ملف تدريبي: حجوم المجسمات الدورانية باستخدام طريقة التكامل بالأقراص وطريقة الفلكة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد حجم مجسَّم ناشئ عن دوران منطقة إمَّا حول مستقيم أفقي وإمَّا حول مستقيم رأسي، باستخدام طريقتي التكامل بالأقراص والفلكة.

س١:

افترض أن هناك منطقة محدَّدة بالمنحنيات 𞸑=𞸎+٤، 𞸑=٠، 𞸎=٠، 𞸎=٣. أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران هذه المنطقة حول المحور 𞸎.

  • أ٣٣𝜋٢
  • ب٩٣
  • ج٦٨١𝜋
  • د٣٩𝜋
  • ه١٨٦

س٢:

أوجد حجم المجسَّم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحنى 𞸑=󰋴𞸎+١ والمستقيمين 𞸑=٠، 𞸎=٤ حول المحور 𞸎.

  • أ٥٢𝜋
  • ب٥٢٢
  • ج٥٢𝜋٢
  • د٥٢𝜋٤
  • ه٢٥

س٣:

باعتبار الجزء المحصور بالمنحنى 𞸑=٥𞸤٢𞸎٢ والمستقيمات 𞸑=٠، 𞸎=٤، 𞸎=٤، اكتب تكاملًا يعبِّر عن حجم المجسَّم الناتج عن دوران هذا الجزء حول المحور 𞸎.

  • أ٥٢𝜋󰏅𞸤𞸃𞸎٤٠٤𞸎٢
  • ب٠٥𝜋󰏅𞸤𞸃𞸎٤٠٢𞸎٤
  • ج٥٢𝜋󰏅𞸤𞸃𞸎٤٠٢𞸎٤
  • د٠٥𝜋󰏅𞸤𞸃𞸎٤٠٤𞸎٢
  • ه٠١𝜋󰏅𞸤𞸃𞸎٤٠٢𞸎٢

س٤:

لديك منطقة محدَّدة بالمنحنى 𞸑=٣٣𞸎٢ والخطوط المستقيمة 𞸑=٠، 𞸎=𝜋٦، 𞸎=𝜋٦. أوجد تكاملًا لحجم المجسَّم الناتج من دوران هذه المنطقة حول محور 𞸎.

  • أ٨١𝜋󰏅٣𞸎𞸃𞸎𝜋٦٠٤
  • ب٩𝜋󰏅٣𞸎𞸃𞸎𝜋٦٠٤
  • ج٦𝜋󰏅٣𞸎𞸃𞸎𝜋٦٠٢
  • د٣𝜋󰏅٣𞸎𞸃𞸎𝜋٦٠٢
  • ه٢١𝜋󰏅٣𞸎𞸃𞸎𝜋٦٠٢

س٥:

أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى 𞸑=١𞸎٢، والخط المستقيم 𞸎=٤، دورةً كاملة حول المحور 𞸎.

  • أ٥٢𝜋٢وة.
  • ب٦١𝜋٥١وة.
  • ج٦١٥١وة.
  • د٥٢٢وة.

س٦:

أوجد حجم المجسَّم المكوَّن من دوران منطقة محصورة بواسطة المنحنيين 𞸑=٤+𞸎، 𞸑=٦ حول 𞸑=٤؛ حيث 𞸎󰂖𝜋٢،𝜋٢󰂗. قرِّب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

س٧:

لديك منطقة مُحدَّدة بالمنحنى 𞸑=٣٤𞸎٢ والخطوط المستقيمة 𞸑=٠، 𞸎=𝜋٨، 𞸎=𝜋٨. أوجد تكاملًا لحجم المُجسَّم الناتج عن دوران تلك المنطقة حول 𞸑=٤.

  • أ𝜋󰏅󰁓٨٤٤𞸎٨١٤𞸎󰁒𞸃𞸎𝜋٨𝜋٨٢٤
  • ب𝜋󰏅٦٤𞸎𞸃𞸎𝜋٨𝜋٨٢
  • ج𝜋󰏅󰁓٤٢٤𞸎٩٤𞸎󰁒𞸃𞸎𝜋٨𝜋٨٢٤
  • د𝜋󰏅٣٤𞸎𞸃𞸎𝜋٨𝜋٨٢
  • ه𝜋󰏅٩٤𞸎𞸃𞸎𝜋٨𝜋٨٤

س٨:

اكتب تكاملًا يُعبِّر عن حجم مُجسَّم ناتج عن دوران المنطقة المُحدَّدة بالمنحنى 𞸑=𞸤𞸎٢ والمستقيمات 𞸑=٠، 𞸎=٥، 𞸎=٥ حول 𞸑=٥.

  • أ𝜋󰏅󰂔𞸤٥٢󰂓𞸃𞸎٥٥٢𞸎٢
  • ب٢𝜋󰏅󰂔𞸤+٠١𞸤󰂓𞸃𞸎٥٥٢𞸎𞸎٢
  • ج𝜋󰏅󰁓𞸤+٥٢󰁒𞸃𞸎٥٥٢𞸎
  • د𝜋󰏅󰂔𞸤+٥٢󰂓𞸃𞸎٥٥٢𞸎٢
  • ه𝜋󰏅󰂔𞸤+٠١𞸤󰂓𞸃𞸎٥٥٢𞸎𞸎٢٢

س٩:

افترض المنطقة بين المنحنيَيْن 𞸑=٥𞸎٢، 𞸎+𞸑=٢٢٢، لكل 𞸑٠. أوجد حجم المجسَّم الدوراني بدوران هذه المنطقة حول المحور 𞸎، لأقرب عددين عشريين.

س١٠:

أوجد حجم المجسَّم المكوَّن من دوران المنطقة المحصورة بالمنحنيات 𞸑=𞸎، 𞸑=𞸎، 𞸎=𝜋٦، 𞸎=𝜋٤ حول 𞸑=١. قرِّب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

س١١:

أوجد حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنى 𞸑=٦𞸎٢والمستقيم𞸑=٥ حول محور 𞸎.

  • أ٢٧𝜋٥
  • ب٦٣𝜋٥
  • ج٤𝜋٣
  • د٤٤١𝜋٥
  • ه٢٢٣𝜋٥

س١٢:

أوجد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمنحنى 𞸑=٤٥𞸎 والمستقيمات 𞸎=٢، 𞸎=٨، 𞸑=٠ دورة كاملة حول محور 𞸎.

  • أ٣𝜋٠١وة
  • ب٢𝜋٥وة
  • ج٦٥٢وة
  • د٦𝜋٥٢وة

س١٣:

أوجد حجم المجسم الناشئ من دوران المنطقة المُحددة بالمنحنيين 𞸑=٨𞸎٢، 𞸎=𞸑٢ حول 𞸑=٥.

  • أ١٩١𝜋٠٨٤
  • ب٣𝜋٠٨
  • ج١٩١𝜋٠٤٢
  • د٣𝜋٠٦١
  • ه١٩١𝜋٠٦٩

س١٤:

أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى 𞸑=𞸎+٢𞸎٢ ومحور 𞸎 دورة كاملة حول محور 𞸎.

  • أ٨𝜋٥١وة مكعبة
  • ب٦١𝜋٥١وة مكعبة
  • ج٢٣𝜋٥١وة مكعبة
  • د٦١𝜋٥١وة مكعبة

س١٥:

أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى 𞸑=𞸎+٢٢، ومحور 𞸎، والخطين المستقيمين 𞸎=٢، 𞸎=١ عبر إكمال دورة كاملة حول محور 𞸎.

  • أ٣٥١𝜋٥وة
  • ب٩وات
  • ج٩𝜋وة
  • د٣٥١٥وة

س١٦:

أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى 𞸑=٣𞸤𞸎 والخطوط المستقيمة 𞸑=٠، 𞸎=١، 𞸎=١ حول محور 𞸎، لأقرب رقمين عشريين.

س١٧:

أوجد التكامل الذي يعبِّر عن حجم جسم صلب الناشئ من دوران المنطقة المحدودة بالمنحنى ٩𞸎+𞸑=٩٢٢ حول 𞸑=٥.

  • أ٠٣󰏅󰋴١𞸎𞸃𞸎١١٢
  • ب٠٣𝜋󰏅󰋴١𞸎𞸃𞸎١١٢
  • ج٥١𝜋󰏅󰋴١𞸎𞸃𞸎١١٢
  • د٠٦𝜋󰏅󰋴١𞸎𞸃𞸎١١٢
  • ه٠٦󰏅󰋴١𞸎𞸃𞸎١١٢

س١٨:

أوجد حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحددة بالمستقيم 𞸑=𞸎٢ والمستقيمين 𞸎=١، 𞸑=٣ دورةً كاملة حول محور 𞸎.

  • أ٨٢𝜋٣وة
  • ب٤١𝜋وة
  • ج٨٢٣وة
  • د٤١وة

س١٩:

أي مما يلي حجمه 𝜋󰏅٥٢𞸃𞸎٥١٠؟

  • أكرة نصف قطرها طوله ٢٥ وحدة
  • بكرة نصف قطرها طوله ٥ وحدات
  • جأسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها ١٥ وحدة
  • دمخروط دائري قائم ارتفاعه ١٥ وحدة
  • هأسطوانة دائرية قائمة ارتفاعها ٥ وحدات

س٢٠:

أوجد حجم المُجسَّم الناتج عن دوران المنطقة المُحدَّدة بالمنحنيَيْن 𞸎=٥𞸑٢، 𞸎=٢𞸑٢ حول 𞸎=٣، لأقرب رقمين عشريين.

س٢١:

اكتب تكاملًا يعبِّر عن حجم المُجسَّم الناتج عن دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى ٤𞸎+𞸑=٤٢٢ حول 𞸎=٢.

  • أ٨𝜋󰏅󰋺١𞸑٤𞸃𞸑٢٠٢
  • ب٦١󰏅󰋺١𞸑٤𞸃𞸑٢٠٢
  • ج٦١𝜋󰏅󰋺١𞸑٤𞸃𞸑٢٠٢
  • د٨󰏅󰋺١𞸑٤𞸃𞸑٢٠٢
  • ه٤𝜋󰏅󰋺١𞸑٤𞸃𞸑٢٠٢

س٢٢:

باعتبار المنطقة المُحددة بالمنحنيات 𞸑=𞸎٣، 𞸑=٠، 𞸎=٢، أوجد حجم الجسم الناتج عن دوران هذه المنطقة حول 𞸎=٣.

  • أ٦٩𝜋٥
  • ب٤٦𝜋٥
  • ج٢١١𝜋٥
  • د٨٢١𝜋٥
  • ه٦٥𝜋٥

س٢٣:

أوجد حجم المجسم الناشئ عن دوران المنطقة المحددة بالمنحنيين 𞸎=٦٥𞸑٢، 𞸎=𞸑٤ حول المحور 𞸑.

  • أ٢𝜋٩
  • ب٦٧٣𝜋٩
  • ج٤٢١𝜋٥١
  • د٢٤𝜋
  • ه٨٨١𝜋٩

س٢٤:

أوجد حجم المجسم الناشئ عن الدوران، دورة كاملة حول المحور 𞸑، للمنطقة المحددة بالمنحنى ٩𞸎𞸑=٠، والخطوط المستقيمة 𞸎=٠، 𞸑=٩، 𞸑=٠.

  • أ٣ وحدات مكعبة
  • ب٧٢𝜋 وحدة مكعبة
  • ج٣𝜋 وحدة مكعبة
  • د٢٧ وحدة مكعبة

س٢٥:

أوجد حجم المجسَّم الناشئ من دوران المنطقة المحدَّدة بالمنحنى 𞸑=𞸎٢ والخط المستقيم 𞸎=٣𞸑 حول المحور 𞸑.

  • أ٢٦١𝜋٥
  • ب٩𝜋٢
  • ج٣٤٢𝜋٥
  • د١٨𝜋
  • ه٤٢٣𝜋٥

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.