Lesson Explainer: Représentations graphiques des fonctions exponentielles | Nagwa Lesson Explainer: Représentations graphiques des fonctions exponentielles | Nagwa

Lesson Explainer: Représentations graphiques des fonctions exponentielles Mathematics

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment tracer et identifier les transformations graphiques des fonctions exponentielles.

Les fonctions exponentielles sont extrêmement importantes en mathématiques et ont de nombreuses applications concrètes. Elles ont notamment des applications scientifiques dans le cadre de la modélisation de la croissance des populations ou de la décroissance radioactive. En finance, les fonctions exponentielles sont utilisées, par exemple, pour modéliser des investissements avec des exigences spécifiques en intérêts composés.

Définition : Fonctions exponentielles

Une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎,𝑎>0 et 𝑎1, est une fonction exponentielle.

Le réel 𝑎 est appelé la base de la fonction exponentielle, et son ensemble de définition, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de 𝑥 sur lesquels la fonction est bien définie, est l’ensemble des nombres réels, .

Par exemple, la fonction 𝑓(𝑥)=3, représentée sur le graphique ci-dessous, est une fonction exponentielle de base 3.

Les fonctions exponentielles peuvent prendre différentes formes. Par exemple, 𝑦=2 et 𝑔(𝑡)=714 sont des fonctions exponentielles de la forme 𝑐𝑎, 𝑐. Si la variable indépendante est le temps, 𝑡, comme dans 𝑔(𝑡) ci-dessus, alors 𝑐 est appelée la valeur initiale, c’est-à-dire la valeur de la fonction lorsque 𝑡=0. Nous verrons plus d’exemples de fonctions exponentielles de la forme 𝑦=𝑐𝑎 un peu plus tard.

Cependant, ce que nous remarquons à propos de ces trois exemples, et qui est en fait leur trait caractéristique, est que la variable est en exposant. Cela n’est pas le cas des fonctions algébriques par exemple, 𝑓(𝑥)=3𝑥, où l’exposant (ici 2) est une constante et la base (𝑥) est une variable. Dans une fonction exponentielle, l’inverse est vrai:la base est constante et l’exposant est la variable.

Une fonction exponentielle de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎, peut adopter un de deux comportements possibles lorsque la valeur de la variable indépendante, 𝑥, augmente. Celui-ci dépend de la valeur de la base 𝑎:si 0<𝑎<1, alors la courbe représentative diminue au fur et à mesure que 𝑥 augmente, et la fonction représente une décroissance exponentielle. En revanche, si 𝑎>1, alors la courbe représentative augmente au fur et à mesure que 𝑥 augmente, et la fonction représente une croissance exponentielle.

Définition : Croissance exponentielle et décroissance exponentielle

Soit une fonction exponentielle de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎, avec 𝑎>0 et 𝑎1,

  • si 0<𝑎<1, alors 𝑓(𝑥) représente une décroissance exponentielle;
  • si 𝑎>1, alors 𝑓(𝑥) représente une croissance exponentielle.

Une autre propriété des courbes des fonctions exponentielles de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎 est que celles-ci passent toutes par le point (0;1). Il en est ainsi car, lorsque 𝑥=0, on a 𝑓(0)=𝑎=1.

Exemple 1: Déterminer le point d’intersection de la courbe représentative de la fonction exponentielle avec l’axe des ordonnées

Déterminez le point d’intersection de la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=6 avec l’axe des 𝑦.

Réponse

La courbe d’une fonction dans le plan 𝑥𝑦 coupe l’axe des 𝑦 lorsque 𝑥 est égal à zéro. En remplaçant 𝑥=0 dans la fonction, on obtient le point d’intersection avec l’axe des 𝑦.

Ici, en calculant la valeur de la fonction 𝑓(𝑥)=6 au point 𝑥=0, on obtient 𝑓(0)=6. Puisque tout nombre réel non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1, donc, nous devons avoir 𝑓(0)=1. Par conséquent, le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦 est le point (0;1).

À présent, penchons-nous de nouveau sur les fonctions exponentielles de la forme 𝑐𝑓(𝑥)=𝑐𝑎. Elles représentent un étirement vertical de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑎 de coefficient 𝑐. Le point d’intersection avec l’axe des 𝑦 est également mis à l’échelle vers la valeur initiale, 𝑐, parce que, lorsque 𝑥=0, 𝑓(0)=𝑐𝑎=𝑐. Par conséquent, la courbe représentative passe maintenant par le point (0;𝑐). Ci-dessous, nous avons des représentations graphiques de la fonction d’origine, 𝑓(𝑥)=𝑎, et deux autres fonctions de la forme, 𝑓(𝑥)=𝑐𝑓(𝑥), pour des valeurs de 𝑐>0 données par 𝑘>1𝑐=𝑘 et 𝑐=1𝑘.

Si 𝑐<0 dans la fonction 𝑓(𝑥)=𝑐𝑎, alors la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=𝑎 subit une symétrie axiale par rapport à l’axe des abscisses et subit une dilatation verticale avec un coefficient de 𝑐 unités. Le point d’intersection de la courbe avec l’axe des 𝑦, la valeur initiale, est à nouveau mis à l’échelle avec 𝑦=𝑐 comme indiqué ci-dessous avec 𝑐=𝑘, 𝑐=1𝑘, 𝑘>0.

Notez que bien que la fonction 𝑓(𝑥)=𝑐𝑎 soit décroissante lorsque 𝑐<0, si la base 𝑎>1, on parle encore de croissance exponentielle, car le terme exponentiel de la fonction 𝑎 est croissant. Une autre façon de penser à cela est de remarquer que la valeur absolue de la fonction est croissante.

Exemple 2: Identifier les représentations graphiques de fonctions exponentielles

Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à la fonction 𝑓(𝑥)=23?

Réponse

Une façon possible d’aborder cette question est de choisir des valeurs de 𝑥 et de calculer l’image 𝑦 correspondante par la fonction exponentielle 𝑓(𝑥)=23. Nous pouvons alors déterminer laquelle des courbes données correspond à ces couples d’abscisses et ordonnées.

Choisissons en premier 𝑥=0, et en substituant dans la fonction 𝑓(𝑥), on obtient 𝑓(0)=23. Comme tout nombre réel non nul élevé à la puissance 0 est égal à 1, donc 𝑓(0)=21=2. Ainsi, le premier point sur la courbe a pour coordonnées (0;2). Cependant, nous voyons sur la figure que les quatre courbes A, B, C et D passent toutes par le point (0;2).

Par conséquent, nous devrons examiner au moins un autre point. Cherchons ensuite la valeur de 𝑓(𝑥) en 𝑥=1. Ici, nous avons 𝑓(1)=23=23=6. Par conséquent, ce deuxième point a pour coordonnées (1;6).

En marquant ce point sur la figure, il devient apparent que celui-ci appartient à la courbe B. La seule courbe passant par les deux points (0;2) et (1;6) est la courbe B. Par conséquent, la courbe représentative de la fonction 𝑓(𝑥)=23 est donné par la courbe B.

Notez que, dans cet exemple, l’exponentielle 3 a subit une dilatation verticale de coefficient 2 (puisque celle-ci a été multipliée par 2). En outre, étant donné que la base de la fonction 𝑓(𝑥) est 3, qui est strictement supérieur à 1, la fonction 𝑓(𝑥) modélise une croissance exponentielle.

Étudions un autre exemple d’identification des représentations graphiques de fonctions exponentielles de la forme 𝑓(𝑥)=𝑐𝑎.

Exemple 3: Identifier les représentations graphiques des équations exponentielles

Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à la fonction 𝑦=4(2)?

Réponse

Nous voulons déterminer laquelle des courbes données représente celle de l’équation 𝑦=4(2). Pour ce faire, choisissons des valeurs de 𝑥 et calculons leurs images en 𝑦. Nous pourrons alors voir laquelle de ces courbes passe par ces points et correspond donc à l’équation.

Choisissons tout d’abord 𝑥=0, et en substituant dans l’équation, on trouve 𝑦=42=41=4. Ainsi, la courbe cherchée doit passer par le point (0;4). Deux des courbes données, A et D, passent par ce point.

Ainsi, nous pouvons éliminer les courbes B et C, car elles ne passent pas par le point calculé. En étudiant les deux courbes restantes, A et D, on remarque qu’il est possible de les distinguer en choisissant une valeur de 𝑥 qui donne des valeurs de 𝑦 différentes dans chacune des options A et D. Par exemple, on voit que lorsque 𝑥=1 sur la courbe A, 𝑦 est approximativement égal à 8. Ainsi, la courbe A passe par le point (1;8). Cependant, lorsque 𝑥=1 sur la courbe D, la courbe passe par le point (1;2).

En substituant 𝑥=1 dans l’équation, on obtient 𝑦=42=42=8. Par conséquent, le point (1;8) doit appartenir à la courbe. Seule la courbe A passe par ce point. Par conséquent, la courbe d’équation 𝑦=4(2) est la courbe A.

La représentation graphique d’une fonction exponentielle de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎 aura toujours une asymptote horizontale d’équation 𝑦=0. Plus précisément, les courbes représentatives des fonctions exponentielles se rapprochent de l’axe des abscisses sans jamais l’atteindre. De même, si la fonction subit une translation vers le haut ou le bas en ajoutant ou en soustrayant une constante 𝑐>0, de sorte que 𝑓(𝑥)=𝑎±𝑐, alors cette fonction aura une asymptote d’équation 𝑦=±𝑐.

Dans notre prochain exemple, nous allons voir comment une fonction exponentielle avec une asymptote différente de zéro peut être identifiée à partir d’un graphique.

Exemple 4: Identifier les fonctions exponentielles à partir de leurs représentations graphiques

Laquelle des expressions suivantes pourrait être l’équation de la courbe?

  1. 𝑦=4(1+3)
  2. 𝑦=4(1+3)
  3. 𝑦=4(13)
  4. 𝑦=4(1+3)
  5. 𝑦=4(13).

Réponse

Nous remarquons d’abord que la courbe semble passer par le point (0;0). Cela signifie que, dans l’équation de la courbe, lorsque 𝑥=0, 𝑦=0. Nous pouvons vérifier si tel est le cas ou non pour chacune des options données. En calculant la valeur du membre de droite de chaque équation en 𝑥=0, on trouve ABCDE41+3=4(1+1)041+3=4(1+1)0413=4(11)=041+3=4(1+1)0413=4(11)=0×××

Les options C et E sont les deux seules équations dont les courbes passent par le point (0;0). Par conséquent, nous pouvons éliminer les équations A, B et D.

Notre prochaine étape consiste à étudier le comportement de la courbe. On voit que pour des valeurs de 𝑥 positives, les valeurs en 𝑦 deviennent très vite extrêmement grandes négativement. Essayons d’évaluer les équations en une valeur de 𝑥 positive, par exemple 𝑥=1, dans chacune des options restantes, C et E:CE𝑦=413=83>0,𝑦=413=8<0.

On voit que l’équation C renvoie une valeur positive lorsque 𝑥=1, ce qui ne correspond pas à la courbe étudiée. Cependant, en évaluant en 𝑥=1 l’équation E, on trouve 𝑦=8, ce qui est cohérent avec la courbe étudiée. Ainsi, l’équation E est l’équation de la courbe.

En développant le membre de droite de l’équation 𝑦=4(13), puis en la réarrangeant, on obtient 𝑦=43+4. Ainsi, le terme exponentiel, 3, subit une dilatation verticale par un coefficient de 4 ( 3 étant multiplié par 4), symétrie par rapport à l’axe des abscisses (à cause du signe moins), puis une translation de 4 unités vers le haut (à cause de l’addition par 4). L’asymptote horizontale a alors pour équation 𝑦=4.

Dans notre dernier exemple, nous étudions une courbe représentative d’une fonction qui représente une décroissance exponentielle.

Exemple 5: Identifier les courbes représentatives d’équations exponentielles

Laquelle des courbes représentatives suivantes correspond à la fonction 𝑦=14?

Réponse

Nous savons que la fonction 𝑦=14 est une fonction exponentielle, car elle est de la forme 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎. On sait aussi que, par définition, la courbe d’une telle fonction passe par le point (0;1) et a une asymptote horizontale d’équation 𝑦=0.

Cela signifie que nous pouvons éliminer la courbe A, car elle ne satisfait aucune de ces conditions:elle ne passe pas par le point (0;1) et elle ne se rapproche pas de plus en plus, sans jamais la toucher, de la droite d’équation 𝑦=0;en fait, la courbe A est la représentation graphique d’une fonction du second degré.

Quant aux courbes B et C, bien que la courbe B semble se rapprocher la droite d’équation 𝑦=0, aucune de ces courbes ne passe par le point (0;1).

En fait, aucune de ces deux courbes ne semble exister lorsque 𝑥<0, ce qui n’est pas le cas pour la fonction exponentielle. On peut donc éliminer les courbes B et C.

Les seules courbes possibles restantes sont donc les courbes D et E, qui passent toutes deux par le point (0;1) et qui ont une asymptote d’équation 𝑦=0.

Pour déterminer laquelle de ces courbes représente la fonction 𝑦=14, on doit considérer une autre propriété des fonctions exponentielles de la forme 𝑦=𝑓(𝑥)=𝑎. C’est-à-dire:

  • si 𝑎>1,𝑓(𝑥) modélise une croissance exponentielle;
  • si 0<𝑎<1,𝑓(𝑥) modélise une décroissance exponentielle.

Dans notre cas, 𝑎=14. Par conséquent, notre fonction modélise une décroissance exponentielle. Cela signifie que lorsque la variable 𝑥 augmente, la valeur de la fonction diminue. On voit que, dans le graphique D, le contraire se produit:lorsque 𝑥 augmente, la valeur de la fonction augmente également. Ainsi, nous pouvons éliminer la courbe D.

Étant donné que la fonction représentée sur le graphique E diminue lorsque 𝑥 augmente, cette courbe présente bien une décroissance exponentielle. Par conséquent, la courbe E représente l’équation 𝑦=14.

Terminons par rappeler quelques points clés sur les représentations graphiques des fonctions exponentielles.

Points clés

  • Une fonction exponentielle est une fonction de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎, 𝑎>0 et 𝑎1.
  • Si 𝑎>1 la fonction représente une croissance exponentielle;
    si 0<𝑎<1 la fonction représente une décroissance exponentielle.
  • La courbe représentative de 𝑓(𝑥)=𝑎 passe par le point (0;1) et a une asymptote horizontale d’équation 𝑦=0.
  • La fonction 𝑓(𝑥)=𝑐𝑎 est une fonction exponentielle passant par le point (0;𝑐) c’est-à-dire coupe l’axe des 𝑦 en ce point, avec 𝑦=𝑐.

Download the Nagwa Classes App

Attend sessions, chat with your teacher and class, and access class-specific questions. Download the Nagwa Classes app today!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy