Worksheet: De Moivre's Theorem

In this worksheet, we will practice finding powers and roots of complex numbers using De Moivre's theorem to simplify calculations of powers and roots.

Q1:

What is ( 1 โˆ’ 2 ๐‘– ) ๏Šช ?

  • A 4 โˆ’ 8 ๐‘–
  • B โˆ’ 3 โˆ’ 4 ๐‘–
  • C 5 + 1 0 ๐‘–
  • D โˆ’ 7 + 2 4 ๐‘–
  • E 1 โˆ’ 2 ๐‘–

Q2:

Use De Moivreโ€™s theorem to find the two square roots of 9 ๏€ผ 2 ๐œ‹ 3 + ๐‘– 2 ๐œ‹ 3 ๏ˆ c o s s i n .

  • A ๏ฌ โˆ’ 1 2 โˆ’ 1 2 ๐‘– , 1 2 + 1 2 ๐‘– ๏ธ
  • B { โˆ’ 3 , 3 }
  • C ๏ฏ 3 2 + 3 โˆš 3 2 ๐‘– , โˆ’ 3 2 โˆ’ 3 โˆš 3 2 ๐‘– ๏ป
  • D ๏ฏ โˆš 3 2 โˆ’ 1 2 ๐‘– , โˆ’ โˆš 3 2 + 1 2 ๐‘– ๏ป
  • E ๏ฏ 3 2 + 3 โˆš 3 2 ๐‘– , โˆ’ 3 2 + 3 โˆš 3 2 ๐‘– ๏ป

Q3:

If ๐‘ = ๐‘Ÿ ( ๐œƒ + ๐‘– ๐œƒ ) c o s s i n , what is ๐‘ ๏Š ?

  • A ๐‘Ÿ ( ๐‘› ๐œƒ + ๐‘– ๐‘› ๐œƒ ) ๏Š c o s s i n
  • B ๐‘Ÿ ( ๐œƒ + ๐‘– ๐œƒ ) ๏Š c o s s i n
  • C ๐‘Ÿ ( ๐‘› ๐œƒ + ๐‘– ๐‘› ๐œƒ ) c o s s i n
  • D ๐‘Ÿ ๏€ฝ ๐œƒ ๐‘› + ๐‘– ๐œƒ ๐‘› ๏‰ c o s s i n

Q4:

What is ( 1 + ๐‘– ) ๏Šง ๏Šฆ ?

  • A 3 2 ๐‘–
  • B2
  • C 2 + 2 ๐‘–
  • D 1 0 ๐‘–
  • E 1 + ๐‘–

Q5:

What is ( โˆ’ 1 โˆ’ 3 ๐‘– ) ๏Šช ?

  • A โˆ’ 1 โˆ’ 3 ๐‘–
  • B โˆ’ 4 โˆ’ 1 2 ๐‘–
  • C 2 8 โˆ’ 9 6 ๐‘–
  • D โˆ’ 1 0 + 3 0 ๐‘–
  • E โˆ’ 8 + 6 ๐‘–

Q6:

Use De Moivreโ€™s theorem to find the two square roots of c o s s i n ๐œ‹ 3 + ๐‘– ๐œ‹ 3 .

  • A { ๐‘– , โˆ’ ๐‘– }
  • B ๏ฏ โˆš 3 2 + 1 2 ๐‘– , โˆ’ โˆš 3 2 โˆ’ 1 2 ๐‘– ๏ป
  • C ๏ฏ โˆš 3 2 + 1 2 ๐‘– , ๐‘– ๏ป
  • D ๏ฌ 1 2 + โˆš 2 ๐‘– , โˆ’ 1 2 โˆ’ โˆš 2 ๐‘– ๏ธ
  • E ๏ฏ 1 2 โˆ’ โˆš 3 2 ๐‘– , โˆ’ 1 2 + โˆš 3 2 ๐‘– ๏ป

Q7:

Use De Moivreโ€™s theorem to find the two square roots of 9 ๏€ป ๐œ‹ 3 + ๐‘– ๐œ‹ 3 ๏‡ c o s s i n .

  • A ๏ฏ 3 โˆš 3 2 + 3 2 ๐‘– , 3 ๐‘– ๏ป
  • B { 3 ๐‘– , โˆ’ 3 ๐‘– }
  • C { โˆ’ 1 , 1 }
  • D ๏ฌ 1 2 + โˆš 2 ๐‘– , โˆ’ 1 2 โˆ’ โˆš 2 ๐‘– ๏ธ
  • E ๏ฏ 3 โˆš 3 2 + 3 2 ๐‘– , โˆ’ 3 โˆš 3 2 โˆ’ 3 2 ๐‘– ๏ป

Q8:

What is ( โˆ’ 1 + ๐‘– ) ๏Šฎ ?

  • A โˆ’ 1 + ๐‘–
  • B โˆ’ 8 + 8 ๐‘–
  • C2
  • D โˆ’ 8 ๐‘–
  • E16

Q9:

Given that ๐‘ฅ + ๐‘ฆ ๐‘– = ๏€ผ 1 โˆ’ 1 ๐‘– ๏ˆ ๏Šฌ , where ๐‘ฅ and ๐‘ฆ are real numbers, determine the value of ๐‘ฅ and the value of ๐‘ฆ .

  • A ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฆ = 8
  • B ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฆ = โˆ’ 8
  • C ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฆ = โˆ’ 2
  • D ๐‘ฅ = 0 , ๐‘ฆ = 2

Q10:

Simplify 1 8 ( โˆ’ ๐‘– + 1 ) ( ๐‘– + 1 ) ๏Šฉ ๏Šฏ ๏Šช ๏Šง .

  • A9
  • B โˆ’ 9
  • C 9 ๐‘–
  • D โˆ’ 9 ๐‘–

Q11:

Consider the complex number ๐‘ง = 3 โˆ’ ๐‘– .

Find the modulus of ๐‘ง .

  • A โˆš 8
  • B โˆš 2
  • C โˆš 1 0
  • D1
  • E3

Hence, find the modulus of ๐‘ง ๏Šซ .

  • A10
  • B 1 0 โˆš 1 0
  • C243
  • D 1 0 0 โˆš 1 0
  • E โˆš 1 0

Q12:

Determine, in trigonometric form, the square roots of ๏€ฝ โˆ’ 5 โˆ’ 5 ๐‘– โˆ’ 5 + 5 ๐‘– ๏‰ ๏Šฏ .

  • A ๏€ผ ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ + ๐‘– ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏ˆ c o s s i n , ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • B ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n , ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • C ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n , ๏€ผ ๏€ผ โˆ’ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ + ๐‘– ๏€ผ โˆ’ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏ˆ c o s s i n
  • D ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 4 ๏‡ ๏‡ c o s s i n , ๏€ผ ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ + ๐‘– ๏€ผ 3 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏ˆ c o s s i n

Q13:

Simplify ( โˆ’ 1 โˆ’ ๐‘– ) ๏Šฌ , giving your answer in trigonometric form.

  • A โˆ’ 8 ( 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • B 8 ( 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • C 8 ( 9 0 + ๐‘– 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • D 8 ( 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ) s i n c o s โˆ˜ โˆ˜
  • E 8 ( 1 8 0 + ๐‘– 1 8 0 ) s i n c o s โˆ˜ โˆ˜

Q14:

Consider the complex number ๐‘ง = 1 + โˆš 3 ๐‘– .

Find the modulus of ๐‘ง .

Find the argument of ๐‘ง .

  • A 2 ๐œ‹ 3
  • B ๐œ‹ 3
  • C โˆš 1 0
  • D2
  • E ๐œ‹ 6

Hence, use the properties of multiplication of complex numbers in polar form to find the modulus and argument of ๐‘ง ๏Šฉ .

  • Amodulus = โˆš 1 0 , argument = ๐œ‹ 2
  • Bmodulus = โˆš 1 0 , argument = ๐œ‹
  • Cmodulus = 8, argument = ๐œ‹
  • Dmodulus = 8, argument = ๐œ‹ 2
  • Emodulus = โˆš 3 , argument= ๐œ‹

Hence, find the value of ๐‘ง ๏Šฉ .

Q15:

Given that ๐‘ง = 7 ( 3 1 5 + ๐‘– 3 1 5 ) s i n c o s โˆ˜ โˆ˜ , find ๐‘ง ๏Šจ , giving your answer in exponential form.

  • A 7 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • B 4 9 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • C 1 4 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • D 4 9 ๐‘’ ๏Žฆ ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • E 4 9 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ

Q16:

Given that ๐‘ง = 3 โˆš 2 ( 2 2 5 โˆ’ ๐‘– 2 2 5 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , find ๐‘ง ๏Šจ , giving your answer in exponential form.

  • A 1 8 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • B 6 โˆš 2 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • C 1 8 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • D 3 โˆš 2 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ

Q17:

If ๐‘ง = 6 ( 2 2 5 + ๐‘– 2 2 5 ) ๏Šง โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , ๐‘ง = 9 0 + ๐‘– 9 0 ๏Šจ โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , and ๐‘ง = 2 7 0 + ๐‘– 2 7 0 ๏Šฉ โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , what is the exponential form of ( ๐‘ง ๐‘ง ๐‘ง ) ๏Šง ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šจ ?

  • A 3 6 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • B 6 ๐‘’ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • C 3 6 ๐‘’ ๏Žข ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ
  • D 3 6 ๐‘’ ๏Žค ๏‘ฝ ๏Žฃ ๏ƒ
  • E 6 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žก ๏ƒ

Q18:

Given that ๐‘ง = 2 โˆš 3 ( 2 4 0 + ๐‘– 2 4 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , find ๐‘ง ๏Šจ in exponential form.

  • A ๐‘ง = 1 2 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žฆ ๏‘ฝ ๏Žฅ
  • B ๐‘ง = 2 โˆš 3 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข
  • C ๐‘ง = 1 2 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žฃ ๏‘ฝ ๏Žข
  • D ๐‘ง = 1 2 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข
  • E ๐‘ง = 4 โˆš 3 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Žก ๏‘ฝ ๏Žข

Q19:

Find the possible values of ๏€ฟ โˆ’ 2 7 โˆš 3 2 โˆ’ 2 7 ๐‘– 2 ๏‹ ๏Žฃ ๏Žข , giving your answers in trigonometric form.

  • A 2 7 ( 7 0 + ๐‘– 7 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 2 7 ( 1 9 0 + ๐‘– 1 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 2 7 ( 3 1 0 + ๐‘– 3 1 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • B 2 7 ( 1 2 0 + ๐‘– 1 2 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 2 7 ( 1 9 0 + ๐‘– 1 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 2 7 ( 3 1 0 + ๐‘– 3 1 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • C 8 1 ( 1 2 0 + ๐‘– 1 2 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 8 1 ( 1 9 0 + ๐‘– 1 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 8 1 ( 3 1 0 + ๐‘– 3 1 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • D 8 1 ( 7 0 + ๐‘– 7 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 8 1 ( 1 9 0 + ๐‘– 1 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , 8 1 ( 3 1 0 + ๐‘– 3 1 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜

Q20:

If ๐‘ง = 3 ( 4 5 + ๐‘– 4 5 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜ , what is ๐‘ง ๏Šจ ?

  • A 6 ( 9 0 + ๐‘– 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • B 3 ๏€บ 4 5 + ๐‘– 4 5 ๏† c o s s i n ๏Šจ โˆ˜ ๏Šจ โˆ˜
  • C 9 ( 9 0 + ๐‘– 9 0 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • D 9 ( 4 5 + ๐‘– 4 5 ) c o s s i n โˆ˜ โˆ˜
  • E 6 ๏€บ 4 5 + ๐‘– 4 5 ๏† c o s s i n ๏Šจ โˆ˜ ๏Šจ โˆ˜

Q21:

Given that ๐‘ง = โˆš 3 2 โˆ’ 3 2 ๐‘– , find ๐‘ง ๏Šซ , giving your answer in exponential form.

  • A 9 โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • B 9 โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • C 5 โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • D โˆš 3 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ

Q22:

Given that ๐‘ง = 8 ( 2 4 0 + ๐‘– 2 4 0 ) ๏Šง โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , ๐‘ง = 4 ๏€ผ 5 ๐œ‹ 4 + ๐‘– 5 ๐œ‹ 4 ๏ˆ ๏Šจ c o s s i n , and ๐‘ง = 8 ( 4 5 + ๐‘– 4 5 ) ๏Šฉ โˆ˜ โˆ˜ c o s s i n , find ๐‘ง ๐‘ง ๐‘ง ๏Šง ๏Šฌ ๏Šจ ๏Šช ๏Šฉ , giving your answer in exponential form.

  • A 8 ๐‘’ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • B 8 ๐‘’ ๏‘ฝ ๏Žข ๏ƒ
  • C 3 2 , 7 6 8 ๐‘’ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • D 4 ๐‘’ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ
  • E 8 ๐‘’ ๏Žค ๏‘ฝ ๏Žฅ ๏ƒ

Q23:

Given that ๐‘ = 8 ๏€ผ ๏€ผ 1 9 ๐œ‹ 1 2 ๏ˆ โˆ’ ๐‘– ๏€ผ 1 9 ๐œ‹ 1 2 ๏ˆ ๏ˆ ๏Šง ๏Šจ c o s s i n and ๐‘ = 3 ๐‘’ ๏Šจ ๏ƒ ๏Ž  ๏Ž  ๏‘ฝ ๏Žฅ , where ๐‘– = โˆ’ 1 ๏Šจ , express ๐‘ = ๐‘ ๐‘ ๏Šง ๏Šจ ๏Šจ in trigonometric form.

  • A ๐‘ = 7 2 ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • B ๐‘ = ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • C ๐‘ = 7 2 ๏€ป ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป โˆ’ ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n
  • D ๐‘ = ๏€ป ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ + ๐‘– ๏€ป ๐œ‹ 2 ๏‡ ๏‡ c o s s i n

Q24:

Given that ๐‘ = ๏€ป โˆš 3 โˆ’ ๐‘– ๏‡ ๏Š and | ๐‘ | = 3 2 , determine the principal amplitude of ๐‘ .

  • A ๐œ‹ 2
  • B โˆ’ 5 ๐œ‹ 6
  • C ๐œ‹ 6
  • D ๐œ‹ 3

Q25:

Given that ๐‘ = โˆ’ 3 0 + 3 0 ๐‘– , determine the principal amplitude of ๐‘ ๏Šซ .

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.