ورقة تدريب الدرس: التمثيل باستخدام الدوال المثلثية الرياضيات

في ورقة التدريب هذه، سوف نتدرَّب على تمثيل المواقف الحياتية باستخدام الدوال الدورية.

س١:

أيٌّ من التالي يُعتبر أفضل نموذج لتقلبات درجة الحرارة في يوم من أيام الشتاء البارد في موقع يكون فيه أدفأ وقت من اليوم عند حوالي ٢ ظهرًا، وأبرد وقت عند حوالي ٢ بعد منتصف الليل؟ افترض أن 𞸇 درجة الحرارة بالدرجات المئوية، و𞸍 الوقت بعد منتصف الليل بالساعات.

  • أ𞸇=٥󰂔𝜋٢١(𞸍٥١)󰂓+٣
  • ب𞸇=٣󰂔𝜋٢١(𞸍+٧)󰂓+٠٣
  • ج𞸇=٠١󰂔𝜋٦(𞸍٨)󰂓+٩
  • د𞸇=٤󰂔𝜋٦(𞸍+٣١)󰂓+٥
  • ه𞸇=٣󰂔𝜋٢١(𞸍٤١)󰂓+٢

س٢:

تقع لندن في نصف الكرة الشمالي ويتغيَّر عدد ساعات النهار خلال العام. في يوم ٢١ من ديسمبر يكون عدد ساعات النهار حوالي ٧ ساعات و٤٩ دقيقة، وفي يوم ٢١ من يونيو يكون عدد ساعات النهار ١٦ ساعة و٣٨ دقيقة. أيُّ الاختيارات التالية أقرب إلى التعبير عن عدد ساعات النهار في يوم معين في لندن؛ حيث 𞸎 عدد ساعات النهار، 𞸉عدد الأيام من بداية يناير؟

  • أ𞸎=٣٥󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸉+١١)󰂓
  • ب𞸎=٢١٤٫٤󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸉+١١)󰂓
  • ج𞸎=٤٢٣󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸉٧)󰂓
  • د𞸎=٩٩󰂔٤𝜋٥٦٣(𞸉٠٣)󰂓
  • ه𞸎=٥٤󰂔٤𝜋٥٦٣(𞸉٣١)󰂓

س٣:

ذهب نادر وأصدقاؤه في رحلة إلى عجلة لندن. استغرقت الرحلة ٣٠ دقيقة. عندما ركبوا العربة، كانوا على ارتفاع ١٥ م فوق نهر التايمز. إذا كان قطر عجلة لندن يساوي ١٢٠ م، فاكتب معادلة حساب الارتفاع 𞸏 للعربة فوق نهر التايمز بعد مرور𞸍 دقيقة من ركوبهم العربة.

  • أ𞸏=٥٧٠٦󰂔𝜋𞸍٥١󰂓
  • ب𞸏=٥٧٠٦󰂔𝜋𞸍٠٣󰂓
  • ج𞸏=٥٧+٠٦󰂔𝜋𞸍٥١󰂓
  • د𞸏=٥١+󰂔𝜋𞸍٥١󰂓
  • ه𞸏=٥١󰂔𝜋𞸍٥١󰂓

س٤:

يتأثَّر عمق المياه 𞸐 في ميناء صيد بحري بموجات المد. تُمثَّل حركة المد بالعلاقة 𞸐=٤(٥١𞸍)+٨٢؛ حيث 𞸐 مقيسة بالأمتار، 𞸍 الوقت المُستغرَق بعد مُنتصَف الليل بالساعات. كم مرةً في اليوم يبلغ فيها عمق المياه بالضبط ٢٤ مترًا؟

  • أأربع مرات
  • بمرة
  • جمرتان
  • دثلاث مرات

س٥:

يُمكِن نمذجة التقلُّب في درجات الحرارة في لندن على مدار يوم باستخدام دالة جيبية.

إذا كانت درجة الحرارة القصوى ٢١°س عند الساعة ٣ مساءً، وكانت درجة الحرارة الصغرى ١٠°س عند الساعة ٣ صباحًا، فاكتب مقدارًا لدرجة الحرارة بدلالة 𞸍، وعدد الساعات بعد مُنتصَف الليل.

  • أ𞸢=٥٫٥󰃁(𞸃)٢١(𞸍٥١)󰃀+٥٫٥١
  • ب𞸢=٥٫٥󰃁(𞸃)٢١(𞸍+٥١)󰃀+٥٫٥١
  • ج𞸢=󰃁(𞸃)٢١(𞸍٥١)󰃀+١٢
  • د𞸢=󰃁(𞸃)٢١(𞸍+٥١)󰃀+١٢
  • ه𞸢=٥٫٥󰃁(𞸃)٢١(𞸍٥١)󰃀+١٢

بعد ذلك، حدِّد درجة الحرارة عند الساعة ٧ مساءً.

  • أ𞸢=٥٫١٢°س
  • ب𞸢=٤٧٫٠١°س
  • ج𞸢=٥٢٫٨١°س
  • د𞸢=٣١٫٠٢°س
  • ه𞸢=٥٧٫٣٢°س

س٦:

ذهب باسم وندى للسباحة في البحر في تمام الساعة ٢ مساءً، عندما كان المد في ذروته. يُعطى التغيُّر في ارتفاع الماء بالنسبة إلى متوسِّط الارتفاع السنوي بالعلاقة 𞸏=٥󰂔٤𝜋٥٢𞸍󰂓؛ حيث 𞸍 يُمثِّل الزمن بالساعات، بعد أيِّ ذروة للمد.

متى تكون ذروة المد التالية؟

  • أ٢:٣٠ مساءً
  • ب١٢:٠٠ ظهرًا
  • ج٢:٠٠ صباحًا
  • د٢:٠٠ مساءً
  • ه٢:٣٠ صباحًا

متى تكون ذروة المد بعد وقت الظهيرة بعد مرور ثلاثة أيام؟

  • أ٥ مساءً
  • ب١٢ صباحًا
  • ج١٢ مساءً
  • د٥ صباحًا
  • ه٥:٣٠ مساءً

يُريدان أن يعودا إلى نفس الشاطئ بعد مرور ثلاثة أيام للسباحة، في وقت الظهيرة، ويتمنَّيان أن يصل ارتفاع الماء إلى ٤ أمتار أمتار على الأقل فوق متوسِّط الارتفاع السنوي. بين أيِّ وقتين يجب أن يذهبا؟

  • أبين الساعة ٦:١٥ مساءً والساعة ٤:١٢ صباحًا
  • ببين الساعة ١:١٧ مساءً والساعة ١١:١٢ مساءً
  • جبين الساعة ٣:١٧ مساءً والساعة ١:١٢ صباحًا
  • دبين الساعة ٣:٤٢ مساءً والساعة ٦:١٧ مساءً
  • هبين الساعة ١٢:٤٢ مساءً والساعة ٣:١٧ مساءً

س٧:

يعتمد عدد ساعة النهار في العاصمة باريس على الموسم، وتُعبِّر عن ذلك العلاقة 𞸃=٢١٤󰂔٢𝜋٥٦٣(𞸍+٠١)󰂓؛ حيث 𞸍 ترتيب اليوم في السنة الواحدة (١ يناير هو اليوم الأول). متى يصل طول النهار إلى ١٠ ساعات في العاصمة باريس وفقًا لهذه العلاقة؟

  • أ٢٠ فبراير، ٢١ أبريل
  • ب٢٠ يناير، ٢٢ مايو
  • ج٢١ أغسطس، ٢١ أكتوبر
  • د٢١ أبريل، ٢١ أغسطس
  • ه٢٠ فبراير، ٢١ أكتوبر

س٨:

تحرَّك جسم على طول المحور 𞸎؛ حيث كانت إزاحته من نقطة الأصل 𞸅 بعد مرور 𞸍 ثانية تساوي ٧(٢١𞸍) متر. أوجد الزمن الذي تكون إزاحة الجسم عنده تساوي ٧٢ متر. استخدِم 𞸏 للتعبير عن عدد صحيح غير سالب.

  • أ𞸍=󰂔𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧𝜋٦+٢𞸏𝜋󰂓
  • ب𞸍=󰂔٧𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧𝜋٦+٢𞸏𝜋󰂓
  • ج𝑡=󰂔٧٢+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧٢+٢𞸏𝜋󰂓
  • د𞸍=󰂔𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔٧٢+٢𞸏𝜋󰂓
  • ه𞸍=󰂔٧𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓،𞸍=󰂔١١𝜋٢٧+𞸏𝜋٦󰂓

س٩:

عُمق المياه في ميناء للصيد يكون عادةً ٢٩ مترًا. حركة المد والجزر تُمثَّل بالعلاقة 𞸐=٣(٥١𞸍)+٩٢؛ حيث 𞸍 الوقت المُستغرَق بالساعة بعد منتصف الليل. كم مرةً يكون فيها عمق المياه ٣٢ مترًا؟

  • أثلاث مرات
  • بمرة واحدة
  • جمرتان
  • دأربع مرات

س١٠:

يُمثَّل ارتفاع المد في ميناء بورتسموث خلال ديسمبر باستخدام الدالة الآتية: 𞸏=٥󰂔٤𝜋𞸍٥٢󰂓 حيث 𞸏 ارتفاع المد فوق المتوسِّط السنوي، مقيسًا بالمتر، 𞸍 الزمن بعد مُنتصَف الليل في أول الشهر، مقيسًا بالساعة.

خلال الربيع، يكون تغيُّر المد أعلى بنسبة ٠٥٪ من تغيُّر شهر ديسمبر. اكتب معادلة لارتفاع المد خلال شهر أبريل.

  • أ𞸏=٥٫٧󰂔٤𝜋𞸍٥٢󰂓
  • ب𞸏=٥٫٢󰂔٤𝜋𞸍٥٢󰂓
  • ج𞸏=٥٫٢󰂔٨𝜋𞸍٥٢󰂓
  • د𞸏=٥󰂔٢𝜋𞸍٥٢󰂓
  • ه𞸏=٥󰂔٨𝜋𞸍٥٢󰂓

خلال شهر يونيو، يكون تغيُّر المد نفس تغيُّر شهر ديسمبر. مع ذلك، يكون متوسِّط ارتفاع الماء أعلى بمقدار ١ م. اكتب معادلة لارتفاع المد خلال شهر يونيو.

  • أ𞸏=٥󰃁٤𝜋(𞸍+١)٥٢󰃀
  • ب𞸏=٦󰂔٤𝜋𞸍٥٢󰂓
  • ج𞸏=٥󰂔٤𝜋𞸍٥٢󰂓+١
  • د𞸏=٥󰂔٤𝜋𞸍٥٢+١󰂓
  • ه𞸏=٥󰂔٤𝜋𞸍٥٢󰂓١

في شهر يناير، يكون تغيُّر المد ومتوسِّط ارتفاع الماء نفس مستوى شهر ديسمبر. مع ذلك، يحدث المد العالي الأول في هذا الشهر بعد مرور ٣ ساعات من المد العالي الأول في شهر ديسمبر. اكتب معادلة لارتفاع المد في شهر يناير.

  • أ𞸏=٥󰃁٤𝜋(𞸍٣)٥٢󰃀+٣
  • ب𞸏=٥١󰃁٤𝜋(𞸍٣)٥٢󰃀
  • ج𞸏=٥󰃁٤𝜋(𞸍٣)٥٢󰃀٣
  • د𞸏=٥󰃁٤𝜋(𞸍٣)٥٢󰃀
  • ه𞸏=٥󰃁٤𝜋(𞸍+٣)٥٢󰃀

س١١:

جلس فادي على جسر، تتدلى رجلاه ٦٠ سم أسفل الجسر. الجسر يكون عادةً فوق البحيرة بمسافة ٨٠ سم. لكن هذا يوم عاصف، والأمواج جعلت عمق البحيرة غير ثابت. يُعطى عمق البحيرة أسفل الجسر بالمتر بالعلاقة 𞸐=𞸐+٣٫٠󰂔٢𝜋٠١𞸍󰂓٠؛ حيث 𞸐٠ عمق البحيرة في يوم هادئ، 𞸍 الزمن بالثواني. ما الكسر الذي يُعبِّر عن الزمن الذي وضع فيه فادي رجلَيْهِ في الماء؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

  • أ٤٫٨٣٪
  • ب٨٫٦٧٪
  • ج٢٫٣٢٪
  • د٥٫٣٥٪
  • ه٨٫٦٢٪

س١٢:

ركبت يارا وصديقتها لعبة العجلة الدوَّارة. عندما دخلتا العربة الساعة ٣:١٥ مساءً، كانتا على ارتفاع ٥ م فوق الأرض. ارتفاع العربة بعد مرور 𞸍 دقيقة من وقت دخولهما العربة مُعطى بالعلاقة 𞸏=٥٢٠٢𝜋𞸍٠١. متى وصلتا إلى ارتفاع ٤٠ م فوق الأرض؟ اكتب إجابتك لأقرب دقيقة.

  • أ٣:٢٣مساءً، ٣:١٧مساءً
  • ب٣:٢٨مساءً، ٣:٣٢مساءً
  • ج٣:٢٣مساءً، ٣:٢٧مساءً
  • د٣:١٧مساءً، ٣:٣٣مساءً
  • ه٣:٢٧مساءً، ٣:٣٣مساءً

س١٣:

تقفز ندى على نطاطة. ارتفاعها فوق النطاطة 𞸏 بالأمتار يُعطى بالعلاقة: 𞸏=١󰂔𝜋٢𞸍󰂓، بعد مرور 𞸍 ثانية منذ بدأت القفز.

كم ثانية تستغرقها بعد كل مرة تعود فيها إلى النطاطة لتصل إلى ارتفاع مقداره ٥٠ سم أثناء نزولها؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية.

  • أ٠٫٣ ث
  • ب٣٫٣ ث
  • ج١٫٧ ث
  • د٢٫٦ ث
  • ه٠٫٧ ث

ما الكسر الذي يمثِّل الزمن الذي تكون عنده ندى على ارتفاع ١٫٢ م فوق النطاطة؟ اكتب إجابتك في صورة نسبة مئوية لأقرب منزلة عشرية.

  • أ٤٫٦٥٪
  • ب٦٫٣٤٪
  • ج٢٫٧٨٪
  • د٨٫١٧٪
  • ه٢٫٨٢٪

س١٤:

درجة الحرارة الخارجية (المقيسة بالدرجات المئوية) في أحد الأيام ممثلة بالعلاقة 𞸍=٢١+٧󰂔𝜋٢١(𞸍٠١)󰂓؛ حيث 𞸍 الوقت بعد منتصف الليل بالساعات. في أي الأوقات في اليوم كانت درجة الحرارة ١٠°س؟ وضح إجابتك لأقرب دقيقة باستخدام الوقت بصيغة الـ ٢٤ ساعة.

  • أ١١:٠٦، ٢٠:٥٤
  • ب٨:٥٤، ١١:٠٦
  • ج٢٠:٥٤، ٢٣:٠٦
  • د٨:٥٤، ٢٣:٠٦
  • ه١٧:٠٦، ٢:٥٤

س١٥:

تقلُّب درجات الحرارة في أحد أيام الشتاء الباردة (المقيسة بالدرجات المئوية) ممثل بالعلاقة 𞸃=٣󰂔𝜋٢١(𞸍٤١)󰂓+٢؛ حيث 𞸍 أحد الأوقات في اليوم بعد منتصف الليل موضح بالساعات. في أي الأوقات في اليوم كانت درجة الحرارة ٠°س؟

  • أ٥:١٣ صباحًا، ١٠:٤٧ صباحًا
  • ب٥:١٣ مساءً، ١٠:٤٧ مساءً
  • ج٥:١٣ صباحًا، ١٠:٤٧ مساءً
  • د٤:٤٧ صباحًا، ١١:١٣ صباحًا
  • ه٥:١٣ مساءً، ١٠:٤٧ صباحًا

س١٦:

الإشعاع الشمسي اليومي 𞸐(/)واتم٢ على نقطة فوق الغلاف الجوي للأرض مباشرةً بعد 𞸍 من الأيام من الانقلاب الصيفي يُعطى بالعلاقة 𞸐(𞸍)=٠٦٣١+٦٤󰂔٢𝜋٥٦٣𞸍󰂓. كم مرةً في السنة يكون الإشعاع الشمسي اليومي ١‎ ‎٣٥٠ وات/م٢؟ وبعد كم يوم من الانقلاب يحدث ذلك؟

  • أمرتين، بعد ٧٩ و١٠٤ أيام
  • بمرتين، بعد ١٠٤ و٢٦١ يومًا
  • جمرتين، بعد ٧٩ و٢٨٧ يومًا
  • دمرتين، بعد ٢٦١ و٢٨٧ يومًا
  • همرتين، بعد ١٩٦ و٣٥٢ يومًا

س١٧:

داليا وفادي في منزلهما. شاهدا دلوًا معلَّقة بخيط مرن يتأرجح لأعلى ولأسفل أمام النافذة. سجَّلا مرات مشاهدتهما ظهور الدلو واختفائها، وظهورها مرة أخرى، وهكذا، كما هو موضَّح في الجدول.

الزمن (ث)٠١٣٤١٠١١
موضع الدلو أعلى النافذةأسفل النافذة أسفل النافذةأعلى النافذةأعلى النافذةأسفل النافذة

ما الزمن الدوري 𞸆 لحركة الدلو؟

يمكن تمثيل الإزاحة الرأسية للدلو بالنسبة إلى مركز حركتها بالدالة 𞸏=𞸏󰂔٢𝜋𞸆𞸍+٣𝜋٥󰂓٠؛ حيث 𞸆 الدورة العليا، 𞸍، مقيسة بالثواني، كما هو موضَّح في الجدول. إذا كان ارتفاع نافذة داليا وفادي يساوي ١٫٢ م، فما مقدار السعة 𞸏٠ للدالة؟ قرِّب الإجابة لأقرب منزلة عشرية.

ما قيمة 𞸍 للدلو عند أعلى نقطة لها؟

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.