ملف تدريبي: التحويل الخطي في ثلاثة أبعاد

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد مصفوفة التحويل الخطي الوحيدة، أو التحويلات الخطية المركبة في ثلاثة أبعاد.

س١:

في الفضاء الثنائي الأبعاد لا نحتاج إلا إلى تحديد زاوية الدوران. وفي الفضاء الثلاثي الأبعاد نحتاج إلى إيجاد كلٍّ من الزاوية والمتجه الذي يمثِّل محور الدوران. باعتبار المصفوفة 𝐴 التي تمثِّل دوران بزاوية 90 حول محور، حتى نقطة الأصل، وفي اتجاه: 𝑛=221.

ما قيمة 𝐴𝑛؟

  • أ001
  • ب100
  • ج𝑛
  • د𝑛
  • ه010

أوجد الصورة العامة للمصفوفة التي ترسل 𝑛 للمتجه المناسب، كما هو محدد في الجزء السابق من السؤال.

  • أ𝑎𝑏2𝑎2𝑏𝑐𝑑2𝑐2𝑑𝑒𝑓12𝑒2𝑓
  • ب𝑎𝑏12𝑎2𝑏𝑐𝑑2𝑐2𝑑𝑒𝑓2𝑒2𝑓
  • ج𝑎𝑏2𝑎2𝑏𝑐𝑑12𝑐2𝑑𝑒𝑓2𝑒2𝑓
  • د𝑎𝑏22𝑎2𝑏𝑐𝑑22𝑐2𝑑𝑒𝑓12𝑒2𝑓
  • ه𝑎𝑏22𝑎2𝑏𝑐𝑑22𝑐2𝑑𝑒𝑓12𝑒2𝑓

المتجه: 𝑣=330 عمودي على 𝑛. ما الذي يمكن قوله حول اتجاه المتجه 𝑤=𝐴𝑣؟

  • أ𝑤 سيكون عموديًّا على 𝑛، ولا يلزم أن يكون عموديًّا على 𝑣
  • ب𝑤 سيوازي 𝑛
  • ج𝑤 سيكون عموديًّا على 𝑣، ولا يلزم أن يكون عموديًّا على 𝑛
  • د𝑤 سيوازي 𝑣
  • ه𝑤 سيكون عموديًّا على كلٍّ من 𝑛، 𝑣

ما الذي يمكن قوله حول مقدار 𝑤=𝐴𝑣؟

  • أ|𝑤|=|𝑛|
  • ب|𝑤|=|𝑣|
  • ج|𝑤|=1
  • د|𝑤|=3|𝑣|
  • ه|𝑤|=3|𝑛|

أيُّ المتجهات الآتية به الخواص المطلوبة ليصبح 𝑤؟

  • أ3312
  • ب114
  • ج3312
  • د330
  • ه114

ما الذي يمكن قوله عن المتجه 𝐴𝑤؟

  • أ𝐴𝑤=𝑤
  • ب𝐴𝑤=𝑣
  • ج𝐴𝑤=𝑛
  • د𝐴𝑤=𝑣
  • ه𝐴𝑤=𝑛

باستخدام الصورة العامة للمصفوفة الواردة بالجزء الثاني من السؤال، وقيمتي 𝐴𝑣، 𝐴𝑤، أوجد المصفوفة 𝐴.

  • أ418744481
  • ب221330114
  • ج231231104
  • د19418744481
  • ه154231231104

س٢:

افترِض أن التحويلة الهندسية الخطية 𝐿 تدور كل متجه 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور 𝑥 الموجب، ثم 45 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور 𝑦 الموجب. أوجد المصفوفة التي تُمثِّل 𝐿 في الأساس المعياري.

  • أ1212000112120
  • ب1212000112120
  • ج121200011120
  • د1212010112120

س٣:

لدينا التحويلة الخطية 𝐿، التي تدور حول كلِّ متجه بزاوية 45 درجات عكس اتجاه عقارب الساعة حول الجزء الموجب من المحور 𝑥، ثم بزاوية 90 درجات عكس اتجاه عقارب الساعة حول الجزء الموجب من المحور 𝑦. أوجد 𝐿121 في الأساس المعياري.

  • أ12+21221
  • ب12+221
  • ج12+2112+2
  • د121

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.