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Lesson: Antiderivatives of Functions

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Worksheet • 21 Questions • 1 Video

Q1:

Find the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ βˆ’ 3 ) 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ 3 βˆ’ 3 π‘₯ + 9 π‘₯ + 3 2 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 3 2 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 9 π‘₯ + 3 2 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ + 9 π‘₯ + 3 2 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ 3 βˆ’ 3 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 3 2 C

Q2:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 6 π‘₯ + 7 π‘₯ 1 5 2 5 βˆ’ .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 3 5 π‘₯ 3 + 6 5 3 5 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 3 6 π‘₯ 5 + 2 1 π‘₯ 5 + 5 6 5 3 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + 7 π‘₯ 3 + 6 5 3 5 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ 6 + 5 π‘₯ 3 + 6 5 3 5 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + 7 π‘₯ 3 + 5 6 5 3 C

Q3:

Find, if possible, an antiderivative 𝐹 of 𝑓 ( π‘₯ ) = 1 2 π‘₯ βˆ’ 1 that satisfies the conditions 𝐹 ( 0 ) = 1 and 𝐹 ( 1 ) = βˆ’ 1 .

  • ANo such antiderivative exists.
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 2 ( 1 βˆ’ 2 π‘₯ ) + 1 π‘₯ < 1 2 , 1 2 ( 2 π‘₯ βˆ’ 1 ) βˆ’ 1 π‘₯ > 1 2 l n f o r l n f o r

Q4:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 π‘₯ + 2 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 6 𝑒 + 3 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 3 + 3 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 3 3
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 𝑒 π‘₯ 2

Q5:

If 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ + 3 π‘₯ + 5 π‘₯ + 2 5 3 , determine 𝑓 ( π‘₯ ) .

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ 1 4 + 3 π‘₯ 2 0 + 5 π‘₯ 6 + π‘₯ + π‘₯ + 7 5 3 2 C D
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ 4 + 3 π‘₯ 2 + 4 2 C
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = π‘₯ 2 + 3 π‘₯ 4 + 5 π‘₯ 2 + 2 π‘₯ + 6 4 2 C
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ + 3 π‘₯ + 5 π‘₯ + 2 π‘₯ + π‘₯ + 7 5 3 2 C D
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ + 3 π‘₯ + 5 π‘₯ + 2 π‘₯ + 7 5 3 2 C

Q6:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 , given that 𝑓 ( π‘₯ ) = 5 2 + 4 π‘₯ .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ 2 + 4 | π‘₯ | + l n C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ 2 + | π‘₯ | + l n C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ + 4 | π‘₯ | + l n C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ 2 + 4 | π‘₯ | + l n C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ 2 + | π‘₯ | + l n C

Q7:

Determine the antiderivative 𝐹 of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 4 π‘₯ 4 3 where 𝐹 ( 1 ) = βˆ’ 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ βˆ’ 4 5 4
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ βˆ’ 3 5 4
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 4 π‘₯ βˆ’ 1 1 5 4
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 4 π‘₯ + 9 4 5 4
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ + 1 7 5 4

Q8:

Find the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ βˆ’ π‘₯ 7 5 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ 4 βˆ’ π‘₯ 2 βˆ’ π‘₯ 3 + 8 6 3 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 1 6 π‘₯ βˆ’ 1 8 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 8 6 3 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ βˆ’ π‘₯ + 8 6 3 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ + π‘₯ + 8 6 3 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ 8 + π‘₯ 6 + π‘₯ 3 + 8 6 3 C

Q9:

Find the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ βˆ’ 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = 2 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ + 2 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 8 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ + 2 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ + 2 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ + 2 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ 2 βˆ’ 2 π‘₯ + 2 C

Q10:

Find the antiderivative of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 2 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 2 .

  • A 2 π‘₯ 3 + 3 π‘₯ 2 + 3 π‘₯ + 3 2 C
  • B 2 π‘₯ + 3 π‘₯ 2 + 3 π‘₯ + 3 2 C
  • C π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 2 C
  • D 2 π‘₯ 3 + 3 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 2 C
  • E 2 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 2 C

Q11:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = √ π‘₯ + 5 √ π‘₯ 3 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = 3 π‘₯ 4 + 1 0 π‘₯ 3 + 4 3 3 2 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + 5 π‘₯ + 3 4 2 3 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ 3 + 1 5 π‘₯ 2 + 4 3 3 2 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + 5 π‘₯ + 4 3 3 2 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ 3 + 1 5 π‘₯ 2 + 3 4 2 3 C

Q12:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ ( βˆ’ π‘₯ + 5 ) .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ 3 + 1 0 π‘₯ + 3 2 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 2 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ + 2 0 π‘₯ + 3 2 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 3 2 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 π‘₯ 3 + 1 0 π‘₯ + 2 C

Q13:

By considering the product rule, find a function 𝑓 so that 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 √ π‘₯ + 2 𝑒 √ π‘₯ π‘₯ π‘₯ .

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = 2 √ π‘₯ 𝑒 π‘₯
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = 2 𝑒 √ π‘₯ π‘₯
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = √ π‘₯ 𝑒 π‘₯
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = 𝑒 √ π‘₯ π‘₯
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = √ 2 π‘₯ 𝑒 π‘₯

Q14:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 if 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 π‘₯ + π‘₯ βˆ’ 2 π‘₯ 2 π‘₯ 4 3 3 and π‘₯ > 0 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ 2 + π‘₯ 2 + 1 π‘₯ + 2 C , π‘₯ > 0
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ + π‘₯ 2 + 1 π‘₯ + 2 C , π‘₯ > 0
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 π‘₯ + π‘₯ 2 + 1 π‘₯ + 2 C , π‘₯ > 0
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ 2 + π‘₯ 2 + 2 π‘₯ + 2 C , π‘₯ > 0
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ 2 + π‘₯ 2 βˆ’ 1 π‘₯ + 2 C , π‘₯ > 0

Q15:

Find the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 2 5 π‘₯ + 2 9 5 π‘₯ + 5 2 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 4 π‘₯ 5 + t a n C βˆ’ 1
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 4 π‘₯ 5 + s i n C βˆ’ 1
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + t a n C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ + 4 π‘₯ + t a n C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = 5 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ 5 + t a n C βˆ’ 1

Q16:

Find the most general antiderivative of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = 4 π‘₯ + 3 βˆ’ 2 3 √ π‘₯ s i n .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 √ π‘₯ 3 + 3 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + c o s C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = 4 √ π‘₯ + 3 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + c o s C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 4 √ π‘₯ 3 + 3 π‘₯ + 4 π‘₯ + c o s C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 √ π‘₯ 3 + 3 π‘₯ + 4 π‘₯ + c o s C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 √ π‘₯ 3 + 3 π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + c o s C

Q17:

What is the antiderivative 𝐹 of 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 + ο€Ή 1 + π‘₯  2 βˆ’ 1 that satisfies 𝐹 ( 1 ) = 0 ?

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ + π‘₯ βˆ’ πœ‹ 4 + 5 t a n βˆ’ 1
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ + 1 t a n βˆ’ 1
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ + π‘₯ + πœ‹ 4 + 5 t a n βˆ’ 1
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = π‘₯ + π‘₯ βˆ’ πœ‹ 4 + 5 t a n βˆ’ 1
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 5 π‘₯ + π‘₯ + 1 t a n βˆ’ 1

Q18:

Find the most general antiderivative 𝐺 ( 𝑑 ) of the function 𝑔 ( 𝑑 ) = βˆ’ 3 𝑑 + 5 𝑑 + 4 4 √ 𝑑  .

  • A 𝐺 ( 𝑑 ) = βˆ’ 3 𝑑 1 0 βˆ’ 5 𝑑 6 βˆ’ 2 √ 𝑑 +     C
  • B 𝐺 ( 𝑑 ) = βˆ’ 𝑑 1 0 βˆ’ 𝑑 6 βˆ’ √ 𝑑 2 +     C
  • C 𝐺 ( 𝑑 ) = βˆ’ 1 5 𝑑 8 βˆ’ 1 5 𝑑 8 βˆ’ 2 √ 𝑑 +     C
  • D 𝐺 ( 𝑑 ) = βˆ’ 3 𝑑 4 βˆ’ 5 𝑑 4 βˆ’ √ 𝑑 +     C
  • E 𝐺 ( 𝑑 ) = βˆ’ 3 𝑑 4 βˆ’ 5 𝑑 4 βˆ’ √ 𝑑 +     C

Q19:

Find the most general antiderivative 𝐺 ( 𝑑 ) of the function 𝑔 ( 𝑑 ) = 𝑑 βˆ’ 4 𝑑 + 5 √ 𝑑  .

  • A 𝐺 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 5 βˆ’ 8 𝑑 3 + 1 0 √ 𝑑 +     C
  • B 𝐺 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 5 + 2 𝑑 3 + 2 √ 𝑑 +     C
  • C 𝐺 ( 𝑑 ) = 5 𝑑 2 βˆ’ 6 𝑑 + 1 0 √ 𝑑 +     C
  • D 𝐺 ( 𝑑 ) = 𝑑 βˆ’ 4 𝑑 + 5 √ 𝑑 +     C
  • E 𝐺 ( 𝑑 ) = 𝑑 βˆ’ 4 𝑑 + 5 √ 𝑑 +     C

Q20:

Determine the most general antiderivative 𝐹 ( π‘₯ ) of the function 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 √ π‘₯ + 3 π‘₯ √ π‘₯ 3 2 .

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 6 π‘₯ 5 + 6 π‘₯ 5 + 5 3 5 2 C
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 π‘₯ + 3 π‘₯ + 3 5 2 5 C
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 1 0 π‘₯ 3 + 6 π‘₯ 5 + 5 3 5 2 C
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 2 π‘₯ + 3 π‘₯ + 5 3 5 2 C
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = βˆ’ 3 π‘₯ + 9 π‘₯ 2 + 3 5 2 5 C

Q21:

Determine the most general antiderivative of the function π‘Ÿ ( πœƒ ) = βˆ’ 3 𝑒 + 2 πœƒ πœƒ πœƒ t a n s e c .

  • A 𝑅 ( πœƒ ) = βˆ’ 3 𝑒 + 2 πœƒ + πœƒ s e c C
  • B 𝑅 ( πœƒ ) = βˆ’ 3 𝑒 πœƒ + 1 + πœƒ πœƒ + πœƒ + 1 2 2 t a n s e c C
  • C 𝑅 ( πœƒ ) = βˆ’ 3 𝑒 πœƒ + 1 + 2 πœƒ + πœƒ + 1 s e c C
  • D 𝑅 ( πœƒ ) = βˆ’ 3 𝑒 + πœƒ πœƒ + πœƒ 2 2 t a n s e c C
  • E 𝑅 ( πœƒ ) = 𝑒 ( βˆ’ 3 πœƒ + 3 ) + 2 πœƒ + πœƒ βˆ’ 1 s e c C
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