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Lesson Explainer: Variables aléatoires discrètes Mathematics

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier une variable aléatoire discrète et à définir sa loi de probabilité correspondante.

Afin de comprendre ce qu’est une variable aléatoire discrète, nous allons commencer par définir une variable aléatoire.

Définition : Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre différentes valeurs (qui sont attribuées au hasard), chacune ayant une probabilité associée.

Comme avec les probabilités d’événements incompatibles, la somme des probabilités associées à toutes les valeurs que la variable aléatoire peut prendre doit être égale à 1. De plus, chaque probabilité doit appartenir à l’intervalle [0;1].

Une variable aléatoire peut être discrète ou continue. Pour une variable aléatoire discrète, les valeurs de la variable aléatoire doivent être discrètes. En général ce sont des entiers, mais ce n’est pas nécessairement le cas.

Définition : Variable aléatoire discrète

Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire qui peut prendre différentes valeurs discrètes, chacune avec une probabilité associée.

Une variable aléatoire discrète peut, par exemple, être les issues d’un lancer d’un dé équilibré. Les valeurs que la variable aléatoire discrète peut prendre sont 1, 2, 3, 4, 5 et 6, avec une probabilité de16 associée à chaque valeur.

On peut représenter une variable aléatoire discrète en utilisant une loi de probabilité. Cette fonction associe les valeurs de la variable aléatoire discrète à leurs probabilités correspondantes.

Définition : Loi de probabilité

Une loi de probabilité est une fonction qui génère une probabilité de valeur 𝑓(𝑥) pour une issue de valeur 𝑥 et elle doit posséder les propriétés suivantes:

  • 𝑓(𝑥)=1 pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’ensemble de définition de la loi de probabilité;
  • chaque valeur de 𝑓(𝑥) doit appartenir à l’intervalle [0;1].

De la même manière que l’on peut représenter les valeurs d’entrée et de sortie d’une fonction sous différentes formes, on peut également représenter une loi de probabilité sous différents formats. Dans les deux premiers exemples, nous allons examiner des questions où la loi de probabilité est représentée par un tableau. Le premier montre comment vérifier si une fonction est une loi de probabilité en utilisant les propriétés des probabilités.

Exemple 1: Vérifier si une fonction dans un tableau est une loi de probabilité

La fonction dans le tableau ci-dessous peut-elle être une loi de probabilité?

𝑥0145
𝑓(𝑥)0,170,430,690,36

Réponse

On sait que pour toute loi de probabilité, 𝑓(𝑥)=1. Par conséquent, si la fonction dans le tableau est une loi de probabilité, alors la somme de toutes les probabilités du tableau doit être égale à 1:0,17+0,43+0,69+0,36=1,65.

Comme ce n’est pas le cas, la somme étant égale à 1,65, 𝑓(𝑥) n’est pas une loi de probabilité.

Notez que même si la somme de toutes les probabilités était égale à 1, on aurait également dû vérifier que chaque probabilité appartenait à l’intervalle [0;1].

Le deuxième exemple utilise également un tableau pour représenter une loi de probabilité, mais il montre comment trouver une valeur inconnue du tableau en utilisant les propriétés des probabilités.

Exemple 2: Déterminer une valeur inconnue d’une loi de probabilité dans un tableau

La fonction dans le tableau ci-dessous est une loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Déterminez la valeur de 𝑎.

𝑥12345
𝑓(𝑥)15110310110𝑎

Réponse

On sait que pour toute loi de probabilité, 𝑓(𝑥)=1, on peut donc utiliser cela pour déterminer la valeur inconnue 𝑎:15+110+310+110+𝑎=1710+𝑎=1𝑎=310.

Comme la valeur de 𝑎 est dans l’intervalle [0;1], on sait que 310 est une valeur appropriée.

En plus du tableau, on peut représenter chaque valeur et sa probabilité associée en utilisant la notation 𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝, 𝑥 représente la valeur de la variable aléatoire discrète 𝑋 et 𝑝 est la probabilité associée à cette valeur. En utilisant cette notation, on peut dire que 𝑃(𝑋=𝑥)=1 et que toutes les valeurs de 𝑝 doivent appartenir à l’intervalle [0;1].

Dans l’exemple suivant, nous allons examiner comment déterminer une probabilité inconnue lorsque la loi de probabilité est donnée sous la forme 𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝.

Exemple 3: Déterminer une valeur inconnue à partir d’autres valeurs d’une loi de probabilité

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3. Sachant que 𝑃(𝑋=0)=19, 𝑃(𝑋=1)=49, 𝑃(𝑋=2)=𝑎 et 𝑃(𝑋=3)=3𝑎, déterminez la valeur de 𝑎.

Réponse

Comme la somme de toutes les probabilités d’une loi de probabilité est égale à 1, on sait que𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=1)+𝑃(𝑋=2)+𝑃(𝑋=3)=1.

En substituant les probabilités associées, on obtient19+49+𝑎+3𝑎=1.

Puis, en simplifiant, en réarrangeant et en isolant 𝑎, on a59+4𝑎=14𝑎=49𝑎=19.

Comme la valeur de 𝑎 est dans l’intervalle [0;1], 19 est une réponse appropriée.

Comme on l’a vu dans l’exemple 2, la loi de probabilité peut être représentée comme une fonction de 𝑥, 𝑥 est la valeur que la variable aléatoire discrète peut prendre et 𝑓(𝑥) est sa probabilité associée. On sait donc que 𝑓(𝑥)=1 pour toutes les valeurs de 𝑥 que la variable aléatoire peut prendre. En outre, chaque valeur de 𝑓(𝑥) doit appartenir à l’intervalle [0;1].

L’exemple suivant utilise les propriétés selon lesquelles 𝑓(𝑥)=1 et toutes les valeurs de 𝑓(𝑥) se situent dans l’intervalle [0;1] afin de déterminer si une loi de probabilité est valide pour un ensemble de valeurs de 𝑥.

Exemple 4: Déterminer quelle loi de probabilité représente une variable aléatoire discrète

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 3, 5 et 6. Laquelle des fonctions suivantes pourrait représenter la loi de probabilité de 𝑋?

  1. 𝑓(𝑥)=𝑥+310
  2. 𝑓(𝑥)=𝑥28
  3. 𝑓(𝑥)=45𝑥+2
  4. 𝑓(𝑥)=4𝑥+52

Réponse

Pour qu’une loi de probabilité représente la variable aléatoire discrète 𝑋 qui peut prendre les valeurs 3, 5 et 6, on doit avoir 𝑓(𝑥)=1 et chaque valeur de 𝑓(𝑥) doit appartenir à l’intervalle [0;1]. On vérifie chaque fonction l’une après l’autre.

Pour 𝑓(𝑥)=𝑥+310, on calcule d’abord les probabilités associées à chaque valeur de la variable aléatoire discrète en substituant 3, 5 et 6 à 𝑓(𝑥).

Quand 𝑥=3, 𝑓(3)=3+310=1210.

Comme 1210 n’appartient pas à l’intervalle [0;1], on peut déjà en déduire que 𝑓(𝑥)=𝑥+310 ne peut pas être une loi de probabilité valide pour la variable aléatoire discrète 𝑋.

De même, pour 𝑓(𝑥)=𝑥28, on calcule d’abord les probabilités associées à chaque valeur de la variable aléatoire discrète, 3, 5 et 6, en les substituant dans 𝑓(𝑥).

Quand 𝑥=3, 𝑓(3)=328=18.

Quand 𝑥=5, 𝑓(5)=528=38.

Quand 𝑥=6, 𝑓(6)=628=48.

Comme chaque valeur appartient l’intervalle [0;1], 𝑓(𝑥)=𝑥28 est jusqu’à présent une loi de probabilité valide pour la variable aléatoire discrète 𝑋.

On vérifie maintenant si 𝑓(𝑥)=1:𝑓(3)+𝑓(5)+𝑓(6)=18+38+48=1.

Comme 𝑓(𝑥)=1, 𝑓(𝑥)=𝑥28 est une loi de probabilité valide pour la variable aléatoire discrète 𝑋.

Remarque :

On pourrait vérifier les autres fonctions, mais cela n’est pas nécessaire car on a déjà déterminé la bonne réponse.

Dans l’exemple suivant, nous pouvons utiliser les propriétés selon lesquelles 𝑓(𝑥)=1 et toutes les valeurs de 𝑓(𝑥) se situent dans l’intervalle [0;1] pour déterminer un coefficient inconnu dans la fonction de 𝑓(𝑥) à partir des valeurs que la variable aléatoire peut prendre.

Exemple 5: Déterminer un coefficient inconnu dans une loi de probabilité à partir des valeurs que la variable aléatoire peut prendre

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Sachant que 𝑋 a la loi de probabilité 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥5, déterminez la valeur de 𝑎.

Réponse

Pour qu’une loi de probabilité représente la variable aléatoire discrète 𝑋 qui peut prendre les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6, on doit avoir 𝑓(𝑥)=1 et chaque valeur de 𝑓(𝑥) doit appartenir à l’intervalle [0;1].

On commence par substituer 1, 2, 3, 4, 5 et 6 dans 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥5.

Pour 𝑥=1,𝑓(1)=𝑎×15=𝑎5.

Pour 𝑥=2,𝑓(2)=𝑎×25=2𝑎5.

Pour 𝑥=3,𝑓(3)=𝑎×35=3𝑎5.

Pour 𝑥=4,𝑓(4)=𝑎×45=4𝑎5.

Pour 𝑥=5,𝑓(5)=𝑎×55=5𝑎5.

Pour 𝑥=6,𝑓(6)=𝑎×65=6𝑎5.

On utilise ensuite la propriété 𝑓(𝑥)=1 pour créer une équation en fonction de 𝑎:𝑓(1)+𝑓(2)+𝑓(3)+𝑓(4)+𝑓(5)+𝑓(6)=1,𝑎5+2𝑎5+3𝑎5+4𝑎5+5𝑎5+6𝑎5=1.

Puis, simplifier, réarranger et isoler 𝑎 donne21𝑎5=1𝑎=521.

Bien que l’on ait trouvé la valeur de 𝑎, il est de bonne pratique de vérifier que la probabilité associée appartient à l’intervalle [0;1] pour chaque valeur de la variable aléatoire. On substitue donc 𝑎=521 dans 𝑓(1), 𝑓(2), etc.

Pour 𝑥=1,𝑓(1)=×15=121.

Pour 𝑥=2,𝑓(2)=×25=221.

Pour 𝑥=3,𝑓(3)=×35=321.

Pour 𝑥=4,𝑓(4)=×45=421.

Pour 𝑥=5,𝑓(5)=×55=521.

Pour 𝑥=6,𝑓(6)=×65=621.

Comme chaque valeur de 𝑓(𝑥) appartient à l’intervalle [0;1] pour toutes les valeurs de la variable aléatoire, on sait que 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥5, 𝑎=521, est une loi de probabilité valide.

Jusqu’à présent, nous avons considéré des exemples où aucun contexte n’était donné. Dans la dernière partie de cette fiche explicative, nous allons étudier des exemples concrets.

Dans l’exemple suivant, nous allons étudier comment utiliser les informations d’une loi de probabilité pour résoudre un problème concret.

Exemple 6: Résoudre un problème concret avec une variable aléatoire discrète sachant sa loi de probabilité

Soit 𝑋 la variable aléatoire qui représente le nombre de patients qui se rendent à une clinique dentaire par heure. La loi de probabilité de 𝑋 est indiquée dans le tableau ci-dessous.

𝑥101112131415
𝑓(𝑥)0,20,10,150,050,30,2

Déterminez la probabilité des événements suivants.

  1. Exactement 13 patients se rendent à la clinique pendant une heure donnée
  2. Au moins 13 patients se rendent à la clinique pendant une heure donnée
  3. 13 patients maximum se rendent à la clinique pendant une heure donnée

Réponse

Partie 1

Pour déterminer la probabilité que 13 patients exactement se rendent à la clinique pendant une heure donnée, on utilise le tableau de la loi de probabilité.

Dans ce cas, 𝑋 représente le nombre de patients qui se rendent à la clinique dentaire par heure, donc 𝑥=13. Par conséquent, la probabilité que 𝑥=13 est la valeur correspondante de 𝑓(𝑥) dans le tableau, qui est de 0,05.

Partie 2

Pour déterminer la probabilité qu’au moins 13 patients se rendent à la clinique pendant une heure donnée, on utilise à nouveau le tableau de la loi de probabilité.

Dans ce cas, 𝑥 peut prendre plusieurs valeurs car on recherche la probabilité qu’au moins 13 patients se rendent à la clinique pendant une heure donnée. Donc, 𝑥 peut être égal à n’importe quel entier supérieur ou égal à 13, soit 𝑥13. Comme le montre le tableau, 𝑋 ne peut prendre que des valeurs entières de 10 à 15, donc 𝑥 peut être égal à 13, 14 ou 15.

Pour déterminer la probabilité que 𝑥 soit égal à 13, 14 ou 15, on trouve les valeurs correspondantes de 𝑓(𝑥) dans le tableau et on les additionne.

Pour 𝑥=13,𝑓(13)=0,05.

Pour 𝑥=14,𝑓(14)=0,3.

Pour 𝑥=15,𝑓(15)=0,2.

Par conséquent, 𝑓(13)+𝑓(14)+𝑓(15)=0,05+0,3+0,2=0,55.

La probabilité qu’au moins 13 patients se rendent à la clinique pendant une heure donnée est donc de 0,55.

Partie 3

Pour déterminer la probabilité que 13 patients maximum se rendent à la clinique pendant une heure donnée, on utilise à nouveau le tableau de la loi de probabilité.

Comme dans la partie précédente, 𝑥 peut prendre plusieurs valeurs. Comme on recherche la probabilité que 13 patients maximum se rendent à la clinique pendant une heure donnée, 𝑥 peut être égal à n’importe quel entier inférieur ou égal à 13, soit 𝑥13. Comme le montre le tableau, 𝑋 ne peut prendre que des valeurs entières de 10 à 15, donc 𝑥 peut être égal à 10, 11, 12 ou 13.

Pour déterminer la probabilité que 𝑥 soit égal à 10, 11, 12 ou 13, on trouve les valeurs correspondantes de 𝑓(𝑥) dans le tableau et on les additionne.

Pour 𝑥=10,𝑓(10)=0,2.

Pour 𝑥=11,𝑓(14)=0,1.

Pour 𝑥=12,𝑓(15)=0,15.

Pour 𝑥=13,𝑓(13)=0,05.

Par conséquent, 𝑓(10)+𝑓(11)+𝑓(12)+𝑓(13)=0,2+0,1+0,15+0,05=0,5.

La probabilité que 13 patients maximum se rendent à la clinique pendant une heure donnée est donc de 0,5.

Dans le dernier exemple, nous allons rechercher la loi de probabilité la plus appropriée pour un contexte donné.

Exemple 7: Choisir la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète dans un contexte donné

Lors d’une expérience où une pièce de monnaie équilibrée est lancée cinq fois consécutives, on note 𝑋 la variable aléatoire discrète exprimant le nombre de Faces moins le nombre de Piles. Déterminez la loi de probabilité de 𝑋.

  1. 𝑥531135
    𝑓(𝑥)13253210321032532132
  2. 𝑥5310135
    𝑓(𝑥)132532932232932532132
  3. 𝑥31013
    𝑓(𝑥)53210322321032532
  4. 𝑥431134
    𝑓(𝑥)13253210321032532132
  5. 𝑥531135
    𝑓(𝑥)13210325325321032132

Réponse

Afin de déterminer la loi de probabilité 𝑓(𝑥) de la variable aléatoire discrète 𝑋, on détermine d’abord toutes les valeurs possibles que 𝑋 peut prendre, puis on détermine la probabilité 𝑓(𝑥) de chaque valeur de 𝑋.

La question indique qu’une pièce équilibrée est lancée 5 fois et que 𝑋 est la variable aléatoire discrète qui représente le nombre de Faces moins le nombre de Piles. Par conséquent, les valeurs possibles de 𝑋 sont les suivantes:

  • 5 Faces et 0 Pile:50=5,
  • 4 Faces et 1 Pile:41=3,
  • 3 Faces et 2 Piles:32=1,
  • 2 Faces et 3 Piles:23=1,
  • 1 Face et 4 Piles:14=3,
  • 0 Face et 5 Piles:05=5.

Par conséquent, les valeurs que 𝑋 peut prendre sont 5, 3, 1, 1, 3 et 5.

On calcule ensuite la probabilité 𝑓(𝑥) de chacune des valeurs 𝑋.

Afin de calculer la probabilité, il est utile de lister les issues possibles pour chaque valeur de la variable aléatoire discrète 𝑋 puis de déterminer leur probabilité une fois que toutes les issues ont été identifiées.

Pour 𝑥=5, il y a 5 Faces et 0 Pile. La seule issue est FFFFF.

Pour 𝑥=3, il y a 4 Faces et 1 Pile. Les 5 issues sont FFFFP, FFFPF, FFPFF, FPFFF et PFFFF.

Pour 𝑥=1, il y a 3 Faces et 2 Piles. Les 10 issues sont FFFPP, FFFF, FPFFP, PFFFP, FFPPF, FFFF, PFFPH, FPPFF, PFPFF, and PPFFF

Pour 𝑥=1, il y a 2 Faces et 3 Piles. Les 10 issues sont FFPPP, FPFPP, PFFPP, FPPFP, PFPFP, PPFFP, FPPPF, PFPPF, PPFPF et TTTFF.

Pour 𝑥=3, il y a 1 Face et 4 Piles. Les 5 issues sont FPPPP, PFPPP, PPFPP, PPPFP et PPPPH.

Pour 𝑥=5, il y a 0 Face et 5 Piles. La seule issue est PPPPP.

En additionnant toutes les issues on obtient 1+5+10+10+5+1=32, il y a donc 32 issues au total.

Par conséquent, pour déterminer la probabilité de chaque événement, on prend le nombre d’issues correspondant à chaque valeur de la variable aléatoire discrète et on le divise par le nombre total d’issues comme suit.

Pour 𝑥=5,𝑓(5)=132.

Pour 𝑥=3,𝑓(3)=532.

Pour 𝑥=1,𝑓(1)=1032.

Pour 𝑥=1,𝑓(1)=1032.

Pour 𝑥=3,𝑓(3)=532.

Pour 𝑥=5,𝑓(5)=132.

En les représentant dans un tableau, on obtient le résultat suivant.

𝑥531135
𝑓(𝑥)13253210321032532132

Dans cette fiche explicative, nous avons exploré les variables aléatoires discrètes et leur loi de probabilité. Récapitulons les points clés.

Points clés

  • Une variable aléatoire discrète est une variable qui peut prendre un ensemble de valeurs discrètes, chacune ayant une probabilité associée.
  • Une loi de probabilité associe chaque valeur d’une variable aléatoire discrète à sa probabilité.
  • La somme des probabilités d’une loi de probabilité doit être égale à 1 et chaque probabilité doit appartenir à l’intervalle [0;1].
  • Les lois de probabilité peuvent être présentées de différentes manières, notamment:
    • dans un tableau;
    • en utilisant la notation 𝑃(𝑋=𝑥)=𝑝, 𝑥 représente la valeur de la variable aléatoire discrète 𝑋 et 𝑝 est la probabilité associée à cette valeur;
    • en utilisant une fonction 𝑓(𝑥), 𝑥 représente la valeur de la variable aléatoire discrète 𝑋 et 𝑓(𝑥) sa probabilité associée.

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