ملف تدريبي: عملية جرام-شميدت

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد الأساس المعياري المتعامد لفضاء اتجاهي باستخدام عملية جرام-شميدت.

س١:

أوجد القاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. ⎛⎜⎜⎜⎝3000321201232⎞⎟⎟⎟⎠.

  • أ100,1√2011,1√20−11
  • ب100,021,0−12
  • ج1√3111,1√210−1,1√61−21
  • د100,1√5021,1√50−12
  • ه100,011,0−11

س٢:

أوجد الأساس العياري المتعامد للمتجهات الذاتية للمصفوفة:200051015.

  • أ1√3111,1√210−1,1√61−21
  • ب100,011,0−11
  • ج100,1√5021,1√50−12
  • د100,021,0−12
  • ه100,1√2011,1√20−11

س٣:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية لـ: 17−7−4−717−4−4−414.

  • أ111,10−1,1−21
  • ب1√3111,1√210−1,1√61−21
  • ج1√3111,1√6−1−12,1√2−1−10
  • د13111,16−1−12,12−1−10
  • ه111,−1−12,−1−10

س٤:

أوجد القيم الذاتية والقاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. 11−1−4−111−4−4−414.

  • أ13111,12−110,16−1−12
  • ب111,10−1,1−21
  • ج111,−110,−1−12
  • د1√3111,1√210−1,1√61−21
  • ه1√3111,1√2−110,1√6−1−12

س٥:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي لمتجهات 󰏡 الذاتية. 󰏡=󰃭٣١١٤١٣١٤٤٤٠١󰃬

  • أثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • بثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١١٢󰃬󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • جثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١١٢󰃬󰃲⟷٢،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٢١
  • دثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • هثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٢،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٦

س٦:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية للمصفوفة: ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−53√30158√515√3015−145−√6158√515−√615715⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠.

  • أ105,1032,5241
  • ب1√3111,1√210−1,1√61−21
  • ج⎧⎪⎨⎪⎩1√610√5,√3015⎛⎜⎜⎜⎝−√5−√621⎞⎟⎟⎟⎠,1√30⎛⎜⎜⎝−√52√61⎞⎟⎟⎠⎫⎪⎬⎪⎭
  • د1√26105,1√1131032,1√6025241
  • ه⎧⎪⎨⎪⎩10√5,⎛⎜⎜⎜⎝−√5−√621⎞⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎝−√52√61⎞⎟⎟⎠⎫⎪⎬⎪⎭

س٧:

يتقاطع السطحان ٢𞸎+٣𞸑−𞸏+𞸋=٠، ٣𞸎−𞸑+𞸏+٢𞸋=٠ في فضاء جزئي من 𞹇٤. أوجد أساس هذا الفضاء الجزئي، ثم أوجد الأساس العياري المتعامد لهذا الفضاء الجزئي.

  • أالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • بالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٦󰋴٦١٥١󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • جالأساس هو ⎞⎟⎟⎠−٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، الأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • دالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • هالأساس هو ⎞⎟⎟⎠−٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

س٨:

طبِّق عملية جرام-شميدت على المتجهات (١،٢،١)، (٢،−١،٣)، (١،٠،٠) لإيجاد أساس عمودي لمولدها.

  • أ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١−󰋴٣٥١−󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ب⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١−󰋴٣٥١−󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ج⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١󰋴٣٥١󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • د⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١−٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١󰋴٣٥١󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
  • ه⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٣󰋴٢٠١٢󰋴٢٥󰋴٢٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٧󰋴٣٥١−󰋴٣٥١−󰋴٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

س٩:

أوجد الأساس العمودي لمولد مجموعة المتجهات التالية، إذا كان {(3,−4,0)، (7,−1,0)، (1,7,1)}.

  • أ⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎝45−350⎞⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎝35450⎞⎟⎟⎟⎠,001⎫⎪⎬⎪⎭
  • ب⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎝45−350⎞⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎝45350⎞⎟⎟⎟⎠,001⎫⎪⎬⎪⎭
  • ج⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎝35−450⎞⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎝35450⎞⎟⎟⎟⎠,001⎫⎪⎬⎪⎭
  • د⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎝35450⎞⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎝−35450⎞⎟⎟⎟⎠,001⎫⎪⎬⎪⎭
  • ه⎧⎪⎨⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎝35−450⎞⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎝45350⎞⎟⎟⎟⎠,001⎫⎪⎬⎪⎭

س١٠:

طبِّقْ طريقة جرام-شميدت على المتجهات (١،٢،١،٠)، (٢،−١،٣،١)، (١،٠،٠،١) لإيجاد القاعدة المعيارية لمداها.

  • أ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦٢󰋴٦٩٥󰋴٦٨١󰋴٦٩⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٥󰋴١١١١١١󰋴١١١٣٣٣−٧١󰋴١١١٣٣٣٢٢󰋴١١١٣٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
  • ب⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−󰋴٦٦󰋴٦٣󰋴٦٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦٢󰋴٦٩٥󰋴٦٨١−󰋴٦٩⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٥󰋴١١١١١١󰋴١١١٣٣٣−٧١󰋴١١١٣٣٣−٢٢󰋴١١١٣٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
  • ج⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦󰋴٦٣󰋴٦٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−٢󰋴٦٩٥󰋴٦٨١󰋴٦٩⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٥󰋴١١١١١١󰋴١١١٣٣٣−٧١󰋴١١١٣٣٣٢٢󰋴١١١٣٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
  • د⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−٢󰋴٦٩٥󰋴٦٨١󰋴٦٩⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٥󰋴١١١١١١󰋴١١١٣٣٣٧١󰋴١١١٣٣٣٢٢󰋴١١١٣٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
  • ه⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−󰋴٦٣󰋴٦٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠󰋴٦٦−٢󰋴٦٩٥󰋴٦٨١󰋴٦٩⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝،⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٥󰋴١١١١١١󰋴١١١٣٣٣−٧١󰋴١١١٣٣٣٢٢󰋴١١١٣٣٣⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

س١١:

أيٌّ ممَّا يلي مجموعة متجهات عمودية في ℝ؟

  • أ200,010,003
  • ب⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1√3−1√31√3⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎝1√20−1√2⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭
  • ج111,−101
  • د010,001,000

س١٢:

المجموعة 𝑉={(𝑥,𝑦,𝑧)∶2𝑥+3𝑦−𝑧=0} فضاء جزئي في ℝ. أوجد قاعدة ممنطمة متعامدة لهذا الفضاء الجزئي.

  • أ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝2√550√55⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−3√7035√7014−3√7070⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
  • ب⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝2√550√55⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−3√7035−√70143√7070⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
  • ج⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝2√550√66⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−√7035√7014√7070⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
  • د⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝√5502√55⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝3√7035√70143√7070⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭
  • ه⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎛⎜⎜⎜⎜⎝√5502√55⎞⎟⎟⎟⎟⎠,⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−3√7035√70143√7070⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭

س١٣:

أكمل: تُمثِّل الأعمدة على النظم 𝑛×𝑛 للمصفوفة 𝐴 قاعدة مُتعامِدة بالنسبة إلى ℂ، إذا -وفقط إذا- كانت 𝐴 مصفوفة .

  • أمتعامدة
  • بواحدية
  • جمُتماثِلة
  • دمربعة

س١٤:

أكمل: لعدد 𝑚 من المتجهات العمودية يكون ذا 𝑚 من الأبعاد.

  • أالمجموع
  • بالنواة
  • جالتحويلة الهندسية
  • دالامتداد

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.