Lesson Explainer: المضلعات المتشابهة | Nagwa Lesson Explainer: المضلعات المتشابهة | Nagwa

Lesson Explainer: المضلعات المتشابهة Mathematics • 8th Grade

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نستخدم خصائص المضلَّعات المتشابِهة لإيجاد قياسات الزوايا وأطوال الأضلاع المجهولة ومعاملات قياس التشابه والمحيط.

قبل أن نبدأ النظر في المضلَّعات المتشابِهة، علينا أولًا أن نراجع أمرَيْن. ما المضلَّع؟ وما التشابُه؟

تعريف المضلَّع

المضلَّع شكل مُغلَق أضلاعه مستقيمة.

يُمكن أن نرى في الجدول أمثلة على أشكال المضلَّعات، وأشكال لا تمثِّل مضلَّعات.

وفيما يأتي تعريف التشابُه.

تعريف التشابُه الرياضي

يكون الشكلان متشابهَيْن إذا كان لهما أضلاع متناظِرة متناسِبة، وزوايا متساوية.

ومثال على شكلين متشابهَيْن المستطيلان الموضَّحان الآتيان:

هنا، بما أن الشكلين مستطيلان، فإنهما يحتويان على الزوايا نفسها. ولكن، ليكونا متشابهَيْن، علينا أيضًا التحقُّق من تناسُب أضلاع المستطيلَيْن. إذا قسمنا أطوال أضلاع المستطيلين المتناظرة، فسنحصل على ٣÷٢=٥٫١ و٥٫٧÷٥=٥٫١. معامل قياس التشابُه بين الضلعين ثابت؛ وبذلك يكون المستطيلان متشابهَيْن. في الواقع، المستطيلان في هذا المثال هما مضلَّعان؛ ومن ثَمَّ فهما مثال على المضلَّعات المتشابِهة.

والآن، دعونا نتذكَّر بعض الرموز المُستخدَمة عند دراسة المضلَّعات المتشابِهة. عادة ما يُشار إلى رءوس المضلَّع بحروف تكتب في اتجاه عقارب الساعة، ويُشار عادةً إلى المضلَّع باستخدام هذه الحروف. على سبيل المثال، المضلَّع في الصورة رءوسه هي 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𞸤، ويُشار إليه بـ: 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤.

إذا كان شكلان متشابهَيْن، على سبيل المثال: المثلثان 󰏡𞸁𞸢، 𞸃𞸤󰎨، إذن يُمكننا القول إن 󰏡𞸁𞸢𞸃𞸤󰎨. إذا علمنا أن شكلين متشابهَيْن، إذن نعلم أن زواياهما المتناظِرة متساوية في القياس، وأضلاعهما المتناظِرة متناسبة. والعكس صحيح أيضًا، إذا كانت الزوايا المتناظِرة في شكلين متساوية، وأضلاعهما المتناظِرة متناسبة، إذن يكون الشكلان متشابهَيْن.

يُمكننا إذن استخدام هاتين الحقيقتين لحلِّ المسائل التي تتضمَّن مضلَّعات متشابهة. يُوجَد عادةً نوعان من الأسئلة في هذا الصدد. النوع الأول يوفِّر لك المعلومات التي تُفيد بأن الشكلين متشابهَيْن، ثم يطلب منك استخدام هذه الخاصية لإيجاد معلومات مجهولة (استخدام خواص التشابه). النوع الثاني يُخبرك بعض المعلومات حول الشكلَيْن، ويطلب منك تحديد إذا ما كان الشكلان متشابهَيْن (إثبات التشابه). عند إثبات التشابه، قد تطلب الأسئلة استخدام خواص التشابه لإيجاد معلومات إضافية.

هيَّا نلقِ نظرةً على مثال على النوع الأول من الأسئلة.

مثال ١: استخدام خواص التشابُه في حلِّ المسائل

إذا كان المستطيلان الموضَّحان متشابهَيْن، فما قيمة 𞸎؟

الحل

بما أننا نعلم أن المستطيلَيْن متشابهان، فإننا نعرف أن أضلاعهما لا بدَّ أن تكون متناسبة. بعبارةٍ أخرى، لا بدَّ من وجود معامل تشابُه واحد بين الأضلاع المتناظِرة. ضلع المستطيل الأصغر الذي طوله ٢١ سم يناظر الضلع في المستطيل الأكبر الذي طوله 𞸎 سم، وضلع المستطيل الأصغر الذي طوله ١٥ سم يناظر ضلع المستطيل الأكبر الذي طوله ٦٠ سم. يُمكننا إيجاد معامل قياس التشابه بين المستطيل الأصغر والمستطيل الأكبر بقسمة ٦٠ على ١٥. إذا أردنا العمل في الاتجاه المعاكس (من الأكبر إلى الأصغر)، فإننا نقسم ١٥ على ٦٠ لإيجاد معامل قياس التشابه. وبوجهٍ عام، من الأسهل العمل في الاتجاه من الأصغر إلى الأكبر؛ لذا دعونا نفعل ذلك. معامل قياس التشابه يساوي: ٠٦÷٥١=٤، وهو ما يُخبرنا أن طول كل ضلع في المستطيل الأكبر يساوي أربعة أمثال الضلع الذي يناظره في المستطيل الأصغر. لذا، لإيجاد طول 𞸎، نضرب ٢١ في ٤. إذن: 𞸎=١٢×٤=٤٨.

لنلقِ نظرةً على مثال آخَر.

مثال ٢: استخدام خواص التشابُه في حلِّ المسائل

إذا كان المضلَّعان الآتيان متشابهَيْن، فأوجد قيمة 𞸎.

الحل

لدينا هنا شكلان رباعيان نعلم أنهما متشابهان. علينا إيجاد معامل قياس التشابه الذي ينقل شكلًا إلى الآخَر. نعلم أن الضلع الموجود في الشكل الرباعي الأكبر الذي طوله ٨٥ سم يناظر الضلع الذي طوله ٣٤ سم في الشكل الرباعي الأصغر. إذا حسبنا معامل قياس التشابه في الاتجاه من الشكل الأكبر إلى الشكل الأصغر، سنحصل على: ٤٣÷٥٨.

في هذه الحالة، معامل قياس التشابه ليس عددًا كليًّا؛ لذا سنترك الإجابة على صورة الكسر المُبسَّط: ٢٥. نعلم إذن أن طول كلِّ ضلع في الشكل الرباعي الأصغر يمثِّل ٢٥ من طول الضلع المناظِر في الشكل الرباعي الأكبر. ومن ثم، لإيجاد 𞸎 نضرب ٧٥ في ٢٥: 𞸎=٥٧×٢٥=(٥٧÷٥)×٢=٠٣.

هيَّا الآن نتناول سؤالًا علينا أن نحدِّد فيه إذا ما كان المضلَّعان متشابهَيْن. يوجد معياران علينا التحقُّق منهما:

  1. هل قياسات الزوايا المتناظِرة في كلِّ شكل متساوية؟
  2. هل أطوال الأضلاع المتناظِرة في كلِّ شكل متناسبة؟

سنشرح ذلك في مثال.

مثال ٣: إثبات تشابُه مضلَّعين

هل المضلَّع 󰏡𞸁𞸢𞸃 مشابِه للمضلَّع 𞸓󰎨𞸤𞹎؟

الحل

أوَّل ما نلاحظه هنا هو أن المضلَّعين متوازيا أضلاع، وهو ما يسمح لنا بحساب أطوال الأضلاع وقياسات الزوايا المجهولة في كلِّ شكل. إذا نظرنا إلى 𞸓󰎨𞸤𞹎، تُخبرنا خواص متوازي الأضلاع أن 𞸤𞹎=󰎨𞸓، 𞸤󰎨=𞹎𞸓. نعرف أيضًا أن 󰌑󰎨 مكمِّلة لـ 󰌑𞸓؛ ولذلك 𞹟󰌑𞸓=٠٧. أيضًا، الزاويتان المتقابلتان في متوازي الأضلاع متساويتان في القياس؛ لذا 𞹟󰌑𞹎=٠١١، 𞹟󰌑𞸤=٠٧.

ويُمكننا تطبيق برهان مماثِل على 󰏡𞸁𞸢𞸃 لتوضيح أن 󰏡𞸁=𞸃𞸢، 𞸁𞸢=󰏡𞸃، 𞹟󰌑𞸁=٠١١، 𞹟󰌑𞸢=٠٧، 𞹟󰌑𞸃=٠١١. ومن ثَمَّ، فإن الزاويتين المتناظِرتين في كلِّ مضلَّع متساويتان في القياس. لإثبات التشابُه، علينا فقط التحقُّق من أن الأضلاع متناسِبة. علينا التحقُّق من أن 𞸤𞹎𞸢𞸃=𞸤󰎨𞸢𞸁: 𞸤𞹎𞸢𞸃=٦٢٣١=٢،𞸤󰎨𞸢𞸁=٣٢٥٫١١=٢.

قياسات الزوايا المتناظِرة متساوية، وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة، وبذلك يكون المضلَّعان متشابهَيْن.

وفي الختام، لنلقِ نظرةً على مثال أخير. هذه المرة سيُطلَب منَّا تحديد إذا ما كان الشكلان متشابهَيْن، ثم ذكْر معلومة إضافية عن المضلَّعين.

مثال ٤: إثبات تشابُه مضلَّعين

هل هذان المضلَّعان متشابهان؟ إذا كانت الإجابة نعم، فأوجد معامل قياس التشابُه بين 𞹎𞸑𞹑𞸋، 󰏡𞸁𞸢𞸃.

الحل

نلاحظ من السؤال أن ثلاثًا من الزوايا المتناظِرة في المضلَّعين متساوية في القياس. يُمكننا استنتاج أن قياس الزاوية الرابعة لا بدَّ أيضًا أن يكون متساويًا في كلا المضلَّعين. ومن ثَمَّ، فإن قياسات الزوايا المتناظِرة متساوية في الشكلين الرباعيين. علينا بعد ذلك التأكُّد من أن أطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة. إذا نظرنا جيدًا إلى الشكل ومواضع الزوايا، يُمكننا ملاحظة أن 𞹑𞸋 يناظر 𞸢𞸃، 𞸋𞹎 يناظر 𞸃󰏡، 𞹎𞸑، يناظر 󰏡𞸁، 𞸑𞹑 يناظر 𞸁𞸢. لذا، علينا التحقُّق من أن 𞹑𞸋𞸢𞸃=𞸋𞹎𞸃󰏡=𞹎𞸑󰏡𞸁=𞸑𞹑𞸁𞸢: 𞹑𞸋𞸢𞸃=٢٫٣٦٥٫٢=٥٤،𞸋𞹎𞸃󰏡=٤٫٣٢٧٫٢=٥٤،𞹎𞸑󰏡𞸁=٨٫٤٤٨٫٣=٥٤،𞸑𞹑𞸁𞸢=٢٫٣٦٥٫٢=٥٤.

وبما أن الزوايا المتناظِرة متساوية في القياس وأطوال الأضلاع المتناظِرة متناسبة، فإن الشكلين الرباعيين متشابهان. معامل قياس التشابُه بين 𞹎𞸑𞹑𞸋، 󰏡𞸁𞸢𞸃 هو ٤٥=٨٫٠؛ حيث نحدِّد الاتجاه من الشكل الأكبر إلى الشكل الأصغر.

Download the Nagwa Classes App

Attend sessions, chat with your teacher and class, and access class-specific questions. Download the Nagwa Classes app today!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy