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Lesson: The Chain Rule

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Worksheet • 25 Questions • 1 Video

Q1:

Find the first derivative of the function 𝑦 = ο€Ή 5 π‘₯ βˆ’ 6  2 6 .

  • A 6 0 π‘₯ ο€Ή 5 π‘₯ βˆ’ 6  2 5
  • B 6 ο€Ή 5 π‘₯ βˆ’ 6  2 5
  • C 6 ο€Ή 5 π‘₯ βˆ’ 6  2 7
  • D 6 0 π‘₯ ο€Ή 5 π‘₯ βˆ’ 6  2 7

Q2:

Find the first derivative of the function 𝑦 = 1 4 𝑒 1 βˆ’ 3 π‘₯ 4 .

  • A βˆ’ 3 π‘₯ 𝑒 3 1 βˆ’ 3 π‘₯ 4
  • B 3 4 π‘₯ 𝑒 3 1 βˆ’ 3 π‘₯ 4
  • C 3 π‘₯ 𝑒 3 1 βˆ’ 3 π‘₯ 4
  • D 3 𝑒 1 βˆ’ 3 π‘₯ 4
  • E 1 4 π‘₯ 𝑒 3 1 βˆ’ 3 π‘₯ 4

Q3:

If 𝑦 = ο€Ό 8 π‘₯  c o s 5 , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A 4 0 π‘₯ ο€Ό 8 π‘₯  6 5 s i n
  • B βˆ’ 4 0 π‘₯ ο€Ό 8 π‘₯  6 5 c o s
  • C βˆ’ 4 0 π‘₯ ο€Ό 8 π‘₯  5 5 c o s
  • D βˆ’ 8 π‘₯ ο€Ό 8 π‘₯  5 5 s i n
  • E βˆ’ 8 π‘₯ ο€Ό 8 π‘₯  5 5 c o s

Q4:

Determine the derivative of 𝑦 = ο€Ή βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 4  2 5 5 .

  • A 𝑦 β€² = 5 5 ( βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ο€Ή βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 4  2 5 4
  • B 𝑦 β€² = 5 5 ο€Ή βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯  ο€Ή βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 4  2 2 5 4
  • C 𝑦 β€² = 5 5 ( βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ο€Ή βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 4  2 5 5
  • D 𝑦 β€² = ο€Ή βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯  ο€Ή βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 4  2 2 5 5
  • E 𝑦 β€² = ( βˆ’ 4 π‘₯ βˆ’ 3 ) ο€Ή βˆ’ 2 π‘₯ βˆ’ 3 π‘₯ + 4  2 5 4

Q5:

Find d d 𝑦 π‘₯ if 𝑦 = ( 5 π‘₯ ) t a n c o t .

  • A βˆ’ 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c s c s e c c o t 2 2
  • B βˆ’ 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c s c s e c c o t
  • C 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c s c s e c c o t 2 2
  • D βˆ’ 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c s c s e c c o t 2
  • E βˆ’ 5 π‘₯ ( 5 π‘₯ ) c s c s e c c o t 2

Q6:

Find the first derivative of the function 𝑦 = 𝑒 7 π‘₯ π‘₯ s i n .

  • A 𝑒 7 π‘₯ + 7 𝑒 7 π‘₯ π‘₯ π‘₯ s i n c o s
  • B βˆ’ 𝑒 7 π‘₯ + 7 𝑒 7 π‘₯ π‘₯ π‘₯ s i n c o s
  • C 𝑒 7 π‘₯ βˆ’ 7 𝑒 7 π‘₯ π‘₯ π‘₯ s i n c o s
  • D βˆ’ 𝑒 7 π‘₯ βˆ’ 7 𝑒 7 π‘₯ π‘₯ π‘₯ s i n c o s

Q7:

Determine the derivative of the function 𝑓 ( 𝑑 ) = 4 𝑒 5 𝑑 𝑑 s i n .

  • A 𝑓 β€² ( 𝑑 ) = 2 0 𝑒 ( 𝑑 𝑑 + 𝑑 ) 5 𝑑 𝑑 s i n c o s s i n
  • B 𝑓 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 2 0 𝑒 ( 𝑑 𝑑 βˆ’ 𝑑 ) 5 𝑑 𝑑 s i n c o s s i n
  • C 𝑓 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 4 𝑒 ( 𝑑 βˆ’ 5 ) 5 𝑑 𝑑 s i n c o s
  • D 𝑓 β€² ( 𝑑 ) = 4 𝑒 ( 𝑑 + 5 ) 5 𝑑 𝑑 s i n c o s

Q8:

Find the first derivative of .

  • A
  • B
  • C
  • D

Q9:

Find the first derivative of the function 𝑦 = √ 8 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ s i n 8 .

  • A 4 βˆ’ 3 6 9 π‘₯ 9 π‘₯ √ 8 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ s i n c o s s i n 7 8
  • B 4 + 3 6 9 π‘₯ 9 π‘₯ √ 8 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ s i n c o s s i n 7 8
  • C 4 βˆ’ 4 9 π‘₯ 9 π‘₯ √ 8 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ s i n c o s s i n 7 8
  • D 4 βˆ’ 3 6 9 π‘₯ √ 8 π‘₯ βˆ’ 9 π‘₯ s i n s i n 7 8

Q10:

If 𝑦 = √ 8 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ s i n 4 , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A βˆ’ 1 0 5 π‘₯ 5 π‘₯ + 4 √ 8 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ s i n c o s s i n 3 4
  • B √ 8 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ ο€Ί βˆ’ 2 0 5 π‘₯ 5 π‘₯ + 8  s i n s i n c o s 4 3
  • C 1 0 5 π‘₯ 5 π‘₯ + 4 √ 8 π‘₯ 5 π‘₯ s i n c o s s i n 3 4
  • D βˆ’ 2 0 5 π‘₯ 5 π‘₯ + 8 s i n c o s 3
  • E βˆ’ 2 0 5 π‘₯ 5 π‘₯ + 8 √ 8 π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ s i n c o s s i n 3 4

Q11:

Find the first derivative of the function 𝑦 = 6 3 𝑒 s e c 5 π‘₯ .

  • A 9 0 𝑒 3 𝑒 3 𝑒 5 π‘₯ 5 π‘₯ 5 π‘₯ t a n s e c
  • B βˆ’ 9 0 𝑒 3 𝑒 3 𝑒 5 π‘₯ 5 π‘₯ 5 π‘₯ t a n s e c
  • C 6 3 𝑒 3 𝑒 t a n s e c 5 π‘₯ 5 π‘₯
  • D 9 0 𝑒 3 𝑒 5 π‘₯ 5 π‘₯ s e c
  • E 1 5 𝑒 3 𝑒 3 𝑒 5 π‘₯ 5 π‘₯ 5 π‘₯ t a n s e c

Q12:

If 𝑦 = ο€Ό π‘₯ 9 π‘₯ + 5  c o s 7 , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A βˆ’ 3 5 ο€»  ο€»  ( 9 π‘₯ + 5 ) s i n c o s π‘₯ 9 π‘₯ + 5 6 π‘₯ 9 π‘₯ + 5 2
  • B βˆ’ 7 ο€Ό π‘₯ 9 π‘₯ + 5  ο€Ό π‘₯ 9 π‘₯ + 5  s i n c o s 6
  • C βˆ’ 5 ο€»  ο€»  ( 9 π‘₯ + 5 ) s i n c o s π‘₯ 9 π‘₯ + 5 6 π‘₯ 9 π‘₯ + 5 2
  • D 7 ο€Ό π‘₯ 9 π‘₯ + 5  c o s 6
  • E 3 5 ο€»  ο€»  ( 9 π‘₯ + 5 ) s i n c o s π‘₯ 9 π‘₯ + 5 6 π‘₯ 9 π‘₯ + 5 2

Q13:

Find the first derivative of 𝑦 = ο„ž 9 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ + 4 s e c s e c .

  • A 3 6 9 π‘₯ 9 π‘₯ ( 9 π‘₯ βˆ’ 4 ) ( 9 π‘₯ + 4 ) ο„ž 9 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ + 4 s e c t a n s e c s e c s e c s e c
  • B βˆ’ 3 6 9 π‘₯ 9 π‘₯ ( 9 π‘₯ βˆ’ 4 ) ( 9 π‘₯ + 4 ) ο„ž 9 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ + 4 s e c t a n s e c s e c s e c s e c
  • C 3 6 9 π‘₯ ( 9 π‘₯ βˆ’ 4 ) ( 9 π‘₯ + 4 ) ο„ž 9 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ + 4 t a n s e c s e c s e c s e c 2
  • D 3 6 9 π‘₯ 9 π‘₯ ( 9 π‘₯ βˆ’ 4 ) ( 9 π‘₯ + 4 ) ο„ž 9 π‘₯ βˆ’ 4 9 π‘₯ + 4 s e c t a n s e c s e c s e c s e c 2 2

Q14:

Find d d 𝑦 π‘₯ if 𝑦 = 𝑒 Γ— 8 c o s π‘₯ 5 π‘₯ .

  • A 8 𝑒 ( βˆ’ π‘₯ + 5 8 ) 5 π‘₯ π‘₯ c o s s i n l n
  • B 8 𝑒 ο€Ή βˆ’ π‘₯ + 8  5 π‘₯ π‘₯ 5 π‘₯ c o s s i n l n
  • C 8 𝑒 ( 1 + 8 ) 5 π‘₯ π‘₯ c o s l n
  • D 8 𝑒 ο€Ή 1 + 5 8  5 π‘₯ π‘₯ 5 π‘₯ c o s l n

Q15:

Find the first derivative of the function 𝑦 = ο€Ή 4 4 π‘₯  s i n c s c 2 .

  • A βˆ’ 3 2 π‘₯ 4 π‘₯ 4 π‘₯ ο€Ή 4 4 π‘₯  c s c c o t c o s c s c 2 2 2
  • B 3 2 π‘₯ 4 π‘₯ 4 π‘₯ ο€Ή 4 4 π‘₯  c s c c o t c o s c s c 2 2 2
  • C βˆ’ 3 2 π‘₯ 4 π‘₯ 4 π‘₯ ο€Ή 4 4 π‘₯  c s c t a n c o s c s c 2 2 2
  • D βˆ’ 3 2 π‘₯ 4 π‘₯ ο€Ή 4 4 π‘₯  c o t c o s c s c 2 2 2

Q16:

If 𝑦 = βˆ’ 8 ( 6 π‘₯ ) βˆ’ ( 6 π‘₯ ) s i n s i n c o s s i n , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A 6 6 π‘₯  βˆ’ 8 ( 6 π‘₯ ) + ( 6 π‘₯ )  c o s c o s s i n s i n s i n
  • B βˆ’ 6 6 π‘₯  βˆ’ 8 ( 6 π‘₯ ) βˆ’ ( 6 π‘₯ )  c o s c o s s i n c o s s i n
  • C βˆ’ 6 6 π‘₯  βˆ’ 8 ( 6 π‘₯ ) + ( 6 π‘₯ )  c o s c o s s i n s i n s i n
  • D c o s c o s s i n c o s s i n 6 π‘₯  βˆ’ 8 ( 6 π‘₯ ) + ( 6 π‘₯ ) 

Q17:

Determine the derivative of the function 𝑠 ( 𝑑 ) = ο„ž βˆ’ 𝑑 + 7 βˆ’ 𝑑 + 7 s i n c o s .

  • A 𝑠 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 7 𝑑 + 7 𝑑 βˆ’ 1 2 √ βˆ’ 𝑑 + 7 ( βˆ’ 𝑑 + 7 ) s i n c o s s i n c o s 3 2
  • B 𝑠 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 7 𝑑 + 7 𝑑 + 1 2 √ βˆ’ 𝑑 + 7 ( βˆ’ 𝑑 + 7 ) s i n c o s s i n c o s 2 3
  • C 𝑠 β€² ( 𝑑 ) = 7 𝑑 + 7 𝑑 βˆ’ 1 2 √ βˆ’ 𝑑 + 7 ( βˆ’ 𝑑 + 7 ) s i n c o s s i n c o s 3 2
  • D 𝑠 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 7 𝑑 + 7 𝑑 + 1 2 √ βˆ’ 𝑑 + 7 ( βˆ’ 𝑑 + 7 ) s i n c o s s i n c o s 3 2
  • E 𝑠 β€² ( 𝑑 ) = βˆ’ 7 𝑑 + 7 𝑑 βˆ’ 1 2 √ βˆ’ 𝑑 + 7 ( βˆ’ 𝑑 + 7 ) s i n c o s s i n c o s 2 3

Q18:

Find the derivative of the function 𝑦 = √ ( πœ‹ π‘₯ ) c o s s i n t a n .

  • A 𝑦 β€² = βˆ’ πœ‹ ( πœ‹ π‘₯ ) ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) 2 √ ( πœ‹ π‘₯ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n 2
  • B 𝑦 β€² = πœ‹ ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) 2 √ ( πœ‹ π‘₯ ) c o s t a n s i n s i n t a n s i n t a n
  • C 𝑦 β€² = πœ‹ ( πœ‹ π‘₯ ) ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) 2 √ ( πœ‹ π‘₯ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n 2
  • D 𝑦 β€² = 2 πœ‹ ( πœ‹ π‘₯ ) ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n 2
  • E 𝑦 β€² = πœ‹ ( πœ‹ π‘₯ ) ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) √ ( πœ‹ π‘₯ ) c o s t a n s e c s i n s i n t a n s i n t a n 2

Q19:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = 𝑒 π‘₯ π‘₯ c s c .

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 π‘₯ ( 1 βˆ’ π‘₯ ) π‘₯ c s c c o t
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ 𝑒 π‘₯ π‘₯ π‘₯ c s c c o t
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 π‘₯ ( 1 + π‘₯ ) π‘₯ c s c c o t
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ ( 1 βˆ’ 𝑒 π‘₯ ) s e c c o t π‘₯
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 ο€Ή π‘₯ βˆ’ π‘₯  π‘₯ 2 c s c c o t

Q20:

Find the derivative of the function 𝑧 = 5 ( ( 9 π‘₯ + 6 ) ) l n c o t .

  • A βˆ’ 4 5 ( 9 π‘₯ + 6 ) ( 9 π‘₯ + 6 ) c s c c o t 2
  • B 4 5 ( 9 π‘₯ + 6 ) ( 9 π‘₯ + 6 ) c s c c o t 2
  • C βˆ’ 4 5 ( 9 π‘₯ + 6 ) ( 9 π‘₯ + 6 ) c s c c o t
  • D βˆ’ 5 ( 9 π‘₯ + 6 ) ( 9 π‘₯ + 6 ) c s c c o t 2

Q21:

Find the first derivative of the function 𝑦 = βˆ’ 2 ( 4 π‘₯ ) c o t c o s .

  • A βˆ’ 8 4 π‘₯ ( 4 π‘₯ ) s i n c s c c o s 2
  • B 8 4 π‘₯ ( 4 π‘₯ ) s i n c s c c o s 2
  • C 2 4 π‘₯ ( 4 π‘₯ ) s i n c s c c o s 2
  • D βˆ’ 2 4 π‘₯ ( 4 π‘₯ ) s i n c s c c o s 2

Q22:

If 𝑦 = ο€Ή π‘₯  s i n c o s 3 , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A βˆ’ 3 π‘₯ π‘₯ ο€Ή π‘₯  s i n c o s c o s c o s 2 3
  • B 3 π‘₯ π‘₯ ο€Ή π‘₯  s i n c o s c o s c o s 2 3
  • C βˆ’ 3 π‘₯ ο€Ή π‘₯  c o s c o s c o s 2 3
  • D βˆ’ 3 π‘₯ π‘₯ s i n c o s 3
  • E βˆ’ 3 π‘₯ π‘₯ s i n c o s 2

Q23:

Find the derivative of 𝑒 π‘₯ π‘₯ s i n using the product rule.

  • A 𝑒 ( π‘₯ + π‘₯ ) π‘₯ s i n c o s
  • B π‘₯ 𝑒 ( π‘₯ + π‘₯ ) π‘₯ s i n c o s
  • C 𝑒 ( π‘₯ βˆ’ π‘₯ ) π‘₯ s i n c o s
  • D 𝑒 π‘₯ βˆ’ π‘₯ π‘₯ s i n c o s
  • E 𝑒 π‘₯ + π‘₯ π‘₯ s i n c o s

Q24:

Differentiate 𝑓 ( π‘₯ ) = 𝑒 π‘₯ π‘₯ t a n .

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 ο€Ή π‘₯ + π‘₯  π‘₯ 2 t a n s e c
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 ο€Ή π‘₯ βˆ’ π‘₯  π‘₯ 2 t a n s e c
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 ( π‘₯ + π‘₯ ) π‘₯ t a n s e c
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = 𝑒 π‘₯ π‘₯ 2 s e c
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ + 𝑒 π‘₯ t a n s e c π‘₯ 2

Q25:

Given that 𝑦 = βˆ’ 5 ο€Ή ο€Ή 2 𝑒 + π‘₯ + 4   l n s i n 8 π‘₯ , find d d 𝑦 π‘₯ .

  • A βˆ’ 5 ο€Ή 1 6 𝑒 + 1  ο€Ή 2 𝑒 + π‘₯ + 4  ( 2 𝑒 + π‘₯ + 4 ) 8 π‘₯ 8 π‘₯ 8 π‘₯ c o s s i n
  • B βˆ’ 5 ( 2 𝑒 + π‘₯ + 4 ) s i n 8 π‘₯
  • C βˆ’ 5 ο€Ή 2 𝑒 + π‘₯ + 4  ( 2 𝑒 + π‘₯ + 4 ) c o s s i n 8 π‘₯ 8 π‘₯
  • D 5 ο€Ή 1 6 𝑒 + 1  ο€Ή 2 𝑒 + π‘₯ + 4  ( 2 𝑒 + π‘₯ + 4 ) 8 π‘₯ 8 π‘₯ 8 π‘₯ c o s s i n
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