ملف تدريبي: التمثيل باستخدام الدوال المثلثية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تمثيل المواقف الحياتية باستخدام الدوال الدورية.

س١:

كتلة مُعلَّقة في الطرف السفلي من زنبرك تتذبذب؛ حيث إزاحة الكتلة بالسنتيمتر من موضع الاتزان 𞸏(𞸍) يُمكِن تمثيلها بالدالة: 𞸏(𞸍)=٨(٦𝜋𞸍)؛

حيث 𞸍 مقيس بالثانية. أوجد سعة، وزمن، وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ٤ سم، والزمن: ١٦ ث، والتردُّد: ٦ هرتز
  • بالسعة: ٨ سم، والزمن: ١٦ ث، والتردُّد: ٦ هرتز
  • جالسعة: ٨ سم، والزمن: ٣ ث، والتردُّد: ١٣ هرتز
  • دالسعة: ٨ سم، والزمن: ١٣ ث، والتردُّد: ٣ هرتز
  • هالسعة: ٦ سم، والزمن: ١٨ ث، والتردُّد: ٨ هرتز

س٢:

كتلة مُعلَّقة في الطرف السفلي لزنبرك يهتز؛ حيث إزاحة الكتلة بالسنتيمتر من وضع الاتزان 𞸏(𞸍) يُمكِن تمثيلها بالدالة: 𞸏(𞸍)=٥(٠٦𝜋𞸍)؛ حيث 𞸍 مقيس بالثانية.

أوجد سعة ودورة وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ٥ سم، والدورة: ٣٠ ث، والتردُّد: ١٠٣ هرتز
  • بالسعة: ٥ سم، والدورة: ١٠٦ ث، والتردُّد: ٦٠ هرتز
  • جالسعة: ٣٠ سم، والدورة: ١٥ ث، والتردُّد: ٥ هرتز
  • دالسعة: ٥ سم، والدورة: ١٠٣ ث، والتردُّد: ٣٠ هرتز
  • هالسعة: ٥ سم، والدورة: ٦٠ ث، والتردُّد: ١٠٦ هرتز

س٣:

كتلة مُعلَّقة بالطرف السفلي لزنبرك يهتز؛ حيث 𞸏(𞸍) إزاحة الكتلة بالسنتيمتر من وضع الاتزان، يُمكِن تمثيلها بالدالة: 𞸏(𞸍)=٤󰂔𝜋٢𞸍󰂓، حيث 𞸍 مقيس بالثواني. أوجد سعة ودورة وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ٤ سم، والدورة: ١٤ ث، والتردُّد: ٤هرتز
  • بالسعة: ٢ سم، والدورة: ٤ ث، والتردُّد: ١٤هرتز
  • جالسعة: ٤ سم، والدورة: ١٢ ث، والتردُّد: ٢هرتز
  • دالسعة: ٤ سم، والدورة: ٤ ث، والتردُّد: ١٤هرتز
  • هالسعة: ٤ سم، والدورة: ٢ ث، والتردُّد: ١٢هرتز

س٤:

تتذبذب كتلة مُعلَّقة بالطرف السفلي لزنبرك؛ حيث 𞸐(𞸍) إزاحة الكتلة من وضع الاتزان بالسنتيمتر يمكن تمثيلها بالدالة: 𞸐(𞸍)=١١(٢١𝜋𞸍)حيث 𞸍 مقيس بالثانية. أوجد سعة ودورة وتردُّد الإزاحة.

  • أالسعة: ١١ سم، والدورة: ١٦ ث، والتردُّد: ٦ هرتز.
  • بالسعة: ٥٫٥ سم، والدورة: ١٢١ ث، والتردُّد: ١٢ هرتز.
  • جالسعة: ١١ سم، والدورة: ٦ ث، والتردُّد: ١٦.
  • دالسعة: ١١ سم، والدورة: ١٢١ ث، والتردُّد: ١٢ هرتز.
  • هالسعة: ١٢ سم، والدورة: ١١١ ث، والتردُّد: ١٠ هرتز.

س٥:

لُعبة الساقية الدوَّارة في الملاهي قطرها ٢٠ م. تستغرق اللفة ٦ دقائق وتتكوَّن من دورة كاملة، تبدأ وتنتهي عند أدنى نقطة. عندما يصعد الرُّكَّاب اللُّعبة، تكون مقاعدهم على بُعْد ٢ م من سطح الأرض. ما الزمن المُستغرَق من بَدْء اللفة لتكون المقاعد على بُعْد أكثر من ١٣ م فوق سطح الأرض؟‎

  • أ ٤ دقائق و٢٤ ثانية
  • ب دقيقتان و١٩ ثانية
  • ج ٣ دقائق و٥٤ ثانية
  • د دقيقتان و٤٩ ثانية
  • ه ٣ دقائق و١٨ ثانية

س٦:

في منطقة معينة، تكون ذروة الترسيب عند ٢٤ بوصة في سبتمبر، وتسقط بمعدل أدنى ٤ بوصات في مارس. حدِّد الفترات التي تكون فيها المنطقة تحت حالات الفيضان (أكبر من ٢٢ بوصة) وحالات الجفاف (أقل من ٥ بوصات). اكتب إجابتك بدلالة أقرب يوم.

  • أالفيضان: من ٧ أكتوبر إلى ٤ فبراير، الجفاف: من ٢٧ مارس إلى ٢٤ يوليو
  • بالفيضان: من ٤ أغسطس إلى ٢٥ سبتمبر، الجفاف: من ٢٣ يناير إلى ٦ أبريل
  • جالفيضان: من ٢٤ يوليو إلى ٧ أكتوبر، الجفاف: من ٤ فبراير إلى ٢٧ مارس
  • دالفيضان: من ٢٣ يناير إلى ٦ أبريل، الجفاف: من ٤ أغسطس إلى ٢٥ سبتمبر
  • هالفيضان: من ٤ فبراير إلى ٢٧ مارس، الجفاف: من ٢٤ يوليو إلى ٧ أكتوبر

س٧:

زنبرك مُثبَّت من نهايته ومُعلَّق رأسيًّا. سُحب الطرف السفلي للزنبرك ١١ سم لأسفل وضْع الاتزان ثم تُرِكَ. كان الزنبرك يهتز ٨ مرات في الثانية، وبعد ثانيتين، انخفضت سعة اهتزاز الزنبرك إلى ٦ سم. ما الوقت الذي تستغرقه سعة الاهتزاز لتنخفض إلى ٠٫١ سم؟ قرِّب إجابتك لأقرب رقم عشري.

س٨:

خلال ٩٠ يومًا من موسم الرياح الموسمية، يمكن تمثيل سقوط الأمطار اليومي بالدوال الجيبية. إذا تراوح سقوط الأمطار بين بوصتين في اليوم ١٠، و١٢ بوصة في اليوم ٥٥، خلال أي فترة يكون سقوط الأمطار أكثر من ١٠ بوصات؟

  • أمن اليوم ٩ إلى اليوم ٣٥.
  • بمن اليوم ٤١ إلى اليوم ٦٨.
  • جمن اليوم ٦٤ إلى اليوم ٩٠.
  • دمن اليوم ٤٣ إلى اليوم ٦٦.
  • همن اليوم ١٩ إلى اليوم ٤٥.

س٩:

يُمكِن وصف الارتفاع 𞸏 لمكبس بالمعادلة 𞸏=٢𞸎+٦؛ حيث 𞸎 تُمثِّل زاوية عمود المرفق، 𞸏 مقيس بالبوصة. أوجد لأقرب رقمين عشريين ارتفاع المكبس عندما يكون قياس زاوية عمود المرفق ٥٥.

س١٠:

أيٌّ من التالي يُعتبر أفضل نموذج لتقلبات درجة الحرارة في يوم من أيام الشتاء البارد في موقع يكون فيه أدفأ وقت من اليوم عند حوالي ٢ ظهرًا، وأبرد وقت عند حوالي ٢ بعد منتصف الليل؟ افترض أن 𞸇 درجة الحرارة بالدرجات المئوية، و𞸍 الوقت بعد منتصف الليل بالساعات.

  • أ 𞸇 = ٤ 󰂔 𝜋 ٦ ( 𞸍 + ٣ ١ ) 󰂓 + ٥
  • ب 𞸇 = ٣ 󰂔 𝜋 ٢ ١ ( 𞸍 + ٧ ) 󰂓 + ٠ ٣
  • ج 𞸇 = ٥ 󰂔 𝜋 ٢ ١ ( 𞸍 ٥ ١ ) 󰂓 + ٣
  • د 𞸇 = ٣ 󰂔 𝜋 ٢ ١ ( 𞸍 ٤ ١ ) 󰂓 + ٢
  • ه 𞸇 = ٠ ١ 󰂔 𝜋 ٦ ( 𞸍 ٨ ) 󰂓 + ٩

س١١:

تقع لندن في نصف الكرة الشمالي ويتغيَّر عدد ساعات النهار خلال العام. في يوم ٢١ من ديسمبر يكون عدد ساعات النهار حوالي ٧ ساعات و٤٩ دقيقة، وفي يوم ٢١ من يونيو يكون عدد ساعات النهار ١٦ ساعة و٣٨ دقيقة. أيُّ الاختيارات التالية أقرب إلى التعبير عن عدد ساعات النهار في يوم معين في لندن؛ حيث 𞸎 عدد ساعات النهار، 𞸉عدد الأيام من بداية يناير؟

  • أ 𞸎 = ٢ ١ ٤ ٫ ٤ 󰂔 ٢ 𝜋 ٥ ٦ ٣ ( 𞸉 + ١ ١ ) 󰂓
  • ب 𞸎 = ٤ ٢ ٣ 󰂔 ٢ 𝜋 ٥ ٦ ٣ ( 𞸉 ٧ ) 󰂓
  • ج 𞸎 = ٩ ٩ 󰂔 ٤ 𝜋 ٥ ٦ ٣ ( 𞸉 ٠ ٣ ) 󰂓
  • د 𞸎 = ٣ ٥ 󰂔 ٢ 𝜋 ٥ ٦ ٣ ( 𞸉 + ١ ١ ) 󰂓
  • ه 𞸎 = ٥ ٤ 󰂔 ٤ 𝜋 ٥ ٦ ٣ ( 𞸉 ٣ ١ ) 󰂓

س١٢:

ذهب شادي وأصدقاؤه في رحلة إلى عجلة لندن. استغرقت الرحلة ٣٠ دقيقة. عندما ركبوا العربة، كانوا على ارتفاع ١٥ م فوق نهر التايمز. إذا كان قطر عجلة لندن يساوي ١٢٠ م، فاكتب معادلة حساب الارتفاع 𞸏 للعربة فوق نهر التايمز بعد مرور 𞸍 دقيقة من ركوبهم العربة.

  • أ 𞸏 = ٥ ١ 󰂔 𝜋 𞸍 ٥ ١ 󰂓
  • ب 𞸏 = ٥ ١ + 󰂔 𝜋 𞸍 ٥ ١ 󰂓
  • ج 𞸏 = ٥ ٧ ٠ ٦ 󰂔 𝜋 𞸍 ٠ ٣ 󰂓
  • د 𞸏 = ٥ ٧ + ٠ ٦ 󰂔 𝜋 𞸍 ٥ ١ 󰂓
  • ه 𞸏 = ٥ ٧ ٠ ٦ 󰂔 𝜋 𞸍 ٥ ١ 󰂓

س١٣:

يبلغ عمق المياه في ميناء صيد بحري ٢٨ مترًا. تُمثَّل حركة المد بالعلاقة 𞸐=٤(٥١𞸍)+٨٢؛ حيث 𞸍 الوقت المستغرَق بعد منتصف الليل بالساعات. كم مرةً في اليوم يبلغ فيها عمق المياه ٢٤ مترًا؟

  • أأربع مرات
  • بمرة
  • جثلاث مرات
  • دمرتان

س١٤:

يُمكِن نمذجة التقلُّب في درجات الحرارة في لندن على مدار يوم باستخدام دالة جيبية.

إذا كانت درجة الحرارة القصوى ٢١°س عند الساعة ٣ مساءً، وكانت درجة الحرارة الصغرى ١٠°س عند الساعة ٣ صباحًا، فاكتب مقدارًا لدرجة الحرارة بدلالة 𞸍، وعدد الساعات بعد مُنتصَف الليل.

  • أ 𞸢 = 󰃁 ( 𞸃 ) ٢ ١ ( 𞸍 ٥ ١ ) 󰃀 + ١ ٢
  • ب 𞸢 = 󰃁 ( 𞸃 ) ٢ ١ ( 𞸍 + ٥ ١ ) 󰃀 + ١ ٢
  • ج 𞸢 = ٥ ٫ ٥ 󰃁 ( 𞸃 ) ٢ ١ ( 𞸍 ٥ ١ ) 󰃀 + ١ ٢
  • د 𞸢 = ٥ ٫ ٥ 󰃁 ( 𞸃 ) ٢ ١ ( 𞸍 + ٥ ١ ) 󰃀 + ٥ ٫ ٥ ١
  • ه 𞸢 = ٥ ٫ ٥ 󰃁 ( 𞸃 ) ٢ ١ ( 𞸍 ٥ ١ ) 󰃀 + ٥ ٫ ٥ ١

بعد ذلك، حدِّد درجة الحرارة عند الساعة ٧ مساءً.

  • أ 𞸢 = ٥ ٫ ١ ٢ ° س
  • ب 𞸢 = ٤ ٧ ٫ ٠ ١ ° س
  • ج 𞸢 = ٥ ٧ ٫ ٣ ٢ ° س
  • د 𞸢 = ٥ ٢ ٫ ٨ ١ ° س
  • ه 𞸢 = ٣ ١ ٫ ٠ ٢ ° س

س١٥:

يُمكِن تمثيل درجات الحرارة الخارجية على مدار ٢٤ ساعة في صورة دالة جيبية. وصل متوسِّط درجة الحراة في أحد الأيام إلى ٧٠ درجة فهرنهايت، وسُجِّلت درجة الحرارة القصوى ٨٤ درجة فهرنهايت في السادسة مساءً. أوجد درجة الحرارة في السابعة صباحًا لأقرب درجة.

س١٦:

في أحد المواقع، تتفاوت درجة الحرارة على مدار اليوم بين صغرى مقدارها ٦٤ درجة فهرنهايت عند الساعة ٦ صباحًا، وعظمى مقدارها ٨٦ درجة فهرنهايت. إذا كانت درجة الحرارة ممثَّلة بدالة جيبية، فما أول وقت من اليوم تساوي درجة الحرارة فيه ٧٠ درجة فهرنهايت؟

  • أ٤:١٢ صباحًا
  • ب١٠:١٢ صباحًا
  • ج١:٤٩ صباحًا
  • د٧:٤٩ صباحًا
  • ه١١:٤٩ مساءً

س١٧:

يُثبَّت زنبرك عند طرف واحد ويتدلى رأسيًّا. يُسحَب طرفه السفلي مسافة ١٠ سم من موضع اتزانه ثم يُحرَّر. يُجري ٢٢ اهتزازًا كل ثانية، ثم، بعد مرور ٣ ث، تكون سعة الاهتزازات ٢ سم. ما المدة التي تستغرقها سعة الاهتزازات لكي تنخفض إلى ٠٫١ سم؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

س١٨:

ذهب فادي ورانيا للسباحة في البحر في تمام الساعة ٢ مساءً، عندما كان المد في ذروته. يُعطى التغيُّر في ارتفاع الماء بالنسبة إلى متوسِّط الارتفاع السنوي بالعلاقة 𞸏=٥󰂔٤𝜋٥٢𞸍󰂓؛ حيث 𞸍 يُمثِّل الزمن بالساعات، بعد أيِّ ذروة للمد.

متى تكون ذروة المد التالية؟

  • أ٢:٣٠ صباحًا
  • ب٢:٠٠ صباحًا
  • ج١٢:٠٠ ظهرًا
  • د٢:٠٠ مساءً
  • ه٢:٣٠ مساءً

متى تكون ذروة المد بعد وقت الظهيرة بعد مرور ثلاثة أيام؟

  • أ٥ صباحًا
  • ب٥ مساءً
  • ج٥:٣٠ مساءً
  • د١٢ مساءً
  • ه١٢ صباحًا

يُريدان أن يعودا إلى نفس الشاطئ بعد مرور ثلاثة أيام للسباحة، في وقت الظهيرة، ويتمنَّيان أن يصل ارتفاع الماء إلى ٤ أمتار أمتار على الأقل فوق متوسِّط الارتفاع السنوي. بين أيِّ وقتين يجب أن يذهبا؟

  • أبين الساعة ١٢:٤٢ مساءً والساعة ٣:١٧ مساءً
  • ببين الساعة ١:١٧ مساءً والساعة ١١:١٢ مساءً
  • جبين الساعة ٦:١٥ مساءً والساعة ٤:١٢ صباحًا
  • دبين الساعة ٣:١٧ مساءً والساعة ١:١٢ صباحًا
  • هبين الساعة ٣:٤٢ مساءً والساعة ٦:١٧ مساءً

س١٩:

يمكن وصف الارتفاع، 𞸏، لمكبس ما مقيسًا بالبوصة بالمعادلة 𞸑=٢𞸎+٥؛ حيث تمثل 𞸎 زاوية عمود المرفق. أوجد ارتفاع المكبس عندما يكون قياس زاوية عمود المرفق يساوي ٥٥.

س٢٠:

يعتمد عدد ساعة النهار في العاصمة باريس على الموسم، وتُعبِّر عن ذلك العلاقة 𞸃=٢١٤󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸍+٠١)󰂓؛ حيث 𞸍 ترتيب اليوم في السنة الواحدة (١ يناير هو اليوم الأول). متى يصل طول النهار إلى ١٠ ساعات في العاصمة باريس وفقًا لهذه العلاقة؟

  • أ ٢١ أبريل، ٢١ أغسطس
  • ب ٢٠ يناير، ٢٢ مايو
  • ج ٢٠ فبراير، ٢١ أبريل
  • د ٢١ أغسطس، ٢١ أكتوبر
  • ه ٢٠ فبراير، ٢١ أكتوبر

س٢١:

يمكن وضع نموذج لدرجة الحرارة بالخارج على مدار ٢٤ ساعة على هيئة دالة جيبية. في يوم متوسط درجة حرارته ٨٥ درجة فهرنهايت، أقصى درجة حرارة تساوي ١٠٥ درجات فهرنهايت سُجلت عند ٥ مساءً. أوجد درجة الحرارة عند ٩ صباحًا لأقرب درجة.

س٢٢:

تحرَّك جسم على طول المحور 𞸎؛ حيث كانت إزاحته من نقطة الأصل 𞸅 بعد مرور 𞸍 ثانية تساوي ٧(٢١𞸍) متر. أوجد الزمن الذي تكون إزاحة الجسم عنده تساوي ٧٢ متر. استخدِم 𞸏 للتعبير عن عدد صحيح غير سالب.

  • أ 𞸍 = 󰂔 ٧ 𝜋 ٢ ٧ + 𞸏 𝜋 ٦ 󰂓 ، 𞸍 = 󰂔 ٧ 𝜋 ٦ + ٢ 𞸏 𝜋 󰂓
  • ب 𞸍 = 󰂔 ٧ 𝜋 ٢ ٧ + 𞸏 𝜋 ٦ 󰂓 ، 𞸍 = 󰂔 ١ ١ 𝜋 ٢ ٧ + 𞸏 𝜋 ٦ 󰂓
  • ج 𞸍 = 󰂔 ٧ ٢ + 𞸏 𝜋 ٦ 󰂓 ، 𞸍 = 󰂔 ٧ ٢ + ٢ 𞸏 𝜋 󰂓
  • د 𞸍 = 󰂔 𝜋 ٢ ٧ + 𞸏 𝜋 ٦ 󰂓 ، 𞸍 = 󰂔 ٧ ٢ + ٢ 𞸏 𝜋 󰂓
  • ه 𞸍 = 󰂔 𝜋 ٢ ٧ + 𞸏 𝜋 ٦ 󰂓 ، 𞸍 = 󰂔 ٧ 𝜋 ٦ + ٢ 𞸏 𝜋 󰂓

س٢٣:

يُمكن تمثيل درجات الحرارة بالخارج خلال ٢٤ ساعة في صورة دالة جيبية مع وصولها للحد الأقصى يوميًّا بعد منتصف النهار. في يوم ما عندما سُجِّل متوسط درجة الحرارة لأول مرة في تمام الساعة ١٠ صباحًا، تفاوتت درجة الحرارة بين ٤٧ درجة فهرنهايت، ٦٣ درجة فهرنهايت. بعد منتصف الليل، متى تصل درجة الحرارة إلى ٥١ درجة فهرنهايت للمرة الأولى؟

س٢٤:

تتراوح مساحة الجليد البحري حول القطب الجنوبي بين ١٨ مليون كيلومتر مربع في الأول من September و٣ ملايين كيلومتر مربع في الأول من March. بافتراض أن التغيُّر جيبي، متى يكون الجليد البحري أكثر من ١٥ مليون كيلومتر مربع؟ اكتب إجابتك في صورة مجموعة من التواريخ لأقرب يوم.

  • أمن July ٧ إلى November ٢٤
  • بمن September ١٠ إلى February ١٩
  • جمن January ١٥ إلى June ١٦
  • دمن July ١٠ إلى September ١
  • همن July ٧ إلى October ٢٤

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.