ملف تدريبي: عملية جرام-شميدت

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد الأساس المعياري المتعامد لفضاء اتجاهي باستخدام عملية جرام-شميدت.

س١:

أوجد القاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. ٣٠٠٠٣٢١٢٠١٢٣٢.

  • أ 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ب 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 󰃲
  • ج 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ٢ 󰃀 󰃆
  • د 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ ١ ٢ 󰃀 󰃲
  • ه 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 󰃆

س٢:

أوجد الأساس العياري المتعامد للمتجهات الذاتية للمصفوفة:󰃭٢٠٠٠٥١٠١٥󰃬.

  • أ 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 󰃆
  • ب 󰃇 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ٢ 󰃀 󰃆
  • ج 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ٠ ١ ١ 󰃀 󰃲
  • د 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ ٢ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٥ 󰃁 ٠ ١ ٢ 󰃀 󰃲
  • ه 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٣:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية لـ: 󰃭٧١٧٤٧٧١٤٤٤٤١󰃬.

  • أ 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃭 ١ ١ ٢ 󰃬 ، 󰃁 ١ ١ ٠ 󰃀 󰃲
  • ب 󰃳 ١ ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ ٦ 󰃭 ١ ١ ٢ 󰃬 ، ١ ٢ 󰃁 ١ ١ ٠ 󰃀 󰃲
  • ج 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ١ ٢ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ١ ٠ 󰃀 󰃲
  • د 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ه 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٤:

أوجد القيم الذاتية والقاعدة المعيارية لمتجهات الذاتية. 󰃭١١١٤١١١٤٤٤٤١󰃬.

  • أ 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 ١ ١ ٠ 󰃀 ، 󰃭 ١ ١ ٢ 󰃬 󰃲
  • ب 󰃳 ١ ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ ٢ 󰃁 ١ ١ ٠ 󰃀 ، ١ ٦ 󰃭 ١ ١ ٢ 󰃬 󰃲
  • ج 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ١ ٠ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ١ ٢ 󰃬 󰃲
  • د 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ه 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٥:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي لمتجهات 󰏡 الذاتية. 󰏡=󰃭٣١١٤١٣١٤٤٤٠١󰃬

  • أثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭١١٢󰃬󰃲٢١،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲٨١
  • بثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭١١٢󰃬󰃲٦،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲٨١
  • جثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭١١٢󰃬󰃲٢،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲٦،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲٢١
  • دثلاث قيم ذاتية هي ٦، ١٨، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭١١٢󰃬󰃲٦،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲٨١
  • هثلاث قيم ذاتية هي ٢، ٦، ١٢. والمتجهات الذاتية: 󰃳١󰋴٦󰃭١١٢󰃬󰃲٢،󰃳١󰋴٢󰃁١١٠󰃀󰃲٢١،󰃳١󰋴٣󰃭١١١󰃬󰃲٦

س٦:

أوجد القيم الذاتية والأساس العمودي للمتجهات الذاتية للمصفوفة: ٥٣󰋴٠٣٥١٨󰋴٥٥١󰋴٠٣٥١٤١٥󰋴٦٥١٨󰋴٥٥١󰋴٦٥١٧٥١.

  • أ 󰃳 󰃁 ١ ٠ ٥ 󰃀 ، 󰃭 ٠ ١ ٣ ٢ 󰃬 ، 󰃭 ٥ ٤ ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • ب ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٠ 󰋴 ٥ 󰃬 ، 󰋴 ٠ ٣ ٥ ١ 󰋴 ٥ 󰋴 ٦ ٢ ١ ، ١ 󰋴 ٠ ٣ 󰋴 ٥ ٢ 󰋴 ٦ ١
  • ج 󰃳 ١ 󰋴 ٣ 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٦ 󰃭 ١ ٢ ١ 󰃬 󰃲
  • د 󰃭 ١ ٠ 󰋴 ٥ 󰃬 ، 󰋴 ٥ 󰋴 ٦ ٢ ١ ، 󰋴 ٥ ٢ 󰋴 ٦ ١
  • ه 󰃳 ١ 󰋴 ٦ ٢ 󰃁 ١ ٠ ٥ 󰃀 ، ١ 󰋴 ٣ ١ ١ 󰃭 ٠ ١ ٣ ٢ 󰃬 ، ١ 󰋴 ٢ ٠ ٦ 󰃭 ٥ ٤ ٢ ١ 󰃬 󰃲

س٧:

يتقاطع السطحان ٢𞸎+٣𞸑𞸏+𞸋=٠، ٣𞸎𞸑+𞸏+٢𞸋=٠ في فضاء جزئي من 𞹇٤. أوجد أساس هذا الفضاء الجزئي، ثم أوجد الأساس العياري المتعامد لهذا الفضاء الجزئي.

  • أالأساس هو ٢٥١١٠، ٧١٠١١، والأساس العياري المتعامد هو ١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠، ٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢
  • بالأساس هو ٢٥١١٠، ٧١٠١١، والأساس العياري المتعامد هو ١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠، ٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢
  • جالأساس هو ٢٥١١٠، ٧١٠١١، والأساس العياري المتعامد هو ١٦󰋴٦١٥١󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠، ٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢
  • دالأساس هو ٢٥١١٠، ٧١٠١١، والأساس العياري المتعامد هو ١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠، ٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢
  • هالأساس هو ٢٥١١٠، ٧١٠١١، الأساس العياري المتعامد هو ١٥١󰋴٦١٦󰋴٦١١٠٣󰋴٦٠، ٦٤٥٣١٣󰋴٦󰋴٩٠٢١٤٥٢١󰋴٦󰋴٩٠٢١٠٣٣󰋴٦󰋴٩٠٢٥٩٠٢󰋴٦󰋴٩٠٢

س٨:

باستخدام عملية جرام شميدت، أوجد أساسًا عموديًّا لمولد مجموعة المتجهات، إذا كان ، ، .

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س٩:

أوجد الأساس العمودي لمولد مجموعة المتجهات التالية، إذا كان {(٣،٤،٠)، (٧،١،٠)، (١،٧،١)}.

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س١٠:

باستخدام طريقة جرام-شميدت، أوجد قاعدة معيارية لمدى المتجهات، إذا كانت (١،٢،١،٠)، (٢،١،٣،١)، (١،٠،٠،١).

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س١١:

أيٌّ ممَّا يلي مجموعة متجهات عمودية في 𞹇٣؟

  • أ 󰃇 󰃁 ٢ ٠ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ١ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٠ ٣ 󰃀 󰃆
  • ب 󰃇 󰃁 ٠ ١ ٠ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٠ ١ 󰃀 ، 󰃁 ٠ ٠ ٠ 󰃀 󰃆
  • ج 󰃳 󰃭 ١ ١ ١ 󰃬 ، 󰃁 ١ ٠ ١ 󰃀 󰃲
  • د ١ 󰋴 ٣ ١ 󰋴 ٣ ١ 󰋴 ٣ ، ١ 󰋴 ٢ ٠ ١ 󰋴 ٢

س١٢:

المجموعة 𞹔={(𞸎،𞸑،𞸏)٢𞸎+٣