Lesson Worksheet: Partial Fractions: Repeated Irreducible Quadratic Factors Mathematics

In this worksheet, we will practice decomposing rational expressions into partial fractions when the denominator has repeated irreducible quadratic factors.

Q1:

Resolve 4π‘₯(π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1) into partial fractions.

  • Aπ‘₯+1π‘₯+1+2π‘₯+1(π‘₯+1)+1π‘₯βˆ’1
  • Bπ‘₯βˆ’1π‘₯+1+π‘₯+1(π‘₯+1)+1π‘₯βˆ’1
  • Cπ‘₯+1π‘₯+1+2π‘₯+2(π‘₯+1)+1π‘₯βˆ’1
  • Dπ‘₯+2(π‘₯+1)+1π‘₯βˆ’1
  • Eβˆ’π‘₯βˆ’1π‘₯+1+2π‘₯+2(π‘₯+1)+1π‘₯βˆ’1

Q2:

Find 𝐴 and 𝐡 such that π‘₯+2(π‘₯+π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1)=𝐴π‘₯+𝐡π‘₯+π‘₯+1+𝐢π‘₯+𝐷(π‘₯+π‘₯+1)+𝐸π‘₯βˆ’1.

  • A𝐴=βˆ’1, 𝐡=βˆ’1
  • B𝐴=βˆ’23, 𝐡=βˆ’13
  • C𝐴=βˆ’1, 𝐡=βˆ’23
  • D𝐴=βˆ’13, 𝐡=βˆ’23
  • E𝐴=βˆ’13, 𝐡=βˆ’1

Q3:

Express the rational expression 2π‘₯βˆ’5(π‘₯+2)(1βˆ’π‘₯) into partial fractions.

  • A2π‘₯βˆ’59(π‘₯+2)+2π‘₯βˆ’53(π‘₯+2)+16(π‘₯βˆ’1)
  • Bβˆ’2π‘₯βˆ’59(π‘₯+2)+2π‘₯+53(π‘₯+2)+13(π‘₯βˆ’1)βˆ’79(π‘₯+1)
  • Cβˆ’5+2π‘₯3(π‘₯+2)βˆ’2π‘₯+53(π‘₯+2)βˆ’13(π‘₯βˆ’1)βˆ’73(π‘₯+1)
  • D2π‘₯βˆ’59(π‘₯+2)+2π‘₯βˆ’53(π‘₯+2)+16(π‘₯βˆ’1)βˆ’718(π‘₯+1)
  • Eβˆ’5+2π‘₯3(π‘₯+2)βˆ’2π‘₯+53(π‘₯+2)βˆ’13(π‘₯βˆ’1)

Q4:

Express π‘₯+2π‘₯+2(π‘₯+2π‘₯+4) in partial fractions.

  • A1π‘₯+2π‘₯+4βˆ’2(π‘₯+2π‘₯+4)
  • B1π‘₯+2π‘₯+4+2(π‘₯+2π‘₯+4)
  • Cπ‘₯+2π‘₯+2π‘₯+4+π‘₯βˆ’1(π‘₯+2π‘₯+4)
  • D2π‘₯+2π‘₯+4βˆ’1(π‘₯+2π‘₯+4)
  • Eβˆ’π‘₯βˆ’2π‘₯+2π‘₯+4+1βˆ’π‘₯(π‘₯+2π‘₯+4)

Q5:

Given that π‘₯+2π‘₯+3(π‘₯+π‘₯+1)=𝐴π‘₯+𝐡π‘₯+π‘₯+1+𝐢π‘₯+𝐷(π‘₯+π‘₯+1), rewrite the equation after finding 𝐴, 𝐡, 𝐢, and 𝐷.

  • Aπ‘₯+2π‘₯+3(π‘₯+π‘₯+1)=1βˆ’π‘₯π‘₯+π‘₯+1+4π‘₯+2(π‘₯+π‘₯+1)
  • Bπ‘₯+2π‘₯+3(π‘₯+π‘₯+1)=1βˆ’π‘₯π‘₯+π‘₯+1+2π‘₯+4(π‘₯+π‘₯+1)
  • Cπ‘₯+2π‘₯+3(π‘₯+π‘₯+1)=π‘₯βˆ’1π‘₯+π‘₯+1+βˆ’2π‘₯βˆ’4(π‘₯+π‘₯+1)
  • Dπ‘₯+2π‘₯+3(π‘₯+π‘₯+1)=1βˆ’π‘₯π‘₯+π‘₯+1+βˆ’2π‘₯βˆ’4(π‘₯+π‘₯+1)
  • Eπ‘₯+2π‘₯+3(π‘₯+π‘₯+1)=π‘₯βˆ’1π‘₯+π‘₯+1+2π‘₯+4(π‘₯+π‘₯+1)

Q6:

Decompose π‘₯+2(π‘₯+π‘₯) into partial fractions.

  • A1π‘₯+2π‘₯βˆ’π‘₯+2π‘₯+1βˆ’π‘₯+2(π‘₯+1)
  • B2π‘₯βˆ’π‘₯+2(π‘₯+1)
  • C1π‘₯βˆ’π‘₯+2(π‘₯+1)
  • D1π‘₯+2π‘₯+π‘₯+2π‘₯+1+π‘₯+2(π‘₯+1)
  • E1π‘₯+π‘₯+2π‘₯+1+2π‘₯+1(π‘₯+1)

Q7:

Which of the following are the partial fractions of the expression π‘₯βˆ’π‘₯+10(π‘₯+5π‘₯+25)?

  • A𝐴π‘₯+𝐡π‘₯+5π‘₯+25+𝐢π‘₯+𝐷(π‘₯+5π‘₯+25)+𝐸π‘₯+𝐹(π‘₯+5π‘₯+25)
  • B𝐴π‘₯+𝐡π‘₯+5π‘₯+25+𝐢π‘₯+𝐷(π‘₯+5π‘₯+25)
  • C𝐴π‘₯+𝐡(π‘₯+5)+𝐢π‘₯+𝐷(π‘₯+5)+𝐸π‘₯+𝐹(π‘₯+5)οŠͺ
  • D𝐴(π‘₯+5)+𝐡(π‘₯+5)+𝐢(π‘₯+5)οŠͺ
  • E𝐴π‘₯+5π‘₯+25+𝐡(π‘₯+5π‘₯+25)+𝐢(π‘₯+5π‘₯+25)

Q8:

Express π‘₯+1π‘₯+2π‘₯+1οŠͺ in partial fractions.

  • Aπ‘₯βˆ’1π‘₯+1βˆ’π‘₯(π‘₯+1)
  • B1π‘₯+1+π‘₯βˆ’1(π‘₯+1)
  • Cπ‘₯βˆ’1π‘₯+1+1(π‘₯+1)
  • Dπ‘₯π‘₯+1βˆ’π‘₯βˆ’1(π‘₯+1)
  • Eπ‘₯π‘₯+1βˆ’π‘₯+1(π‘₯+1)

Q9:

Express π‘₯βˆ’π‘₯+1(π‘₯+1)οŠͺ in partial fractions.

  • A1βˆ’π‘₯π‘₯+1+π‘₯(π‘₯+1)
  • Bπ‘₯+2π‘₯+1βˆ’π‘₯+1(π‘₯+1)
  • Cπ‘₯+2π‘₯+1+(π‘₯+2)(π‘₯+1)
  • D1+1π‘₯+1βˆ’1(π‘₯+1)
  • E1βˆ’π‘₯+2π‘₯+1+(π‘₯+2)(π‘₯+1)

Q10:

Resolve 9π‘₯+9(π‘₯+4)(π‘₯+1) into partial fractions.

  • Aπ‘₯+1π‘₯+4βˆ’π‘₯+1π‘₯+1+3(π‘₯+1)(π‘₯+1)
  • B9π‘₯+4βˆ’1π‘₯+1+9(π‘₯+4)
  • C1π‘₯+4βˆ’1π‘₯+1βˆ’1(π‘₯+1)
  • Dπ‘₯π‘₯+4βˆ’π‘₯π‘₯+1+3π‘₯(π‘₯+1)
  • Eπ‘₯+1π‘₯+4+π‘₯+1π‘₯+1+3(π‘₯+1)(π‘₯+4)

Practice Means Progress

Download the Nagwa Practice app to access questions, unit-exams, and flashcards for your school courses.

scan me!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.