Lesson Explainer: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحلُّ بالنسبة إلى زاوية | Nagwa Lesson Explainer: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحلُّ بالنسبة إلى زاوية | Nagwa

Lesson Explainer: حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية: الحلُّ بالنسبة إلى زاوية Mathematics

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نُوجِد قياس زاوية مجهول في مثلث قائم الزاوية باستخدام الدالة المثلثية العكسية المناسبة بمعلومية طولَيْ ضلعين.

عند التعامل مع حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، من المفيد أن تتذكَّر الاختصار: «جا ق و جتا جـ و ظا ق جـ». يساعدنا ذلك على تذكُّر المصطلحات المتعلِّقة بالنسب المثلثية؛ وهي: دوال الجيب، وجيب التمام، والظل؛ بدلالة الأضلاع التي نُطلِق عليها: الضلع المقابل، أو الضلع المجاور، أو الوتر بالنسبة إلى زاوية ما. دعونا نسرد هذه النسب هنا.

النسب المثلثية

دائمًا ما يكون الوتر هو الضلع الأطول في المثلث القائم الزاوية، والضلع المقابل هو الضلع المقابل للزاوية المعنية مباشرةً، والضلع المجاور هو الضلع المجاور للزاوية (وهو ليس الوتر). فيما يلي مثال على ذلك.

لإيجاد قياسات الزوايا المجهولة في المثلثات القائمة الزاوية (باستخدام حساب المثلثات)، علينا أن نتأكَّد من قدرتنا على تسمية المثلث تسمية صحيحة فيما يتعلَّق بالضلع المقابل، والضلع المجاور، والوتر؛ وأن نتذكَّر النسب المثلثية بشكل صحيح. بمجرد إجراء هذين الأمرين، سنتمكَّن من حل مسائل حساب المثلثات التي تتضمَّن إيجاد قياس زاوية مجهولة.

لنبدأ بتناول مثال.

مثال ١: إيجاد قياس زاوية مجهولة في مثلث قائم الزاوية

في الشكل الموضَّح، أوجد قياس الزاوية 𝜃، بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول ما علينا فعله للإجابة على هذا السؤال هو تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية 𝜃.

لاحظ هنا أننا رسمنا دائرة حول جـ، و لأن هذين هما الضلعان اللذان نعلم طولَيهما. وإذا رجعنا إلى الاختصار «جا ق و جتا جـ و ظا ق جـ»، فسنجد أن «جتا جـ و» هو الخيار الوحيد الذي يحتوي على الضلعين جـ، و؛ وهو ما يعني أن علينا استخدام نسبة جيب التمام. وتذكَّر أن: و𝜃=.

سنعوِّض الآن بقيمتَي جـ، و فنجد أن: 𝜃=٣٨.

وباستخدام خواصِّ الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن: 𝜃=󰂔٣٨󰂓.١

إذا حسبنا هذا المقدار بعد ذلك، فسنحصل على: ٨٩٫٧٦().ب

في بعض الأسئلة، قد يُطلَب منَّا حساب قياسات جميع الزوايا المجهولة في المثلث القائم الزاوية. في هذه الحالة، علينا استخدام حساب المثلثات لإيجاد قياس إحدى الزوايا المجهولة، ويمكننا بعد ذلك استخدام حقيقة أن مجموع قياسات الزوايا في المثلث يساوي ٠٨١. لنتناول مثالًا يوضِّح ذلك.

مثال ٢: إيجاد قياسات جميع الزوايا المجهولة في مثلث قائم الزاوية

في الشكل الموضَّح، أوجد قياس كلٍّ من 󰌑󰏡𞸢𞸁، 󰌑𞸁󰏡𞸢، بالدرجات، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول ما علينا فعله هو اختيار إحدى الزاويتين المجهولتين لإيجاد قياسها أولًا. في هذه الحالة، سنبدأ بإيجاد قياس 󰌑󰏡𞸢𞸁 التي سنسمِّيها 𞸎. يمكننا بعد ذلك تسمية أضلاع المثلث بالنسبة إلى الزاوية 𞸎 كما هو موضَّح.

رسمنا دائرة على ق، جـ؛ لأن هذين هما الطولان المعلومان. إذا رجعنا بعد ذلك إلى الاختصار «جا ق و جتا جـ و ظا ق جـ»، فسنجد أن علينا استخدام نسبة الظل؛ حيث «ظا ق جـ» يحتوي على الحرفين ق، جـ. تذكَّر أن: ق𞸎=.

وبالتعويض عن الطولين ق، جـ نحصل على: 𞸎=٤٥.

وباستخدام الدالة العكسية للظل، نجد أن: 𞸎=󰂔٤٥󰂓.١

إذا حسبنا ذلك، يصبح لدينا: 𞸎=٦٦٫٨٣.

ولإيجاد قياس الزاوية الثانية المجهولة في المثلث، علينا استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١. وإذا أشرنا إلى 󰌑𞸁󰏡𞸢 بالحرف 𞸑، فسنجد أن: 𞸑+٦٦٫٨٣+٠٩=٠٨١.

ويمكن تبسيط ذلك إلى: 𞸑+٦٦٫٨٢١=٠٨١، وبطرح ١٢٨٫٦٦ من كِلا الطرفين، نجد أن: 𞸑=٤٣٫١٥.

في بعض أسئلة حساب المثلثات لا يعطينا السؤال شكلًا توضيحيًا، وجزءٌ من مهارة حلِّ السؤال تتمثَّل في رسم شكل مناسب. في المثال التالي، سنُظهِر هذه المهارة.

مثال ٣: حل المثلثات باستخدام حساب المثلثات

󰏡𞸁𞸢 مثلث قائم الزاوية في 𞸁؛ حيث 𞸁𞸢=٠١ سم، 󰏡𞸢=٨١. أوجد الطول 󰏡𞸁، لأقرب سنتيمتر، وقياس الزاويتين 󰏡، 𞸢، لأقرب درجة.

الحل

لنبدأ برسم شكل توضيحي. من المفيد عادةً أن نحاول رسم شكل تقريبي بهدف المطابقة. ولا يُعدُّ ذلك ضروريًّا على الإطلاق، لكنه يساعدنا على التحقُّق من أن الإجابات منطقية عند مقارنتها بالشكل. ومن ثَمَّ، نرسم مثلثًا باسم 󰏡𞸁𞸢، ونحدِّد أطوال الحواف التي نعرفها.

أول ما علينا فعله هو إيجاد طول الضلع 󰏡𞸁. ولإجراء ذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس التي تنصُّ على أن: 𞸢=󰏡+𞸁،٢٢٢ حيث 𞸢 هو طول الوتر. وفي المثلث الموضَّح 󰏡𞸢 هو الوتر. ومن ثَمَّ، يمكننا كتابة نظرية فيثاغورس للمثلث على النحو التالي: 󰏡𞸢=󰏡𞸁+𞸁𞸢.٢٢٢

إذن: 󰏡𞸁=󰏡𞸢𞸁𞸢.٢٢٢

وبالتعويض بقيمتي 𞸁𞸢=٠١، 󰏡𞸢=٨١؛ نحصل على: 󰏡𞸁=٨١٠١=٤٢٣٠٠١=٤٢٢.٢٢٢

وبحساب الجذر التربيعي، نحصل على: 󰏡𞸁=󰋴٤٢٢=٦٦٩٫٤١=٥١ لأقرب سنتيمتر.

علينا الآن إيجاد قياسات الزوايا عند 󰏡، 𞸢. لفعل ذلك، يمكننا إيجاد قياس إحدى الزوايا، ثم استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١. سوف نوجد قياس 󰌑󰏡، وهي ما سنشير إليها بالرمز 𝜃. ولمعرفة النسبة المثلثية التي علينا استخدامها، علينا أولًا تسمية أضلاع المثلث. وكما نعلم، فإن 󰏡𞸢 هو الوتر. وبما أننا نفكر في 󰌑󰏡؛ فإن 𞸁𞸢 يُمثِّل الضلع المقابل، ويُمثِّل 󰏡𞸁 الضلع المجاور.

وبما أن أطوال جميع الأضلاع معلومة، يمكننا استخدام أيِّ نسبة مثلثية. لكن من الأفضل استخدام طولَي الضلعين المعطيين في السؤال. يوجد سببان وجيهان لذلك. أولًا، هذا يعني أنه إذا أخطأنا في حساب الضلع الثالث، فلن يؤثِّر ذلك على إجابة هذا الجزء من السؤال. ثانيًا، يمكننا بسهولة الوقوع في أخطاء التقريب إذا استخدمنا طول الضلع الثالث؛ لأن صورته الفعلية ليست عددًا صحيحًا. ولذلك، نفضِّل حساب قياس 󰌑󰏡 باستخدام الضلع المقابل والوتر. هذا يعني أننا سنستخدم نسبة الجيب: قو𝜃=.

وبالتعويض بطول الضلع المقابل (𞸁𞸢=٠١)، وطول الوتر (󰏡𞸢=٨١)؛ نحصل على: 𝜃=٠١٨١=٥٩.

وباستخدام الدالة العكسية للجيب، نحصل على: 𝜃=󰂔٥٩󰂓.١

وباستخدام الآلة الحاسبة، يمكننا إيجاد قيمة ذلك لنجد أن: 𝜃=٨٤٧٫٣٣=٤٣ لأقرب درجة. إذن، 𞹟󰌑󰏡=٤٣ لأقرب درجة.

يمكننا الآن استخدام حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ٠٨١ لإيجاد 𞹟󰌑𞸢. وبما أن: 𞹟󰌑󰏡+𞹟󰌑𞸁+𞹟󰌑𞸢=٠٨١، يكون لدينا: 𞹟󰌑𞸢=٠٨١𞹟󰌑𞸁𞹟󰌑󰏡.

وبالتعويض بقيمتَي 𞹟󰌑𞸁، 𞹟󰌑𞸢؛ نحصل على: 𞹟󰌑𞸢=٠٨١٠٩٨٤٧٫٣٣=١٥٢٫٦٥=٦٥ لأقرب درجة.

يمكن أيضًا عرض أسئلة حساب المثلثات في صورة مسائل كلامية. وفي هذه الحالة، إذا لم يوجد شكل توضيحي مُعطى، فمن المهمِّ دائمًا رسمه. سنتناول فيما يلي مثالًا على هذا النوع من الأسئلة:

مثال ٤: حل مسائل كلامية باستخدام حساب المثلثات

سلم طوله ٥ م يستند على حائط رأسي؛ حيث تبعُد قاعدته ٢ م عن الحائط. أوجد الزاوية بين السلم والأرض، مقرِّبًا إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

أول ما علينا فعله لحلِّ سؤال كهذا هو رسم شكل توضيحي لتمثيل هذه الحالة.

في هذا الشكل، بالنسبة إلى الزاوية 𞸎، فقد أسمينا أطوال الأضلاع التي نعرفها. نعلم هنا طول كلٍّ من الضلع المجاور والوتر، لذا علينا استخدام نسبة جيب التمام لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. ونعلم أن: و𞸎=.

إذا عوَّضنا بطولَي الضلعين جـ، و نحصل على: 𞸎=٢٥.

وإذا استخدمنا بعد ذلك خواصَّ الدالة العكسية لجيب التمام، نجد أن: 𞸎=󰂔٢٥󰂓.١

وعند حساب ذلك، نجد أن: 𞸎=٢٤٫٦٦.

سنختم بمسألة كلامية واحدة أخيرة.

مثال ٥: حل مسائل كلامية باستخدام حساب المثلثات

ارتفاع منطقة للتزلُّج على الجليد ١٦ مترًا، وطولها ٢٠ مترًا. أوجد قياس 󰌑𝜃، لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

في هذا السؤال، من حسن الحظ أن لدينا رسمًا توضيحيًّا، وهو ما يعني أننا لا نحتاج إلى رسم هذا بأنفسنا. أول ما علينا فعله هو تسمية الأضلاع بالنسبة إلى الزاوية θ.

في هذه الحالة، لدينا طولَا الضلع المقابل والوتر، وعلينا استخدام نسبة الجيب لإيجاد قياس الزاوية المجهولة. تذكَّر أن: قو𝜃=. إذا عوَّضنا عن الطولين ق، و نحصل على: 𝜃=٦١٠٢.

إذا استخدمنا بعد ذلك خواصَّ الدالة العكسية للجيب، نجد أن: 𝜃=󰂔٦١٠٢󰂓.١

وبحساب ذلك، نجد أن: 𝜃=٣١٫٣٥.

النقاط الرئيسية

  1. عند التعامل مع المثلثات القائمة الزاوية، نستخدم المصطلحات: المقابل، والمجاور، والوتر؛ للإشارة إلى أضلاع المثلث. دائمًا ما يقابل الوتر الزاوية القائمة، وهو الضلع الأطول. يسمَّى كلٌّ من الضلع المقابل والضلع المجاور وفقًا لزاوية مُعطَاة يُشار إليها عادةً بالرمز 𝜃. الضلع المجاور هو الضلع الذي يجاور الزاوية 𝜃، وهو ليس الوتر. أما الضلع المقابل، فهو الضلع الأخير من المثلث. ويسمَّى الضلع المقابل لأنه يقابل الزاوية المُعطَاة.
  2. تذكَّر الاختصار «جا ق و جتا جـ و ظا ق جـ»؛ حيث يشير ق إلى الضلع المقابل، ويشير جـ إلى الضلع المجاور، في حين يشير و إلى الوتر، وتُمثِّل 𝜃 الزاوية. والنسب المثلثية هي: قوو،ق𝜃=،𝜃=𝜃=.
  3. يمكننا إيجاد قياس زاوية بمعلومية أطوال الأضلاع باستخدام الدوال المثلثية العكسية.

Download the Nagwa Classes App

Attend sessions, chat with your teacher and class, and access class-specific questions. Download the Nagwa Classes app today!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy