ملف تدريبي: عملية جرام-شميدت

تحميل

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد الأساس المعياري المتعامد لفضاء اتجاهي باستخدام عملية جرام-شميدت.

س١:

أوجد القاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. ⎞⎟⎟⎟⎟⎠٣٠٠٠٣٢١٢٠١٢٣٢⎛⎜⎜⎜⎜⎝.

  • أ 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ب 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ − ١ ١ 󰃀 󰃲
  • ج 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ − ١ ٢ 󰃀 󰃆
  • د 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ − ١ ٢ 󰃀 󰃲
  • ه 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ − ١ ١ 󰃀 󰃆

س٢:

أوجد الأساس العياري المتعامد للمتجهات الذاتية للمصفوفة:󰃭٢٠٠٠٥١٠١٥󰃬.

  • أ 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ − ١ ١ 󰃀 󰃆
  • ب 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ − ١ ٢ 󰃀 󰃆
  • ج 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ − ١ ١ 󰃀 󰃲
  • د 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ − ١ ٢ 󰃀 󰃲
  • ه 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٣:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية لـ: 󰃭٧١−٧−٤−٧٧١−٤−٤−٤٤١󰃬.

  • أ 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃭 − ١ − ١ ٢ 󰃬 ، 󰃁 − ١ − ١ ٠ 󰃀 󰃲
  • ب 󰃳 ١ ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ ٦ 󰃭 − ١ − ١ ٢ 󰃬 ، ١ ٢ 󰃁 − ١ − ١ ٠ 󰃀 󰃲
  • ج 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 − ١ − ١ ٢ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 − ١ − ١ ٠ 󰃀 󰃲
  • د 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ه 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٤:

أوجد القيم الذاتية والقاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. 󰃭١١−١−٤−١١١−٤−٤−٤٤١󰃬.

  • أ 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 − ١ ١ ٠ 󰃀 ، 󰃭 − ١ − ١ ٢ 󰃬 󰃲
  • ب 󰃳 ١ ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ ٢ 󰃁 − ١ ١ ٠ 󰃀 ، ١ ٦ 󰃭 − ١ − ١ ٢ 󰃬 󰃲
  • ج 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 − ١ ١ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 − ١ − ١ ٢ 󰃬 󰃲
  • د 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ه 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٥:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي لمتجهات 󰏡 الذاتية. 󰏡=󰃭٣١١٤١٣١٤٤٤٠١󰃬

  • أثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • بثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١١٢󰃬󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • جثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١١٢󰃬󰃲⟷٢،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٢١
  • دثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٦،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٨١
  • هثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭−١−١٢󰃬󰃲⟷٢،󰃳١󰋴٢󰃁−١١٠󰃀󰃲⟷٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲⟷٦

س٦:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية للمصفوفة: ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٥٣󰋴٠٣٥١٨󰋴٥٥١󰋴٠٣٥١−٤١٥−󰋴٦٥١٨󰋴٥٥١−󰋴٦٥١٧٥١⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝.

  • أ 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٥ 󰃀 ، 󰃭 ٠ ١ ٣ ٢ 󰃬 ، 󰃭 ٥ ٤ ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ب ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٠ 󰋴 ٥ 󰃬 ، 󰋴 ٠ ٣ ٥ ١ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 󰋴 ٥ − 󰋴 ٦ ٢ ١ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ، ١ 󰋴 ٠ ٣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 󰋴 ٥ ٢ 󰋴 ٦ ١ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
  • ج 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ − ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ − ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • د ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ 󰃭 ١ ٠ 󰋴 ٥ 󰃬 ، ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 󰋴 ٥ − 󰋴 ٦ ٢ ١ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ، ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ − 󰋴 ٥ ٢ 󰋴 ٦ ١ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩
  • ه 󰃳 ١ 󰋴 ٦ ٢ 󰃁 ١ ٠ ٥ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٣ ١ ١ 󰃭 ٠ ١ ٣ ٢ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ ٠ ٦ 󰃭 ٥ ٤ ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٧:

يتقاطع السطحان ٢𞸎+٣𞸑−𞸏+𞸋=٠، ٣𞸎−𞸑+𞸏+٢𞸋=٠ في فضاء جزئي من 𞹇٤. أوجد أساس هذا الفضاء الجزئي، ثم أوجد الأساس العياري المتعامد لهذا الفضاء الجزئي.

  • أالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • بالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • جالأساس هو ⎞⎟⎟⎠٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٦󰋴٦١٥١󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • دالأساس هو ⎞⎟⎟⎠−٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، والأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
  • هالأساس هو ⎞⎟⎟⎠−٢٥١١٠⎛⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎠−٧١٠١١⎛⎜⎜⎝، الأساس العياري المتعامد هو ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝، ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢−١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

س٨:

باستخدام عملية جرام شميدت، أوجد أساسًا عموديًّا لمولد مجموعة المتجهات، إذا كان ، ، .

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س٩:

أوجد الأساس العمودي لمولد مجموعة المتجهات التالية، إذا كان {(٣،−٤،٠)، (٧،−١،٠)، (١،٧،١)}.

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س١٠:

باستخدام طريقة جرام-شميدت، أوجد قاعدة معيارية لمدى المتجهات، إذا كانت (١،٢،١،٠)، (٢،−١،٣،١)، (١،٠،٠،١).

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س١١:

أيٌّ ممَّا يلي مجموعة متجهات عمودية في 𞹇٣؟

  • أ 󰃇 󰃁 ٢ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٠ ٣ 󰃀 󰃆
  • ب 󰃇 󰃁 ٠ ١ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٠ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٠ ٠ 󰃀 󰃆
  • ج 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 − ١ ٠ ١ 󰃀 󰃲
  • د ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ١ 󰋴 ٣ − ١ 󰋴 ٣ ١ 󰋴 ٣ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ، ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ١ 󰋴 ٢ ٠ − ١ 󰋴 ٢ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

س١٢:

المجموعة 𞹔={(𞸎،𞸑،𞸏)∶٢𞸎+٣