Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la somme des termes d’une suite géométrique ayant un nombre fini de termes.
Imaginons une suite telle que chacun de ses termes se calcule en multipliant le terme précédent par une constante, comme par exemple la suite, .
On appelle ce facteur constant la raison de la suite. On pourrait aussi décrire une telle suite en disant que chaque terme de la suite est égal au terme précédent multiplié par la raison.
Ce type de suite est appelé une suite géométrique, ici de premier terme égal à 2 et de raison 3. Si notre suite se composait uniquement des six termes écrits ci-dessus (ou de n’importe quel autre nombre fini de termes), alors nous dirions qu’il s’agit d’une suite géométrique finie, car elle possèderait un nombre fini de termes. Si au contraire notre suite se poursuivait à l’infini selon le modèle ci-dessus, comme semblent le suggérer les points de suspension, alors nous dirions qu’il s’agit d’une suite géométrique infinie.
Définition : Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite dont le rapport des termes consécutifs, donné par la raison, , est constant. Le premier terme de la suite est noté ou , le deuxième terme est noté , le troisième terme et ainsi de suite. Le terme est noté .
Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par la raison :
On peut aussi exprimer chacun des termes de la suite comme étant le premier terme multiplié par une puissance de la raison :
Pour revenir à notre suite géométrique initiale ci-dessus, si nous connaissons les nombres dans la suite, nous pouvons calculer la raison en divisant la valeur d’un terme par la valeur du terme précédent. Puisque le rapport entre deux termes consécutifs est constant, peu importe la paire que nous choisissons pour notre calcul.
En effet, le rapport entre le deuxième et le premier terme vaut , le rapport entre le troisième et le deuxième terme vaut et ainsi de suite.
Définition : La raison d’une suite géométrique
On peut exprimer le fait de multiplier un terme par la raison pour obtenir le terme suivant en écrivant et l’on peut diviser les deux membres de l’équation par pour obtenir
Par ailleurs, en utilisant le fait que par définition, un terme est le résultat de la multiplication du terme précédent par la raison, on trouve que
La somme des termes d'une suite s’appelle une série. La série géométrique correspondant à la suite géométrique pourrait être représentée ainsi :
Ici, si l’on calcule la somme des 10 premiers termes de la série, on trouve 59 048.
Nous allons maintenant tenter d’établir une formule pour calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique.
On considère une suite géométrique de premier terme et de raison . On peut noter ses premiers termes et par conséquent exprimer la somme des premiers termes d’une suite géométrique en écrivant :
Si l’on multiplie les deux membres de notre équation par , on a
En soustrayant l’équation (2) à l’équation (1), tous les termes des deux membres de droite s’annulent, à l’exception de et .
Donc,
En factorisant par le membre de droite et par le membre de gauche, on obtient une formule pour calculer :
On aurait aussi pu soustraire l’équation (1) à l’équation (2) pour trouver la formule
Définition : La somme d’une suite géométrique finie
La somme des premiers termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison , est notée et est donnée par les formules :
En règle générale, on utilise la première version si et la seconde si .
Si , tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme : .
Dans le premier exemple, nous calculerons la somme des six premiers termes d’une suite géométrique étant donné sa raison et son premier terme.
Exemple 1: Calcul de la somme de certains termes dans une série géométrique finie
Une série géométrique a un premier terme de 3 et un rapport commun de 5. Calculez la somme des 6 premiers termes.
Réponse
Pour répondre à cette question, nous utilisons la formule du calcul de la somme des premiers termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison :
Il est dit dans l’énoncé que le premier terme est 3, que la raison est 5 et que l’on doit calculer la somme des 6 premiers termes ; ainsi, on pose , , et et on remplace dans la formule :
La somme des 6 premiers termes de la suite géométrique est égale à 11 718.
Dans le deuxième exemple, nous utiliserons la formule permettant de trouver le terme d’une suite géométrique finie, ce qui nous permettra de calculer le nombre de termes de la suite en question pour enfin trouver la somme de la série.
Exemple 2: Calculer la somme d’une suite géométrique finie
Calculez la somme de la suite géométrique .
Réponse
On désigne le premier terme d’une suite géométrique par . On a donc ici .
On peut calculer la valeur de la raison, , en divisant un terme par le terme qui le précède :
La raison de la suite est égale à . On a donc .
On sait que le dernier terme de la suite est 256. Si l’on note , le nombre de termes de la séquence, on peut alors écrire que . La valeur du terme d’une suite géométrique de premier terme et de raison est donnée par la formule
On sait que
Donc,
Par conséquent,
On peut maintenant utiliser la formule pour calculer la somme de la suite, avec , , et :
La somme de la suite géométrique est égale à 176.
Dans le prochain exemple, nous devrons d’abord réarranger nos formules avant de pouvoir calculer le nombre de termes de la suite géométrique.
Exemple 3: Déterminer le nombre de termes d’une suite géométrique finie connaissant sa somme
Une suite géométrique, de premier terme 729, de dernier terme 1 et dont la somme des termes est 1 093, comporte termes au total.
Réponse
On désigne le premier terme d’une suite géométrique par . On a donc ici .
Étant donné que le dernier terme est et que , où est la raison, alors :
En utilisant la règle du quotient de deux puissances d’un même nombre, , on peut réécrire le membre de droite de l’équation
On peut maintenant utiliser la formule permettant de calculer la somme des premiers termes d’une série géométrique, à savoir . On sait que , donc on peut écrire
D’après l’équation (3), on peut écrire à la place de dans notre équation :
Ainsi, la raison de la suite est . On peut substituer cette valeur dans l’équation (3) afin de trouver :
En utilisant la règle du produit de deux puissances d’un même nombre, , on peut réécrire le membre de gauche de l’équation
Par conséquent, .
Ainsi, une suite géométrique de premier terme 729, de dernier terme 1 et dont la somme des termes est 1 093 comporte 7 termes au total.
Dans le quatrième exemple, nous trouverons une suite géométrique à partir d’informations sur certaines de ses propriétés.
Exemple 4: Déterminer une suite géométrique connaissant son dernier terme, sa raison et la somme de ses termes
Déterminez la suite géométrique dont la somme des termes est 3 339, le dernier terme est 1 696 et la raison est 2.
Réponse
On désigne la raison d’une suite géométrique par . On a donc ici .
On sait que le dernier terme est et que , où est le premier terme de la suite, donc on peut écrire que
En utilisant la règle pour le quotient de deux puissances d’un même nombre, , on peut réécrire le membre de droite de l’équation
On sait que la somme des termes de la série est et que , donc on a
On sait d’après l’équation (4) que >, substituons le alors dans l’équation (5) pour écrire une équation d’inconnue que nous pouvons résoudre :
Par conséquent, le premier terme de la suite est 53 et sa raison est 2.
Il en découle que le deuxième terme de la suite est . De la même manière, le troisième terme est . On trouve chacun des termes suivants en multipliant par 2 le terme qui le précède.
Ainsi, la suite géométrique est .
Dans le dernier exemple, on nous donne une relation de multiplication entre deux termes non consécutifs d’une suite géométrique, ainsi que la somme de deux de ses termes, également non consécutifs. Nous utiliserons nos connaissances sur les suites géométriques pour commencer par déterminer le premier terme et la raison de la suite, puis trouver la somme d’un nombre fini de termes.
Exemple 5: Trouver la somme des N premiers termes d’une suite géométrique étant donné certaines informations
Trouvez la somme des 7 premiers termes d’une suite géométrique sachant que et .
Réponse
Le terme d’une suite géométrique de premier terme et de raison est est noté et est donné par .
Par conséquent et .
En substituant ces expressions dans la première équation, , on trouve que
Le premier terme de la suite géométrique n'est pas égal à zéro puisque la somme de deux de ses termes est non nulle. Puisque et sont non nuls, on peut diviser chaque membre de l’équation par :
Maintenant que l’on connait la valeur de la raison, nous pouvons utiliser la seconde équation, , où et .
Donc,
En substituant , on a
Par conséquent, le premier terme de la suite est et sa raison est .
On peut maintenant calculer la somme des sept premiers termes de la suite géométrique en utilisant la formule
On remplace par et :
La somme des 7 premiers termes de la suite géométrique est égale à .
Récapitulons les notions essentielles de cette fiche explicative.
Points clés
- Une suite géométrique finie est de la forme , où est le premier terme, est la raison, et est le nombre de termes de la suite.
- Le terme d’une suite géométrique est donné par .
- La raison, , d’une suite géométrique dont le terme est est donnée par ou .
- La somme des termes d’une suite s’appelle « une série ».
- La somme des premiers termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison , est notée et est donnée par
