ملف تدريبي: خط الانحدار بطريقة المربعات الصُّغرى

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد واستخدام معادلة خط الانحدار باستخدام المربعات الصغرى.

س١:

يوضِّح شكل الانتشار الآتي مجموعة بيانات يبدو نموذج الانحدار الخطي لها مناسبًا.

يتضمن الجدول الآتي البيانات المُستخدَمة في تكوين شكل الانتشار الموضَّح.

𞸎 ٠٫٥ ١ ١٫٥ ٢ ٢٫٥ ٣ ٣٫٥ ٤
𞸑 ٩٫٢٥ ٧٫٦ ٨٫٢٥ ٦٫٥ ٥٫٤٥ ٤٫٥ ١٫٧٥ ١٫٨

احسب معادلة خط انحدار المربعات الصغرى لـ 𞸑 على 𞸎، مقربًا معامل الانحدار لأقرب جزء من ألف.

  • أ 𞸑 = ٧ ٥ ٦ ٫ ٠ ١ ١ ٣ ٢ ٫ ٢ 𞸎
  • ب 𞸑 = ٤ ٩ ٠ ٫ ٤ + ٦ ٨ ٦ ٫ ٠ 𞸎
  • ج 𞸑 = ٣ ٧ ٩ ٫ ٩ ٠ ٥ ١ ٫ ٢ 𞸎
  • د 𞸑 = ٩ ١ ٨ ٫ ٦ ٥ ٢ ٥ ٫ ٠ 𞸎
  • ه 𞸑 = ٥ ٣ ٢ ٫ ٠ ١ ٨ ٧ ٠ ٫ ١ 𞸎

س٢:

باستخدام المعلومات التي في الجدول، أوجد خط الانحدار ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎. قرِّب 󰏡، 𞸁 لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

الأرض الزراعية بالفدان ١٢٦ ١٣ ١٠٤ ١٨٠ ٣٨ ١٦١ ١٤ ٩٩ ٥٥ ١٧٧
إنتاج المحصول الصيفي بالكيلوجرام ١٦٠ ٤٠ ٨٠ ٣٤٠ ٢٦٠ ٢٠٠ ٢٨٠ ٢٨٠ ١٤٠ ١٠٠
  • أ ̂ 𞸑 = ١ ٠ ٢ ٫ ٠ 𞸎 + ٣ ٦ ٥ ٫ ٨ ٦ ١
  • ب ̂ 𞸑 = ١ ٠ ٢ ٫ ٠ 𞸎 + ٧ ٣ ٤ ٫ ٧ ٠ ٢
  • ج ̂ 𞸑 = ٤ ٣ ٠ ٫ ٠ 𞸎 + ٣ ٦ ٥ ٫ ٨ ٦ ١
  • د ̂ 𞸑 = ٣ ٦ ٥ ٫ ٨ ٦ ١ 𞸎 + ١ ٠ ٢ ٫ ٠

س٣:

يوضِّح الجدول سعر برميل من البترول ومعدلات النمو الاقتصادي. باستخدام المعلومات في الجدول، أوجد معادلة خط الانحدار على الصورة ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎. قرِّب 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ أرقام عشرية.

سعر البرميل الواحد من البترول بالدولار ٥٠٫٤٠ ٥٥٫٣٠ ٦٣ ٧٠٫٧٠ ٨٣٫٦٠ ٩٤٫١٠ ١٠٢٫٥٠ ١١٨
معدل النمو الاقتصادي ١ ٠٫٥ ٠٫٥ ١ ٢٫٨ ٣٫٩ ٤٫٩ ٥
  • أ ̂ 𞸑 = ٤ ٠ ٠ ٫ ٠ 𞸎 ٢ ٣ ١ ٫ ٥
  • ب ̂ 𞸑 = ٢ ٣ ١ ٫ ٥ 𞸎 + ٢ ٩ ٠ ٫ ٠
  • ج ̂ 𞸑 = ٢ ٩ ٠ ٫ ٠ 𞸎 + ٢ ٣ ٥ ٫ ٩
  • د ̂ 𞸑 = ٢ ٩ ٠ ٫ ٠ 𞸎 ٢ ٣ ١ ٫ ٥

س٤:

يوضِّح الجدول التالي العلاقة بين المتغيرين 𞸎، 𞸑. أوجد معادلة خط الانحدار ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎 بتقريب 󰏡، 𞸁 لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

𞸎 ١٠ ٢٢ ٢٢ ١٣ ١٦ ٢١
𞸑 ٢٥ ١٨ ٢٤ ٢٥ ١٢ ١٧
  • أ ̂ 𞸑 = ٤ ٨ ٦ ٫ ٦ ٢ 𞸎 ٦ ٧ ٣ ٫ ٠
  • ب ̂ 𞸑 = ٦ ٧ ٣ ٫ ٠ 𞸎 + ٩ ٤ ٦ ٫ ٣ ١
  • ج ̂ 𞸑 = ٣ ١ ٠ ٫ ٠ 𞸎 + ٤ ٨ ٦ ٫ ٦ ٢
  • د ̂ 𞸑 = ٦ ٧ ٣ ٫ ٠ 𞸎 + ٤ ٨ ٦ ٫ ٦ ٢

س٥:

باستخدام بيانات الجدول، احسب قيمة 𞸑، عندما تكون 𞸎=٣١، لأقرب عدد صحيح.

𞸎 ٢٣ ٩ ٢٤ ١٥ ٧ ١٢
𞸑 ٢٢ ٢٤ ٢٥ ١٣ ٢١ ٩

س٦:

باستخدام المعلومات الموضَّحة في الجدول، أوجد الخطأ في 𞸑 إذا كانت 𞸎=٢٢. قرِّب إجابتك لأقرب عدد صحيح.

𞸎 ٢٦ ٢٢ ٢٨ ١٥ ٣٠ ١٠ ٢٥ ٢٩
𞸑 ٥ ٤ ١٢ ٧ ١٤ ١٠ ١٣ ١٥

س٧:

يوضِّح الجدول التالي سعر برميل النفط ومعدل النمو الاقتصادي. باستخدام البيانات الموجودة في الجدول، قدِّر معدل النمو الاقتصادي، إذا كان سعر برميل النفط الواحد ٠٤٫٥٣دورًا.

سعر برميل النفط (دولار) ٢٦ ١٣٫٣٠ ٢٢٫٩٠ ١٢٫٤٠ ٢٦٫٧٠ ١٧٫٩٠ ٢٣٫٦٠ ٣٧٫٤٠
معدل النمو الاقتصادي ١٫٨ ٠٫٤ ٣٫٧ ٢٫٣ ٣٫٢ ٢٫٧ ٠٫٥ ٠٫٣
  • أ٢٫٥
  • ب٠٫٢
  • ج١٫٥
  • د٢٫٤

س٨:

إذا كانت النقطتان (٣،٩)، (٢،٤) تقعان على خط انحدار 𞸑 على 𞸎، فأيُّ النِّقاط التالية لا تقع على نفس الخط؟

  • أ ( ٠ ٢ ، ٤ ٩ )
  • ب ( ٠ ١ ، ٦ ٥ )
  • ج ( ٦ ١ ، ٩ ٦ )
  • د ( ٢ ١ ، ٤ ٥ )

س٩:

الجدول التالي يمثل العلاقة بين العمر الافتراضي لبعض السيارات بالسنين وسعر بيعها بآلاف الجنيهات. أوجد معادلة خط الانحدار ̂𞸑=󰏡+𞸁𞸎، بتقريب 󰏡، 𞸁 لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.‎

العمر الافتراضي للسيارة (𞸎) ٥ ٢ ٢ ٣ ٥ ٥ ١ ٢
سعر البيع (𞸑) ٧١ ٨٣ ٦٠ ٩٠ ٩٣ ٧٠ ٤١ ٤٥
  • أ ̂ 𞸑 = ٦ ٣ ٧ ٫ ٠ 𞸎 + ٨ ٨ ٧ ٫ ٧ ٤
  • ب ̂ 𞸑 = ٨ ٨ ٧ ٫ ٧ ٤ 𞸎 + ٨ ٢ ٨ ٫ ٦
  • ج ̂ 𞸑 = ٨ ٢ ٨ ٫ ٦ 𞸎 + ٣ ٦ ٤ ٫ ٠ ٩
  • د ̂ 𞸑 = ٨ ٢ ٨ ٫ ٦ 𞸎 + ٨ ٨ ٧ ٫ ٧ ٤

س١٠:

󰌇 𞸎 = ٧ ٤ ، 󰌇 𞸑 = ٥ ٧ ٫ ٥ ٤ ، 󰌇 𞸎 = ٩ ٢ ٣ ٢ ، 󰌇 𞸑 = ٥ ٢ ١ ٣ ٫ ٩ ٨ ٣ ٢ ، 󰌇 𞸎 𞸑 = ٥ ٢ ٫ ٠ ١ ٣ ، 𞸍 = ٨ مجموعة بيانات معطاة. أوجد قيمة معامل الانحدار 𞸁 في نموذج المربعات الصغرى 𞸑=󰏡+𞸁𞸎، لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

  • أ 𞸁 = ٤ ٨ ٧ ٫ ٠
  • ب 𞸁 = ٨ ٨ ١ ٫ ٠
  • ج 𞸁 = ٦ ١ ٦ ٫ ٠
  • د 𞸁 = ٦ ٧ ١ ٫ ٠
  • ه 𞸁 = ٩ ٨ ٩ ٫ ٠

س١١:

قياس دائرة العرض (𞸎)، ومتوسط درجة الحرارة في February (𞸑 مقيسة بالسلزيوس) لعشر مُدُن على مستوى العالم. المربعات الصغرى المحسوبة لنموذج الانحدار الخطي لتلك البيانات كانت 𞸑=٧٫٥٣٣١٧٫٠𞸎.

ما تفسير قيمة ٣١٧٫٠ في هذا النموذج؟

  • ألكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • بلكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يزيد متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • جلكل ٠٫٧١٣ درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ١°س
  • دهي درجة الحرارة المتوسطة في February للمدينة التي قياس دائرة عرضها ٠ (على خط الاستواء)
  • هالجزء المقطوع من محور الصادات بخط الانحدار‎

ما تفسير قيمة ٣٥٫٧ في هذا النموذج؟

  • ألكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يزيد متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • بهو ميل خط الانحدار
  • ج لكل درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ٠٫٧١٣°س
  • دلكل ٠٫٧١٣ درجة إضافية في قياس دائرة العرض، يقلُّ متوسط درجة الحرارة بمقدار ١°س
  • ههي درجة الحرارة المتوسطة في February للمدينة التي قياس دائرة عرضها ٠ (على خط الاستواء)

س١٢:

يستثمر مجلس المدينة في تطوير خدمات الحافلات. خلال فترة مدتها خمس سنوات، جُمِّعتْ بيانات حول مبلغ المال المستثمر في كل مسار للحافلات (𞸎، مقيسة بمئات الدولارات)، والنسبة المئوية لخدمات الحافلات التي شُغِّلتْ في الوقت الحالي (𞸑، مقيسة بـ %). لاحظوا أنه يمكن تمثيل البيانات باستخدام نموذج الانحدار الخطي 𞸑=٣٫٢٥+٧٫٢𞸎.

ما تفسير قيمة ٢٫٧ في نموذج الانحدار؟

  • أتمثِّل النسبة المئوية لخدمات الحافلات التي تُشغَّل في الوقت الحالي دون استثمار.
  • بتمثِّل الجزء المقطوع من المحور 𞸑 لخط الانحدار.
  • جمقابل كل ١٠٠ دولار أمريكي إضافية من المبلغ المستثمر، تُشغَّل ٢٫٧% إضافية من خدمات الحافلات في الوقت الحالي.
  • دمقابل كل ٥٢٫٣ دولارًا أمريكيًّا إضافية من المبلغ المستثمر، تُشغَّل ٢٫٧% إضافية من خدمات الحافلات في الوقت الحالي.

ما تفسير قيمة ٥٢٫٣ في نموذج الانحدار؟

  • أتمثِّل النسبة المئوية لخدمات الحافلات التي تُشغَّل في الوقت الحالي دون استثمار.
  • بمقابل كل ١٠٠ دولار أمريكي إضافية من المبلغ المستثمر، تُشغَّل ٢٫٧% إضافية من خدمات الحافلات في الوقت الحالي.
  • جتمثِّل تدرُّج خط الانحدار.
  • دتمثِّل النسبة المئوية لخدمات الحافلات التي تُشغَّل في الوقت الحالي باستثمار مبلغ ١٠٠ دولار أمريكي.

س١٣:

العلاقة بين مسافة الوثب التي وثبتْها المُتنافِسات في مسابقة الوثب الطويل 󰁓𞸎󰁒 والوثب العالي 󰁓𞸑󰁒 خلال مسابقة ألعاب القوة للنساء لعام ٢٠١٦ في أولمبيات ريو مُمثَّلة بواسطة خط الانحدار 𞸑=٨١٢٫٠𞸎+٣٨٤٫٠.

ما تفسير القيمة ٠٫٢١٨ في نموذج الانحدار؟

  • أالجزء المقطوع من المحور 𞸑 لخط الانحدار.
  • بالنتيجة المُتوقَّعة في الوثب العالي للمُتنافِسة التي وثبتْ ٠ متر في مسابقة الوثب الطويل.
  • جلكلِّ متر إضافي قامت به المُتنافِسات في الوثب الطويل في المتوسِّط، كان هناك ٠٫٢١٨ متر إضافي في الوثب العالي.
  • دلكلِّ متر إضافي قامت به المُتنافِسات في الوثب العالي في المتوسِّط، كان هناك ٠٫٢١٨ متر في الوثب الطويل.

ما تفسير القيمة ٠٫٤٨٣ في نموذج الانحدار؟

  • أميل خط الانحدار.
  • بالنتيجة المُتوقَّعة في الوثب الطويل بالمتر للمُتنافِسة التي وثبتْ ٠ متر في مسابقة الوثب العالي.
  • جالجزء المقطوع من المحور 𞸎 لخط الانحدار.
  • دلكلِّ متر إضافي قامت به المُتنافِسات في الوثب الطويل في المتوسِّط، كان هناك ٠٫٤٨٣ متر في الوثب العالي.
  • هالنتيجة المُتوقَّعة في الوثب العالي بالمتر للمُتنافِسة التي وثبتْ ٠ متر في مسابقة الوثب الطويل.

هل تفسير القيمة ٠٫٤٨٣ يبدو منطقيًّا في سياق البيانات؟

  • أنعم
  • بلا، لقد تم استنباط النموذج بطريقة طويلة؛ ولذلك لا يُمكِن الاعتماد عليه.

قدِّر لأقرب جزء من مائة من المتر النتيجة المُتوقَّعة في وثبة عالية لمُتنافِسة وثبتْ ٦٫٠٣ م في مسابقة الوثب الطويل.

س١٤:

إذا كان الانحدار الخطي ̂𞸑=٣٫٧𞸎٩٫٥، فأوجد قيمة 𞸑 المُتوقَّعة عند 𞸎=٠٣.

س١٥:

يُسجِّل بائع آيس كريم بيانات مبيعات الآيس كريم في كلِّ يوم ودرجة الحرارة في منتصف النهار في الفترة من أبريل حتى نوفمبر. أَعَدَّ هذا البائع نموذج انحدار خطيًّا في صورة 𞸑=󰏡+𞸁𞸎 للبيانات. هل تتوقَّع أن يكون معامل الانحدار 𞸁 موجبًا أم سالبًا في هذا السياق؟

  • أموجب
  • بسالب

س١٦:

أمير أجرى تجربة إحصائية لقياس عدد الأهداف كدالة في عدد مباريات كرة القدم. باستخدامه لعدد مباريات كرة القدم كمتغير مستقل وعدد الأهداف كمتغير تابع، خط أفضل مطابقة يميل بمقدار ٢٫٢٨. ماذا يعني ذلك؟

  • أوحدة الميل هي ٢٫٢٨ هدف لكل مباراة.
  • بلكل هدف، ٢٫٢٨ مباراة قد لُعبت.
  • جوحدة الميل هي ٢٫٢٨ مباراة لكل هدف.

س١٧:

المُتغيِّر 𞹎 وسطه الحسابي ٦٧٫٩ وانحرافه المعياري ٣٫١.

المُتغيِّر 𞹑 وسطه الحسابي ٢٩٫٣ وانحرافه المعياري ١٫٢.

إذا كان مُعامِل الارتباط بين 𞹎، 𞹑 هو ٠٫٣٧، فاحسب خط انحدار المربعات الصغرى لـ 𞹑 في 𞹎. قرِّب القيم النهائية لـ 󰏡، 𞸁 لأقرب ٣ أرقام عشرية.

  • أ 𞸑 = ٠ ٢ ٩ ٫ ٨ ٢ + ٧ ٥ ٨ ٫ ٠ 𞸎
  • ب 𞸑 = ٤ ٠ ٧ ٫ ٠ + ٠ ٦ ١ ٫ ٠ 𞸎
  • ج 𞸑 = ٧ ٢ ٢ ٠ ٫ ٣ + ٧ ٨ ٣ ٫ ٠ 𞸎
  • د 𞸑 = ٢ ١ ٦ ٫ ٥ ٣ + ٦ ٥ ٩ ٫ ٠ 𞸎
  • ه 𞸑 = ٥ ٧ ٥ ٫ ٩ ١ + ٣ ٤ ١ ٫ ٠ 𞸎

س١٨:

استخدِم المعلومات الموضَّحة في الجدول لحساب خط انحدار المربعات الصغرى لـ 𞸑 على 𞸎. اكتب القيم النهائية لمُعامِل الارتباط والثابت لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

𞸎 𞸑 𞸎 𞸑 𞸎 ٢ 𞸑 ٢
١ ٢٢ ١٨ ٣٩٦ ٤٨٤ ٣٢٤
٢ ٢٢ ١٩ ٤١٨ ٤٨٤ ٣٦١
٣ ٢٣ ٢٠ ٤٦٠ ٥٢٩ ٤٠٠
٤ ٢٦ ١٨ ٤٦٨ ٦٧٦ ٣٢٤
٥ ٣١ ٢٣ ٧١٣ ٩٦١ ٥٢٩
٦ ٣٢ ٢٤ ٧٦٨ ٤ ٢ ٠ ١ ٥٧٦
٧ ٣٤ ٢٢ ٧٤٨ ٦ ٥ ١ ١ ٤٨٤
٨ ٣٧ ٢٥ ٩٢٥ ٩ ٦ ٣ ١ ٦٢٥
٩ ٤١ ٢٩ ٩ ٨ ١ ١ ١ ٨ ٦ ١ ٨٤١
١٠ ٤٢ ٢٧ ٤ ٣ ١ ١ ٤ ٦ ٧ ١ ٧٢٩
المجموع ٣١٠ ٢٢٥ ٩ ١ ٢ ٧ ٨ ٢ ١ ٠ ١ ٣ ٩ ١ ٥
  • أ 𞸑 = ٦ ٣ ٢ ٫ ٠ 𞸎 + ٥ ٦ ٩ ٫ ٣
  • ب 𞸑 = ٥ ٢ ٧ ٫ ٣ 𞸎 + ٧ ٦ ٤ ٫ ٢ ٦
  • ج 𞸑 = ١ ٧ ٤ ٫ ٠ 𞸎 + ٨ ٩ ٨ ٫ ٧
  • د 𞸑 = ٩ ٣ ٩ ٫ ٠ 𞸎 + ٦ ٤ ٧ ٫ ٥ ١
  • ه 𞸑 = ١ ٥ ٢ ٫ ٠ 𞸎 + ٩ ٠ ٢ ٫ ٤

س١٩:

ضربت دينا كرة جولف. تعلم دينا أن الارتفاع 𞸏 لكرة الجولف فوق الأرض يساوي ٠ عند الزمن 𞸍=٠. ظنت دينا فيما بعد أن 𞸏 دالة تربيعية في 𞸍. إذا كانت دينا على صواب، فأيٌّ من التالي سينتج عن تمثيله بيانيًّا خط مستقيم؟

  • أالعلاقة بين 𞸏، 𞸍٢.
  • بالعلاقة بين 𞸏𞸍، 𞸍٢.
  • جالعلاقة بين 𞸏٢، 𞸍.
  • دالعلاقة بين 𞸏𞸍، 𞸍.
  • هالعلاقة بين 𞸏، 𞸍.

س٢٠:

جمع باسم بيانات عن كمية السماد 𞸎 التي يستخدمها لكل نبتة من نباتات الطماطم التي يزرعها، والكمية 𞸑 التي تنمو نتيجةً لذلك. يظن باسم أنه توجد علاقة خطية بين المتغيرين. إذا كان باسم على صواب، فأيٌّ مما يلي سيَنتج عن تمثيله بيانيًّا خطٌّ مستقيم؟

  • أ 𞸑 مقابل 󰋴𞸎
  • ب 𞸑 مقابل 𞸎٢
  • ج 𞸑 مقابل 𞸎
  • د 𞸑 مقابل 𞸎
  • ه 󰋴 𞸑 مقابل 𞸎

س٢١:

تتحقق بُستانية من مدى تأثير مبيد عشبي تستخدمه (𞸎) على عدد الأعشاب الضارة (𞸑) في حديقتها. تجمع هذه البُستانية البيانات وتُعِد نموذج انحدار خطيًّا في صورة 𞸑=󰏡+𞸁𞸎 للبيانات. هل تتوقع أن يكون معامل الانحدار 𞸁 موجبًا أم سالبًا في هذه السياق؟

  • أسالب
  • بموجب

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.