ملف تدريبي: التمثيل باستخدام الدوال المثلثية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تمثيل المواقف الحياتية باستخدام الدوال الدورية.

س١:

كتلة مُعلَّقة في الطرف السفلي من زنبرك تتذبذب؛ حيث إزاحة الكتلة بالسنتيمتر من موضع الاتزان 𞸏(𞸍) يُمكِن تمثيلها بالدالة: 𞸏(𞸍)=٨(٦𝜋𞸍)؛

حيث 𞸍 مقيس بالثانية. أوجد سعة، وزمن، وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ٨ سم، والزمن: ٣ ث، والتردُّد: ١٣ هرتز
  • بالسعة: ٦ سم، والزمن: ١٨ ث، والتردُّد: ٨ هرتز
  • جالسعة: ٨ سم، والزمن: ١٦ ث، والتردُّد: ٦ هرتز
  • دالسعة: ٤ سم، والزمن: ١٦ ث، والتردُّد: ٦ هرتز
  • هالسعة: ٨ سم، والزمن: ١٣ ث، والتردُّد: ٣ هرتز

س٢:

كتلة مُعلَّقة في الطرف السفلي لزنبرك يهتز؛ حيث إزاحة الكتلة بالسنتيمتر من وضع الاتزان 𞸏(𞸍) يُمكِن تمثيلها بالدالة: 𞸏(𞸍)=٥(٠٦𝜋𞸍)؛ حيث 𞸍 مقيس بالثانية.

أوجد سعة ودورة وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ٥ سم، والدورة: ٣٠ ث، والتردُّد: ١٠٣ هرتز
  • بالسعة: ٥ سم، والدورة: ١٠٦ ث، والتردُّد: ٦٠ هرتز
  • جالسعة: ٣٠ سم، والدورة: ١٥ ث، والتردُّد: ٥ هرتز
  • دالسعة: ٥ سم، والدورة: ١٠٣ ث، والتردُّد: ٣٠ هرتز
  • هالسعة: ٥ سم، والدورة: ٦٠ ث، والتردُّد: ١٠٦ هرتز

س٣:

كتلة مُعلَّقة بالطرف السفلي لزنبرك يهتز؛ حيث 𞸏(𞸍) إزاحة الكتلة بالسنتيمتر من وضع الاتزان، يُمكِن تمثيلها بالدالة: 𞸏(𞸍)=٤󰂔𝜋٢𞸍󰂓،

حيث 𞸍 مقيس بالثواني. أوجد سعة ودورة وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ٤ سم، والدورة: ٤ ث، والتردُّد: ١٤ هرتز
  • بالسعة: ٢ سم، والدورة: ٤ ث، والتردُّد: ١٤ هرتز
  • جالسعة: ٤ سم، والدورة: ٢ ث، والتردُّد: ١٢ هرتز
  • دالسعة: ٤ سم، والدورة: ١٢ ث، والتردُّد: ٢ هرتز
  • هالسعة: ٤ سم، والدورة: ١٤ ث، والتردُّد: ٤ هرتز

س٤:

تتذبذب كتلة مُعلَّقة بالطرف السفلي لزنبرك؛ حيث 𞸐(𞸍) إزاحة الكتلة من وضع الاتزان بالسنتيمتر يمكن تمثيلها بالدالة: 𞸐(𞸍)=١١(٢١𝜋𞸍)،حيث 𞸍 مقيس بالثانية. أوجد سعة ودورة وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ١٢ سم، والدورة: ١١١ ث، والتردُّد: ١٠ هرتز.
  • بالسعة: ١١ سم، والدورة: ٦ ث، والتردُّد: ١٦ هرتز.
  • جالسعة: ١١ سم، والدورة: ١٢١ ث، والتردُّد: ١٢ هرتز.
  • دالسعة: ٥٫٥ سم، والدورة: ١٢١ ث، والتردُّد: ١٢ هرتز.
  • هالسعة: ١١ سم، والدورة: ١٦ ث، والتردُّد: ٦ هرتز.

س٥:

لُعبة الساقية الدوَّارة في الملاهي قطرها ٢٠ م. تستغرق اللفة ٦ دقائق وتتكوَّن من دورة كاملة، تبدأ وتنتهي عند أدنى نقطة. عندما يصعد الرُّكَّاب اللُّعبة، تكون مقاعدهم على بُعْد ٢ م من سطح الأرض. ما الزمن المُستغرَق من بَدْء اللفة لتكون المقاعد على بُعْد أكثر من ١٣ م فوق سطح الأرض؟‎

  • أ٣ دقائق و٥٤ ثانية
  • ب٤ دقائق و٢٤ ثانية
  • ج٣ دقائق و١٨ ثانية
  • ددقيقتان و٤٩ ثانية
  • هدقيقتان و١٩ ثانية

س٦:

في منطقة معينة، تكون ذروة الترسيب عند ٢٤ بوصة في سبتمبر، وتسقط بمعدل أدنى ٤ بوصات في مارس. حدِّد الفترات التي تكون فيها المنطقة تحت حالات الفيضان (أكبر من ٢٢ بوصة) وحالات الجفاف (أقل من ٥ بوصات). اكتب إجابتك بدلالة أقرب يوم.

  • أالفيضان: من ٤ أغسطس إلى ٢٥ سبتمبر، الجفاف: من ٢٣ يناير إلى ٦ أبريل
  • بالفيضان: من ٢٣ يناير إلى ٦ أبريل، الجفاف: من ٤ أغسطس إلى ٢٥ سبتمبر
  • جالفيضان: من ٧ أكتوبر إلى ٤ فبراير، الجفاف: من ٢٧ مارس إلى ٢٤ يوليو
  • دالفيضان: من ٤ فبراير إلى ٢٧ مارس، الجفاف: من ٢٤ يوليو إلى ٧ أكتوبر
  • هالفيضان: من ٢٤ يوليو إلى ٧ أكتوبر، الجفاف: من ٤ فبراير إلى ٢٧ مارس

س٧:

زنبرك مُثبَّت من نهايته ومُعلَّق رأسيًّا. سُحب الطرف السفلي للزنبرك ١١ سم لأسفل وضْع الاتزان ثم تُرِكَ. كان الزنبرك يهتز ٨ مرات في الثانية، وبعد ثانيتين، انخفضتْ سعة اهتزاز الزنبرك إلى ٦ سم. ما الوقت الذي تستغرقه سعة الاهتزاز لتنخفض إلى ٠٫١ سم ؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

س٨:

خلال ٩٠ يومًا من موسم الرياح الموسمية، يمكن تمثيل سقوط الأمطار اليومي بالدوال الجيبية. إذا تراوح سقوط الأمطار بين بوصتين في اليوم ١٠، و١٢ بوصة في اليوم ٥٥، خلال أي فترة يكون سقوط الأمطار أكثر من ١٠ بوصات؟

  • أمن اليوم ٦٤ إلى اليوم ٩٠.
  • بمن اليوم ٤٣ إلى اليوم ٦٦.
  • جمن اليوم ٤١ إلى اليوم ٦٨.
  • دمن اليوم ١٩ إلى اليوم ٤٥.
  • همن اليوم ٩ إلى اليوم ٣٥.

س٩:

يُمكِن وصف الارتفاع 𞸏 لمكبس بالمعادلة 𞸏=٢𞸎+٦؛ حيث 𞸎 تُمثِّل زاوية عمود المرفق، 𞸏 مقيس بالبوصة. أوجد لأقرب رقمين عشريين ارتفاع المكبس عندما يكون قياس زاوية عمود المرفق ٥٥.

س١٠:

أيٌّ من التالي يُعتبر أفضل نموذج لتقلبات درجة الحرارة في يوم من أيام الشتاء البارد في موقع يكون فيه أدفأ وقت من اليوم عند حوالي ٢ ظهرًا، وأبرد وقت عند حوالي ٢ بعد منتصف الليل؟ افترض أن 𞸇 درجة الحرارة بالدرجات المئوية، و𞸍 الوقت بعد منتصف الليل بالساعات.

  • أ𞸇=٥󰂔𝜋٢١(𞸍٥١)󰂓+٣
  • ب𞸇=٣󰂔𝜋٢١(𞸍+٧)󰂓+٠٣
  • ج𞸇=٠١󰂔𝜋٦(𞸍٨)󰂓+٩
  • د𞸇=٤󰂔𝜋٦(𞸍+٣١)󰂓+٥
  • ه𞸇=٣󰂔𝜋٢١(𞸍٤١)󰂓+٢

س١١:

تقع لندن في نصف الكرة الشمالي ويتغيَّر عدد ساعات النهار خلال العام. في يوم ٢١ من ديسمبر يكون عدد ساعات النهار حوالي ٧ ساعات و٤٩ دقيقة، وفي يوم ٢١ من يونيو يكون عدد ساعات النهار ١٦ ساعة و٣٨ دقيقة. أيُّ الاختيارات التالية أقرب إلى التعبير عن عدد ساعات النهار في يوم معين في لندن؛ حيث 𞸎 عدد ساعات النهار، 𞸉عدد الأيام من بداية يناير؟

  • أ𞸎=٣٥󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸉+١١)󰂓
  • ب𞸎=٢١٤٫٤󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸉+١١)󰂓
  • ج𞸎=٤٢٣󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸉٧)󰂓
  • د𞸎=٩٩󰂔٤𝜋٥٦٣(𞸉٠٣)󰂓
  • ه𞸎=٥٤󰂔٤𝜋٥٦٣(𞸉٣١)󰂓

س١٢:

ذهب نادر وأصدقاؤه في رحلة إلى عجلة لندن. استغرقت الرحلة ٣٠ دقيقة. عندما ركبوا العربة، كانوا على ارتفاع ١٥ م فوق نهر التايمز. إذا كان قطر عجلة لندن يساوي ١٢٠ م، فاكتب معادلة حساب الارتفاع 𞸏 للعربة فوق نهر التايمز بعد مرور𞸍 دقيقة من ركوبهم العربة.

  • أ𞸏=٥٧٠٦󰂔𝜋𞸍٥١󰂓
  • ب𞸏=٥٧٠٦󰂔𝜋𞸍٠٣󰂓
  • ج𞸏=٥٧+٠٦󰂔𝜋𞸍٥١󰂓
  • د𞸏=٥١+󰂔𝜋𞸍٥١󰂓
  • ه𞸏=٥١󰂔𝜋𞸍٥١󰂓

س١٣:

يتأثَّر عمق المياه 𞸐 في ميناء صيد بحري بموجات المد. تُمثَّل حركة المد بالعلاقة 𞸐=٤(٥١𞸍)+٨٢؛ حيث 𞸐 مقيسة بالأمتار، 𞸍 الوقت المُستغرَق بعد مُنتصَف الليل بالساعات. كم مرةً في اليوم يبلغ فيها عمق المياه بالضبط ٢٤ مترًا؟

  • أأربع مرات
  • بمرة
  • جمرتان
  • دثلاث مرات

س١٤:

يُمكِن نمذجة التقلُّب في درجات الحرارة في لندن على مدار يوم باستخدام دالة جيبية.

إذا كانت درجة الحرارة القصوى ٢١°س عند الساعة ٣ مساءً، وكانت درجة الحرارة الصغرى ١٠°س عند الساعة ٣ صباحًا، فاكتب مقدارًا لدرجة الحرارة بدلالة 𞸍، وعدد الساعات بعد مُنتصَف الليل.

  • أ𞸢=٥٫٥󰃁(𞸃)٢١(𞸍٥١)󰃀+٥٫٥١
  • ب𞸢=٥٫٥󰃁(𞸃)٢١(𞸍+٥١)󰃀+٥٫٥١
  • ج𞸢=󰃁(𞸃)٢١(𞸍٥١)󰃀+١٢
  • د𞸢=󰃁(𞸃)٢١(𞸍+٥١)󰃀+١٢
  • ه𞸢=٥٫٥󰃁(𞸃)٢١(𞸍٥١)󰃀+١٢

بعد ذلك، حدِّد درجة الحرارة عند الساعة ٧ مساءً.

  • أ𞸢=٥٫١٢°س
  • ب𞸢=٤٧٫٠١°س
  • ج𞸢=٥٢٫٨١°س
  • د𞸢=٣١٫٠٢°س
  • ه𞸢=٥٧٫٣٢°س

س١٥:

يُمكِن تمثيل درجات الحرارة الخارجية على مدار ٢٤ ساعة في صورة دالة جيبية. وصل متوسِّط درجة الحراة في أحد الأيام إلى ٧٠ درجة فهرنهايت، وسُجِّلت درجة الحرارة القصوى ٨٤ درجة فهرنهايت في السادسة مساءً. أوجد درجة الحرارة في السابعة صباحًا لأقرب درجة.

س١٦:

في أحد المواقع، تتفاوت درجة الحرارة على مدار اليوم بين صغرى مقدارها ٦٤ درجة فهرنهايت عند الساعة ٦ صباحًا، وعظمى مقدارها ٨٦ درجة فهرنهايت. إذا كانت درجة الحرارة ممثَّلة بدالة جيبية، فما أول وقت من اليوم تساوي درجة الحرارة فيه ٧٠ درجة فهرنهايت؟

  • أ١:٤٩ صباحًا
  • ب٤:١٢ صباحًا
  • ج١١:٤٩ مساءً
  • د٧:٤٩ صباحًا
  • ه١٠:١٢ صباحًا

س١٧:

تُعرَّف النسبة المئوية لميل الطُّرق بأنها التغيُّر في ارتفاع الطريق على مسافة أفقية مقدارها ١٠٠ قدم. على سبيل المثال، إذا كان ارتفاع الطريق ٥ أقدام على مسافة أفقية مقدارها ١٠٠ قدم، تكون النسبة المئوية للميل ٥٪.

ما النسبة المئوية لميل طريق يصنع زاوية قياسها ٤ مع الأفقي، لأقرب جزء من مائة؟

  • أ٢٧٫٨٪
  • ب٥٧٫٨٪
  • ج٦٧٫٩٩٪
  • د٩٩٫٦٪
  • ه٨٩٫٦٪

س١٨:

يُثبَّت زنبرك عند طرف واحد ويتدلى رأسيًّا. يُسحَب طرفه السفلي مسافة ١٠ سم من موضع اتزانه ثم يُحرَّر. يُجري ٢٢ اهتزازًا كل ثانية، ثم، بعد مرور ٣ ث، تكون سعة الاهتزازات ٢ سم. ما المدة التي تستغرقها سعة الاهتزازات لكي تنخفض إلى ٠٫١ سم؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

س١٩:

ذهب باسم وندى للسباحة في البحر في تمام الساعة ٢ مساءً، عندما كان المد في ذروته. يُعطى التغيُّر في ارتفاع الماء بالنسبة إلى متوسِّط الارتفاع السنوي بالعلاقة 𞸏=٥󰂔٤𝜋٥٢𞸍󰂓؛ حيث 𞸍 يُمثِّل الزمن بالساعات، بعد أيِّ ذروة للمد.

متى تكون ذروة المد التالية؟

  • أ٢:٣٠ مساءً
  • ب١٢:٠٠ ظهرًا
  • ج٢:٠٠ صباحًا
  • د٢:٠٠ مساءً
  • ه٢:٣٠ صباحًا

متى تكون ذروة المد بعد وقت الظهيرة بعد مرور ثلاثة أيام؟

  • أ٥ مساءً
  • ب١٢ صباحًا
  • ج١٢ مساءً
  • د٥ صباحًا
  • ه٥:٣٠ مساءً

يُريدان أن يعودا إلى نفس الشاطئ بعد مرور ثلاثة أيام للسباحة، في وقت الظهيرة، ويتمنَّيان أن يصل ارتفاع الماء إلى ٤ أمتار أمتار على الأقل فوق متوسِّط الارتفاع السنوي. بين أيِّ وقتين يجب أن يذهبا؟

  • أبين الساعة ٦:١٥ مساءً والساعة ٤:١٢ صباحًا
  • ببين الساعة ١:١٧ مساءً والساعة ١١:١٢ مساءً
  • جبين الساعة ٣:١٧ مساءً والساعة ١:١٢ صباحًا
  • دبين الساعة ٣:٤٢ مساءً والساعة ٦:١٧ مساءً
  • هبين الساعة ١٢:٤٢ مساءً والساعة ٣:١٧ مساءً

س٢٠:

يمكن وصف الارتفاع، 𞸏، لمكبس ما مقيسًا بالبوصة بالمعادلة 𞸑=٢𞸎+٥؛ حيث تمثِّل 𞸎 زاوية عمود المرفق. أوجد ارتفاع المكبس عندما يكون قياس زاوية عمود المرفق ٥٥.

س٢١:

يعتمد عدد ساعة النهار في العاصمة باريس على الموسم، وتُعبِّر عن ذلك العلاقة 𞸃=٢١٤󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸍+٠١)󰂓؛ حيث 𞸍 ترتيب اليوم في السنة الواحدة (١ يناير هو اليوم الأول). متى يصل طول النهار إلى ١٠ ساعات في العاصمة باريس وفقًا لهذه العلاقة؟

  • أ٢٠ فبراير، ٢١ أبريل
  • ب٢٠ يناير، ٢٢ مايو
  • ج٢١ أغسطس، ٢١ أكتوبر
  • د٢١ أبريل، ٢١ أغسطس
  • ه٢٠ فبراير، ٢١ أكتوبر

س٢٢:

يمكن وضع نموذج لدرجة الحرارة بالخارج على مدار ٢٤ ساعة على هيئة دالة جيبية. في يوم متوسط درجة حرارته ٨٥ درجة فهرنهايت، أقصى درجة حرارة تساوي ١٠٥ درجات فهرنهايت سُجلت عند ٥ مساءً. أوجد درجة الحرارة عند ٩ صباحًا لأقرب درجة.

س٢٣:

تحرَّك جسم على طول المحور 𞸎؛ حيث كانت إزاحته من نقطة الأصل 𞸅 بعد مرور 𞸍 ثانية تساوي ٧(٢١𞸍) متر. أوجد الزمن الذي تكون إزاحة الجسم عنده تساوي ٧٢ متر. استخدِم 𞸏 للتعبير عن عدد صحيح غير سالب.

  • أ𞸍=󰂔𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧𝜋٦+٢𞸏𝜋󰂓
  • ب𞸍=󰂔٧𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧𝜋٦+٢𞸏𝜋󰂓
  • ج𝑡=󰂔٧٢+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧٢+٢𞸏𝜋󰂓
  • د𞸍=󰂔𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧٢+٢𞸏𝜋󰂓
  • ه𞸍=󰂔٧𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔١١𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓

س٢٤:

يُمكن تمثيل درجات الحرارة بالخارج خلال ٢٤ ساعة في صورة دالة جيبية مع وصولها للحد الأقصى يوميًّا بعد منتصف النهار. في يوم ما عندما سُجِّل متوسط درجة الحرارة لأول مرة في تمام الساعة ١٠ صباحًا، تفاوتت درجة الحرارة بين ٤٧ درجة فهرنهايت، ٦٣ درجة فهرنهايت. بعد منتصف الليل، متى تصل درجة الحرارة إلى ٥١ درجة فهرنهايت للمرة الأولى؟

  • أ٨ صباحًا.
  • ب١٢ صباحًا.
  • ج٩ صباحًا.
  • د٧ صباحًا.
  • ه١٨ صباحًا.

س٢٥:

تتراوح مساحة الجليد البحري حول القطب الجنوبي بين ١٨ مليون كيلومتر مربع في الأول من سبتمبر و٣ ملايين كيلومتر مربع في الأول من مارس. بافتراض أن التغيُّر جيبي، متى يكون الجليد البحري أكثر من ١٥ مليون كيلومتر مربع؟ اكتب إجابتك في صورة مجموعة من التواريخ لأقرب يوم.

  • أمن يوليو ٧ إلى نوفمبر ٢٤
  • بمن يناير ١٥ إلى يونيو ١٦
  • جمن يوليو ١٠ إلى سبتمبر ١
  • دمن يوليو ٧ إلى أكتوبر ٢٤
  • همن سبتمبر ١٠ إلى فبراير ١٩

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.