Worksheet: Representing Rational Functions Using Power Series

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In this worksheet, we will practice using the formula of the infinite sum of geometric series to find a power series representation for some rational functions.

Q1:

Let us consider 𝑔(𝑥)=𝑥3−𝑥.

Find a power series representation for 𝑔(𝑥).

  • A 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 ∞
  • B 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 ∞
  • C 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 ∞
  • D 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 ∞
  • E 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 3 ∞

Find its radius of convergence.

  • A | 𝑥 | < 3
  • B | 𝑥 | > 3
  • C | 𝑥 | > 1
  • D | 𝑥 | < 1
  • E | 𝑥 | < 1 3

Q2:

Let us consider 𝑓(𝑥)=11+𝑥.

Find a power series representation for 𝑓(𝑥).

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = ( − 1 ) 𝑥 ∞
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = ( − 1 ) 𝑥 ∞
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ∞
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = ( − 1 ) 𝑥 ∞
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 ∞

Find its interval of convergence.

  • A | 𝑥 | < 1 2
  • B | 𝑥 | < 1
  • C | 𝑥 | > 1
  • D | 𝑥 | > 0
  • E | 𝑥 | < 0

Q3:

Consider ℎ(𝑥)=4𝑥1+𝑥.

Find a power series representation for ℎ(𝑥).

  • A ℎ ( 𝑥 ) = 4 ( − 1 ) 𝑥 ∞
  • B ℎ ( 𝑥 ) = 4 ( − 1 ) 𝑥 ∞
  • C ℎ ( 𝑥 ) = ( − 1 ) 𝑥 ∞
  • D ℎ ( 𝑥 ) = 4 ( − 𝑥 ) ∞
  • E ℎ ( 𝑥 ) = 4 ( − 1 ) 𝑥 ∞

Find its interval of convergence.

  • A | 𝑥 | > 1
  • B | 𝑥 | < 4
  • C | 𝑥 | > 0
  • D | 𝑥 | < 1
  • E | 𝑥 | < 0

Q4:

Use a power series to represent 𝑥1+𝑥.

  • A ∞ 𝑥
  • B ∞ ( − 1 ) 𝑥
  • C ∞ 𝑥
  • D ∞ 𝑥
  • E ∞ ( − 1 ) 𝑥

Q5:

Consider the function 𝑓(𝑥)=12+𝑥.

Find the power series for 𝑓(𝑥).

  • A ∞ 1 2 ( 𝑥 )
  • B ∞ − 1 2 ( − 𝑥 )
  • C ∞ 1 2 ( − 𝑥 )
  • D ∞ 1 2 ( 𝑥 )
  • E ∞ 1 2 ( − 𝑥 )

Identify its interval of convergence.

  • A ( − ∞ , ∞ )
  • B ( − 2 , 2 )
  • C [ − 2 , 2 ]
  • D ( 0 , 1 ]
  • E ( − 1 , 1 )

Q6:

Consider the function 𝑓(𝑥)=11−9𝑥.

Find the power series for 𝑓(𝑥).

  • A ∞ ( 3 ) ( 𝑥 )
  • B ∞ ( 9 ) ( 𝑥 )
  • C ∞ ( 3 ) ( − 𝑥 )
  • D ∞ ( 3 ) ( 𝑥 )
  • E ∞ ( − 3 ) ( 𝑥 )

Identify its interval of convergence.

  • A ( − 1 , 1 )
  • B − 1 3 , 1 3
  • C − 1 3 , 1 3
  • D − 1 9 , 1 9
  • E − 1 9 , 1 9

Q7:

Consider the function 𝑓(𝑥)=𝑥9+𝑥 with the center 𝑎=0.

Find the power series for 𝑓(𝑥).

  • A ∞ ( − 1 ) 𝑥 3
  • B ∞ 𝑥 3
  • C ∞ ( − 1 ) 𝑥 3
  • D ∞ 𝑥 3
  • E ∞ ( − 1 ) 𝑥 3

Q8:

Consider the function 𝑓(𝑥)=1𝑥−2𝑥+2 with the center 𝑎=1.

Find the power series for 𝑓(𝑥).

  • A ∞ ( − 1 ) ( 𝑥 )
  • B ∞ ( 𝑥 − 1 )
  • C ∞ ( − 1 ) ( 𝑥 − 1 )
  • D ∞ ( − 1 ) ( 𝑥 − 1 )
  • E ∞ ( − 1 ) ( 𝑥 − 1 )

Q9:

Consider the function 𝑓(𝑥)=2𝑥 with the center 𝑎=1.

Find the power series for 𝑓(𝑥).

  • A 2 ( 1 − 𝑥 ) ∞
  • B ∞ ( 1 − 𝑥 )
  • C ∞ ( − 1 ) ( 1 − 𝑥 )
  • D 2 ( − 1 ) ( 1 − 𝑥 ) ∞
  • E 2 ( 1 − 𝑥 ) ∞

Q10:

Consider the function 𝑓(𝑥)=𝑥1−9𝑥.

Find the power series for 𝑓(𝑥).

  • A ∞ ( − 3 ) 𝑥
  • B ∞ 3 𝑥
  • C ∞ 9 𝑥
  • D ∞ 3 𝑥
  • E ∞ 9 ( − 𝑥 )

Identify its interval of convergence.

  • A ( − 1 , 1 )
  • B − 1 9 , 1 9
  • C − 1 3 , 1 3
  • D − 1 9 , 1 9
  • E − 1 3 , 1 3

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