Lesson Explainer: نظرية ديموافر | Nagwa Lesson Explainer: نظرية ديموافر | Nagwa

Lesson Explainer: نظرية ديموافر Mathematics

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قوى الأعداد المركَّبة وجذورها، وكيف نستخدم نظرية ديموافر لتبسيط العمليات الحسابية للقُوى والجذور.

تذكر متطابقة ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية.

لأيِّ عددين مركَّبين 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، يُعطى حاصل ضربهما كالآتي: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

لاحظ أنه إذا جعلنا 𞸏=𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)١٢ في المعادلة السابقة، فإننا نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(٢𝜃+𞸕٢𝜃).٢٢

توضح هذه المعادلة أننا إن أردنا تربيع العدد المركب، فإننا نربع المقياس مباشرة ونضرب السعة في اثنين. قد نفكر فيما إذا كان من الممكن تعميم هذه القاعدة على القوى الموجبة الصحيحة الأخرى للأعداد المركبة.

وفي الواقع، يمكن استنتاج صيغة مشابهة للقوى السالبة للأعداد المركبة أيضًا. تذكر متطابِقة قسمة الأعداد المركبة على الصورة القطبية باستخدام 𞸏١، 𞸏٢ نفسهما كما في الأعلى: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒.١٢١٢١٢١٢

بوضع 𞸏=١=١(٠+𞸕٠)١، 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)٢ في الأعلى، نحصل على علاقة لمعادلة المقلوب: ١𞸋(𝜃+𝜃)=١𞸋((٠𝜃)+𞸕(٠𝜃))، وهو ما يُبسَّط إلى: (𞸋(𝜃+𝜃))=𞸋󰁓(𝜃)+𞸕(𝜃)󰁒.١١

أي إن رفع العدد المركب إلى القوة ١ هو نفسه رفع المقياس إلى القوة ١، وضرب السعة في ١.

بعد أن رأينا صيغتين متشابهتين للقوى الموجبة والسالبة للعدد المركب، قد نتوقَّع أن بإمكاننا تعميم هذه القواعد في علاقة أوسع تشمل كل القوى الصحيحة.

يمكننا عمل ذلك بالفعل، وتُعرَف النتيجة بنظرية ديموافر.

نظرية: نظرية ديموافر

لأي عدد صحيح 𞸍: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍

باستخدام الاستقراء، يمكننا إثبات ذلك للقوى الموجبة. نبدأ بإثبات صحة ذلك في حالة 𞸍=١. عند 𞸍=١ فإن الطرف الأيمن يساوي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)=𞸋󰁓(١×𝜃)+𞸕(١×𝜃)󰁒،١١ وهو الطرف الأيسر. مِن ثَمَّ، نظرية ديموافر صحيحة عند 𞸍=١.

نفترض الآن صحة ذلك لأي عدد صحيح موجب 𞸊: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃+𞸕𞸊𝜃).𞸊𞸊

علينا الآن إثبات أن هذا يلزم عنه صحة نظرية ديموافر بالنسبة إلى 𞸊+١. إذن، نكتب: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=(𞸋(𝜃+𞸕𝜃))(𞸋(𝜃+𞸕𝜃)).𞸊+١𞸊

بافتراض صحة ذلك بالنسبة إلى 𞸊، يمكننا إعادة كتابته على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃+𞸕𞸊𝜃)(𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃+𞸕𞸊𝜃)(𝜃+𞸕𝜃).𞸊+١𞸊𞸊+١

بفك الأقواس، نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓𞸊𝜃𝜃+𞸕𞸊𝜃𝜃+𞸕𞸊𝜃𝜃+𞸕𞸊𝜃𝜃󰁒.𞸊+١𞸊+١٢

باستخدام 𞸕=١٢ وتجميع كل الحدود الحقيقية والتخيُّلية، نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸊𝜃𝜃𞸊𝜃𝜃+𞸕(𞸊𝜃𝜃+𞸊𝜃𝜃)).𞸊+١𞸊+١

وباستخدام المتطابقات المثلثية للجمع والطرح: (󰏡±𞸁)=󰏡𞸁±󰏡𞸁،(󰏡±𞸁)=󰏡𞸁󰏡𞸁، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓(𞸊𝜃+𝜃)+𞸕(𞸊𝜃+𝜃)󰁒=𞸋󰁓((𞸊+١)𝜃)+𞸕((𞸊+١)𝜃)󰁒.𞸊+١𞸊+١𞸊+١

وبناءً على ذلك، بما أن نظرية ديموافر صحيحة بالنسبة إلى 𞸍=١، ومع فرض أنها صحيحة بالنسبة إلى 𞸍=𞸊، وجدنا أنها صحيحة بالنسبة إلى 𞸍=𞸊+١؛ إذن من خلال الاستقراء الرياضي، نستنتج أنها صحيحة لكل الأعداد الصحيحة الموجبة 𞸍. لإثبات نظرية ديموافر للأعداد الصحيحة السالبة، يمكننا استخدام النتيجة التي أثبتناها للتو ومتطابقات المقلوب. نفترض أن 𞸍 عدد صحيح موجب. إذن: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=󰁓(𞸋(𝜃+𞸕𝜃))󰁒.𞸍𞸍١

وباستخدام نظرية ديموافر للأعداد الصحيحة الموجبة، يكون لدينا: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=󰁓𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃)󰁒.𞸍𞸍١

يمكننا الآن تطبيق علاقة المقلوب لنحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋󰁓(𞸍𝜃)+𞸕(𞸍𝜃)󰁒.𞸍𞸍

وبناءً على ذلك، نكون قد أثبتنا أن هذه هي الحالة الخاصة بالأعداد الصحيحة السالبة. أما الحالة التي فيها 𞸍=٠ فبديهية الإثبات. وبهذا نكون قد أثبتنا صحة نظرية ديموافر لكل 𞸍𞹑.

لإثباتٍ أكثرَ إيجازًا، يمكننا استخدام صيغة أويلر على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=󰁓𞸋𞸤󰁒.𞸍𞸕𝜃𞸍

بما أن 𞸍 عدد صحيح؛ إذن يمكننا كتابة ذلك على الصورة: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋𞸤.𞸍𞸍𞸕𞸍𝜃

وباستخدام صيغة أويلر مرة أخرى، نحصل على: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍

سنتناول الآن عددًا من الأمثلة؛ حيث يُبسِّط استخدام هذه النظرية العمليات الحسابية بشكل كبير.

مثال ١: استخدام نظرية ديموافر على حاصل ضرب قوى عددين مركبين

بسِّط: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓٧١١.

الحل

بتطبيق نظرية ديموافر على كلِّ عدد مركَّب، يصبح لدينا: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓=󰂔󰋴٥󰂓󰂔󰂔٧×٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٧×٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂓󰂔󰂔١١×٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔١١×٥𝜋٢٢󰂓󰂓=󰂔٥٢١󰋴٥󰂓󰂔󰂔٣𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٢󰂓󰂓󰂔٣٤٢󰋴٣󰂓󰂔󰂔٥𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢󰂓󰂓.٧١١٧١١

باستخدام قاعدة ضرب الأعداد المركَّبة على الصورة القطبية: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃+𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃+𝜃󰁒󰁒،١٢١٢١٢١٢ يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓=󰂔٥٢١󰋴٥󰂓󰂔٣٤٢󰋴٣󰂓󰂔󰂔٣𝜋٢+٥𝜋٢󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٢+٥𝜋٢󰂓󰂓=٥٧٣٠٣󰋴٥١(٤𝜋+𞸕٤𝜋).٧١١

وبالتبسيط، باستخدام ٤𝜋=١، ٤𝜋=، نحصل على: 󰂔󰋴٥󰂔󰂔٣𝜋٤١󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤١󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٣󰂔󰂔٥𝜋٢٢󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٢٢󰂓󰂓󰂓=٥٧٣٠٣󰋴٥١.٧١١

يوضِّح المثال السابق أن استخدام نظرية ديموافر يبسِّط العمليات الحسابية بشكل كبير. وبوضع هذا في الاعتبار، إذا أردنا حل مسألة تحتوي على قوى عُليا للأعداد المركَّبة، فمن الأفضل البدء بالتعبير عنها بالصورة القطبية أو الأسية. يوضِّح المثال الآتي ذلك.

مثال ٢: قسمة الأعداد المركَّبة ذات القوى الكبيرة

بسِّط ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)٩٣١٤.

الحل

نبدأ بتحويل الأعداد المركَّبة في البسط والمقام إلى الصورة القطبية. نبدأ بالبسط، ومقياسه يساوي |𞸕+١|=󰋴١+(١)=󰋴٢٢٢. وبما أن الجزء الحقيقي به موجب، والجزء التخيُّلي سالب، فإنه يقع في الربع الرابع؛ أيْ إن بإمكاننا إيجاد سعته من خلال إيجاد قيمة الدالة العكسية للظل على النحو الآتي: (𞸕+١)=󰂔١١󰂓=𝜋٤.١

وبناءً على ذلك، يمكننا التعبير عن ذلك بالصورة القطبية على النحو الآتي: 𞸕+١=󰋴٢󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓.

وبالمثل، بالنسبة إلى المقام، فمقياسه هو |𞸕+١|=󰋴١+١=󰋴٢٢٢. ونظرًا لأن جزأَيْه الحقيقي والتخيلي موجبان، فإنه يقع في الربع الأول، ويمكننا إيجاد سعته كالآتي: (𞸕+١)=󰂔١١󰂓=𝜋٤.١

إذن، يمكن التعبير عن المقام على النحو الآتي: 𞸕+١=󰋴٢󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓 على الصورة القطبية. والآن، يمكننا إعادة كتابة الكسر كله على النحو الآتي: ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)=٨١󰂔󰋴٢󰂔󰂔󰂓+𞸕󰂔󰂓󰂓󰂓󰂔󰋴٢󰂔󰂔󰂓+𞸕󰂔󰂓󰂓󰂓.٩٣١٤𝜋٤𝜋٤٩٣𝜋٤𝜋٤١٤

بتطبيق نظرية ديموافر على الأعداد المركَّبة في البسط والمقام، يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)=٨١󰂔󰋴٢󰂓󰂔󰂔٩٣×󰂓+𞸕󰂔٩٣×󰂓󰂓󰂔󰋴٢󰂓󰂔󰂔١٤×󰂓+𞸕󰂔١٤×󰂓󰂓.٩٣١٤٩٣𝜋٤𝜋٤١٤𝜋٤𝜋٤

وباستخدام قاعدة القسمة للعدد المركَّب على الصورة القطبية التي تنص على أنه إذا كان 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒١١١١، 𞸏=𞸋󰁓𝜃+𞸕𝜃󰁒٢٢٢٢، فإن: 𞸏𞸏=𞸋𞸋󰁓󰁓𝜃𝜃󰁒+𞸕󰁓𝜃𝜃󰁒󰁒،١٢١٢١٢١٢ يمكننا إعادة كتابة ذلك على النحو الآتي: ٨١(𞸕+١)(𞸕+١)=٨١󰂔󰋴٢󰂓󰂔󰂔٩٣×𝜋٤١٤×𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٩٣×𝜋٤١٤×𝜋٤󰂓󰂓=٩󰁓(٠٢𝜋)+𞸕(٠٢𝜋)󰁒=٩.٩٣١٤٢

من أحد تبِعات نظرية ديموافر أنها تُمكِّنُنا من تعميم خواص المقياس والسعة على أيِّ قوى صحيحة. وهو ما يعطينا المتطابقات الآتية.

متطابقة: تطبيق القوى على المقياس والسعة

لأيِّ عدد مركَّب 𞸏، وعدد صحيح 𞸍: 󰍸𞸏󰍸=|𞸏|،󰁓𞸏󰁒=𞸍(𞸏).𞸍𞸍𞸍

في بعض الأحيان، يفيد استخدام هذه المتطابقات عند حل بعض المسائل أكثر من استخدام نظرية ديموافر مباشرةً، وهو ما سيوضِّحه المثال الآتي.

مثال ٣: حل مسائل تتضمن قوى للأعداد المركَّبة

إذا كان 𞸏=󰂔󰋴٣𞸕󰂓|𞸏|=٢٣𞸍،، فاحسب سعة 𞸏 الأساسية.

الحل

بالتعويض بقيمة 𞹑=󰂔󰋴٣𞸕󰂓𞸍 في |𞹑|=٢٣، يصبح لدينا: 󰍻󰂔󰋴٣𞸕󰂓󰍻=٢٣.𞸍

وباستخدام خواص المقياس، يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة: 󰍻󰋴٣𞸕󰍻=٢٣.𞸍

والآن يصبح لدينا 󰍻󰋴٣𞸕󰍻=󰋺󰂔󰋴٣󰂓+(١)=󰋴٤=٢٢٢؛ ومِن ثَمَّ: ٢=٢٣.𞸍

وبناءً على ذلك: 𞸍=٥. إذن: 𞹑=󰂔󰋴٣𞸕󰂓.٥

بأخذ سعتَي كلا الطرفين، يصبح لدينا: (𞹑)=󰂔󰂔󰋴٣𞸕󰂓󰂓.٥

وباستخدام خواص السعة، يصبح لدينا: (𞹑)=٥󰂔󰋴٣𞸕󰂓.

والآن، يمكننا إيجاد سعة 󰋴٣𞸕. بما أن الجزء الحقيقي منه موجب، والجزء التخيلي سالب، فإنه يقع في الربع الرابع؛ ومِن ثَمَّ، يمكننا إيجاد سعته كالآتي: 󰂔󰋴٣𞸕󰂓=󰃭١󰋴٣󰃬=𝜋٦.١

إذن: (𞹑)=٥×𝜋٦=٥𝜋٦.

يمكننا التأكُّد من أن هذا هو بالفعل الجزء الأساسي من السعة بما أن 𝜋<٥𝜋٦<𝜋. ولذا، فإن السعة الأساسية لـ 𞹑 هي ٥𝜋٦.

قد يكون من المفيد أحيانًا تبسيط المقدار الذي نتعامل معه، أو الانتباه إلى خواصه الرئيسية قبل تطبيق نظرية ديموافر. وفي المثال التالي، سنرى كيف يمكن التعامُل مع قوى مرافقات الأعداد المركبة باستخدام نظرية ديموافر.

مثال ٤: طرح قوى الأعداد المركبة

ما ناتج (٢+٢𞸕)(٢٢𞸕)٤٤؟

الحل

في هذا المثال، يمكننا تحويل كل عدد إلى الصورة القطبية وتطبيق نظرية ديموافر. لكن في البداية، نوَد الإشارة إلى أن هذا المقدار على الصورة 𞸏󰂔𞸏󰂓𞸍𞸍. بمعلومية ذلك، يجب أن نفكر إذا ما كنا نستطيع تطبيق بعض خواص مرافقات الأعداد المركَّبة لتبسيط العملية الحسابية. نفترض أولًا أن لدينا عددًا مركَّبًا عامًّا على الصورة القطبية 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)، ومرافقه 𞸏=𞸋󰁓(𝜃)+𞸕(𝜃)󰁒. إذن، بتطبيق نظرية ديموافر، يمكننا إعادة كتابة:

𞸏󰂔𞸏󰂓=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃)𞸋󰁓(𞸍𝜃)+𞸕(𞸍𝜃)󰁒=𞸏(𞸏).𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍𞸍()١

باستخدام خاصية مرافق العدد المركَّب، نحصل على: 𞸏𞸏=٢𞸕×(𞸏)،اءاد وبجعل 𞸏=𞸏𞸍 نجد أن:

𞸏(𞸏)=٢𞸕×󰁓𞸏󰁒.𞸍𞸍𞸍اءاد()٢

بدمج المعادلتين (١) و(٢)، نحصل على: 𞸏󰂔𞸏󰂓=٢𞸕×󰁓𞸏󰁒.𞸍𞸍𞸍اءاد

إذن: (٢+٢𞸕)(٢٢𞸕)=٢𞸕×󰁓(٢+٢𞸕)󰁒.٤٤٤اءاد

يمكننا الآن إيجاد مقياس (٢+٢𞸕) وسعته. أولًا، مقياسه |٢+٢𞸕|=󰋴(٢)+٢=٢󰋴٢٢٢. بما أن الجزء الحقيقي منه سالب، والجزء التخيُّلي موجب، فإنه يقع في الربع الثاني، ويمكننا إيجاد سعته كالآتي: (٢٢𞸕)=󰂔٢٢󰂓+𝜋=𝜋٤+𝜋=٣𝜋٤.١

وباستخدام نظرية ديموافر، يمكننا كتابة: (٢+٢𞸕)=󰂔٢󰋴٢󰂓󰂔󰂔٤×٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٤×٣𝜋٤󰂓󰂓=٤٦(٣𝜋+𞸕٣𝜋).٤٤

إذن: (٢+٢𞸕)(٢٢𞸕)=٢𞸕󰁓(٢+٢𞸕)󰁒=٨٢١𞸕٣𝜋=٠.٤٤٤اءاد

لاحِظْ أننا في المثال السابق، وباستخدام نظرية ديموافر، بيَّنَّا أنه لِأيِّ عدد مركَّب 𞸏: 󰂔𞸏󰂓=(𞸏).𞸍𞸍

والآن، سنعرِف كيف يمكننا استخدام نظرية ديموافر لإيجاد جذور الأعداد المركَّبة.

مثال ٥: استخدام نظرية ديموافر لإيجاد جذور عدد مركب

انظر المعادلة 𞸏=٢󰋴٣+٢𞸕٣.

  1. اكتب ٢󰋴٣+٢𞸕 في الصورة القطبية باستخدام الصورة العامة للسعة.
  2. بتطبيق نظرية ديموافر على الطرف الأيسر، أعِد كتابة المعادلة في الصورة القطبية.
  3. بمساواة المقاييس والسعات، وأخذ قِيَم مختلفة للسعة العامة، أوجد الجذور التكعيبية الثلاثة للمقدار ٢󰋴٣+٢𞸕، واكتبها في الصورة الأُسِّية.

الحل

الجزء الأول

أولًا، نحسب مقياس ٢󰋴٣+٢𞸕 على النحو الآتي: 󰍻٢󰋴٣+٢𞸕󰍻=󰋺󰂔٢󰋴٣󰂓+٢=󰋴٢١+٤=󰋴٦١=٤.٢٢

ثانيًا، نحسب السعة. بما أن الجزء الحقيقي والتخيُّلي موجبان، إذن العدد المركب يقع في الربع الأول، ويمكننا حساب سعته الأساسية كالآتي: 󰂔٢󰋴٣+٢𞸕󰂓=󰃭٢٢󰋴٣󰃬=𝜋٦.١

نحصل على الصورة العامة للسعة من السعة الأساسية بجمع مضاعفات صحيحة من ٢𝜋. مِن ثَمَّ، يمكننا كتابة السعة العامة على الصورة 𝜋٦+٢𝜋𞸊؛ حيث 𞸊𞹑. إذن، يمكننا التعبير عن ٢󰋴٣+٢𞸕 بالصورة القطبية باستخدام الصورة العامة للسعة على النحو الآتي: ٢󰋴٣+٢𞸕=٤󰂔󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓󰂓 لكل 𞸊𞹑.

الجزء الثاني

يمكننا التعبير عن 𞸏 بالصورة القطبية على النحو الآتي: 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃).

مِن ثَمَّ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة على النحو الآتي: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=٤󰂔󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓󰂓.٣

وبتطبيق نظرية ديموافر، نحصل على: 𞸋(٣𝜃+𞸕٣𝜃)=٤󰂔󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓+𞸕󰂔𝜋٦+٢𝜋𞸊󰂓󰂓.٣

الجزء الثالث

بمساواة المقياسين، نحصل على 𞸋=٤٣؛ ومِن ثَمَّ: 𞸋=󰋴٤٣. وبمساواة السعتين، نحصل على: ٣𝜃=𝜋٦+٢𝜋𞸊.

إذن: 𝜃=+٢𝜋𞸊٣=𝜋٨١+٢𝜋𞸊٣.𝜋٦

والآن، نأخذ ثلاث قيم متتالية لـ 𞸊 لإيجاد الجذور الثلاثة المختلفة. بدايةً من 𞸊=، يصبح لدينا 𝜃=𝜋٨١١. بعد ذلك، نأخذ 𞸊=١ وهو ما يعطينا 𝜃=٣١𝜋٨١٢. وأخيرًا، بالنسبة إلى 𞸊=٢، نحصل على 𝜃=٥٢𝜋٨١٣. بما أن هذا لا يقع ضمن نطاق ]𝜋،𝜋]؛ إذن يمكننا طرح ٢𝜋 للحصول على السعة الأساسية: 𝜃=١١𝜋٨١٣. ومِن ثَمَّ، الجذور الثلاثة المختلفة للمقدار ٢󰋴٣+٢𞸕 هي: 𞸏=󰋴٤𞸤،󰋴٤𞸤،󰋴٤𞸤.٣𝜋٨١٣٣١𝜋٨١٣١١𝜋٨١𞸕𞸕𞸕

بتجريد الطريقة المستخدَمة في السؤال السابق، نصل إلى نظرية ديموافر للجذور.

نظرية: نظرية ديموافر للجذور

بالنسبة لأيِّ عدد مركَّب 𞸏=𞸋(𝜃+𞸕𝜃)، فإن الجذور ا تُعطى بالعلاقة: 𞸋󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀١𞸍 لكل 𞸊=٠،١،،𞸍١.

لاحظ أنه لإيجاد السعات الأساسية للجذور في النظرية السابقة، قد يكون من الضروري طرح ٢𝜋 من السعات الناتجة.

لإنهاء هذا الشارح، نتناول مثالًا أخيرًا نطبِّق فيه نظرية ديموافر لإيجاد الجذور.

مثال ٦: استخدام نظرية ديموافر للجذور لإيجاد الجذور المركَّبة لعدد

أوجد الجذور الرباعية للعدد ١ واكتب الإجابة في الصورة المثلثية.

الحل

نبدأ بالتعبير عن ١ بالصورة القطبية. من الواضح أن مقياسه واحد وسعته 𝜋. مِن ثَمَّ، بتطبيق نظرية ديموافر لإيجاد الجذور، تُعطى الجذور الرباعية الأربعة كالآتي: ١󰂔󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓+𞸕󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓󰂓=󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓+𞸕󰂔𝜋+٢𝜋𞸊٤󰂓١٤ لكل 𞸊=٠،١،٢، ٣. سنتناول كل قيمة لـ 𞸊 بالترتيب. بداية من 𞸊=٠، لدينا: 󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓.

وبالنسبة إلى 𞸊=١، لدينا: 󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓.

وبالنسبة إلى 𞸊=٢، لدينا: 󰂔٥𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٥𝜋٤󰂓.

لكن بما أن هذه السعة لا تقع ضمن نطاق السعة الأساسية، نطرح ٢𝜋 للحصول على: 󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓.

وأخيرًا، بالنسبة إلى 𞸊=٣، لدينا: 󰂔٧𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٧𝜋٤󰂓.

مرةً أخرى، لا تقع هذه السعة ضمن نطاق السعة الأساسية؛ لذا نطرح ٢𝜋 للحصول على: 󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓.

بوضع كل هذه القيم معًا، نجد أن الجذور الرباعية للعدد ١ هي 󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓، 󰂔󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓󰂓، 󰂔󰂔𝜋٤󰂓+𞸕󰂔𝜋٤󰂓󰂓، 󰂔󰂔٣𝜋٤󰂓+𞸕󰂔٣𝜋٤󰂓󰂓.

هيَّا نختم بتلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • تنص نظرية ديموافر على أنه بالنسبة لأي 𞸍𞹑: (𞸋(𝜃+𞸕𝜃))=𞸋(𞸍𝜃+𞸕𞸍𝜃).𞸍𞸍 وهذا يمكِّننا من تبسيط العمليات الحسابية التي تتضمَّن قوى صحيحة كبيرة للأعداد المركَّبة.
  • لأي عدد مركب 𞸏 وعدد صحيح 𞸍: 󰍸𞸏󰍸=|𞸏|،󰁓𞸏󰁒=𞸍(𞸏).𞸍𞸍𞸍 تمكِّننا هذه المتطابقة من تطبيق القوى ا مباشرة على مقياس العدد المركَّب وسعته.
  • تمتد نظرية ديموافر لإيجاد الجذور ا المختلفة للأعداد المركبة بإيجاد: 𞸋󰃁󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀+𞸕󰃁𝜃+٢𝜋𞸊𞸍󰃀󰃀١𞸍 لكل 𞸊=٠،١،،𞸍١. ويمكن إيجاد الجذور الأساسية بطرح ٢𝜋 من السعات إذا لزم الأمر.

Download the Nagwa Classes App

Attend sessions, chat with your teacher and class, and access class-specific questions. Download Nagwa Classes app today!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.