Worksheet: Linear Homogeneous Differential Equations with Constant Coefficients

In this worksheet, we will practice solving second- and higher-order linear homogeneous differential equations with constant coefficients.

Q1:

Consider the differential equation đ‘Ļ′+đ‘Ļ=0. Suppose that a student determined the solution to be đ‘Ļ=𝑒ī—. Based upon this information, is the student correct?

  • ANo, the student should have determined the solution to be đ‘Ļ=𝑒īŠąī—.
  • BNo, the student should have determined the solution to be đ‘Ļ=−𝑒ī—.
  • CNo, the student should have determined that there is no solution.
  • DYes, the student did not make any errors.

Q2:

Find the general solution for the following higher-order differential equation: đ‘Ļ′′′+9đ‘Ļ′′+27đ‘Ļ′+27đ‘Ļ=0.

  • A đ‘Ļ = 𝑐 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 īŠ§ īŠą ī— īŠ¨ īŠą īŠ¨ ī— īŠŠ īŠ¨ īŠą īŠŠ ī—
  • B đ‘Ļ = 𝑐 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 īŠ§ īŠą īŠŠ ī— īŠ¨ īŠą īŠŠ ī— īŠŠ īŠ¨ īŠą īŠŠ ī—
  • C đ‘Ļ = 𝑐 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 īŠ§ īŠ¨ īŠą ī— īŠŠ īŠ¨ īŠą īŠ¨ ī—
  • D đ‘Ļ = 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 īŠ§ īŠą īŠŠ ī— īŠ¨ īŠ¨ īŠą īŠŠ ī— īŠŠ īŠŠ īŠą īŠŠ ī—

Q3:

Find the general solution for the following homogeneous ordinary differential equation with constant coefficients: đ‘Ļ−2đ‘Ļ+đ‘Ļ=0īŽ˜īŽ˜īŽ˜.

  • A đ‘Ļ = 𝑐 𝑒 + 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 īŠ§ ī— īŠ¨ īŠą ī—
  • B đ‘Ļ = ( 𝑐 đ‘Ĩ + 𝑐 ) 𝑒 īŠ§ īŠ¨ īŠą ī—
  • C đ‘Ļ = 𝑐 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑐 𝑒 īŠ§ ī— īŠ¨ īŠą ī—
  • D đ‘Ļ = ( 𝑐 đ‘Ĩ + 𝑐 ) 𝑒 īŠ§ īŠ¨ ī—

Q4:

Apply the superposition principle to find the solution for đ‘Ļ′′−đ‘Ļ=0.

  • A đ‘Ļ = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 īŠ§ ī— īŠ¨ īŠą ī—
  • B đ‘Ļ = 𝑐 đ‘Ĩ + 𝑐 √ đ‘Ĩ īŠ§ īŠ¨
  • C đ‘Ļ = 𝑐 đ‘Ĩ + 𝑐 đ‘Ĩ īŠ§ īŠ¨ s i n c o s
  • D đ‘Ļ = 𝑐 ( đ‘Ĩ ) + 𝑐 đ‘Ĩ īŠ§ īŠ¨ l n c o s

Q5:

Find a particular solution for đ‘Ļ=đ‘Ļ′′ which passes through the origin and through the point ī€ŧ(2),34īˆln.

  • A đ‘Ļ = ( đ‘Ĩ ) c o s īŠą īŠ§
  • B đ‘Ļ = ( đ‘Ĩ ) c o s h
  • C đ‘Ļ = ( đ‘Ĩ ) s i n h
  • D đ‘Ļ = ( đ‘Ĩ ) s i n īŠą īŠ§

Q6:

Suppose there are differentiable functions đļ and 𝑆, defined for all real numbers and satisfying đļ=𝑆īŽ˜ and 𝑆=đļīŽ˜.

From the derivatives, what can you deduce about đļ−𝑆īŠ¨īŠ¨?

  • A đļ − 𝑆 īŠ¨ īŠ¨ is a constant function.
  • B đļ − 𝑆 īŠ¨ īŠ¨ is an exponential function.
  • C đļ − 𝑆 īŠ¨ īŠ¨ is a hyperbolic function.
  • D đļ − 𝑆 īŠ¨ īŠ¨ always equals 0.
  • E đļ − 𝑆 īŠ¨ īŠ¨ is a trigonometric function.

It is known that every function that satisfies đ‘Ļ′′=đ‘Ļ is a combination 𝑎𝑒+𝑏𝑒ī—īŠąī— for some constants 𝑎 and 𝑏. Find all functions đļ satisfying đļ(0)=5 and đļ−𝑆=24īŠ¨īŠ¨, where 𝑆=đļ′.

  • A đļ ( đ‘Ĩ ) = 2 𝑒 − 3 𝑒 ī— īŠą ī— and đļ(đ‘Ĩ)=−3𝑒+2𝑒ī—īŠąī—
  • B đļ ( đ‘Ĩ ) = − 2 𝑒 − 3 𝑒 ī— īŠą ī— and đļ(đ‘Ĩ)=−3𝑒−2𝑒ī—īŠąī—
  • C đļ ( đ‘Ĩ ) = − 2 𝑒 + 3 𝑒 ī— īŠą ī— and đļ(đ‘Ĩ)=3𝑒−2𝑒ī—īŠąī—
  • D đļ ( đ‘Ĩ ) = 2 𝑒 + 3 𝑒 ī— īŠą ī— and đļ(đ‘Ĩ)=3𝑒+2𝑒ī—īŠąī—
  • E đļ ( đ‘Ĩ ) = 5 𝑒 + 5 𝑒 ī— īŠą ī— and đļ(đ‘Ĩ)=−5𝑒−5𝑒ī—īŠąī—

Sketching graphs of the functions above suggest that đļ(đ‘Ĩ)=𝐴(đ‘Ĩ−𝑘)cosh for some constants 𝐴 and 𝑘. Find these constants, where 𝑘>0.

  • A 𝐴 = 2 √ 6 , 𝑘 = 3 2 l n
  • B 𝐴 = 2 √ 6 , 𝑘 = 3 − 2 2 l n l n
  • C 𝐴 = 5 , 𝑘 = 3 2 l n
  • D 𝐴 = 5 , 𝑘 = 2 2 l n
  • E 𝐴 = 5 , 𝑘 = 3 − 2 2 l n l n

Q7:

Find the particular solution for the following homogeneous differential equation: đ‘Ļ−81đ‘Ļ=0(īŠĒ) where đ‘Ļ(0)=4, đ‘Ļ′(0)=12, đ‘Ļ′′(0)=−18 and đ‘Ļ′′′(0)=−162.

  • A đ‘Ļ = 𝑒 + 3 ( 3 đ‘Ĩ ) + 5 ( 3 đ‘Ĩ ) īŠą īŠŠ ī— c o s s i n
  • B đ‘Ļ = 𝑒 + 5 ( 3 đ‘Ĩ ) + 3 ( 3 đ‘Ĩ ) īŠŠ ī— c o s s i n
  • C đ‘Ļ = 𝑒 + 5 ( 3 đ‘Ĩ ) + 3 ( 3 đ‘Ĩ ) īŠą īŠŠ ī— c o s s i n
  • D đ‘Ļ = 𝑒 + 3 ( 3 đ‘Ĩ ) + 5 ( 3 đ‘Ĩ ) īŠŠ ī— c o s s i n

Q8:

Find the solution for the following second-order ordinary differential equation: đ‘Ļ′′+4đ‘Ļ′+5đ‘Ļ=0, where đ‘Ļ(0)=1 and đ‘Ļ′(0)=−1.

  • A đ‘Ļ = 𝑒 ( đ‘Ĩ ) + 𝑒 ( đ‘Ĩ ) īŠą īŠ¨ ī— īŠ¨ ī— c o s s i n
  • B đ‘Ļ = 𝑒 ( 2 đ‘Ĩ ) + 𝑒 ( 2 đ‘Ĩ ) ī— ī— c o s s i n
  • C đ‘Ļ = 𝑒 ( đ‘Ĩ ) + 𝑒 ( đ‘Ĩ ) īŠ¨ ī— īŠ¨ ī— c o s s i n
  • D đ‘Ļ = 𝑒 ( đ‘Ĩ ) + 𝑒 ( đ‘Ĩ ) īŠą īŠ¨ ī— īŠą īŠ¨ ī— c o s s i n

Q9:

Solve the following differential equation under the conditions đ‘Ļ(0)=1 and đ‘Ļ(0)=0īŽ˜: 2đ‘Ļđ‘Ĩ+2đ‘Ļđ‘Ĩ+đ‘Ļ=0.ddddīŠ¨īŠ¨

  • A đ‘Ļ = 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ + 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ īŠą īŠą ī‘ īŽĄ ī‘ īŽĄ c o s s i n
  • B đ‘Ļ = 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ + 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ īŠą ī‘ īŽĄ ī‘ īŽĄ c o s s i n
  • C đ‘Ļ = 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ + 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ ī‘ īŽĄ ī‘ īŽĄ c o s s i n īŠą
  • D đ‘Ļ = 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ + 𝑒 ī€ģ đ‘Ĩ 2 ī‡ ī‘ īŽĄ ī‘ īŽĄ c o s s i n

Q10:

Solve the following differential equation under the conditions đ‘Ļ(0)=1 and đ‘Ļ′(0)=1: ddīŠ¨īŠ¨đ‘Ļđ‘Ĩ+4đ‘Ļ=0.

  • A đ‘Ļ = ( 2 đ‘Ĩ ) + 1 2 ( 2 đ‘Ĩ ) s i n c o s
  • B đ‘Ļ = ( đ‘Ĩ ) + 1 2 ( đ‘Ĩ ) c o s s i n
  • C đ‘Ļ = ( 2 đ‘Ĩ ) + 1 2 ( 2 đ‘Ĩ ) c o s s i n
  • D đ‘Ļ = ( đ‘Ĩ ) + 1 2 ( đ‘Ĩ ) s i n c o s

Q11:

Solve the following differential equation under the conditions đ‘Ļ(0)=4 and đ‘Ļ′(0)=4: ddddīŠ¨īŠ¨đ‘Ļđ‘Ĩ+6đ‘Ļđ‘Ĩ+9đ‘Ļ=0.

  • A đ‘Ļ = 1 6 đ‘Ĩ 𝑒 + 4 𝑒 īŠŠ ī— īŠą īŠŠ ī—
  • B đ‘Ļ = 1 6 đ‘Ĩ 4 𝑒 + 𝑒 īŠą īŠŠ ī— īŠŠ ī—
  • C đ‘Ļ = 1 6 đ‘Ĩ 𝑒 + 𝑒 īŠŠ ī— īŠŠ ī—
  • D đ‘Ļ = 1 6 đ‘Ĩ 4 𝑒 + 4 𝑒 īŠą īŠŠ ī— īŠą īŠŠ ī—

Q12:

Solve the fourth-order differential equation đ‘Ļ−đ‘Ļ=0(īŠĒ) under the conditions đ‘Ļ(0)=3, đ‘Ļ′(0)=1, đ‘Ļ′′(0)=−1, and đ‘Ļ′′′(0)=−3.

  • A đ‘Ļ = 𝑒 + 2 ( đ‘Ĩ ) + 2 ( đ‘Ĩ ) ī— c o s s i n
  • B đ‘Ļ = 𝑒 − 2 ( đ‘Ĩ ) + 2 ( đ‘Ĩ ) ī— c o s s i n
  • C đ‘Ļ = 𝑒 + 2 ( đ‘Ĩ ) + 2 ( đ‘Ĩ ) īŠą ī— c o s s i n
  • D đ‘Ļ = 𝑒 + 2 ( đ‘Ĩ ) − 2 ( đ‘Ĩ ) īŠą ī— c o s s i n

Q13:

The functions đ‘Ļ=𝑒īŠ§ī—, đ‘Ļ=𝑒īŠ¨īŠąī—, and đ‘Ļ=𝑒īŠŠīŠąīŠ¨ī— are three linearly independent solutions of the differential equation đ‘Ļ+2đ‘Ļ′′−đ‘Ļ′−2đ‘Ļ=0(īŠŠ). Find a particular solution satisfying the initial conditions đ‘Ļ(0)=1, đ‘Ļ′(0)=2, and đ‘Ļ′′(0)=0.

  • A đ‘Ļ = 4 3 𝑒 − 1 3 𝑒 ī— īŠą ī—
  • B đ‘Ļ = 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒 ī— īŠą īŠ¨ ī—
  • C đ‘Ļ = 4 3 𝑒 − 1 3 𝑒 ī— īŠą īŠ¨ ī—
  • D đ‘Ļ = 𝑒 + 𝑒 − 𝑒 ī— īŠą ī— īŠą īŠ¨ ī—
  • E đ‘Ļ = 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒 ī— īŠą ī—

Q14:

The functions đ‘Ļ=𝑒īŠ§ī—, đ‘Ļ=𝑒īŠ¨īŠ¨ī—, and đ‘Ļ=𝑒īŠŠīŠŠī— are three linearly independent solutions of the differential equation đ‘Ļ−6đ‘Ļ′′+11đ‘Ļ′−6đ‘Ļ=0(īŠŠ). Find a particular solution satisfying the initial conditions đ‘Ļ(0)=0, đ‘Ļ′(0)=0, and đ‘Ļ′′(0)=3.

  • A đ‘Ļ = 3 2 𝑒 − 3 𝑒 + 3 2 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠŠ ī—
  • B đ‘Ļ = − 3 4 𝑒 + 3 2 𝑒 − 3 4 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠŠ ī—
  • C đ‘Ļ = 1 2 𝑒 − 𝑒 + 1 2 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠŠ ī—
  • D đ‘Ļ = − 3 𝑒 + 3 𝑒 ī— īŠ¨ ī—
  • E đ‘Ļ = − 𝑒 + 𝑒 ī— īŠ¨ ī—

Q15:

The functions đ‘Ļ=𝑒īŠ§ī—, đ‘Ļ=đ‘Ĩ𝑒īŠ¨ī—, and đ‘Ļ=đ‘Ĩ𝑒īŠŠīŠ¨ī— are three linearly independent solutions of the differential equation đ‘Ļ−3đ‘Ļ′′+3đ‘Ļ′−đ‘Ļ=0(īŠŠ). Find a particular solution satisfying the initial conditions đ‘Ļ(0)=2, đ‘Ļ′(0)=0, and đ‘Ļ′′(0)=0.

  • A đ‘Ļ = 2 𝑒 + 2 đ‘Ĩ 𝑒 + đ‘Ĩ 𝑒 ī— ī— īŠ¨ ī—
  • B đ‘Ļ = 2 𝑒 − 2 đ‘Ĩ 𝑒 + đ‘Ĩ 𝑒 ī— ī— īŠ¨ ī—
  • C đ‘Ļ = 2 𝑒 − 2 đ‘Ĩ 𝑒 − đ‘Ĩ 𝑒 ī— ī— īŠ¨ ī—
  • D đ‘Ļ = − 2 𝑒 + 2 đ‘Ĩ 𝑒 − đ‘Ĩ 𝑒 ī— ī— īŠ¨ ī—
  • E đ‘Ļ = 2 𝑒 + 2 đ‘Ĩ 𝑒 − đ‘Ĩ 𝑒 ī— ī— īŠ¨ ī—

Q16:

The functions đ‘Ļ=𝑒īŠ§ī—, đ‘Ļ=𝑒īŠ¨īŠ¨ī—, and đ‘Ļ=đ‘Ĩ𝑒īŠŠīŠ¨ī— are three linearly independent solutions of the differential equation đ‘Ļ−5đ‘Ļ+8đ‘Ļ−4đ‘Ļ=0(īŠŠ)īŽ˜īŽ˜īŽ˜. Find a particular solution satisfying the initial conditions đ‘Ļ(0)=1, đ‘Ļ(0)=4īŽ˜, and đ‘Ļ(0)=0īŽ˜īŽ˜.

  • A đ‘Ļ = 1 2 𝑒 + 1 3 𝑒 − 1 0 đ‘Ĩ 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠ¨ ī—
  • B đ‘Ļ = 1 2 𝑒 − 1 3 𝑒 + 1 0 đ‘Ĩ 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠ¨ ī—
  • C đ‘Ļ = − 1 2 𝑒 + 1 3 𝑒 − 1 0 đ‘Ĩ 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠ¨ ī—
  • D đ‘Ļ = − 1 2 𝑒 − 1 3 𝑒 − 1 0 đ‘Ĩ 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠ¨ ī—
  • E đ‘Ļ = − 1 2 𝑒 + 1 3 𝑒 + 1 0 đ‘Ĩ 𝑒 ī— īŠ¨ ī— īŠ¨ ī—

Q17:

The functions đ‘Ļ=1īŠ§, đ‘Ļ=3đ‘ĨīŠ¨cos, and đ‘Ļ=3đ‘ĨīŠŠsin are three linearly independent solutions of the differential equation đ‘Ļ+9đ‘Ļ′=0(īŠŠ). Find a particular solution satisfying the initial conditions đ‘Ļ(0)=3, đ‘Ļ′(0)=−1, and đ‘Ļ′′(0)=2.

  • A đ‘Ļ = 2 9 9 − 2 9 3 đ‘Ĩ − 1 3 3 đ‘Ĩ c o s s i n
  • B đ‘Ļ = 2 9 9 + 2 9 3 đ‘Ĩ − 1 3 3 đ‘Ĩ c o s s i n
  • C đ‘Ļ = 2 9 9 + 2 9 3 đ‘Ĩ + 1 3 3 đ‘Ĩ c o s s i n
  • D đ‘Ļ = 2 9 9 − 1 3 3 đ‘Ĩ − 2 9 3 đ‘Ĩ c o s s i n
  • E đ‘Ļ = 2 9 9 + 1 3 3 đ‘Ĩ − 2 9 3 đ‘Ĩ c o s s i n

Q18:

The functions đ‘Ļ=𝑒īŠ§ī—, đ‘Ļ=𝑒đ‘ĨīŠ¨ī—cos, and đ‘Ļ=𝑒đ‘ĨīŠŠī—sin are three linearly independent solutions of the differential equation đ‘Ļ−3đ‘Ļ+4đ‘Ļ−2đ‘Ļ=0(īŠŠ)īŽ˜īŽ˜īŽ˜. Find a particular solution satisfying the initial conditions đ‘Ļ(0)=1, đ‘Ļ(0)=0īŽ˜, and đ‘Ļ(0)=0īŽ˜īŽ˜.

  • A đ‘Ļ = − 2 𝑒 − 𝑒 đ‘Ĩ − 𝑒 đ‘Ĩ ī— ī— ī— c o s s i n
  • B đ‘Ļ = 2 𝑒 + 𝑒 đ‘Ĩ − 𝑒 đ‘Ĩ ī— ī— ī— c o s s i n
  • C đ‘Ļ = 𝑒 đ‘Ĩ + 𝑒 đ‘Ĩ ī— ī— c o s s i n
  • D đ‘Ļ = 2 𝑒 − 𝑒 đ‘Ĩ − 𝑒 đ‘Ĩ ī— ī— ī— c o s s i n
  • E đ‘Ļ = 2 𝑒 + 𝑒 đ‘Ĩ + 𝑒 đ‘Ĩ ī— ī— ī— c o s s i n

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.