ملف تدريبي: خط الانحدار باستخدام المربعات الصُّغرى

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد واستخدام معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى.

س١:

يوضِّح شكل الانتشار الآتي مجموعة بيانات يبدو نموذج الانحدار الخطي مناسبًا لها.

البيانات المُستخدَمة في تكوين شكل الانتشار هذا معطاة في الجدول الآتي.

𞸎٠٫٥١١٫٥٢٢٫٥٣٣٫٥٤
𞸑٩٫٢٥٧٫٦٨٫٢٥٦٫٥٥٫٤٥٤٫٥١٫٧٥١٫٨

احسب باستخدام المربعات الصغرى معادلة خط انحدار 𞸑 على 𞸎، مقربًا معامل الانحدار لأقرب جزء من ألف.

  • أ𞸑=٧٥٦٫٠١١٣٢٫٢𞸎
  • ب𞸑=٤٩٠٫٤+٦٨٦٫٠𞸎
  • ج𞸑=٣٧٩٫٩٠٥١٫٢𞸎
  • د𞸑=٥٣٢٫٠١٨٧٠٫١𞸎
  • ه𞸑=٩١٨٫٦٥٢٥٫٠𞸎

س٢:

باستخدام المعلومات في الجدول، أوجد خط انحدار ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎. قرب 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ منازل عشرية.

الأرض الزراعية بالفدان ١٢٦١٣١٠٤١٨٠٣٨١٦١١٤٩٩٥٥١٧٧
إنتاج محصول الصيف بالكيلوجرام١٦٠٤٠٨٠٣٤٠٢٦٠٢٠٠٢٨٠٢٨٠١٤٠١٠٠
  • أ̂𞸑=١٠٢٫٠𞸎+٧٣٤٫٧٠٢
  • ب̂𞸑=١٠٢٫٠𞸎+٣٦٥٫٨٦١
  • ج̂𞸑=٣٦٥٫٨٦١𞸎+١٠٢٫٠
  • د̂𞸑=٤٣٠٫٠𞸎+٣٦٥٫٨٦١

س٣:

يوضِّح الجدول سعر برميل من البترول ومعدلات النمو الاقتصادي. باستخدام المعلومات في الجدول، أوجد معادلة خط الانحدار على الصورة ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎. قرِّب 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ منازل عشرية.

سعر البرميل الواحد من البترول بالدولار ٥٠٫٤٠٥٥٫٣٠٦٣٧٠٫٧٠٨٣٫٦٠٩٤٫١٠١٠٢٫٥٠١١٨
معدل النمو الاقتصادي ١٠٫٥٠٫٥١٢٫٨٣٫٩٤٫٩٥
  • أ̂𞸑=٤٠٠٫٠𞸎٢٣١٫٥
  • ب̂𞸑=٢٩٠٫٠𞸎٢٣١٫٥
  • ج̂𞸑=٢٩٠٫٠𞸎+٢٣٥٫٩
  • د̂𞸑=٢٣١٫٥𞸎+٢٩٠٫٠

س٤:

يوضِّح الجدول العلاقة بين المتغيِّرين 𞸎، 𞸑. أوجد معادلة خط الانحدار في صورة ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎. قرِّب 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ منازل عشرية.

𞸎١٠٢٢٢٢١٣١٦٢١
𞸑٢٥١٨٢٤٢٥١٢١٧
  • أ̂𞸑=٦٧٣٫٠𞸎+٩٤٦٫٣١
  • ب̂𞸑=٦٧٣٫٠𞸎+٤٨٦٫٦٢
  • ج̂𞸑=٣١٠٫٠𞸎+٤٨٦٫٦٢
  • د̂𞸑=٤٨٦٫٦٢𞸎٦٧٣٫٠

س٥:

باستخدام بيانات الجدول، احسب قيمة 𞸑، عندما تكون 𞸎=٣١، لأقرب عدد صحيح.

𞸎٢٣٩٢٤١٥٧١٢
𞸑٢٢٢٤٢٥١٣٢١٩

س٦:

باستخدام المعلومات الموضَّحة في الجدول، أوجد الخطأ في 𞸑 إذا كانت 𞸎=٢٢. قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

𞸎٢٦٢٢٢٨١٥٣٠١٠٢٥٢٩
𞸑٥٤١٢٧١٤١٠١٣١٥

س٧:

يوضِّح الجدول التالي سعر برميل النفط ومعدل النمو الاقتصادي. باستخدام البيانات الموجودة في الجدول، قدِّر معدل النمو الاقتصادي، إذا كان سعر برميل النفط الواحد ٠٤٫٥٣دورًا.

سعر برميل النفط (دولار)٢٦١٣٫٣٠٢٢٫٩٠١٢٫٤٠٢٦٫٧٠١٧٫٩٠٢٣٫٦٠٣٧٫٤٠
معدل النمو الاقتصادي ١٫٨٠٫٤٣٫٧٢٫٣٣٫٢٢٫٧٠٫٥٠٫٣
  • أ١٫٥
  • ب٢٫٥
  • ج٠٫٢
  • د٢٫٤

س٨:

إذا كانت النقطتان (٣،٩)، (٢،٤) تقعان على خط انحدار 𞸑 على 𞸎، فأيُّ النِّقاط التالية لا تقع على نفس الخط؟

  • أ(٢١،٤٥)
  • ب(٠١،٦٥)
  • ج(٦١،٩٦)
  • د(٠٢،٤٩)

س٩:

يوضِّح الجدول الآتي العلاقة بين العمر الافتراضي للسيارات بالسنوات وأسعار بيعها بآلاف الجنيهات. أوجد معادلة الانحدار الخطي في صورة ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎، مع كتابة 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ منازل عشرية.

العمر الافتراضي للسيارة (𞸎)٥٢٢٣٥٥١٢
سعر البيع (𞸑)٧١٨٣٦٠٩٠٩٣٧٠٤١٤٥
  • أ̂𞸑=٨٢٨٫٦𞸎+٣٦٤٫٠٩
  • ب̂𞸑=٦٣٧٫٠𞸎+٨٨٧٫٧٤
  • ج̂𞸑=٨٨٧٫٧٤𞸎+٨٢٨٫٦
  • د̂𞸑=٨٢٨٫٦𞸎+٨٨٧٫٧٤

س١٠:

في مجموعة البيانات المعطاة: 󰌇𞸎=٧٤، 󰌇𞸑=٥٧٫٥٤، 󰌇𞸎=٩٢٣٢، 󰌇𞸑=٥٢١٣٫٩٨٣٢، 󰌇𞸎𞸑=٥٢٫٠١٣، 𞸍=٨. احسب قيمة معامل الانحدار 𞸁، في نموذج انحدار المربعات الصغرى 𞸑=󰏡+𞸁𞸎. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

  • أ𞸁=٤٨٧٫٠
  • ب𞸁=٩٨٩٫٠
  • ج𞸁=٦١٦٫٠
  • د𞸁=٨٨١٫٠
  • ه𞸁=٦٧١٫٠

س١١:

قياس دائرة العرض (𞸎)، ومتوسط درجة الحرارة في فبراير (𞸑 مقيسة بالـ°س) لعشر مُدُن على مستوى العالم. المربعات الصغرى المحسوبة لنموذج الانحدار الخطي لتلك البيانات كانت 𞸑=٧٫٥٣٣١٧٫٠𞸎.

ما تفسير قيمة ٣١٧٫٠ في هذا النموذج؟

  • ألكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • بالجزء المقطوع من محور 𞸑 بخط الانحدار‎
  • جهي درجة الحرارة المتوسطة في فبراير للمدينة التي قياس دائرة عرضها ٠ (على خط الاستواء)
  • دلكل ٠٫٧١٣ درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ١°س
  • هلكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يزيد متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س

ما تفسير قيمة ٣٥٫٧ في هذا النموذج؟

  • ألكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يزيد متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • بلكل ٠٫٧١٣ درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ١°س
  • جلكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • دهي درجة الحرارة المتوسطة في فبراير للمدينة التي قياس دائرة عرضها ٠ (على خط الاستواء)
  • ههو ميل خط الانحدار

س١٢:

يستثمر مجلس المدينة في تطوير خدمات الحافلات. خلال فترة مدتها خمس سنوات، جُمِّعتْ بيانات حول مبلغ المال المستثمر في كل مسار للحافلات (𞸎، مقيسة بمئات الدولارات)، والنسبة المئوية لخدمات الحافلات التي شُغِّلتْ في الوقت الحالي (𞸑، مقيسة بـ %). لاحظوا أنه يمكن تمثيل البيانات باستخدام نموذج الانحدار الخطي 𞸑=٣٫٢٥+٧٫٢𞸎.

ما تفسير قيمة ٢٫٧ في نموذج الانحدار؟

  • أمقابل كل ١٠٠ دولار أمريكي إضافية من المبلغ المستثمر، تُشغَّل ٧٫٢٪ إضافية من خدمات الحافلات في الوقت الحالي.
  • بتمثِّل النسبة المئوية لخدمات الحافلات التي تُشغَّل في الوقت الحالي دون استثمار.
  • جتمثِّل الجزء المقطوع من المحور 𞸑 لخط الانحدار.
  • دمقابل كل ٥٢٫٣ دولارًا أمريكيًّا إضافية من المبلغ المستثمر، تُشغَّل ٧٫٢٪ إضافية من خدمات الحافلات في الوقت الحالي.

ما تفسير قيمة ٥٢٫٣ في نموذج الانحدار؟

  • أمقابل كل ١٠٠ دولار أمريكي إضافية من المبلغ المستثمر، تُشغَّل ٧٫٢٪ إضافية من خدمات الحافلات في الوقت الحالي.
  • بتمثِّل تدرُّج خط الانحدار.
  • جتمثِّل النسبة المئوية لخدمات الحافلات التي تُشغَّل في الوقت الحالي باستثمار مبلغ ١٠٠ دولار أمريكي.
  • دتمثِّل النسبة المئوية لخدمات الحافلات التي تُشغَّل في الوقت الحالي دون استثمار.

س١٣:

العلاقة بين مسافة الوثب التي وثبتْها المُتنافِسات في مسابقة الوثب الطويل 󰁓𞸎󰁒 والوثب العالي 󰁓𞸑󰁒 خلال مسابقة ألعاب القوة للنساء لعام ٢٠١٦ في أولمبيات ريو مُمثَّلة بواسطة خط الانحدار 𞸑=٨١٢٫٠𞸎+٣٨٤٫٠.

ما تفسير القيمة ٠٫٢١٨ في نموذج الانحدار؟

  • ألكلِّ متر إضافي قامت به المُتنافِسات في الوثب العالي في المتوسِّط، كان هناك ٠٫٢١٨ متر في الوثب الطويل.
  • بلكلِّ متر إضافي قامت به المُتنافِسات في الوثب الطويل في المتوسِّط، كان هناك ٠٫٢١٨ متر إضافي في الوثب العالي.
  • جالنتيجة المُتوقَّعة في الوثب العالي للمُتنافِسة التي وثبتْ ٠ متر في مسابقة الوثب الطويل.
  • دالجزء المقطوع من المحور 𞸑 لخط الانحدار.

ما تفسير القيمة ٠٫٤٨٣ في نموذج الانحدار؟

  • أالنتيجة المُتوقَّعة في الوثب العالي بالمتر للمُتنافِسة التي وثبتْ ٠ متر في مسابقة الوثب الطويل.
  • بميل خط الانحدار.
  • جلكلِّ متر إضافي قامت به المُتنافِسات في الوثب الطويل في المتوسِّط، كان هناك ٠٫٤٨٣ متر في الوثب العالي.
  • دالجزء المقطوع من المحور 𞸎 لخط الانحدار.
  • هالنتيجة المُتوقَّعة في الوثب الطويل بالمتر للمُتنافِسة التي وثبتْ ٠ متر في مسابقة الوثب العالي.

هل تفسير القيمة ٠٫٤٨٣ يبدو منطقيًّا في سياق البيانات؟

  • أنعم
  • بلا، لقد تم استنباط النموذج بطريقة طويلة؛ ولذلك لا يُمكِن الاعتماد عليه.

قدِّر لأقرب جزء من مائة من المتر النتيجة المُتوقَّعة في وثبة عالية لمُتنافِسة وثبتْ ٦٫٠٣ م في مسابقة الوثب الطويل.

س١٤:

رُسم نموذج خطي على ثلاث مجموعات للبيانات. موضَّحٌ تاليًا التمثيل المتبقي لكل مجموعة بيانات. أيُّ مجموعة بيانات يلائمها النموذج الخطي؟

  • أ(أ)
  • ب(ب)
  • ج(ج)

س١٥:

إذا كان الانحدار الخطي ̂𞸑=٣٫٧𞸎٩٫٥، فأوجد قيمة 𞸑 المُتوقَّعة عند 𞸎=٠٣.

س١٦:

يُسجِّل بائع آيس كريم بيانات مبيعات الآيس كريم في كلِّ يوم ودرجة الحرارة في منتصف النهار في الفترة من أبريل حتى نوفمبر. أَعَدَّ هذا البائع نموذج انحدار خطيًّا في صورة 𞸑=󰏡+𞸁𞸎 للبيانات. هل تتوقَّع أن يكون معامل الانحدار 𞸁 موجبًا أم سالبًا في هذا السياق؟

  • أسالب
  • بموجب

س١٧:

أمير أجرى تجربة إحصائية لقياس عدد الأهداف كدالة في عدد مباريات كرة القدم. باستخدامه لعدد مباريات كرة القدم كمتغير مستقل وعدد الأهداف كمتغير تابع، خط أفضل مطابقة يميل بمقدار ٢٫٢٨. ماذا يعني ذلك؟

  • ألكل هدف، ٢٫٢٨ مباراة قد لُعبت.
  • بوحدة الميل هي ٢٫٢٨ هدف لكل مباراة.
  • جوحدة الميل هي ٢٫٢٨ مباراة لكل هدف.

س١٨:

المُتغيِّر 𞹎 متوسطه ٦٧٫٩، وانحرافه المعياري ٣٫١.

المُتغيِّر 𞹑 متوسطه ٢٩٫٣، وانحرافه المعياري ١٫٢.

إذا كان مُعامِل الارتباط بين 𞹎، 𞹑 هو ٠٫٣٧، فاحسب خط انحدار المربعات الصغرى لـ 𞹑 على 𞹎. قرِّب القيم النهائية لـ 󰏡، 𞸁 لأقرب ثلاث منازل عشرية.

  • أ𞸑=٠٢٩٫٨٢+٧٥٨٫٠𞸎
  • ب𞸑=٢١٦٫٥٣+٦٥٩٫٠𞸎
  • ج𞸑=٤٠٧٫٠+٠٦١٫٠𞸎
  • د𞸑=٥٧٥٫٩١+٣٤١٫٠𞸎
  • ه𞸑=٧٢٢٠٫٣+٧٨٣٫٠𞸎

س١٩:

استخدِم المعلومات الموضَّحة في الجدول لحساب خط انحدار المربعات الصغرى لـ 𞸑 على 𞸎. اكتب القيم النهائية لمُعامِل الارتباط والثابت لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

𞸎𞸑𞸎𞸑𞸎٢𞸑٢
١٢٢١٨٣٩٦٤٨٤٣٢٤
٢٢٢١٩٤١٨٤٨٤٣٦١
٣٢٣٢٠٤٦٠٥٢٩٤٠٠
٤٢٦١٨٤٦٨٦٧٦٣٢٤
٥٣١٢٣٧١٣٩٦١٥٢٩
٦٣٢٢٤٧٦٨١‎ ‎٠٢٤٥٧٦
٧٣٤٢٢٧٤٨١‎ ‎١٥٦٤٨٤
٨٣٧٢٥٩٢٥١‎ ‎٣٦٩٦٢٥
٩٤١٢٩١‎ ‎١٨٩١‎ ‎٦٨١٨٤١
١٠٤٢٢٧١‎ ‎١٣٤١‎ ‎٧٦٤٧٢٩
المجموع٣١٠٢٢٥٧‎ ‎٢١٩١٠‎ ‎١٢٨٥‎ ‎١٩٣
  • أ𞸑=٦٣٢٫٠𞸎+٥٦٩٫٣
  • ب𞸑=٩٣٩٫٠𞸎+٦٤٧٫٥١
  • ج𞸑=١٧٤٫٠𞸎+٨٩٨٫٧
  • د𞸑=٥٢٧٫٣𞸎+٧٦٤٫٢٦
  • ه𞸑=١٥٢٫٠𞸎+٩٠٢٫٤

س٢٠:

ضربت لبنى كرة جولف. هي تعرف أن الارتفاع، 𞸏، لكرة الجولف فوق الأرض يساوي ٠ عند الزمن 𞸍=٠. ظنَّت بعد ذلك أن 𞸏 دالة تربيعية في 𞸍. إذا كانت لبنى على صواب، فأيٌّ ممَّا يلي سيَنتج عن رسمه تمثيل بياني لخط مستقيم؟

  • أ𞸏 بالنسبة إلى 𞸍٢
  • ب𞸏𞸍 بالنسبة إلى 𞸍٢
  • ج𞸏٢ بالنسبة إلى 𞸍
  • د𞸏𞸍 بالنسبة إلى 𞸍
  • ه𞸏 بالنسبة إلى 𞸍

س٢١:

جمع شادي بيانات عن كمية السماد 𞸎 التي يستخدمها لكل نبتة من نباتات الطماطم التي يزرعها، والكمية 𞸑 التي تنمو نتيجةً لذلك. يظن أنه توجد علاقة خطية بين المتغيرين. إذا كان شادي على صواب، فأيٌّ مما يلي سيَنتج عن تمثيله بيانيًّا خطٌّ مستقيم؟

  • أ𞸑 مقابل 𞸎
  • ب𞸑 مقابل 󰋴𞸎
  • ج𞸑 مقابل 𞸎
  • د𞸑 مقابل 𞸎٢
  • ه󰋴𞸑 مقابل 𞸎

س٢٢:

تتحقق بُستانية من مدى تأثير مبيد عشبي تستخدمه (𞸎) على عدد الأعشاب الضارة (𞸑) في حديقتها. تجمع هذه البُستانية البيانات وتُعِد نموذج انحدار خطيًّا في صورة 𞸑=󰏡+𞸁𞸎 للبيانات. هل تتوقع أن يكون معامل الانحدار 𞸁 موجبًا أم سالبًا في هذه السياق؟

  • أسالب
  • بموجب

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.