Lesson Explainer: Les racines 𝑛-ièmes de l’unité | Nagwa Lesson Explainer: Les racines 𝑛-ièmes de l’unité | Nagwa

Lesson Explainer: Les racines 𝑛-ièmes de l’unité Mathematics

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le théorème de Moivre pour déterminer les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité et découvrir leurs propriétés.

On appelle racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité les nombres complexes 𝑧 tels que 𝑧=1,𝑛.pourunentierpositif

On sait qu’il n’existe qu’une seule solution réelle, 𝑧=1, à cette équation si 𝑛 est un entier impair, car on résout l’équation en prenant la racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de chaque côté de l’équation. Si 𝑛 est un entier pair, cette équation admet deux solutions réelles, 𝑧=1 et 𝑧=1.

Mais pour 𝑛>2, il existe d’autres solutions à cette équation qui ne sont pas des nombres réels. En particulier, pour 𝑛=3, on sait que les solutions à cette équation sont 𝑧1,12+32𝑖,1232𝑖.

Une tendance se dessine. Il n’y a clairement qu’une seule solution à l’équation 𝑧=1, qui est 𝑧=1. Il y a deux solutions réelles 𝑧=1 et 𝑧=1 à l’équation 𝑧=1. De plus, on a observé que 𝑧=1 admet trois solutions distinctes. On peut alors conjecturer qu’il y a 𝑛 solutions distinctes à l’équation 𝑧=1.

On peut prouver cette conjecture à l’aide du théorème de Moivre pour les racines.

Théorème : Théorème de Moivre pour les racines

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de 𝑧 sont 𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛,cossin pour 𝑘=0;1,,𝑛1.

Dans le premier exemple, nous appliquerons le théorème de Moivre pour déterminer les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sous forme polaire.

Exemple 1: Les racines 𝑛-ièmes de l’unité

Écrivez la forme générale des racines de 𝑧=1 sous forme polaire.

Réponse

Pour rappel, d’après le théorème de Moivre pour les racines, les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 d’un nombre complexe 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin sont 𝑟𝜃+2𝜋𝑘𝑛+𝑖𝜃+2𝜋𝑘𝑛,𝑘=0,1,,𝑛1.cossinpour

Ainsi, pour trouver les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 du côté droit de l’équation, qui est 1, on peut commencer par exprimer 1 sous forme polaire. On sait que le module de 1 est 1, et comme 1 est sur l’axe réel positif du plan complexe, on en déduit que l’argument de 1 est de 0 radian. On peut écrire la forme polaire de 1 en posant 𝑟=1 et 𝜃=0:1=1(0+𝑖0).cossin

D’après le théorème de Moivre, les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont 12𝜋𝑘𝑛+𝑖2𝜋𝑘𝑛=2𝜋𝑘𝑛+𝑖2𝜋𝑘𝑛,cossincossin pour 𝑘=0;1,,𝑛1. Ainsi, les racines de 𝑧=1 sous forme polaire sont cossin2𝜋𝑘𝑛+𝑖2𝜋𝑘𝑛.

Dans l’exemple précédent, on a trouvé la forme polaire des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité en appliquant le théorème de Moivre. En particulier, on a prouvé la conjecture selon laquelle il existe 𝑛 solutions complexes distinctes à l’équation 𝑧=1. Autrement dit, il existe 𝑛 racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité distinctes.

À partir de la forme polaire des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité obtenues dans l’exemple précédent, on peut les écrire sous forme exponentielle. Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe de module 𝑟 et d’argument 𝜃 est 𝑟𝑒;en effet, les formes polaires et exponentielles du nombre complexe sont liées par la relation 𝑟(𝜃+𝑖𝜃)=𝑟𝑒.cossin

Ci-dessous, on donne les formes polaires et exponentielles des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité.

Définition : Racines 𝑛-ièmes de l’unité sous forme polaire et exponentielle

Les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sous forme polaire sont 𝑧1,2𝜋𝑛+𝑖2𝜋𝑛,,2𝜋(𝑛1)𝑛+𝑖2𝜋(𝑛1)𝑛.cossincossin

Les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sous forme exponentielle sont 𝑧1,𝑒,,𝑒.()

En particulier, la racine 1 est appelée racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 triviale de l’unité.

Ci-dessus, les expressions des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité donnent les modules et les arguments des nombres complexes. On voit que les modules de toutes les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité valent 1, ce qui signifie qu’elles sont toutes sur le cercle unité au centre du plan complexe. La racine triviale de l’unité 1 appartient à l’intersection de ce cercle unité et de la droite des réels positifs du plan complexe. Les arguments des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité croissent selon une suite arithmétique de raison 2𝜋𝑛 radians. Dans un plan complexe, cela signifie qu’on peut représenter les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité en commençant à 1, et par rotations anti-horaires successives de 2𝜋𝑛 sur le cercle unité. Si on relie les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité successives par des segments, on obtient un polygone régulier inscrit dans le cercle unité. Observons ce fait dans les graphiques ci-dessous pour différentes valeurs de 𝑛.

Comme annoncé, les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité de 𝑛3 forment les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 côtés inscrit dans un cercle unité du plan complexe, avec un sommet à la racine triviale 1.

Notez que les arguments des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité n’appartiennent pas toutes à l’intervalle standard ]𝜋;𝜋] radians. En particulier, les racines cubiques de l’unité sont représentées dans le plan complexe ci-dessus par 1, 𝑒, et 𝑒. La dernière de ces trois racines cubiques de l’unité a pour argument 4𝜋3, qui est en dehors de cet intervalle. Cet argument est supérieur à la borne supérieure 𝜋;on obtient un argument équivalent en soustrayant un tour complet de 2𝜋 radians à partir de cette valeur:4𝜋32𝜋=4𝜋36𝜋3=2𝜋3.

Notez que cet argument équivalent 2𝜋3 appartient à l’intervalle standard ]𝜋;𝜋], on peut donc l’utiliser pour écrire cette troisième racine de l’unité 𝑒.

Dans l’exemple suivant, nous chercherons les racines cinquièmes de l’unité avec des arguments dans l’intervalle standard, puis nous calculerons leur somme.

Exemple 2: Somme des racines 𝑛-ièmes de l’unité

  1. Déterminez les racines cinquièmes de l’unité.
  2. Quelle est leur somme?

Réponse

Question 1

Rappelons que les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sous forme polaire sont 𝑒 pour 𝑘=0;1,,𝑛1. Dans cet exemple, on souhaite trouver les racines cinquièmes de l’unité. Ainsi, on peut écrire les racines cinquièmes de l’unité en posant 𝑛=5 et 𝑘=1;2,,4 dans cette expression:𝑘=0𝑒=1,𝑘=1𝑒,𝑘=2𝑒=𝑒,𝑘=3𝑒=𝑒,𝑘=4𝑒=𝑒.×××

Rappelons que l’argument d’un nombre complexe, par convention, appartient à l’intervalle standard ]𝜋;𝜋]. Les deux dernières racines cinquièmes de l’unité ont des arguments 6𝜋5 et 8𝜋5 en dehors de cet intervalle. Ces arguments sont supérieurs à la borne supérieure 𝜋;on obtient des arguments équivalents en soustrayant un tour complet de 2𝜋 radians à partir de ces valeurs:6𝜋52𝜋=4𝜋58𝜋52𝜋=2𝜋5.

Avec ces arguments dans l’intervalle standard, les deux dernières racines cinquièmes de l’unité s’écrivent 𝑒 et 𝑒. Ainsi, les racines cinquièmes de l’unité sont 1,𝑒,𝑒,𝑒,𝑒.

Question 2

Cette question demande de calculer la somme des racines. Nous utiliserons deux méthodes différentes pour ce calcul. La première méthode nécessite une calculatrice pour calculer les cosinus d’angles non remarquables;la deuxième méthode utilise une astuce algébrique et ne nécessite pas de calculatrice. La deuxième méthode est beaucoup plus simple si on connaît cette astuce algébrique.

Méthode 1

On doit calculer 1+𝑒+𝑒+𝑒+𝑒.

On peut réécrire la somme 1+𝑒+𝑒+𝑒+𝑒.

Rappelons la propriété de la forme exponentielle d’un nombre complexe concernant son conjugué:𝑒=𝑒, pour tout nombre réel 𝜃. Donc, les nombres complexes à l’intérieur des deux paires de parenthèses ci-dessus sont des paires de nombres conjugués. On sait que, pour tout nombre complexe 𝑧, 𝑧+𝑧=2𝑧Re, Re𝑧 est la partie réelle de 𝑧. Ainsi, la somme des racines peut s’écrire 1+2𝑒+2𝑒.ReRe

Il reste maintenant à trouver les parties réelles des nombres complexes 𝑒 et 𝑒. On rappelle qu’un nombre complexe sous forme exponentielle peut s’écrire sous forme polaire 𝑟𝑒=𝑟(𝜃+𝑖𝜃),cossin𝑟 est le module et 𝜃 l’argument du nombre complexe. Pour 𝑒 et 𝑒, les modules des deux nombres complexes sont 1, donc 𝑟=1 dans les deux cas. De plus, on a 𝜃=2𝜋5 pour 𝑒, et 𝜃=4𝜋5 pour 𝑒. Donc, 𝑒=2𝜋5+𝑖2𝜋5𝑒=4𝜋5+𝑖4𝜋5.cossincossin

Ainsi, RecosRecos𝑒=2𝜋5,𝑒=4𝜋5.

En utilisant ces valeurs, la somme des racines devient 1+22𝜋5+24𝜋5.coscos

Comme ni 2𝜋5 ni 4𝜋5 ne sont des angles remarquables, on ne peut pas calculer le cosinus de ces angles sans calculatrice. La calculatrice donne coscos2𝜋5=0,309016,4𝜋5=0,809016.

En substituant ces valeurs dans la somme, on obtient 1+2×0,309016+2×(0,809016)=0.

Méthode 2

Nous allons utiliser une astuce algébrique pour calculer la somme. Commençons par appeler cette somme 𝑠:

𝑠=1+𝑒+𝑒+𝑒+𝑒.(1)

On multiplie chaque côté de l’égalité ci-dessus par 𝑒. Puis, en utilisant la propriété de la forme exponentielle 𝑒×𝑒=𝑒(), on obtient 𝑒𝑠=𝑒1+𝑒+𝑒+𝑒+𝑒=𝑒+𝑒+𝑒+𝑒+1.

On trouve 𝑒=𝑒 en soustrayant 2𝜋 de l’argument du premier nombre complexe. On obtient 𝑒𝑠=𝑒+𝑒+𝑒+𝑒+1.

On voit que le côté droit de l’équation ci-dessus est le même que le côté droit de l’équation(1). Donc, en écrivant l’égalité des membres gauches de ces deux équations, on obtient 𝑒𝑠=𝑠.

En réécrivant cette équation, on obtient 𝑒𝑠𝑠=0,𝑠𝑒1=0.

Comme le nombre complexe dans les parenthèses du côté gauche de l’équation ci-dessus est non nul, on peut diviser chaque côté de cette équation par ce nombre, ce qui donne 𝑠=0.

Donc, la somme des racines cinquièmes de l’unité est 0.

Dans l’exemple précédent, on a trouvé que la somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle. En fait, il s’agit d’une propriété générale des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité, comme nous le verrons plus loin.

Dans l’exemple suivant, nous étudierons l’inverse des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité.

Exemple 3: Inverse des racines 𝑛-ièmes de l’unité

Soit 𝜔 une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité.

  1. Laquelle des relations suivantes est la relation correcte entre 𝜔 et 𝜔?
    1. 𝜔=𝜔
    2. 𝜔=𝜔
    3. 𝜔=(𝜔)
    4. 𝜔=(𝜔)
  2. Exprimez 𝜔 en fonction de puissances positives de 𝜔.

Réponse

Question 1

Dans cet exemple, on cherche 𝜔𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. D’après le théorème de Moivre sur les puissances entières d’un nombre complexe 𝑧=𝑟𝑒, 𝑧=𝑟𝑒,𝑛.pourtoutentier

Ici, l’entier est 𝑛=1. De plus, on sait que le module d’une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité vaut 1. Autrement dit, 𝜔=𝑒 pour un argument 𝜃. Ainsi, d’après le théorème de Moivre sur les puissances entières, 𝜔=𝑒.

Ceci est le nombre complexe de module 1 et d’argument 𝜃. Comme l’argument de ce nombre complexe est de signe opposé à l’argument de 𝜔, ils se situent donc de part et d’autre de l’axe réel du plan complexe.

Comme on le voit dans le plan complexe ci-dessus, les parties réelles de 𝜔 et 𝜔 sont dans ce cas égales, et les parties imaginaires de ces deux nombres complexes sont opposées. Autrement dit, ce sont deux nombres conjugués. Ainsi, 𝜔=(𝜔).

C’est la réponse D.

Question 2

Dans cette question, on souhaite exprimer 𝜔=𝜔 pour un entier positif 𝑘. Comme 𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité, on a 𝜔=1.

On multiplie chaque côté de cette équation par 𝜔 et on simplifie les exposants, ce qui donne 𝜔𝜔=𝜔𝜔=𝜔.

𝑛1 est un entier positif, et on a 𝜔=𝜔.

Dans l’exemple précédent, on a établi que l’inverse d’une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité est son conjugué. Cela implique que le produit d’une racine de l’unité par son conjugué est égal à 1.

Propriété : Conjugué des racines de l’unité

Soit 𝜔 une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Alors, 𝜔𝜔=𝜔𝜔=1.

Pour le moment, on a étudié les propriétés des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Certaines racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont les mêmes pour différentes valeurs de 𝑛. Ce sont des racines communes de l’unité. Dans l’exemple suivant, nous parlerons des racines 𝑛 de l’unité qui sont communes à différentes valeurs de 𝑛.

Exemple 4: Relation entre les racines 𝑛-ièmes de l’unité pour différentes valeurs de 𝑛

  1. Déterminez les racines cubiques de l’unité.
  2. Trouvez les solutions de 𝑧=1.
  3. Quelle est la relation entre les racines cubiques de l’unité et les racines 6e de l’unité?

Réponse

Question 1

Rappelons que les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sous forme polaire sont cossinpour2𝜋𝑘𝑛+𝑖2𝜋𝑘𝑛,𝑘=0,1,,𝑛1.

Pour trouver les racines cubiques de l’unité, on pose 𝑛=3, ce qui signifie qu’il faut prendre 𝑘=0;1;2. On obtient 1,2𝜋3+𝑖2𝜋3,4𝜋3+𝑖4𝜋3.cossinetcossin

En écrivant une expression équivalente à la dernière racine cubique de l’unité pour que son argument soit dans l’intervalle standard ]𝜋;𝜋], on trouve que les trois racines cubiques de l’unité sont 1,2𝜋3+𝑖2𝜋3,2𝜋3+𝑖2𝜋3.cossincossin

Question 2

De la même manière, on trouve les racines 6e de l’unité en posant 𝑛=6 et 𝑘=0;1,,5, ce qui donne cossin2𝜋𝑘6+𝑖2𝜋𝑘6.

Alors, si on exprime les arguments dans l’intervalle principal, on a 1,2𝜋6+𝑖2𝜋6;2𝜋3+𝑖2𝜋3;1;2𝜋3+𝑖2𝜋3;2𝜋6+𝑖2𝜋6.cossincossincossincossin

Question 3

En comparant les racines cubiques de l’unité aux racines 6e de l’unité, on constate que toutes les racines cubiques de l’unité sont également racines 6e de l’unité.

Dans l’exemple précédent, on a vu que toutes les racines cubiques de l’unité sont aussi des racines sixièmes de l’unité. On peut également le regarder sous un autre angle. Une racine cubique de l’unité est un nombre complexe qui vérifie 𝑧=1, tandis qu’une racine sixième de l’unité est une solution complexe 𝑧 de 𝑧=1. Si un nombre complexe vérifie 𝑧=1, alors on peut prendre le carré de chaque côté de l’équation, ce qui donne 𝑧=1𝑧=1.

Ainsi, si un nombre complexe vérifie 𝑧=1, alors il vérifie également 𝑧=1. D’ailleurs, on peut généraliser cette affirmation. Soient deux entiers positifs 𝑚 et 𝑛 tels que 𝑚 divise 𝑛;c’est-à-dire 𝑛=𝑚𝑘 pour un entier positif 𝑘. Si 𝑧 est une racine 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité, alors elle vérifie 𝑧=1. Si on élève chaque côté de cette équation à la puissance 𝑘𝑖𝑚𝑒, (𝑧)=1𝑧=1𝑧=1.

Donc, 𝑧 est aussi une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Ainsi, si 𝑚 et 𝑛 sont des entiers positifs tels que 𝑚 divise 𝑛, toute racine 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité est automatiquement une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité.

On peut appliquer cette affirmation pour démontrer un théorème encore plus général. Cette fois, 𝑚 ne divise pas 𝑛, mais on a gcd(𝑚;𝑛)=𝑘. Donc, 𝑘 divise à la fois 𝑚 et 𝑛. Par conséquent, chacune des racines 𝑘𝑖𝑚𝑒 de l’unité est aussi racine 𝑚𝑖𝑚𝑒 et 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. En fait, ce sont précisément les racines communes de l’unité.

Théorème : Racines communes de l’unité lorsque pgcd (𝑚, 𝑛) ≠ 1

Soient 𝑚 et 𝑛 des entiers positifs tels que gcd(𝑚;𝑛)=𝑘. Alors, les racines communes aux racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 et 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont exactement les racines 𝑘𝑖𝑚𝑒 de l’unité.

Considérons un exemple d’application de ce théorème dans un problème géométrique.

Exemple 5: Nombre de sommets communs à des polygones inscrits

Deux polygones réguliers sont inscrits dans le même cercle, le premier a 1‎ ‎731 côtés et le second a 4‎ ‎039 côtés. Si ces deux polygones ont au moins un sommet en commun, combien de sommets ont-ils en commun?

Réponse

Rappelons que les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité d’un plan complexe se situent aux sommets d’un polygone à 𝑛 côtés inscrit dans un cercle unité, où l’un des sommets est en 1. Munissons ce plan d’un repère de sorte que le cercle en question soit unitaire, centré à l’origine, et que le sommet commun soit le point (1;0). Alors, on peut considérer les sommets comme des nombres complexes du plan complexe.

Dans cette configuration, les sommets du polygone à 1‎ ‎731 sommets sont les racines 1731er de l’unité, tandis que les 4‎ ‎039 sommets sont les racines 4039e de l’unité.

On rappelle que pour tous entiers positifs 𝑚 et 𝑛, les racines communes aux racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 et 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont précisément les racines 𝑘𝑖𝑚𝑒 de l’unité si gcd(𝑚;𝑛)=𝑘. Dans cet exemple, 𝑚=1731 et 𝑛=4039, on cherche donc gcd(1731;4039). On note que le premier nombre est divisible par 3 et le deuxième par 7. En utilisant ces diviseurs premiers, ces deux nombres s’écrivent 1731=3×577,4039=7×577.

On voit que 577 est un diviseur commun à ces nombres, et c’est le plus grand diviseur, car ils ne partagent pas les autres diviseurs premiers 3 et 7. On obtient 𝑘=(1731,4039)=577.gcd

Ainsi, les sommets communs à ces deux polygones sont représentés dans le plan complexe par les racines 577e de l’unité. On sait qu’il y a exactement 577 nombres complexes qui sont racines 577e de l’unité.

Par conséquent, si les deux polygones inscrits dans le même cercle ont au moins un sommet en commun, alors ils ont au total 577 sommets en commun.

Dans les exemples précédents, on a identifié les racines communes de l’unité. Passons maintenant à une autre définition importante concernant les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Nous avions déjà listé les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité pour 𝑛=2;3,,7;nous les avions notées dans des plans complexes. Listons-les en prenant des arguments qui appartiennent à l’intervalle standard ]𝜋;𝜋].

𝑛Les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité
11
21, 1
31, 𝑒, 𝑒
41, 𝑖, 1, 𝑖
51, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒
61, 𝑒, 𝑒, 1, 𝑒, 𝑒
71, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒

Les nombres en rouge dans le tableau ci-dessus sont les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité qui sont aussi racines 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité pour un nombre 𝑚<𝑛. Par exemple, la racine 𝑒 de 𝑛=6 est en rouge parce que cette racine est une racine de l’unité lorsque 𝑚=3, et 3<6. Cela signifie que les nombres en vert sont les racines de l’unité qui apparaissent pour la première fois dans la liste. De telles racines de l’unité s’appellent racines primitives de l’unité.

Définition : Racines 𝑛-ièmes primitives de l’unité

Une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité est un nombre complexe 𝜔 pour lequel 𝑘=𝑛 est le plus petit entier positif tel que 𝜔=1. Autrement dit, une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité qui n’est pas une racine 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité pour un nombre 𝑚<𝑛.

D’après le tableau ci-dessus, on a identifié toutes les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitives de l’unité pour 𝑛=1;2,,7:

𝑛Racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitives de l’unité
11
21
3𝑒, 𝑒
4𝑖, 𝑖
5𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒
6𝑒, 𝑒
7𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒, 𝑒

On observe que la première racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 non-triviale de l’unité pour 𝑛2 est toujours une racine primitive de l’unité.

Propriété : Racines 𝑛-ièmes primitives de l’unité

Tout nombre complexe de la forme 𝜔=𝑒, pour 𝑛 entier positif, est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité.

Cette propriété indique aussi qu’il existe toujours un nombre complexe qui correspond à une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité. Cependant, il ne faut pas oublier qu’une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité pour 𝑛>2 n’est pas unique;ainsi, cette propriété permet d’obtenir l’une des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitives de l’unité, et non toutes.

Prouvons cette propriété en montrant qu’il n’existe pas d’entier positif 𝑘, inférieur à 𝑛 tel que 𝜔=1. Ainsi, soit un entier quelconque 𝑘 vérifiant 0<𝑘<𝑛. Alors, d’après le théorème de Moivre sur les puissances entières, on a 𝜔=𝑒.

Notons également que la condition 0<𝑘<𝑛 implique 0<𝑘𝑛<1 si on divise chaque membre de l’inégalité par 𝑛. Donc, l’argument du nombre complexe ci-dessus vérifie 0<2𝜋𝑘𝑛=2𝜋𝑘𝑛<2𝜋.

Comme l’argument de 1 est égal à 0 ou un multiple de 2𝜋, on obtient que 𝜔1 pour tout entier 𝑘 tel que 0<𝑘<𝑛. Autrement dit, 𝑘=𝑛 est le plus petit entier positif tel que 𝜔=1, ce qui prouve la propriété.

Une propriété importante d’une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité est qu’elle peut générer toutes les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité si on l’élève à des puissances successives.

Propriété : Racines 𝑛-ièmes primitives de l’unité

Soit 𝜔 une racine primitive de l’unité, alors les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont 1,𝜔,𝜔,,𝜔.

On peut démontrer cette propriété en démontrant les deux propriétés suivantes. Soit 𝜔 une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité. Alors

  • toute puissance entière de 𝜔 est aussi une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité,
  • les nombres complexes 1,𝜔,𝜔,,𝜔 sont tous distincts.

À partir de ces deux propriétés, on sait que 1,𝜔,𝜔,,𝜔 sont 𝑛 racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 distinctes de l’unité, donc elles représentent toutes les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité.

Pour montrer la première propriété, soit 𝑘 un entier quelconque. Alors, d’après les propriétés des exposants, 𝜔=𝜔=(𝜔).

On sait que 𝜔=1 car 𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Par conséquent, le côté droit de l’équation ci-dessus est égal à 1. Comme 𝜔=1, 𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Cela prouve la première propriété nécessaire à notre preuve.

Pour prouver la deuxième propriété, commençons par supposer qu’elle soit fausse. Alors, il existe deux entiers distincts non-négatifs 𝑚 et 𝑘, avec 𝑚<𝑛 et 𝑘<𝑛, tels que 𝜔=𝜔.

Supposons que 𝑚<𝑘, car l’ordre de ces deux entiers est arbitraire. Alors, en divisant les deux côtés de l’équation par 𝜔 et en utilisant les propriétés des exposants, on obtient 𝜔𝜔=1𝜔=1.

Donc, 𝑧=𝜔 vérifie l’équation 𝑧=1, 𝑚𝑘 est un entier positif puisque 𝑚>𝑘. Donc, 𝜔 est une racine (𝑚𝑘)𝑖𝑚𝑒 de l’unité, avec 𝑚𝑘<𝑛. Mais ça contredit le fait que 𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité. Cela signifie qu’il n’est pas possible d’avoir 𝜔=𝜔, pour des entiers non-négatifs 𝑚 et 𝑘 inférieurs à 𝑛. Ainsi, les nombres 1,𝜔,𝜔,,𝜔 sont 𝑛 nombres distincts. Cela prouve la propriété désirée.

Examinons maintenant quelques propriétés des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitives de l’unité.

Propriété : Somme des puissances des racines 𝑛-ièmes primitives de l’unité

Soit 𝜔 une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité pour 𝑛2. Alors 1+𝜔+𝜔++𝜔=0.

Les termes du membre gauche de l’équation ci-dessus étant les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité, cette propriété indique que la somme des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité est nulle pour tout 𝑛2. Rappelons qu’on a montré dans l’exemple 2 que la somme des racines cinquièmes de l’unité est nulle. Ici, on peut utiliser une astuce algébrique similaire pour prouver cette propriété.

Pour prouver cette propriété, commençons par appeler 𝑠 le côté gauche de l’équation:𝑠=1+𝜔+𝜔++𝜔.

Multiplions chaque côté de cette équation par 𝜔, 𝜔𝑠=𝜔+𝜔++𝜔+𝜔.

Comme 𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité, on a 𝜔=1. On obtient 𝜔𝑠=𝜔+𝜔++𝜔+1,𝑠=1+𝜔+𝜔++𝜔.

On voit que les membres droits des deux équations sont les mêmes, ce qui donne 𝜔𝑠=𝑠𝜔𝑠𝑠=0𝑠(𝜔1)=0.

Comme 𝜔 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité, on sait que 𝜔1. Ainsi, on peut diviser les deux côtés de l’équation ci-dessus par (𝜔1), ce qui donne 𝑠=0.

Cela prouve la propriété souhaitée, qui mène directement au résultat suivant.

Corollaire : Somme des racines 𝑛-ièmes de l’unité

La somme des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité, pour tout 𝑛2, est égale à zéro.

Comme une somme de nombres complexes équivaut géométriquement à une addition de vecteurs, la propriété ci-dessus révèle un autre aspect de la symétrie des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité. Pour faire une analogie physique, si on voit chaque racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité comme un vecteur représentant la norme et la direction d’une force qui s’exerce à l’origine d’un plan complexe, cette propriété indique que l’effet combiné de toutes les forces à l’origine est nul. Autrement dit, les forces représentées par les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont en équilibre parfait.

Passons à un exemple où on applique cette propriété des racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitives de l’unité.

Exemple 6: Somme des puissances des racines primitives de l’unité

Soit 𝜔 une racine 6e primitive de l’unité, laquelle des expressions suivantes est égale à 𝜔+𝜔+𝜔?

  1. 𝜔+𝜔+𝜔
  2. 12𝜔+𝜔+𝜔
  3. 1𝜔𝜔
  4. 1+𝜔+𝜔
  5. 1

Réponse

On rappelle qu’une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité vérifie 1+𝜔+𝜔++𝜔=0.

Comme on nous dit que 𝜔 est une racine 6e primitive de l’unité, 𝑛=6. Donc, 1+𝜔+𝜔+𝜔+𝜔+𝜔=0.

On réécrit cette équation pour trouver une expression égale à l’expression donnée:𝜔+𝜔+𝜔=1+𝜔+𝜔.

C’est la réponse D.

Dans le dernier exemple, nous appliquerons les propriétés d’une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité pour résoudre un problème.

Exemple 7: Applications des racines 𝑛-ièmes de l’unité

Combien de paires de nombres réels (𝑎;𝑏) vérifient la relation (𝑎+𝑏𝑖)=𝑎𝑏𝑖?

Réponse

On rappelle les propriétés du module d’un nombre complexe, |𝑧|=|𝑧|,|𝑧|=||𝑧||.

Si on note 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, on a 𝑧=𝑎𝑏𝑖;donc, l’équation donnée est 𝑧=𝑧. En prenant le module de cette équation, on a ||𝑧||=||𝑧||.

Alors, les propriétés du module données ci-dessus donnent |𝑧|=|𝑧|.

Donc, en soustrayant |𝑧| de chaque côté de l’équation, on obtient |𝑧||𝑧|=0,|𝑧||𝑧|1=0.

Par conséquent, soit |𝑧|=0 soit |𝑧|=1. Si |𝑧|=0, 𝑎 et 𝑏 sont tous les deux nuls, on obtient alors une paire de nombres réels qui vérifient l’équation. Ensuite, considérons le cas où |𝑧|=1. Si on multiplie chaque côté de l’équation initiale par 𝑧, on obtient 𝑧=𝑧𝑧.

Rappelons que, pour tout nombre complexe 𝑧, 𝑧𝑧=|𝑧|. Comme on sait que |𝑧|=1, on peut réécrire l’équation ci-dessus 𝑧=1.

On sait que les solutions de ces équations s’appellent les racines 2021er de l’unité, et qu’il existe exactement 2‎ ‎021 racines de l’unité qui vérifient cette équation. Par conséquent, dans le cas où |𝑧|=1, il existe 2‎ ‎021 paires (𝑎;𝑏) qui vérifient cette équation.

Au total, il existe 2‎ ‎022 paires de nombres réels (𝑎;𝑏) qui vérifient la relation.

Pour conclure, récapitulons quelques concepts importants de cette fiche.

Points clés

  • Pour tout entier positif 𝑛, il existe exactement 𝑛 nombres complexes distincts 𝑧 qui vérifient l’équation 𝑧=1. Les solutions complexes de cette équation s’appellent les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité.
  • Les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité sous forme exponentielle sont 𝑧1,𝑒,,𝑒.()
  • Les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité, pour 𝑛3, forment les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 côtés inscrit dans un cercle unité centré à l’origine du plan complexe, avec un sommet à la racine triviale 1.
  • Soient 𝑚 et 𝑛 des entiers positifs tels que gcd(𝑚;𝑛)=𝑘. Alors, les racines communes aux racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 et 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité sont exactement les racines 𝑘𝑖𝑚𝑒 de l’unité.
  • Une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité est un nombre complexe 𝜔 pour lequel 𝑘=𝑛 est le plus petit entier positif tel que 𝜔=1. Autrement dit, une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 de l’unité qui n’est pas une racine 𝑚𝑖𝑚𝑒 de l’unité pour 𝑚<𝑛. En particulier, tout nombre complexe de la forme 𝜔=𝑒 est une racine 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitive de l’unité.
  • Si 𝜔 est une racine primitive de l’unité, alors les racines 𝑛𝑖𝑚𝑒 primitives de l’unité sont 1,𝜔,𝜔,,𝜔. Elles vérifient 1+𝜔+𝜔++𝜔=0.

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