Lesson Explainer: Limite à droite ou à gauche | Nagwa Lesson Explainer: Limite à droite ou à gauche | Nagwa

Lesson Explainer: Limite à droite ou à gauche Mathematics

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment étudier graphiquement et algébriquement les limites à droite ou à gauche.

On sait que la limite d’une fonction décrit le comportement de la fonction au voisinage d’un point. Les images d’une fonction ne tendent pas toujours vers une valeur spécifique lorsque la variable tend vers une valeur limite.

Considérons par exemple la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=|𝑥|𝑥, qui est définie pour tous les nombres réels sauf en 𝑥=0. Si 𝑥>0, la valeur absolue au numérateur peut être retirée car |𝑥|=𝑥. Cela signifie que cette fonction est égale à 1 pour 𝑥>0. Si 𝑥<0, la valeur absolue retire le signe négatif du nombre 𝑥 alors que le nombre au dénominateur est toujours de signe négatif. Cela signifie que |𝑥|𝑥=1 pour 𝑥<0. On peut décrire le comportement de cette fonction au voisinage de 𝑥=0 avec le tableau suivant.

𝑥10,50,10,010,010,10,51
𝑓(𝑥)11111111

D’après ce tableau, la valeur de 𝑓(𝑥) varie selon que la valeur de 𝑥 est inférieure ou supérieure au point limite 𝑥=0. En d’autres termes, on ne peut pas dire que 𝑓(𝑥) tend vers une valeur spécifique quand 𝑥 tend vers 0.

On peut cependant remarquer que la valeur de la fonction suit un modèle au voisinage de 𝑥=0 si on limite les valeurs de 𝑥 à un côté du point limite. On peut par exemple simplement étudier les valeurs de la fonction au voisinage de 𝑥=0 avec la restriction supplémentaire 𝑥<0. On ne considère donc que la moitié gauche du tableau ci-dessus.

𝑥10,50,10,01
𝑓(𝑥)1111

Si on ne considère que ce tableau de valeurs pour 𝑓(𝑥), on peut dire que la valeur de la fonction tend vers 1 quand 𝑥 tend vers 0 du côté négatif. On appelle cela la limite à gauche de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0. On peut également construire le tableau de valeurs de la fonction au voisinage de 𝑥=0 pour 𝑥>0.

𝑥10,50,10,01
𝑓(𝑥)1111

Ce tableau de valeurs nous indique que 𝑓(𝑥) tend vers 1 lorsque 𝑥 tend vers 0 du côté positif, qui est la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0.

Définition : Limites à droite ou à gauche

  • Si les valeurs de 𝑓(𝑥) tendent vers une valeur 𝐿 quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté négatif, c’est-à-dire pour 𝑥<𝑎, mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche est égale à 𝐿 et on la note lim𝑓(𝑥)=𝐿. Cette limite est appelée la limite à gauche de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎.
  • De même, si les valeurs de 𝑓(𝑥) tendent vers une valeur 𝐿 quand𝑥 tend vers 𝑎 du côté positif, c’est-à-dire pour 𝑥>𝑎, mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté droit est égale à 𝐿 et on la note lim𝑓(𝑥)=𝐿. Cette limite est appelée la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎.

En utilisant ces notations, on peut écrire limlim|𝑥|𝑥=1,|𝑥|𝑥=1.

On peut également visualiser ces limites à droite ou à gauche sur la représentation graphique de la fonction d’expression 𝑓(𝑥)=|𝑥|𝑥.

Si on suit la courbe de la fonction à gauche de 𝑥=0, on s’approche du point (0;1) dont l’ordonnée 𝑦 est 1. Cela nous indique que la limite à gauche de cette fonction en 𝑥=0 est égale à 1. Si on suit la courbe de la fonction à droite de 𝑥=0, on s’approche du point dont l’ordonnée 𝑦 est 1, qui est la limite à droite de cette fonction en 𝑥=0.

Dans le premier exemple, nous allons déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction à partir de sa courbe représentative.

Exemple 1: Déterminer, si elle existe la limite à droite ou à gauche d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative

Utilisez la représentation graphique ci-dessous pour déterminer lim𝑓(𝑥).

Réponse

On remarque que le 1 sous la limite a un signe + en exposant, ce qui indique qu’il s’agit de la limite à droite de cette fonction en 𝑥=1. On rappelle que la limite à droite d’une fonction en 𝑥=𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté droit (𝑥>𝑎), mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎. Dans cet exemple, le point limite est en 𝑥=1, donc 𝑎=1.

On rappelle qu’un point plein sur une courbe représentative indique que la fonction est définie en ce point, tandis qu’un point creux indique que la fonction n’inclut pas ce point de la courbe. Comme le point (1;6) ci-dessus est plein, cela nous indique que 𝑓(1)=6, mais cela n’est cependant pas important car la limite à droite ou à gauche d’une fonction ne dépend pas de la valeur au point limite. Nous devons plutôt considérer vers quelle valeur tend 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 1, pour 𝑥>1. Nous ne considérons donc que les valeurs de 𝑥 supérieures à 1, ce qui correspond à la portion de la courbe mise en évidence ci-dessous.

Quand on se déplace vers 𝑥=1 sur la portion en jaune de la courbe, on tend vers un point dont l’ordonnée 𝑦 est égale à 3. Il s’agit de la limite à droite de cette fonction en 𝑥=1. On peut donc écrire lim𝑓(𝑥)=3.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à gauche d’une fonction à partir de sa courbe représentative.

Exemple 2: Déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative, si elle existe

Déterminez lim𝑓(𝑥).

Réponse

On remarque que le 4 sous la limite a un signe - en exposant, ce qui indique qu’il s’agit de la limite à gauche de cette fonction en 𝑥=4. On rappelle que la limite à gauche d’une fonction en 𝑥=𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche (𝑥<𝑎), mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎. Dans cet exemple, le point limite est en 𝑥=4, donc 𝑎=4.

Nous devons déterminer vers quelle valeur 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 4, pour 𝑥<4. La fonction n’est pas définie en 𝑥=4 car les deux extrémités des droites en ce point sont des points creux. Comme nous ne considérons cependant que les valeurs de 𝑥 inférieures à 4, cela correspond à la portion de la courbe mise en évidence ci-dessous.

Quand on se déplace vers 𝑥=4 sur la portion en jaune de la courbe, on tend vers un point dont l’ordonnée 𝑦 est égale à 3. Il s’agit de la limite à gauche de cette fonction en 𝑥=4. On peut donc écrire lim𝑓(𝑥)=3.

Maintenant que nous savons qu’il existe plusieurs types de limites, nous devons faire attention à comprendre à quel type de limite le problème se réfère. Pour distinguer cela des limites à droite ou à gauche, on appelle parfois la limite d’une fonction sa limite bilatérale. Avec la notation des limites, il n’y a pas de signe + ou - en exposant sous la limite bilatérale.

Dans les deux premiers exemples, nous avons déterminé les limites à droite ou à gauche de fonctions à partir de leurs courbes représentatives. Nous avons pu dans les deux cas déterminer les limites à droite ou à gauche des fonctions bien qu’il était visible sur les courbes représentatives que leurs limites bilatérales n’existaient pas. Ceci nous indique que la limite à droite ou à gauche peut être définie même si la limite bilatérale ne l’est pas.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction à partir de sa courbe représentative sachant que sa limite standard existe.

Exemple 3: Déterminer, si elle existe, la limite à droite ou à gauche d’une fonction en un point à partir de sa courbe représentative

Déterminez lim𝑓(𝑥).

Réponse

On remarque que le 3 sous la limite a un signe + en exposant, ce qui indique qu’il s’agit de la limite à droite de cette fonction en 𝑥=3. On rappelle que la limite à droite d’une fonction en 𝑥=𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté droit (𝑥>𝑎), mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎. Dans cet exemple, le point limite est en 𝑥=3, donc 𝑎=3.

On rappelle qu’un point plein sur une courbe représentative indique que la fonction est définie en ce point, tandis qu’un point creux indique que la fonction n’inclut pas ce point de la courbe. Comme le point (3;1) ci-dessus est plein, cela nous indique que 𝑓(3)=1, mais cela n’est cependant pas important car la limite à droite ou à gauche d’une fonction ne dépend pas de la valeur au point limite. Nous devons plutôt considérer vers quelle valeur 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers3, pour 𝑥>3. Nous ne considérons donc que les valeurs de 𝑥 supérieures à 3, ce qui correspond à la portion de la courbe représentative mise en évidence ci-dessous.

Quand on se déplace vers 𝑥=3 sur la portion en jaune de la courbe représentative, on tend vers un point dont l’ordonnée 𝑦 est égale à 2. Il s’agit de la limite à droite de cette fonction en 𝑥=3. On peut donc écrire lim𝑓(𝑥)=2.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la limite à droite d’une fonction à partir de sa courbe représentative. On peut voir sur la courbe représentative que la limite à gauche de la fonction en 𝑥=3 est égale à la limite à droite. Cela signifie que pour la fonction d’expression 𝑓(𝑥) dont la courbe représentative était fournie dans cet exemple, limlim𝑓(𝑥)=2,𝑓(𝑥)=2.

De plus, la limite standard de cette fonction existe en 𝑥=3 et est égale à 2, qui correspond à la valeur des limites à droite ou à gauche. Cela montre une relation importante entre les limites à droite ou à gauche et les limites bilatérales.

Théorème : Relation entre les limites à droite ou à gauche et bilatérales

Soit 𝑎 appartenant à l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥). La limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe si et seulement si les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existent et vérifient limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥).

Si la limite existe, elle est égale aux limites à droite ou à gauche. C’est-à-dire, limlimlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥).

Ce théorème nous indique en particulier que si la limite d’une fonction existe en un point, alors les trois types de limites (bilatérale, à gauche et à droite) ont la même valeur. Comme nous savons calculer la limite d’une fonction par substitution directe ou algébriquement, cela nous permet de déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction. Gardez cependant à l’esprit que cette méthode ne fonctionne que si la limite (bilatérale) de la fonction existe en ce point.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en calculant sa limite bilatérale.

Exemple 4: Calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux impliquant des fonctions trigonométriques

Calculez lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=7𝑥+3𝑥5𝑥,𝜋2<𝑥<0,52𝑥+7,0<𝑥<𝜋2.sinsincos

Réponse

On sait que l’exposant + sous la limite indique qu’il s’agit de la limite à droite de la fonction en 𝑥=𝜋6. On rappelle que la limite à droite ou à gauche d’une fonction est égale à la limite bilatérale d’une fonction si cette dernière existe. Si on peut montrer que la limite de 𝑓(𝑥) existe en 𝑥=𝜋6 et calculer sa valeur, elle correspondra également à la valeur de la limite à droite que nous recherchons. Nous allons donc d’abord essayer de calculer la limite bilatérale lim𝑓(𝑥).

On sait que la limite d’une fonction en 𝑥=𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Nous souhaitons déterminer la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝜋6, donc nous recherchons les valeurs de 𝑓(𝑥) pour 𝑥 au voisinage de 𝜋6. Si 𝑥 est suffisamment proche de 𝜋6, on a 𝜋2<𝑥<0, ce qui correspond à la première expression de la fonction. On peut le voir en observant la droite numérique.

Si 𝑥 est suffisamment proche de 𝜋6, 𝑓(𝑥) est donc égal à la première expression de la fonction par morceaux. Cela signifie que limlimsinsin𝑓(𝑥)=7𝑥+3𝑥5𝑥.

Il s’agit de la limite d’un quotient impliquant la fonction sinus et une fonction polynôme. On peut calculer ce type de limite par substitution directe à condition que le dénominateur du quotient soit non nul. Calculons d’abord le dénominateur en 𝑥=𝜋6:sinsin5𝜋6=5𝜋6=12.

Le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite, on peut donc calculer cette limite par substitution directe. Cela donne limsinsinsinsin7𝑥+3𝑥5𝑥=7𝑥+3=7+3==7𝜋632×(2)=7𝜋3+3.

Il s’agit de la limite bilatérale de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝜋6. Comme la limite en ce point existe, la limite à droite doit exister et avoir la même valeur que la limite bilatérale. Par conséquent, lim𝑓(𝑥)=3+7𝜋3.

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé la limite à droite ou à gauche d’une fonction en calculant d’abord la limite bilatérale de la fonction. En analysant cette méthode de recherche de limite à droite ou à gauche, on peut voir que les limites à droite ou à gauche, tout comme les limites standards, peuvent être éligibles à la méthode de substitution directe.

Propriété : Méthode de substitution directe pour les limites à droite ou à gauche

On peut calculer la limite à droite ou à gauche de la somme, de la différence, du produit, du quotient et de la composition de toutes les fonctions listées ci-dessous par substitution directe à condition que le point limite appartienne à l’ensemble de définition de la fonction:

  • fonction polynôme ou constante;
  • fonction rationnelle;
  • fonction puissance ou racine;
  • fonction exponentielle ou logarithme;
  • fonction trigonométrique;
  • fonction de valeur absolue.

Si une fonction n’est pas éligible à la substitution directe parce que la limite à droite ou à gauche de la fonction donne une forme indéterminée, on peut utiliser les méthodes algébriques pour calculer la limite bilatérale et en déduire la limite à droite ou à gauche.

Les limites à droite ou à gauche sont souvent utilisées lors de l’analyse de la limite d’une fonction définie par morceaux en un point frontière. Considérons une fonction définie par morceaux par 𝑓(𝑥) de sous-fonctions d’expressions 𝑔(𝑥) et (𝑥), 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)𝑎<𝑥<𝑏,(𝑥)𝑏𝑥<𝑐,sisi pour des constantes 𝑎, 𝑏, 𝑐 vérifiant 𝑎<𝑏<𝑐. Dans cette fonction, 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les points frontières de 𝑓(𝑥), nous allons donc nous concentrer sur les limites de cette fonction en ces trois points. On voit que l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est ]𝑎;𝑐[, donc la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 ne peut être définie qu’à droite de 𝑥=𝑎. Dans ce cas, la limite bilatérale de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 est égale à la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎. De plus, comme 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) pour toute valeur de 𝑥 suffisamment proche de 𝑎 on peut dire que limlim𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥).

De même, limlim𝑓(𝑥)=(𝑥).

Considérons enfin les limites à droite ou à gauche en 𝑥=𝑏. Comme 𝑓(𝑥) est définie de chaque côté de 𝑏, les limites à gauche et à droite sont définies en ce point. Pour la limite à gauche lim𝑓(𝑥), on considère les valeurs de 𝑓(𝑥) telles que 𝑥<𝑏. Pour ces valeurs de 𝑥, on sait que 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥), ce qui donne limlim𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥).

De même, la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑏 est limlim𝑓(𝑥)=(𝑥).

En particulier, si 𝑔(𝑥) et (𝑥) sont des fonctions éligibles à la substitution directe, la limite à gauche de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑏 sera égale à 𝑔(𝑏) et la limite à droite sera égale à (𝑏).

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux lorsque le point limite est une borne de l’ensemble de définition de la fonction.

Exemple 5: Vérifier l’existence de la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux

Vérifiez l’existence de lim𝑓(𝑥) pour 𝑓(𝑥)=|𝑥1|+2,1<𝑥<2,𝑥+2𝑥8𝑥2𝑥,2<𝑥<4.

Réponse

L’exposant sous la limite indique qu’il s’agit de la limite à gauche de la fonction en 𝑥=4. On rappelle que la limite à gauche d’une fonction en 𝑥=𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche (𝑥<𝑎), mais pas nécessairement en𝑥=𝑎. Dans cet exemple, le point limite est en 𝑥=4, donc 𝑎=4.

Pour déterminer la limite à gauche de la fonction en 𝑥=4, nous devons déterminer vers quelle valeur 𝑓(𝑥) tend lorsque 𝑥 est proche de 4 et inférieur à 4. Si 𝑥 est suffisamment proche de 4 et inférieur à 4, il doit vérifier 2<𝑥<4, qui correspond au deuxième morceau de la fonction. Pour ces valeurs de 𝑥, la fonction d’expression 𝑓(𝑥) est égale à la deuxième expression. Cela signifie que limlim𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥8𝑥2𝑥.

Il s’agit de la limite à gauche d’une fonction rationnelle. On rappelle que l’on peut calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction rationnelle par substitution directe à condition que le dénominateur soit non nul au point limite. On commence par calculer le dénominateur au point limite 𝑥=4:42×4=168=8.

Le dénominateur n’est pas égal à zéro au point limite, on peut donc calculer cette limite par substitution directe. Cela donne lim𝑥+2𝑥8𝑥2𝑥=4+2×4842×4=16+888=168=2.

Par conséquent, la limite existe et lim𝑓(𝑥)=2.

Il est également possible déterminer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en une borne de ses sous-ensembles de définition. Dans ce cas, nous devons d'abord choisir laquelle des expressions par morceaux utiliser pour trouver la limite en considérant quelles valeurs de 𝑥 sont prises en compte pour la limite unilatérale.

Dans l’exemple suivant, nous allons calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en une borne de ses sous-ensembles de définition.

Exemple 6: Déterminer les limites à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux

Déterminez lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥), pour 𝑓(𝑥)=78𝑥<9,9𝑥7𝑥9.sisi

Réponse

On remarque les exposants + ou - sous la limite, qui indiquent qu’il s’agit de limites à droite ou à gauche. La limite avec le signe - en exposant est la limite à gauche et l’autre est la limite à droite.

Commençons par la limite à gauche lim𝑓(𝑥). On rappelle que la limite à gauche en 𝑥=𝑎 d’une fonction est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche (𝑥<𝑎), mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎. Dans cet exemple, le point limite est en 𝑥=9, on suppose donc que 𝑥<9 pour la limite à gauche. Il s’agit du premier morceau de la fonction. Comme 𝑓(𝑥)=78 pour tout 𝑥 vérifiant cette condition, on peut dire que 𝑓(𝑥) tend vers 78 quand 𝑥 tend vers 9 du côté gauche. Par conséquent, lim𝑓(𝑥)=78.

Considérons ensuite la limite à droite lim𝑓(𝑥), qui suppose que 𝑥 tend vers 9 du côté droit, c’est-à-dire 𝑥>9. Puisqu’il s’agit du second morceau de la fonction, 𝑓(𝑥)=9𝑥7 pour tout 𝑥 vérifiant cette condition. Cela signifie que limlim𝑓(𝑥)=(9𝑥7).

Il s’agit de la limite à droite d’une fonction polynôme. On rappelle que l’on peut calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction polynôme par substitution directe. Cela donne lim(9𝑥7)=9×(9)7=74.

D’où lim𝑓(𝑥)=74.

Par conséquent, limlim𝑓(𝑥)=78,𝑓(𝑥)=74.

Jusqu’à présent, nous avons étudié des exemples où les limites à droite ou à gauche existaient. Les limites à droite ou à gauche d’une fonction n’existent cependant pas toujours. La limite à droite ou à gauche d’une fonction peut ne pas exister pour deux raisons. Le premier cas est celui où la limite à droite ou à gauche d’une fonction est infinie. Considérons par exemple la fonction 𝑓(𝑥)=1𝑥 en 𝑥=0, qui est représentée graphiquement ci-dessous.

On peut voir sur cette courbe représentative que la limite à droite de cette fonction est égale à plus l’infini, tandis que sa limite à gauche est égale à moins l’infini. On peut noter limlim1𝑥=,1𝑥=+.

Comme l’infini n’est cependant pas un nombre, on peut également dire que les deux limites à droite ou à gauche de cette fonction n’existent pas.

Le deuxième cas où la limite à droite ou à gauche n’existe pas est lorsque la fonction oscille. Considérons la fonction dont la courbe représentative est illustrée ci-dessous.

Sur cette courbe représentative, on remarque que la limite à gauche en 𝑥=1 existe et est lim=0,25.

Quand 𝑥 tend vers 1 du côté droit, on peut voir que la valeur de 𝑓(𝑥) alterne rapidement entre le maximum et le minimum. Ce type de comportement pour une fonction est appelé « oscillation ». Cela signifie que 𝑓(𝑥) ne tend pas vers une valeur spécifique quand 𝑥 tend vers 1 du côté droit, ce qui nous indique que la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=1 n’existe pas.

Dans le dernier exemple, nous allons calculer les limites à droite ou à gauche d’une fonction définie par morceaux en son point frontière où l’une des limites n’existe pas.

Exemple 7: Déterminer les limites à droite ou à gauche d’une fonction

Déterminez lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥), pour 𝑓(𝑥)=𝑥+9,𝑥<9,1𝑥+9,𝑥9.sisi

Réponse

On remarque les exposants + et - sous la limite, qui indiquent qu’il s’agit de limites à droite ou à gauche. La limite avec le signe - en exposant est la limite à gauche et l’autre est la limite à droite.

Commençons par la limite à gauche lim𝑓(𝑥). On rappelle que la limite à gauche d’une fonction en 𝑥=𝑎 est la valeur vers laquelle 𝑓(𝑥) tend quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche (𝑥<𝑎), mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎. Dans cet exemple, le point limite est en 𝑥=9, on suppose donc que 𝑥<9 pour la limite à gauche. Cela correspond au premier morceau de la fonction. Comme 𝑓(𝑥)=𝑥+9 pour tout 𝑥 vérifiant cette condition, on peut écrire limlim𝑓(𝑥)=(𝑥+9).

Il s’agit de la limite à gauche d’une fonction polynôme. On rappelle que l’on peut calculer la limite à droite ou à gauche d’une fonction polynôme par substitution directe. Cela donne lim(𝑥+9)=9+9=0.

D’où lim𝑓(𝑥)=0.

On considère ensuite la limite à droite lim𝑓(𝑥), qui suppose que 𝑥 tend vers 9 du côté droit, c’est-à-dire 𝑥>9. Puisqu’il s’agit du second morceau de la fonction, 𝑓(𝑥)=1𝑥+9 pour tout 𝑥 vérifiant cette condition. Cela signifie que limlim𝑓(𝑥)=1𝑥+9.

On remarque que le dénominateur 𝑥+9 est égal à zéro au point limite 𝑥=9. Si 𝑥 est supérieur à 9, alors 𝑥>9, ce qui signifie que 𝑥+9>0. Quand 𝑥 tend vers 9 du côté droit, le dénominateur devient de plus en plus petit tout en restant positif et le numérateur reste égal à 1. Par exemple, si 𝑥=8,9, la valeur de la fonction est 18,9+9=10,1=10.

On peut remplir un tableau de valeurs pour mieux observer ce comportement quand 𝑥 tend vers 9 du côté droit.

𝑥88,98,998,999
1𝑥+91101001 000

On voit que la valeur de la fonction croît sans borne supérieure, ce qui signifie que la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=9 est égale à plus l’infini. Comme l’infini n’est pas un nombre, on peut également dire que la limite à droite n’existe pas en 𝑥=9. Par conséquent, limlimnexistepas𝑓(𝑥)=0,𝑓(𝑥).

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Si les valeurs de 𝑓(𝑥) tendent vers une valeur 𝐿 quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté négatif, c’est-à-dire pour 𝑥<𝑎, mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté gauche est égale à 𝐿 et on la note lim𝑓(𝑥)=𝐿. On appelle cette limite, la limite à gauche de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎.
  • Si les valeurs de 𝑓(𝑥) tendent vers une valeur 𝐿 quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté positif, c’est-à-dire pour 𝑥>𝑎, mais pas nécessairement en 𝑥=𝑎, alors on dit que la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 tend vers 𝑎 du côté droit est égale à 𝐿 et on la note lim𝑓(𝑥)=𝐿. On appelle cette limite, la limite à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎.
  • La limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe si et seulement si les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existent et vérifient limlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥). Si la limite bilatérale existe, elle est égale aux limites à droite ou à gauche. C’est-à-dire limlimlim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥).

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