑓 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 9 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 1 1 4 3 2 .

Which of the following is equal to l i m π‘₯ β†’ ∞ 𝑓 ( π‘₯ ) ?

  • A βˆ’ π‘₯ l i m π‘₯ β†’ ∞
  • B l i m π‘₯ β†’ ∞ 1 1
  • C βˆ’ 2 π‘₯ l i m π‘₯ β†’ ∞ 2
  • D 5 π‘₯ l i m π‘₯ β†’ ∞ 4

Hence, find l i m π‘₯ β†’ ∞ 𝑓 ( π‘₯ ) .

  • A ∞
  • B5
  • C βˆ’ ∞
  • D11
  • E βˆ’ 2

Q9:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 3 2 7 π‘₯ + 8 π‘₯ + 4 5 π‘₯ + 3 π‘₯ .

Q10:

Consider the rational function 𝑓 ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ βˆ’ 8 π‘₯ 9 βˆ’ 2 π‘₯ 2 2 .

Which of the following is equal to l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 𝑓 ( π‘₯ ) ?

  • A 3 βˆ’ 8 9 βˆ’ 2 l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯ 2
  • B 3 + 8 9 + 2 l i m l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯ π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯ 2
  • C 3 βˆ’ 8 9 + 2 l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯ 2
  • D 3 βˆ’ 8 9 βˆ’ 2 l i m l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯ π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯ 2
  • E 3 βˆ’ 8 9 βˆ’ 2 l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 1 π‘₯

Find l i m π‘₯ β†’ βˆ’ ∞ 𝑓 ( π‘₯ ) .

  • A βˆ’ 3 2
  • B βˆ’ 5 2
  • C 5 2
  • D 3 2
  • E βˆ’ 5 7

Q11:

Find the limit of the sequence whose terms are given by .

  • AThe limit is .
  • BThere is no limit; the sequence tends to .
  • CThe limit is 4.
  • DThere is no limit; the sequence tends to .
  • EThe limit is 2.

Q12:

Consider the sequence ( π‘Ž )  ∞    given by π‘Ž = 2 𝑛 + 3 5 𝑛 + 6 𝑛   οŠͺ  .

State the first 5 terms of the sequence. If necessary, round your answers to 3 decimal places.

  • A0, 0.455, 0.183, 0.124, 0.095
  • B0.205, 0.17, 0.159, 0.153, 0.15
  • C0, 0.205, 0.17, 0.159, 0.153
  • D0.455, 0.183, 0.124, 0.095, 0.077
  • E0.455, 0.318, 0.273, 0.25, 0.236

Find the limit of the sequence, if it exists.

Q13:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ βˆ’ 4 βˆ’ 3 βˆ’ 2 βˆ’ 1 βˆ’ 4 βˆ’ 3 βˆ’ 2 βˆ’ 1 βˆ’ 2 π‘₯ + 8 π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 9 π‘₯ βˆ’ 4 2 π‘₯ βˆ’ 6 π‘₯ + 7 π‘₯ + 6 π‘₯ + 3 .

  • A ∞
  • B 4 3
  • C βˆ’ ∞
  • D βˆ’ 4 3

Q14:

Determine l i m π‘₯ β†’ ∞ 3 2 2 ( βˆ’ 5 π‘₯ + 4 ) ( 2 π‘₯ + 4 ) ( π‘₯ + 2 ) ( 5 π‘₯ + 1 ) .

  • A0
  • B βˆ’ 2
  • C ∞
  • D βˆ’ 8 5
  • E βˆ’ ∞

Q15:

Determine l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 2 2 2 ο€Ή 5 π‘₯ + 3  ( π‘₯ βˆ’ 5 ) ( 4 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ ) , if it exists.

  • A The limit does not exist.
  • B0
  • C25
  • D 2 5 4
  • E 5 4

Q16:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 π‘₯ ο€» √ 3 6 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 βˆ’ 3 π‘₯  .

  • A0
  • B βˆ’ ∞
  • C3
  • D ∞

Q17:

Determine l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 2 ο€» √ 6 4 π‘₯ + 3 π‘₯ + 4 βˆ’ √ 4 π‘₯ + 2 π‘₯  .

  • A 1 1 0
  • B βˆ’ ∞
  • C ∞

Q18:

Find l i m 𝑛 β†’ ∞ 5 5 5 5 𝑛  ο€Ό π‘Ž + 1 𝑛  βˆ’ π‘Ž  .

  • A π‘Ž 5
  • B 5 π‘Ž 5
  • C 4 π‘Ž 5
  • D 5 π‘Ž 4

Q19:

Find the values of π‘Ž and 𝑏 , given that l i m  β†’ ∞ 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 and l i m  β†’  𝑓 ( π‘₯ ) = 5 , where 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘Ž π‘₯ βˆ’ 5 4 𝑏 π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 4   .

  • A π‘Ž = βˆ’ 1 6 , 𝑏 = 2
  • B π‘Ž = βˆ’ 1 8 , 𝑏 = 2
  • C π‘Ž = βˆ’ 4 , 𝑏 = βˆ’ 1 6
  • D π‘Ž = βˆ’ 4 , 𝑏 = 2
  • E π‘Ž = βˆ’ 1 6 , 𝑏 = βˆ’ 1 6

Q20:

Determine l i m π‘₯ β†’ ∞ 3 2 3 2 π‘₯ βˆ’ π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ + 2 ( βˆ’ 2 π‘₯ + 5 ) .

  • A βˆ’ ∞
  • B ∞
  • C βˆ’ 1
  • D βˆ’ 1 4

Q21:

Determine l i m π‘₯ β†’ ∞ 8 π‘₯ + 7 6 | π‘₯ | βˆ’ 2 .

  • A βˆ’ ∞
  • B ∞
  • C0
  • D 4 3
  • E βˆ’ 7 2

Q22:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 2 2 ο€Ύ 4 π‘₯ βˆ’ 3 βˆ’ 6 π‘₯ + 3 + 8 π‘₯ βˆ’ 7 π‘₯ + 3 βˆ’ 9 π‘₯ + 5 π‘₯ + 5  .

  • A βˆ’ ∞
  • B ∞
  • C βˆ’ 2 3
  • D βˆ’ 1 4 9
  • E βˆ’ 8 9

Q23:

If 𝑓 ( π‘₯ ) is a polynomial function of a fifth degrees, and 𝑔 ( π‘₯ ) is a polynomial function of a fourth degrees, find l i m  β†’ ∞  𝑔 ( π‘₯ ) 4 π‘₯ 𝑓 ( π‘₯ ) .

  • Areal number β‰  0
  • B Β± ∞
  • Chas no limit
  • Dzero

Q24:

Find l i m π‘₯ β†’ ∞ 4 4 ο€Ύ 3 π‘₯ 5 π‘₯ βˆ’ 3 + 2 √ 6  π‘₯ .

  • A 5
  • B 3 5
  • C 2
  • D 1 3 5

Q25:

Find the values of π‘Ž and 𝑏 , given that l i m π‘₯ β†’ ∞ 5 6 5 4 5 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ + 3 ( π‘Ž + 4 ) π‘₯ + ( 1 βˆ’ 𝑏 ) π‘₯ + 5 π‘₯ = ∞ .

  • A π‘Ž = βˆ’ 4 , 𝑏 = βˆ’ 1
  • B π‘Ž = 4 , 𝑏 = βˆ’ 1
  • C π‘Ž = 4 , 𝑏 = 1
  • D π‘Ž = βˆ’ 4 , 𝑏 = 1

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