ملف تدريبي: عملية جرام-شميدت

تحميل

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد الأساس المعياري المتعامد لفضاء اتجاهي باستخدام عملية جرام-شميدت.

س١:

أوجد القاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. ⎞⎟⎟⎟⎟⎠٣٠٠٠٣٢١٢٠١٢٣٢⎛⎜⎜⎜⎜⎝.

  • أ󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٢󰃁١٠−١󰃀،١󰋴٦󰃭١−٢١󰃬󰃲
  • ب󰃳󰃁١٠٠󰃀،١󰋴٢󰃁٠١١󰃀،١󰋴٢󰃁٠−١١󰃀󰃲
  • ج󰃇󰃁١٠٠󰃀،󰃁٠٢١󰃀،󰃁٠−١٢󰃀󰃆
  • د󰃳󰃁١٠٠󰃀،١󰋴٥󰃁٠٢١󰃀،١󰋴٥󰃁٠−١٢󰃀󰃲
  • ه󰃇󰃁١٠٠󰃀،󰃁٠١١󰃀،󰃁٠−١١󰃀󰃆

س٢:

أوجد الأساس العياري المتعامد للمتجهات الذاتية للمصفوفة:󰃭٢٠٠٠٥١٠١٥󰃬.

  • أ󰃇󰃁١٠٠󰃀،󰃁٠١١󰃀،󰃁٠−١١󰃀󰃆
  • ب󰃇󰃁١٠٠󰃀،󰃁٠٢١󰃀،󰃁٠−١٢󰃀󰃆
  • ج󰃳󰃁١٠٠󰃀،١󰋴٢󰃁٠١١󰃀،١󰋴٢󰃁٠−١١󰃀󰃲
  • د󰃳󰃁١٠٠󰃀،١󰋴٥󰃁٠٢١󰃀،١󰋴٥󰃁٠−١٢󰃀󰃲
  • ه󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٢󰃁١٠−١󰃀،١󰋴٦󰃭١−٢١󰃬󰃲

س٣:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية لـ: 󰃭٧١−٧−٤−٧٧١−٤−٤−٤٤١󰃬.

  • أ󰃳󰃭١١١󰃬،󰃭−١−١٢󰃬،󰃁−١−١٠󰃀󰃲
  • ب󰃳١٣󰃭١١١󰃬،١٦󰃭−١−١٢󰃬،١٢󰃁−١−١٠󰃀󰃲
  • ج󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬،١󰋴٢󰃁−١−١٠󰃀󰃲
  • د󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٢󰃁١٠−١󰃀،١󰋴٦󰃭١−٢١󰃬󰃲
  • ه󰃳󰃭١١١󰃬،󰃁١٠−١󰃀،󰃭١−٢١󰃬󰃲

س٤:

أوجد القيم الذاتية والقاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. 󰃭١١−١−٤−١١١−٤−٤−٤٤١󰃬.

  • أ󰃳󰃭١١١󰃬،󰃁−١١٠󰃀،󰃭−١−١٢󰃬󰃲
  • ب󰃳١٣󰃭١١١󰃬،١٢󰃁−١١٠󰃀،١٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲
  • ج󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀،١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲
  • د󰃳󰃭١١١󰃬،󰃁١٠−١󰃀،󰃭١−٢١󰃬󰃲
  • ه󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٢󰃁١٠−١󰃀،١󰋴٦󰃭١−٢١󰃬󰃲

س٥:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي لمتجهات 󰏡 الذاتية. 󰏡=󰃭٣١١٤١٣١٤٤٤٠١󰃬

  • أثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • بثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١١٢󰃬󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • جثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١١٢󰃬󰃲⟷٢،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٢١
  • دثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • هثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٢،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٦

س٦:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية للمصفوفة: ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٥٣󰋴٠٣٥١٨󰋴٥٥١󰋴٠٣٥١−٤١٥−󰋴٦٥١٨󰋴٥٥١−󰋴٦٥١٧٥١⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝.

  • أ󰃳󰃁١٠٥󰃀،󰃭٠١٣٢󰃬،󰃭٥٤٢١󰃬󰃲
  • ب⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭١󰋴٦󰃭١٠󰋴٥󰃬،󰋴٠٣٥١⎞⎟⎟⎟⎟⎠−󰋴٥−󰋴٦٢١⎛⎜⎜⎜⎜⎝،١󰋴٠٣⎞⎟⎟⎟⎠−󰋴٥٢󰋴٦١⎛⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
  • ج󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬،١󰋴٢󰃁١٠−١󰃀،١󰋴٦󰃭١−٢١󰃬󰃲
  • د⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭󰃭١٠󰋴٥󰃬،⎞⎟⎟⎟⎟⎠−󰋴٥−󰋴٦٢١⎛⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎠−󰋴٥٢󰋴٦١⎛⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
  • ه󰃳١󰋴٦٢󰃁١٠٥󰃀،١󰋴٣١١󰃭٠١٣٢󰃬،١󰋴٢٠٦󰃭٥٤٢١󰃬󰃲

س٧:

يتقاطع السطحان ٢𞸎+٣𞸑−𞸏+𞸋=٠، ٣𞸎−𞸑+𞸏+٢𞸋=٠ في فضاء جزئي من 𞹇٤. أوجد أساس هذا الفضاء الجزئي، ثم أوجد الأساس العياري المتعامد لهذا الفضاء الجزئي.

  • أالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • بالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٦󰋴٦١٥١󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • جالأساس هو ⎞⎟⎟⎠−٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، الأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • دالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • هالأساس هو ⎞⎟⎟⎠−٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

س٨:

طبِّق عملية جرام-شميدت على المتجهات (١،٢،١)، (٢،−١،٣)، (١،٠،٠) لإيجاد أساس عمودي لمولدها.

  • أ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١−󰋴٣٥١−󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ب⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١−󰋴٣٥١−󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ج⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١󰋴٣٥١󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • د⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١󰋴٣٥١󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ه⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١−󰋴٣٥١−󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

س٩:

أوجد الأساس العمودي لمولد مجموعة المتجهات التالية، إذا كان {(٣،−٤،٠)، (٧،−١،٠)، (١،٧،١)}.

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س١٠:

باستخدام طريقة جرام-شميدت، أوجد قاعدة معيارية لمدى المتجهات، إذا كانت (١،٢،١،٠)، (٢،−١،٣،١)، (١،٠،٠،١).

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س١١:

أيٌّ ممَّا يلي مجموعة متجهات عمودية في 𞹇٣؟

  • أ󰃇󰃁٢٠٠󰃀،󰃁٠١٠󰃀،󰃁٠٠٣󰃀󰃆
  • ب󰃇󰃁٠١٠󰃀،󰃁٠٠١󰃀،󰃁٠٠٠󰃀󰃆
  • ج󰃳󰃭١١١󰃬،󰃁−١٠١󰃀󰃲
  • د⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١󰋴٣−١󰋴٣١󰋴٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠١󰋴٢٠−١󰋴٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

س١٢:

المجموعة 𞹔={(𞸎،𞸑،𞸏)∶٢𞸎+٣𞸑−𞸏=٠} فضاء جزئي في 𞹇٣. أوجد قاعدة ممنطمة متعامدة لهذا الفضاء الجزئي.

  • أ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٥٥٠٢󰋴٥٥⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٣󰋴٠٧٥٣󰋴٠٧٤١٣󰋴٠٧٠٧⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ب⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٥٥٠٢󰋴٥٥⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٠٧٥٣󰋴٠٧٤١٣󰋴٠٧٠٧⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ج⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠٢󰋴٥٥٠󰋴٥٥⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٣󰋴٠٧٥٣󰋴٠٧٤١−٣󰋴٠٧٠٧⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • د⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠٢󰋴٥٥٠󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−󰋴٠٧٥٣󰋴٠٧٤١󰋴٠٧٠٧⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ه⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠٢󰋴٥٥٠󰋴٥٥⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٣󰋴٠٧٥٣−󰋴٠٧٤١٣󰋴٠٧٠٧⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

س١٣:

أكمل: تُمثِّل الأعمدة على النظم 𞸍×𞸍 للمصفوفة 󰏡 قاعدة مُتعامِدة بالنسبة إلى 𞸢𞸍، إذا -وفقط إذا- كانت 󰏡 مصفوفة .

  • أواحدية
  • بمُتماثِلة
  • جمربعة
  • دمتعامدة

س١٤:

أكمل: لعدد 𞸌 من المتجهات العمودية يكون ذا 𞸌 من الأبعاد.

  • أالمجموع
  • بالامتداد
  • جالنواة
  • دالتحويلة الهندسية

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.