Worksheet: Definite Integrals as Limits of Riemann Sums

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In this worksheet, we will practice interpreting a definite integral as the limit of a Riemann sum when the size of the partitions tends to zero.

Q1:

Express 3 𝑥 𝑥 d as the limit of Riemann sums.

  • A l i m → ∞ 1 8 𝑛 3 + 6 𝑖 𝑛
  • B l i m → ∞ − 1 8 𝑛 3 − 6 𝑖 𝑛
  • C l i m → ∞ 1 8 𝑛 3 + 6 𝑖 𝑛
  • D l i m → ∞ 1 8 𝑛 3 + 6 𝑖 𝑛
  • E l i m → ∞ 1 8 𝑛 6 𝑖 𝑛

Q2:

Without evaluating the limit, express √ 7 − 4 𝑥 𝑥 d as a limit of Riemann sums.

  • A l i m → ∞ 7 𝑛 7 − 4 − 5 + 7 𝑖 𝑛
  • B l i m → ∞ − 7 𝑛 7 − 4 5 + 7 𝑖 𝑛
  • C l i m → ∞ 7 𝑛 7 − 4 − 5 + 7 𝑖 𝑛
  • D l i m → ∞ 7 𝑛 7 − 4 − 5 + 7 𝑖 𝑛
  • E l i m → ∞ 7 𝑛 7 − 4 7 𝑖 𝑛

Q3:

Express l i m → ∞ 𝑒 2 − 4 𝑥 Δ 𝑥 as a definite integral on the interval [ − 5 , − 3 ] .

  • A 𝑒 2 − 4 𝑥 𝑥 ∞ d
  • B 𝑒 2 − 4 𝑥 𝑥 d
  • C 𝑒 2 − 4 𝑥 𝑥 d
  • D 𝑒 2 − 4 𝑥 𝑥 d
  • E 𝑒 2 − 4 𝑥 𝑥 ∞ d

Q4:

Evaluate 𝑥 − 3 𝑥 𝑥 d using the limit of Riemann sums.

  • A38
  • B18
  • C36
  • D42
  • E16

Q5:

Express l i m → ∞ 3 𝑒 5 − 𝑥 Δ 𝑥 as a definite integral on the interval [ − 5 , 1 ] .

  • A 3 𝑒 5 − 𝑥 𝑥 ∞ d
  • B 3 𝑒 5 − 𝑥 𝑥 d
  • C 3 𝑒 5 − 𝑥 𝑥 d
  • D 3 𝑒 5 − 𝑥 𝑥 d
  • E 3 𝑒 5 − 𝑥 𝑥 ∞ d

Q6:

Express 5 𝑥 𝑥 d as the limit of Riemann sums.

  • A l i m → ∞ 1 0 𝑛 4 + 2 𝑖 𝑛
  • B l i m → ∞ − 1 0 𝑛 4 − 2 𝑖 𝑛
  • C l i m → ∞ 1 0 𝑛 4 + 2 𝑖 𝑛
  • D l i m → ∞ 1 0 𝑛 4 + 2 𝑖 𝑛
  • E l i m → ∞ 1 0 𝑛 2 𝑖 𝑛

Q7:

Without evaluating the limit, express √ 3 𝑥 + 2 𝑥 d as a limit of Riemann sums.

  • A l i m → ∞ 4 𝑛 3 − 1 + 4 𝑖 𝑛 + 2
  • B l i m → ∞ − 4 𝑛 3 1 + 4 𝑖 𝑛 + 2
  • C l i m → ∞ 4 𝑛 3 − 1 + 4 𝑖 𝑛 + 2
  • D l i m → ∞ 4 𝑛 3 − 1 + 4 𝑖 𝑛 + 2
  • E l i m → ∞ 4 𝑛 3 4 𝑖 𝑛 + 2

Q8:

Evaluate 4 𝑥 − 4 𝑥 𝑥 d by taking the limit of Riemann sums.

Q9:

Using Riemann sums, express l i m → ∞ − 𝑖 𝑛 as an integral.

  • A − 𝑥 𝑥 d
  • B − 𝑥 𝑥 d
  • C 𝑥 𝑥 ∞ d
  • D − 𝑥 𝑥 d
  • E − 𝑥 𝑥 d

Q10:

Express 3 5 𝑥 𝑥 s i n d as the limit of Riemann sums.

  • A l i m s i n → ∞ 6 𝜋 𝑛 1 0 𝜋 𝑖 𝑛
  • B l i m s i n → ∞ − 6 𝜋 𝑛 1 0 𝜋 𝑖 𝑛
  • C l i m s i n → ∞ − 6 𝜋 𝑛 1 0 𝜋 𝑖 𝑛
  • D l i m s i n → ∞ 6 𝜋 𝑛 1 0 𝜋 𝑖 𝑛
  • E l i m s i n → ∞ 6 𝜋 𝑛 1 0 𝜋 𝑖 𝑛

Q11:

Evaluate 𝑥 − 3 𝑥 − 5 𝑥 d using the limit of Riemann sums.

Q12:

Express l i m → ∞ 1 𝑛 5 4 − as a definite integral.

  • A − 5 4 − 𝑥 𝑥 d
  • B 5 4 − 𝑥 𝑥 d
  • C 5 4 − 𝑥 𝑥 ∞ d
  • D 5 4 − 𝑥 𝑥 d
  • E 5 4 − 𝑥 𝑥 d

Q13:

Evaluate 𝑥 − 2 𝑥 𝑥 d using the limit of Riemann sums.

  • A − 5 3
  • B 1 3
  • C − 1 2
  • D − 1 6
  • E − 7 2 7

Q14:

Express 2 𝑥 − 5 𝑥 𝑥 d as the limit of Riemann sums.

  • A l i m → ∞ 3 𝑛 2 2 + 3 𝑖 𝑛 − 5 2 +
  • B l i m → ∞ − 3 𝑛 2 2 − 3 𝑖 𝑛 − 5 2 −
  • C l i m → ∞ 3 𝑛 2 2 + 3 𝑖 𝑛 − 5 2 +
  • D l i m → ∞ 3 𝑛 2 2 + 3 𝑖 𝑛 − 5 2 +
  • E l i m → ∞ 3 𝑛 2 3 𝑖 𝑛 − 5 𝑛 3 𝑖

Q15:

Evaluate ( − 𝑥 − 4 ) 𝑥 d using the limit of Riemann sums.

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