Lesson Explainer: معادلة الدائرة | Nagwa Lesson Explainer: معادلة الدائرة | Nagwa

Lesson Explainer: معادلة الدائرة Mathematics

في هذا الشارح، سنتعلَّم كيف نُوجد معادلة دائرةٍ باستخدام مركزها ونقطة مُعطاة أو نصف القطر، والعكس.

كيف نَصِف الدائرة رياضيًّا

من الناحية الرياضية، يمكن وصف الدائرة بأنها المحلُّ الهندسي لنقاطٍ تقع على مسافات متساوية من نقطة معينة، تُسمَّى مركز الدائرة. يعني ذلك أن الدائرة هي المجموعة المكوَّنة من جميع النقاط، وفقط هذه النقاط، التي تقع على مسافة معينة من مركز الدائرة. هذه المسافة الثابتة بين أيِّ نقطة في الدائرة ومركزها هي نصف قطر الدائرة.

لاحظ أن الدائرة ليست تمثيلًا بيانيًّا للدالة 𞸑=󰎨(𞸎) لأن أحد عناصر المجال يمكن أن يرتبط بعنصرين في مداها. بعبارةٍ أخرى، يمكننا إيجاد نقطتين على الدائرة لهما الإحداثي 𞸎 نفسه.

لكنَّ هناك علاقة بين الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لجميع النقاط على الدائرة: هذه هي معادلة الدائرة.

معادلة الدائرة التي يقع مركزها عند نقطة الأصل في صورة المركز ونصف القطر.

لنبدأ بدائرةٍ يقع مركزها عند نقطة الأصل للمستوى الإحداثي. هذه الدائرة هي المحلُّ الهندسي لنقاط تقع على مسافات متساوية من نقطة الأصل. إن المسافة من أيِّ نقطة 𞹟(𞸎،𞸑) على الدائرة إلى نقطة الأصل هي نصف قطر الدائرة 𞸓. كما أن العلاقة بين الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لجميع النقاط على الدائرة تُعطَى إذن من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية الموضَّح في الشكل أدناه؛ حيث يكون الوتر هو نصف قطر الدائرة.

نجد أن |𞸎|+|𞸑|=𞸓.٢٢٢

يمكن حذف القيم المُطلَقة لأنها مربَّعة (|𞸎|=𞸎٢٢ أيًّا كانت إشارة 𞸎). إذن، 𞸎+𞸑=𞸓.٢٢٢

هذه هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها 𞸓، ويقع مركزها عند نقطة الأصل.

سنوجد الآن معادلة أيِّ دائرة.

معادلة الدائرة التي نصف قطرها ر ويقع مركزها عند ﺟ(ح، ع) في صورة المركز ونصف القطر.

الدائرة التي نصف قطرها 𞸓 ويقع مركزها عند 𞸢(𞸇،𞹏) تمثِّل المحلَّ الهندسي لنقاط تقع على مسافات متساوية من النقطة 𞸢(𞸇،𞹏). أيُّ نقطة تقع على الدائرة تكون على مسافة 𞸓 من المركز 𞸢(𞸇،𞹏).

نطبِّق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الزاوية الموضَّح في الشكل التالي؛ حيث يكون الوتر هو نصف قطر الدائرة.

نجد أن |𞸎𞸇|+|𞸑𞹏|=𞸓𞹟٢𞹟٢٢ وهو ما يمكن إعادة كتابته على الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓.𞹟٢𞹟٢٢

وهذا ينطبق على أيِّ نقطة على الدائرة، إذن معادلة الدائرة التي نصف قطرها 𞸓 ويقع مركزها عند 𞸢(𞸇،𞹏)، والتي تَصِف العلاقة بين الإحداثي 𞸎 والإحداثي 𞸑 لجميع النقاط على الدائرة، يمكن كتابتها على الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓.٢٢٢

لاحظ أن المعادلة العامة للدائرة يمكن استنتاجها أيضًا من معادلة الدائرة التي نصف قطرها 𞸓، ويقع مركزها عند نقطة الأصل عن طريق نقل الدائرة 𞸇 وحدة أفقيًّا، و𞹏 وحدة رأسيًّا؛ أي من خلال المتجه (𞸇،𞹏).

تُكتب معادلة الدائرة المعطاة في الأعلى على الصورة التي تُسمَّى المركز ونصف القطر. يمكن كتابة معادلة الدائرة بصورة أخرى، تُسمَّى الصورة العامة. يمكننا الحصول على هذه الصورة ببساطة عن طريق فكِّ الأقواس في المعادلة التي تكون في صورة المركز ونصف القطر.

معادلة الدائرة بالصورة العامة

معادلة الدائرة التي نصف قطرها 𞸓، ويقع مركزها عند 𞸢(𞸇،𞹏) هي: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢. بفكِّ الأقواس، نحصل على 𞸎+𞸑٢𞸇𞸎٢𞹏𞸑+𞸇+𞹏=𞸓.٢٢٢٢٢ يمكن إعادة كتابة هذا في صورة: 𞸎+𞸑٢𞸇𞸎٢𞹏𞸑+𞸇+𞹏𞸓=٠.٢٢٢٢٢

إذا جعلنا ٢𞸇 يكون 󰏡، و٢𞹏 يكون 𞸁 و𞸇+𞹏𞸓٢٢٢ يكون 𞸖، سنحصل على 𞸎+𞸑+󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸖=٠.٢٢

هذه هي معادلة الدائرة في الصورة العامة.

مثال ١: كتابة معادلة الدائرة بمعلومية مركزها

ما معادلة الدائرة التي نصف قطرها ١٠ ومركزها (٤،٧)؟

اكتب الإجابة في الصورة: 𞸎+𞸑+󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸖=٠٢٢.

الحل

نبدأ بكتابة معادلة الدائرة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓.٢٢٢

نصف القطر 𞸓 يساوي ١٠ وإحداثيَّا المركز هما: 𞸇=٤ و𞹏=٧؛ إذن هذا يعطينا (𞸎٤)+(𞸑+٧)=٠١(𞸎٤)+(𞸑+٧)=٠٠١.٢٢٢٢٢

هذه هي معادلة الدائرة التي نصف قطرها ١٠ ومركزها (٤،٧) في صورة المركز ونصف القطر.

لكن، المطلوب منَّا هو كتابتها على الصورة: 𞸎+𞸑+󰏡𞸎+𞸁𞸑+𞸖=٠٢٢.

علينا فكُّ الأقواس، 𞸎٨𞸎+٦١+𞸑+٤١𞸑+٩٤=٠٠١،٢٢ ثم طرح ١٠٠ من كلا الطرفين، 𞸎٨𞸎+٦١+𞸑+٤١𞸑+٩٤٠٠١=٠،٢٢ وجمع الحدود المتشابهة: 𞸎+𞸑٨𞸎+٤١𞸑٥٣=٠.٢٢

مثال ٢: كتابة معادلة الدائرة بمعلومية مركزها

باستخدام الشكل التالي، أوجد معادلة الدائرة.

الحل

في هذا المثال، علينا استخدام التمثيل البياني للتعرُّف على إحداثِيَّي المركز ونصف قطر الدائرة.

إحداثيَّا مركز الدائرة هما: (𞸇،𞹏)=(٥،٤).

لإيجاد نصف القطر، يمكننا، على سبيل المثال، إيجاد الفرق بين إحداثِيَّي 𞸑 أعلى نقطة وإحداثِيَّي المركز، ١(٤)=١+٤=٥، أو الفرق بين إحداثِيَّي 𞸎 أبعد نقطة إلى اليمين وإحداثِيَّي المركز: ٠(٥)=٥. إذن 𞸓=٥.

نعوِّض بقِيَم 𞸇 و𞹏 و𞸓 في (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢، ونجد أن (𞸎+٥)+(𞸑+٤)=٥٢٢٢.

مثال ٣: كتابة معادلة الدائرة بمعلومية مركزها

أوجد معادلة الدائرة التي تمرُّ بالنقطة 𞸌(٠،٨) إذا كان مركزها 𞹟(٢،٦).

الحل

نبدأ بكتابة المعادلة العامة للدائرة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓.٢٢٢

نعرف أن هذه النقطة 𞹟(٢،٦) هي مركز الدائرة؛ إذن 𞸇=٢ و𞹏=٦. بعد ذلك، نعوِّض بهذه القيم في المعادلة، فنحصل على (𞸎+٢)+(𞸑+٦)=𞸓.٢٢٢

إننا لا نعرف نصف القطر، ولكنَّنا نعرف أن هذه النقطة 𞸌 تقع على الدائرة؛ لذا فإحداثيَّاها 𞸎=٠ و𞸑=٨ لا بد أن يحقِّقا معادلة الدائرة. ومن ثمَّ، يمكننا التعويض عن 𞸎 و𞸑 في المعادلة بهاتين القيمتين لإيجاد 𞸓:(٢)+(٨+٦)=𞸓٤+٦٩١=𞸓٠٠٢=𞸓.٢٢٢٢٢

وتصبح معادلة الدائرة في النهاية هي: (𞸎+٢)+(𞸑+٦)=٠٠٢.٢٢

كيفية إيجاد إحداثيات المركز ونصف القطر من المعادلة في صورة المركز ونصف القطر

بمعلومية معادلة الدائرة في الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢، يكون إحداثيَّا المركز (𞸇،𞹏) ونصف القطر 𞸓=󰋴𞸓٢.

مثال ٤: إيجاد إحداثيات المركز ونصف قطر الدائرة من معادلتها في صورة المركز ونصف القطر

أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها (𞸎٢)+(𞸑+٨)٠٠١=٠٢٢.

الحل

  1. علينا إعادة ترتيب المعادلة على الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢.وسنحصل على (𞸎٢)+(𞸑+٨)=٠٠١٢٢.
  2. من خلال مقارنة المعادلة المُعطاة مع (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢، نجد أن 𞸇=٢ و𞹏=٨ و𞸓=٠٠١٢.
  3. إحداثيَّا المركز هما: (٢،٨)، ونصف القطر 𞸓=󰋴𞸓=󰋴٠٠١=٠١٢.

كيفية إيجاد إحداثيات المركز ونصف القطر من المعادلة في الصورة العامة

عندما تكون معادلة الدائرة مُعطاة في الصورة العامة: 𞸎+𞸑+𞸁𞸎+𞸖𞸑+𞸃=٠٢٢، يجب إعادة كتابة المعادلة على الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢؛ بإكمال مربَّع المقدار 𞸎+𞸁𞸎٢، والمقدار 𞸑+𞸖𞸑٢.

يعطينا هذا 󰂔𞸎+𞸁٢󰂓+󰂔𞸑+𞸖٢󰂓=𞸓٢٢٢، وهو ما يسمح بتحديد مركز الدائرة (𞸇،𞹏)=󰂔𞸁٢،𞸖٢󰂓 ونصف قطر الدائرة 𞸓=󰋴𞸓٢.

مثال ٥: إيجاد إحداثيات المركز ونصف قطر الدائرة من معادلتها بالصورة القياسية

بإكمال المربَّع، أوجد مركز الدائرة ونصف قطرها 𞸎+٦𞸎+𞸑٤𞸑+٨=٠٢٢.

الحل

  1. علينا إعادة ترتيب المعادلة على الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢؛ بإكمال المربَّع.
  2. وسنجد أن 𞸎+٦𞸎=(𞸎+٣)٩٢٢ و𞸑٤𞸑=(𞸑٢)٤٢٢.
  3. بالتعويض بهذه القيم في المعادلة الأصلية، نحصل على (𞸎+٣)٩+(𞸑٢)٤+٨=٠٢٢.
  4. من خلال إعادة ترتيبها على الصورة: (𞸎𞸇)+(𞸑𞹏)=𞸓٢٢٢، نجد أن (𞸎+٣)+(𞸑٢)=٥٢٢.
  5. ونجد أن 𞸇=٣، و𞹏=٢، و𞸓=٥٢.
  6. إحداثيَّا المركز هما: (٣،٢)، ونصف القطر هو: 𞸓=󰋴𞸓=󰋴٥٢.

Download the Nagwa Classes App

Attend sessions, chat with your teacher and class, and access class-specific questions. Download Nagwa Classes app today!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy.