Lesson Explainer: Argument d’un nombre complexe

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier l’argument d’un nombre complexe et à le calculer.

Lorsque l’on représente des nombres complexes sur un plan complexe, on remarque que les nombres complexes partagent de nombreuses propriétés avec les vecteurs. Par exemple, l’addition et la soustraction de nombres complexes est géométriquement équivalente aux opérations correspondantes sur des vecteurs. On sait que les caractéristiques d’un vecteur sont sa direction, son sens et sa norme, donc les nombres complexes doivent avoir des caractéristiques équivalentes. La norme d’un nombre complexe est appelée son module. La direction et le sens d’un nombre complexe dans le plan complexe sont représentés par son argument.

Définition : Argument d’un nombre complexe

L’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs du plan complexe et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. L’argument est noté ou .

Par convention, l’argument d’un nombre complexe est donné dans l’intervalle . Un nombre complexe peut cependant avoir un argument supérieur à ou inférieur à . L’argument d’un nombre complexe compris dans l’intervalle est la mesure principale de l’argument. D’autres conventions utilisent l’intervalle pour l’argument mais on les rencontre moins fréquemment.

Si on connaît la forme algébrique d’un nombre complexe, on peut utiliser la trigonométrie pour calculer l’argument de ce nombre complexe. Considérons par exemple le nombre complexe représenté dans le plan complexe ci-dessus. Comme l’image de ce nombre complexe appartient au premier quadrant, on voit que l’argument de ce nombre complexe est la mesure d’un des angles du triangle rectangle dont les côtés sont les segments bleu, vert et violet. Dans ce cas, la tangente de cet angle est égale au quotient ; par conséquent,

On peut ensuite calculer en appliquant la réciproque de la fonction tangente aux deux membres de cette équation :

On peut utiliser cette méthode à chaque fois que l’image d’un nombre complexe est située dans le premier quadrant. Dans le premier exemple, nous allons calculer la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe dont l’image est située dans le premier quadrant grâce à la trigonométrie.

Exemple 1: Déterminer l’argument d’un nombre complexe en radians

Calculez l’argument du nombre complexe en radians. Arrondissez votre réponse au centième.

Réponse

On rappelle que l’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs du plan complexe et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On rappelle également que l’argument d’un nombre complexe est, par convention, donné dans l’intervalle .

Commençons par représenter le nombre complexe sur un plan complexe.

Soit l’argument du nombre complexe représenté ci-dessus. On peut voir que l’argument de ce nombre complexe est la mesure d’un angle du triangle rectangle dont les côtés sont les segments bleu, vert et violet. En utilisant la formule de la tangente, on a

On peut ensuite appliquer la réciproque de la fonction tangente aux deux membres de cette équation pour trouver

Par conséquent, au centième près.

Dans l’exemple précédent, nous avons pu calculer l’argument d’un nombre complexe en évaluant la réciproque de la tangente de . Cela n’est cependant pas possible pour tous les nombres complexes, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 2: Déterminer la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe

Pour , calculez la mesure principale de l’argument de .

Réponse

On rappelle que l’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On rappelle de plus que la mesure principale de l’argument d’un nombre complexe est l’argument qui se situe dans l’intervalle .

Commençons par représenter le nombre complexe sur le plan complexe ci-dessous.

Soient l’argument du nombre complexe et la mesure de son angle supplémentaire. On voit alors que est la mesure d’un angle du triangle rectangle dont les côtés sont les segments bleu, vert et violet. La formule de la tangente nous donne alors

On peut ensuite appliquer la réciproque de la fonction tangente aux deux membres de cette équation pour obtenir

On calcule enfin l’argument en soustrayant à :

On remarque que cet argument appartient à l’intervalle et qu’il s’agit donc de la mesure principale de l’argument.

Nous concluons ainsi que la mesure principale de l’argument du nombre complexe est .

Dans l’exemple précédent, nous avons vu que l’argument d’un nombre complexe n’est pas toujours égal à la réciproque de la tangente de . Si nous avions en fait simplement essayé de calculer l’argument de en évaluant nous aurions obtenu

Cet argument représente un angle de dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à l’axe des réels positifs, ce qui placerait l’image du nombre complexe dans le quatrième quadrant. Il est cependant visible dans le plan complexe ci-dessus que cela ne correspond pas à l’argument du nombre complexe donné. On aurait tout de même pu arriver à la valeur correcte de en ajoutant à .

Cet exemple montre qu’il faut être prudent lorsque l’on calcule l’argument d’un nombre complexe dont l’image ne se situe pas dans le premier quadrant. Nous constatons de plus qu’il existe différentes approches permettant de calculer .

Nous allons donc présenter ici deux méthodes différentes permettant calculer l’argument d’un nombre complexe. Quelle que soit la méthode choisie, représenter le nombre sur un plan complexe est toujours extrêmement utile et nous aidera à éviter des erreurs courantes.

Comment calculer l’argument d’un nombre complexe en utilisant la réciproque de la fonction tangente

Pour calculer l’argument d’un nombre complexe , il faut déterminer dans quel quadrant son image se situe. On peut obtenir l’argument d’un nombre complexe en utilisant la réciproque de la fonction tangente selon le quadrant :

Si l’image de se situe dans le premier ou le quatrième quadrant,
Si l’image de se situe dans le deuxième quadrant,
Si l’image de se situe dans le troisième quadrant,

Si l’image du nombre complexe n’appartient à aucun quadrant, alors il s’agit d’un réel ou d’un imaginaire pur. S’il est imaginaire pur , alors

S’il est réel , alors

Enfin, si , l’argument n’est pas défini.

Ces résultats sont résumés sur le schéma suivant.

Le principal avantage de la méthode décrite ci-dessus est qu’elle donne une formule pour chaque situation. Elle nécessite cependant de mémoriser chaque règle ou d’avoir une référence à disposition. Une autre méthode permettant de calculer l’argument d’un nombre complexe consiste à utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer d’abord la mesure positive de l’angle aigu entre l’axe des réels et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe dans le plan complexe. Après avoir calculé la mesure positive de l’angle aigu, on peut trouver l’argument du nombre complexe géométriquement.

Comment calculer l’argument d’un nombre complexe en utilisant des angles aigus de mesure positive

On définit l’angle comme l’angle aigu de mesure positive entre l’axe des réels et le segment reliant l’image de et l’origine, comme illustré sur la figure ci-dessous.

On peut alors calculer l’argument de dans les différents quadrants comme suit :

Quadrant 1 :
Quadrant 2 :
Quadrant 3 :
Quadrant 4 :

Ces deux méthodes pour calculer l’argument d’un nombre complexe mènent à la même réponse. La deuxième méthode, qui utilise l’angle aigu de mesure positive, est plus intuitive et nécessite moins de mémorisation. En utilisant cette méthode, on calcule d’abord la mesure positive de l’angle aigu, puis on l’utilise pour déterminer l’argument du nombre complexe, qui est la mesure de l’angle mesurée dans le sens inverse des aiguilles d’une montre à partir de l’axe des réels positifs et qui appartient à l’intervalle .

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer cette méthode pour calculer l’argument d’un nombre complexe dont l’image est située dans le troisième quadrant.

Exemple 3: Relation entre les arguments de nombres complexes conjugués

Soit le nombre complexe .

Calculez , en donnant votre réponse arrondie à deux décimales près dans l’intervalle de à .
Calculez , en donnant votre réponse arrondie à deux décimales près dans l’intervalle de à .

Réponse

On rappelle que l’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs du plan complexe et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On rappelle de plus que l’argument d’un nombre complexe est, par convention, donné dans l’intervalle .

Partie 1

Commençons par représenter le nombre complexe sur le plan complexe ci-dessous.

Soit l’angle aigu qui nous permettra de calculer l’argument du nombre complexe . Si on peut calculer la mesure de l’angle , on pourra trouver l’argument de ce nombre complexe en y ajoutant . Cet argument n’appartiendra cependant pas à l’intervalle . Il faut donc soustraire un tour complet de à la mesure obtenue, ce qui conduit à la relation

On voit que est la mesure d’un angle du triangle rectangle dont les côtés sont les segments bleu, vert et violet. En utilisant la formule de la tangente, on a

On peut alors appliquer la réciproque de la fonction tangente aux deux membres de cette équation pour obtenir

Pour calculer , on soustrait ensuite à , ce qui donne

Partie 2

On rappelle qu’on obtient le conjugué en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre complexe . Par conséquent, . Représentons à présent sur le plan complexe.

Comme pour la question précédente, nous allons trouver l’argument de en calculant d’abord :

Comme et sont supplémentaires, on peut obtenir en soustrayant à :

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé les arguments d’un nombre complexe et de son conjugué. On remarque que l’argument du conjugué de cet exemple est égal à l’opposé de l’argument du nombre complexe d’origine. Il s’agit en réalité d’une propriété générale de l’argument.

Propriété : Argument du conjugué d’un nombre complexe

Pour tout nombre complexe non nul et son conjugué (également noté ),

Dans l’exemple suivant, nous allons montrer la relation entre les arguments de nombres complexes et les argument de leur produit et de leur quotient.

Exemple 4: Arguments de produits et de quotients

Soient les nombres complexes et .

Calculez et .
Calculez . Comparez-le à et .
Calculez . Comparez-le à et .

Réponse

On rappelle que l’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On rappelle de plus que l’argument d’un nombre complexe est, par convention, donné dans l’intervalle .

Partie 1

Commençons par représenter et sur un plan complexe.

On rappelle que l’argument d’un nombre complexe dont l’image est située dans le premier ou le quatrième quadrant est

Comme les images de et se situent respectivement dans les premier et quatrième quadrants, on peut utiliser la réciproque de la tangente pour calculer leurs arguments : et

Partie 2

On commence par calculer :

En développant les parenthèses, on obtient

En utilisant et en regroupant les termes réels et imaginaires, on obtient

Comme les parties réelle et imaginaire sont positives, l’image de se situe dans le premier quadrant du plan complexe et on peut calculer son argument en appliquant la réciproque de la tangente comme suit :

En simplifiant par 2 au numérateur et au dénominateur, on a

On peut simplifier la fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur :

En développant les parenthèses, on obtient

En comparant cette mesure avec et , on constate que .

Partie 3

On commence par calculer :

Pour écrire ce nombre complexe sous la forme algébrique , on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est :

En développant les parenthèses, on a

En utilisant et en regroupant les termes réels et imaginaires,

Comme et , l’image du nombre complexe se situe dans le deuxième quadrant. On rappelle que si l’image d’un nombre complexe se situe dans le deuxième quadrant,

Par conséquent,

En simplifiant le facteur commun , on a

En appliquant la réciproque de la tangente, on obtient

Enfin, en comparant cette mesure avec et , on constate que .

Dans l’exemple précédent, nous avons constaté une relation entre les arguments de nombres complexes et les arguments de leur produit et de leur quotient. Cette relation est en réalité vraie pour tous les nombres complexes.

Propriété : Arguments d’un produit et d’un quotient de nombres complexes

Pour des nombres complexes non nuls et ,

L’exemple suivant montre comment les propriétés de l’argument permettent de résoudre des problèmes.

Exemple 5: Utiliser la multiplication de nombres complexes pour calculer un argument

Un nombre complexe est multiplié par un autre nombre complexe , puis par son conjugué . Quelle est la relation entre l’argument du nombre complexe résultant et l’argument du nombre complexe d’origine ?

Réponse

On rappelle que l’argument du produit de deux nombres complexes est égal à la somme des arguments des nombres complexes.

On commence donc par un nombre complexe puis on le multiplie par et . Le résultat est donc . Nous devons déterminer quelle est la relation entre l’argument du nombre complexe résultant et l’argument du nombre complexe d’origine. Nous devons donc étudier . En utilisant les propriétés multiplicatives de l’argument, on peut le réécrire comme suit :

On sait également que l’argument d’un nombre complexe est égal à l’opposé de l’argument de son conjugué. On peut donc remplacer ci-dessus par , ce qui donne

Par conséquent, l’argument du nombre complexe après être multiplié par un autre nombre complexe , puis par son conjugué , est inchangé.

Dans le dernier exemple, nous allons étudier la relation entre l’argument et les puissances.

Exemple 6: Calculer l’argument d’une puissance d’un nombre complexe sous forme algébrique

Soit le nombre complexe .

Calculez l’argument de .
Déduisez-en l’argument de .

Réponse

On rappelle que l’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine et l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On rappelle également que l’argument d’un nombre complexe est, par convention, donné dans l’intervalle .

Partie 1

L’argument d’un nombre complexe dont l’image est située dans le premier ou le quatrième quadrant est

Comme l’image du nombre complexe étudié ici appartient au premier quadrant, on peut calculer son argument en évaluant la réciproque de la tangente de sa partie imaginaire sur sa partie réelle :

Partie 2

On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls et ,

Si les nombres complexes sont tous les deux égaux à , cela signifie que

En utilisant une logique similaire, on peut trouver que

Par conséquent,

Dans l’exemple précédent, nous avons vu la relation entre l’argument d’un nombre complexe et l’argument d’une puissance de ce nombre. En suivant le même raisonnement, on peut montrer que cette relation est valable pour tous les nombres complexes et pour toute puissance entière positive.

Propriété : Argument de la puissance d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe non nul et un entier positif , l’argument de est défini par

Dans cette fiche explicative, nous avons étudié la relation entre l’argument de nombres complexes et l’argument de leur conjugué, produit et quotient. Nous avons cependant intentionnellement omis l’addition et la soustraction de nombres complexes car il n’existe pas de relation simple entre ces opérations et les arguments des nombres complexes. Nous allons terminer cette fiche explicative par illustrer de deux manières différentes pourquoi il n’est pas possible d’établir une relation simple entre les arguments de nombres complexes et les arguments de leur somme ou de leur différence.

On rappelle tout d’abord que l’addition et la soustraction de nombres complexes sont géométriquement équivalentes aux opérations vectorielles correspondantes et suivent donc les règles du triangle ou du parallélogramme. On peut alors voir que ne connaître que les arguments (angles) des nombres complexes ne sera pas suffisant pour trouver l’argument de la somme ou différence de ceux-ci. Il s’agit donc d’une manière de montrer pourquoi il n’y a pas de relation simple entre ces opérations et les arguments des nombres complexes.

Une autre approche est de considérer les trois nombres complexes , et représentés sur le plan complexe ci-dessous.

On peut voir que et que . De plus, , qui a un argument nul, alors que dont l’argument est visiblement non nul. On peut en effet calculer la mesure exacte de l’argument :

En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, on peut simplifier la fraction :

En développant les parenthèses, on obtient

On peut enfin simplifier et appliquer la réciproque de la tangente pour obtenir

Pour résumer ces calculs, rappelons que les nombres complexes et avaient le même argument, . S’il existait une relation simple entre les arguments des nombres complexes et la somme, les arguments de et seraient égaux. Nous avons cependant obtenu

Cela démontre que connaître les arguments de deux nombres complexes n’est pas suffisant pour pouvoir calculer l’argument de leur somme.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

L’argument d’un nombre complexe est la mesure de l’angle entre l’axe des réels positifs d’un plan complexe et le segment reliant l’origine à l’image du nombre complexe, mesurée en radians dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
L’argument d’un nombre complexe peut être obtenu en utilisant la réciproque de la fonction tangente dans chaque quadrant :
- Si l’image de se situe dans le premier ou le quatrième quadrant,
- Si l’image de se situe dans le deuxième quadrant,
- Si l’image de se situe dans le troisième quadrant,
L’argument a les propriétés suivantes :
- ,
- ,
- ,
- .
Il n’existe pas de relation simple entre les argument de deux nombres complexes et l’argument de leur somme.