Lesson Explainer: الكينماتيكا الدورانية | Nagwa Lesson Explainer: الكينماتيكا الدورانية | Nagwa

Lesson Explainer: الكينماتيكا الدورانية Physics

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نمثِّل تغيُّر الموضع مع الزمن للأجسام التي تتحرَّك في مسارات دائرية.

تخيَّل أننا نترك أسطوانة تسقط من السكون على قمة منحدر، كما هو موضَّح بالشكل الآتي.

تمرُّ الأسطوانة بنوعين من الحركة أثناء تدحرجها للأسفل؛ حركة خطية لأسفل المنحدر وحركة دورانية. لتصوُّر هذا الدوران، سنفترض أن هناك نقطة حمراء مثبَّتة في مركز الأسطوانة. تتحرَّك الأسطوانة المتدحرجة في دوائر؛ أيْ إنها تدور حول النقطة الحمراء، كما هو موضَّح في الشكل الآتي.

تخيَّل الآن أننا طبعنا الحرف 𝑅 على سطح الأسطوانة، وتتبَّعنا هذا الحرف بالنسبة إلى النقطة الحمراء أثناء تدحرج الأسطوانة لأسفل المنحدر.

عند إحدى اللحظات الزمنية، سيكون الحرف 𝑅 أعلى مركز الأسطوانة مباشرة. وبعد مرور بعض الزمن، سيكون الحرف أعلى النقطة الحمراء مباشرة مرَّة أخرى. في الشكل الآتي، تَظهَر الأسطوانة المتدحرجة على بُعد مسافات متساوية، لكن ليس على بُعد أزمنة متساوية، فالأسطوانة تتحرَّك بعجلة عندما تتدحرج لأسفل المنحدر.

تُشير ملاحَظة الحرف 𝑅 أعلى النقطة الحمراء مباشرة عند لحظتين زمنيتين مختلفتين إلى أن الأسطوانة قد أكملت لفَّة كاملة. أيْ إن الأسطوانة دارت 360 درجة.

هناك طريقة أخرى لوصْف الدوران، وهي استخدام الوحدة التي تُسمَّى راديان. لنفترض أن لدينا دائرة نصْف قطرها 𝑅، إذا أخذنا قوسًا من محيط الدائرة طوله 𝑅، فإن زاوية هذا القوس المَقيسة من مركز الدائرة تساوي راديان واحدًا.

الدورة الكاملة للدائرة تساوي زاوية قياسها 2𝜋 راديان بالضبط. وهذا يعني أن: دررادن360=2𝜋.

توضِّح لنا هذه المعادلة كيفية تحويل الزاوية من درجة إلى راديان، أو من راديان إلى درجة. بقسمة الطرفين على 2𝜋 راديان نحصل على: دررادن3602𝜋=1.

إذا كانت الزاوية مُعطاة بالراديان، وضربناها في الكسر الموجود على اليسار، فسنحصل على هذه الزاوية بالدرجات.

بالنسبة إلى التحويل العكسي، نقسم طرفي المعادلة الأصلية على 360 درجة، لنحصل على: 1=2𝜋360.رادندر

إذا كانت الزاوية مُعطاة بالدرجات، وضربناها في الكسر الموجود على اليمين، فسنحصل على الزاوية نفسها بالراديان.

عند دوران الجسم، نقول إن له إزاحة زاوية، مَقيسة بوحدة الدرجة أو الراديان.

مثال ١: تحويل الإزاحة الزاوية بالراديان إلى الدرجات

املأ الفراغ: الإزاحة الزاوية التي مقدارها راديان تساوي إزاحة زاوية قياسها 155. قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

الحل

نريد ملء الفراغ بالإزاحة الزاوية بالراديان التي تساوي الإزاحة الزاوية التي قياسها 155 درجة.

علينا تحويل الزاوية التي قياسها 155 درجة إلى زاوية مكافئة بالراديان.

لفعل ذلك، يُمكننا تذكُّر أن 360 درجة يساوي 2𝜋 راديان، وهو ما يعني أن: رادندر2𝜋360=1.

لأن هذا الكسر يساوي واحدًا، يُمكننا ضربه في 155 درجة دون أن يغيِّر قيمة الزاوية.

لكن الضرب في هذه النسبة سيغيِّر الوحدة التي كُتبت بها الزاوية من الدرجة إلى الراديان: دررادندررادن155×2𝜋360=31𝜋36.

بالتقريب لأقرب منزلتين عشريتين، نجد أن: دررادن155=2.71.

بالتفكير مرَّة أخرى في الأسطوانة التي تتدحرج لأسفل المنحدر، يُمكننا القول إن لهذه الأسطوانة إزاحة خطية، وكذلك إزاحة زاوية. يُرمَز للإزاحة الخطية بالرمز 𝑠، ويُرمَز للإزاحة الزاوية بالرمز 𝜃.

مع تدحرج الأسطوانة، نعلم أنها ستتحرَّك أسرع فأسرع لأسفل المنحدر. تزداد السرعة الخطية للأسطوانة، ويُمكننا قول الشيء نفسه عن معدَّل دورانها.

معدَّل دوران الأسطوانة هو معدَّل تغيُّر إزاحتها الزاوية. ونُطلِق عليه السرعة الزاوية، وهي المقابل الدوراني للسرعة الخطية للأسطوانة. تمثَّل السرعة الزاوية بالرمز 𝜔: 𝜔=Δ𝜃Δ𝑡.

يُمكننا ملاحَظة أن السرعة الزاوية للأسطوانة المتدحرجة تبدأ صغيرة وتزداد بمرور الزمن. إذن ليست الإزاحة الزاوية هي التي تتغيَّر بمرور الزمن فحسب، بل تتغيَّر سرعتها الزاوية أيضًا. ويُسمَّى معدَّل تغيُّر السرعة الزاوية مع الزمن العجلة الزاوية. ونرمز إلى هذه الكمية بالرمز 𝛼: 𝛼=Δ𝜔Δ𝑡.

مثال ٢: حساب العجلة الزاوية من معدَّل الدوران الزاوي

رأس حفار كان في البداية في حالة سكون. عند تشغيل الحفار، يدور الرأس بمعدَّل 47.5 دورة لكلِّ ثانية. يَصِل رأس الحفار إلى هذه السرعة في زمن مقداره 175 ms. ما العجلة الزاوية لرأس الحفار؟ قرِّب إجابتك لأقرب راديان لكلِّ ثانية مربعة.

الحل

نعلم من هذا السؤال أن هناك رأس حفار سرعته الزاوية 47.5 دورة لكلِّ ثانية. بداية من السكون، يَصِل رأس الحفار إلى هذه السرعة خلال 175 ms.

لإيجاد العجلة الزاوية لرأس الحفار، علينا إيجاد الإجابة بوحدة الراديان لكل ثانية مربعة، بدلًا من لفَّة لكل ثانية مربعة.

دعونا أولًا نحوِّل 47.5 دورة لكلِّ ثانية إلى راديان لكل ثانية.

هناك 2𝜋 راديان في الدورة الكاملة. وهذا يعني أن هذه السرعة الزاوية تساوي (47.5)(2𝜋) راديان لكل ثانية، أو 95𝜋 راديان لكل ثانية. لنُطلِق على هذه السرعة 𝜔: 𝜔=95𝜋/.rads

تزداد السرعة الزاوية لرأس الحفار من 0 إلى 𝜔 خلال 175 ms. هذا يعني أن الرأس له عجلة زاوية، تساوي بوجه عام المعدَّل الذي تتغيَّر به السرعة الزاوية مع الزمن. إذا أطلقنا على العجلة الزاوية 𝛼، فإن: 𝛼=Δ𝜔Δ𝑡.

في هذه الحالة، Δ𝜔 ليس إلَّا 𝜔؛ لأن الحفار بدأ من السكون، وΔ𝑡 يساوي 175 ms.

يُمكننا بعد ذلك استكمال حساب 𝛼: 𝛼=Δ𝜔Δ𝑡,=95𝜋/175.radsms

قبل أن نُوجِد قيمة هذا الكسر، علينا أن نجعل وحدتي الزمن في البسط والمقام متوافقتين. نُحوِّل 175 ms إلى الزمن المكافئ بالثانية. بما أن: 1000=1,175=0.175.mssmss

بمعلومية ذلك، يُمكننا الآن كتابة: 𝛼=95𝜋/0.175radss وإيجاد 𝛼 بوحدة الراديان لكل ثانية مربعة (rad/s2).

بالتقريب لأقرب راديان لكلِّ ثانية مربعة، فإن العجلة الزاوية لرأس الحفار 𝛼 تساوي 1‎ ‎705 rad/s2.

لاحِظ أن هذه الكميات الثلاث؛ الإزاحة الزاوية، والسرعة الزاوية، والعجلة الزاوية، لها كميات خطية مقابِلة.

نعلم أن الإزاحة الخطية والسرعة الخطية والعجلة الخطية تَظهَر عادة فيما يُسمَّى معادلات الحركة. تَصِف هذه المعادلات كيفية حركة الأجسام بعجلة ثابتة.

يتَّضِح أنه يُمكننا كتابة معادلات مماثِلة للحركة باستخدام الكميات الزاوية. يُمكننا اعتبار هذه المعادلات «معادلات الحركة الزاوية»: 𝜔=𝜔+𝛼×𝑡,𝜔=𝜔+2×𝛼×𝜃,𝜃=𝜔×𝑡+12×𝛼×𝑡,𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

تُتِيح لنا هذه المعادلات تحليل الحركة الدورانية وفهْمها، كما نفعل في الحركة الخطية.

مثال ٣: حساب الحركة الدورانية من السرعة الزاوية والعجلة الزاوية

تدور شفرات أحد توربينات الرياح الكبيرة دورةً كاملةً خلال 3.25 s عند تشغيله بالسرعة القصوى. العجلة الزاوية للتوربين عند زيادة سرعته لتَصِل إلى السرعة القصوى تساوي 0.124 rad/s2. ما الزمن اللازم لتوربين ساكن في البداية ليَصِل إلى سرعة التشغيل القصوى له؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد الزمن اللازم لتدوير شفرات التوربين بعجلة من السكون إلى سرعة التشغيل القصوى.

يُمكننا أولًا ملاحَظة أن العجلة الزاوية للشفرات ثابتة. هذا يعني أن بإمكاننا استخدام معادلات الحركة الزاوية لوصْف دوران الشفرات.

تُوجَد أربع معادلات من هذا النوع، وسنختار المعادلة التي تتضمَّن المعلومات المُعطاة لنا، وتتضمَّن أيضًا المتغيِّر الذي نريد إيجاده، وهو الزمن 𝑡.

نعرف العجلة الزاوية للتوربين، ونعرف أيضًا الزمن الذي تستغرقه شفرات التوربين لإكمال لفَّة كاملة بالسرعة القصوى.

تذكَّر أن السرعة الزاوية تُعرَّف بأنها التغيُّر في الإزاحة الزاوية مقسومًا على التغيُّر في الزمن. بما أننا نعرف الزمن اللازم ليُكمِل التوربين دورة كاملة بالسرعة القصوى، وأن لفَّة كاملة تساوي إزاحة زاوية مقدارها 2𝜋 راديان، فيُمكننا كتابة السرعة الزاوية القصوى للتوربين على أنها: 𝜔=13.25×2𝜋/.اىrevsradrev

بما أن التوربين يبدأ من السكون، يُمكننا اعتبار هذه السرعة سرعته النهائية. وهذا يُرشِدنا إلى اختيار معادلة الحركة الزاوية التي سنستخدمها. يُمكننا استخدام المعادلة: 𝜔=𝜔+𝛼×𝑡 وإعادة ترتيبها لإيجاد الزمن 𝑡.

دعونا نلاحِظ أولًا أن 𝜔 يساوي صفرًا. إذا قسمنا طرفي المعادلة بعد ذلك على العجلة الزاوية، فسنجد أن: 𝑡=𝜔𝛼.

نعلم أن 𝛼=0.124/rads، وقد وجدنا أن 𝜔=2𝜋3.25rads، أو 2𝜋3.25 راديان لكل ثانية.

إذن: 𝑡=/0.124/.radsrads

تُلغَى وحدتا الراديان لكل ثانية من البسط والمقام، ونجد أن: 𝑡=15.5910.s

طلب منَّا السؤال تقريب الإجابة لأقرب منزلة عشرية. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، يكون الزمن اللازم لوصول التوربين إلى سرعة التشغيل القصوى هو 15.6 ثانية.

مثال ٤: تحديد عدد دورات جسم متدحرج

يتدحرج جذع شجرة مقطوع لأسفل منحدر في زمن قدره 7.2 s. كان الجذع ساكنًا في البداية عند قمة المنحدر، ثم أصبحت سرعته الزاوية 12 rad/s عند قاعدة المنحدر. ما عدد الدورات الكاملة التي يُكمِلها الجذع أثناء تدحرجه لأسفل المنحدر؟

الحل

يُمكننا التفكير في جذع الشجرة هذا باعتباره أسطوانة تتدحرج لأسفل المنحدر، كما هو موضَّح في الشكل. مع تدحرج الجذع، يدور بسرعة زاوية متزايدة. إن معدَّل زيادة السرعة الزاوية للجذع ثابت، مما يعني أن الجذع يتحرَّك بعجلة زاوية ثابتة. ومن ثَمَّ، يُمكن استخدام معادلات الحركة الزاوية لوصْف حركة الجذع.

هذه المعادلات هي: 𝜔=𝜔+𝛼×𝑡,𝜔=𝜔+2×𝛼×𝜃,𝜃=𝜔×𝑡+12×𝛼×𝑡,𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

نريد تحديد عدد الدورات التي يُكمِلها الجذع أثناء تدحرجه لأسفل المنحدر. يرتبط عدد الدورات التي يُكمِلها الجسم مع إزاحته الزاوية، الممثَّلة بالرمز 𝜃. إذا أوجدنا 𝜃، سنتمكَّن من تحويلها إلى عدد الدورات.

في هذا المثال، نعرف السرعة الزاوية للجذع عند بداية تدحرجه ونهايته، ونعرف أيضًا مقدار الزمن الذي يستغرقه التدحرج. تُناظِر هذه القيم المتغيِّرات في المعادلة الرابعة للحركة الزاوية: 𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

في هذه الحالة، السرعة الزاوية الابتدائية للجذع، 𝜔، تساوي صفرًا. والسرعة الزاوية النهائية للجذع، 𝜔، تساوي 12 راديان لكل ثانية (12 rad/s). يَستغرِق الجذع 7.2 ثوانٍ للوصول إلى السرعة الزاوية النهائية بدءًا من السكون، ونرمز لهذا الزمن بالرمز 𝑡. بالتعويض بهذه القِيَم في معادلة الحركة الزاوية التي اخترناها، نحصل على: 𝜃=12/+0/2×7.2=6/×7.2=43.2.radsradssradssrad

تكافئ الدورة الكاملة للجسم دورانًا يبلغ بالضبط 2𝜋 راديان. ولذلك، لحساب عدد الدورات التي يُكمِلها الجذع، نقسم الناتج بوحدة الراديان على 2𝜋 راديان لكل دورة: 43.22𝜋/=6.875.radradrevrev

أَكمَل الجذع أقلَّ من سبع دورات كاملة بقليل أثناء تدحرجه. ومن ثَمَّ، فعدد الدورات الكاملة للجذع يساوي ستة.

يُمكننا تلخيص ما تعلَّمناه الآن عن الكينماتيكا الدورانية.

النقاط الرئيسية

  • يُمكن قياس زاوية الدوران بوحدة الراديان أو الدرجة. يُوجَد 2𝜋 راديان في الدورة الكاملة.
  • بما أن 2𝜋 راديان يساوي 360 درجة، يُمكننا تحويل الزاوية من وحدة الدرجة إلى وحدة الراديان بضربها في رادندر2𝜋360، ويُمكن تحويل الزاوية من وحدة الراديان إلى وحدة الدرجة بضربها في دررادن3602𝜋.
  • الزاوية التي يدور بها الجسم تُسمَّى الإزاحة الزاوية، ويُرمَز لها بالرمز 𝜃.
  • المعدَّل الذي تتغيَّر به 𝜃 مع الزمن يساوي السرعة الزاوية للجسم. ويُرمَز لها بالرمز 𝜔؛ ومن ثَم 𝜔=Δ𝜃Δ𝑡.
  • المعدَّل الذي تتغيَّر به 𝜔 مع الزمن يساوي العجلة الزاوية للجسم. ويُرمَز لها بالرمز 𝛼؛ ومن ثَم 𝛼=Δ𝜔Δ𝑡.
  • تُستخدَم الإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والعجلة الزاوية في معادلات الحركة التي تَصِف الدوران بعجلة زاوية ثابتة: 𝜔=𝜔+𝛼×𝑡,𝜔=𝜔+2×𝛼×𝜃,𝜃=𝜔×𝑡+12×𝛼×𝑡,𝜃=𝜔+𝜔2×𝑡.

Download the Nagwa Classes App

Attend sessions, chat with your teacher and class, and access class-specific questions. Download the Nagwa Classes app today!

Nagwa uses cookies to ensure you get the best experience on our website. Learn more about our Privacy Policy