ملف تدريبي: متسلسلات ماكلورين وتايلور للدوال المشهورة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد تمثيل متسلسلة تايلور/ماكلورين للدوال الشائعة، مثل الدوال الأُسِّية، والمثلثية، ومفكوك ذات الحدين.

س١:

اعتبر 𝑓(𝑥)=(2𝑥)ln.

أوجد تمثيل متسلسلة القوى للدالة 𝑓(𝑥).

  • أ𝑓(𝑥)=(2)+𝑥2(𝑛+1)ln
  • ب𝑓(𝑥)=(2)+𝑥2ln
  • ج𝑓(𝑥)=(2)𝑥2(𝑛+1)ln
  • د𝑓(𝑥)=(2)𝑥2ln
  • ه𝑓(𝑥)=(2)1𝑛𝑥2ln

أوجد فترة تقاربها.

  • أ|𝑥|<2
  • ب|𝑥|<1
  • ج|𝑥|>1
  • د|𝑥|>0
  • ه|𝑥|>2

س٢:

افترض أن 𝑔(𝑥)=𝑒.

أوجد متسلسلة ماكلورين لـ 𝑔(𝑥).

  • أ𝑔(𝑥)=𝑥𝑛
  • ب𝑔(𝑥)=𝑥𝑛
  • ج𝑔(𝑥)=𝑥𝑛
  • د𝑔(𝑥)=𝑥𝑛+1
  • ه𝑔(𝑥)=𝑥𝑛

استخدِم أول ثلاثة حدود في هذه المتسلسلة لإيجاد قيمة تقريبية لـ 𝑒، لأقرب منزلتين عشريتين.

س٣:

يمكن تمثيل الدالة cos𝑥 عن طريق متسلسلة القوى (1)2𝑛𝑥. استخدِم أول حدين من هذه المتسلسلة لإيجاد القيمة التقريبية لـ cos0.5 لأقرب رقمين عشريين.

س٤:

الدالة sin𝑥 يمكن تمثيلها من خلال متسلسلة القوى (1)2𝑛+1𝑥. استخدم أول حدين لهذه المتسلسلة لإيجاد القيمة التقريبية لدالة الجيب sin0.5 لأقرب رقمين عشريين.

س٥:

لدينا مفكوك ذات الحدَّيْن للمقدار 1+1𝑛.

أيٌّ من المقادير الآتية يُعتبَر حدَّه الرابع؟

  • أ113𝑛3
  • ب𝑛3
  • ج113
  • د11+3
  • ه11𝑛12𝑛

ما نهاية الحد (𝑘+1)؛ حيث 𝑛 تئول إلى ما لا نهاية؟

  • أ1𝑘𝑘1
  • ب1𝑘
  • ج
  • د1𝑘+1
  • ه1

إذن، اكتب في صورة رمز المجموع المتسلسلة التي تساوي نهاية 1+1𝑛؛ حيث 𝑛 تئول إلى ما لا نهاية.

  • أ1𝑛𝑛1
  • ب𝑛2𝑛1
  • ج1𝑛

ما قيمة هذه المتسلسلة؟

  • أ𝑒
  • ب𝑖
  • ج𝜑
  • د𝜋

س٦:

أوجد متسلسلة ماكلورين لـ sinh3𝑥=𝑒𝑒2.

  • أ(𝑥)2𝑛+1
  • ب(1)(𝑥)2𝑛+1
  • ج(1)(3𝑥)2𝑛
  • د(3𝑥)2𝑛
  • ه(3𝑥)2𝑛+1

س٧:

استخدم متسلسلة ماكلورين لدالة 𞸎 للتعبير عن 󰏅󰁓𞸎󰁒𞸃𞸎٣ في صورة متسلسلة غير منتهية.

  • أ𞸍=٠𞸍٦𞸍+٤󰌇(١)𞸎٢𞸍+١(٦𞸍+٤)+𞸖
  • ب𞸍=٠𞸍٦𞸍+٤󰌇(١)𞸎٦𞸍+٤+𞸖
  • ج𞸍=٠٦𞸍+٤󰌇𞸎٢𞸍+١(٦𞸍+٤)+𞸖
  • د𞸍=٠٦𞸍+٤󰌇𞸎٦𞸍+٤+𞸖
  • ه𞸍=٠𞸍٦𞸍+٣󰌇(١)𞸎٢𞸍+١+𞸖

س٨:

استخدم متسلسلة ماكلورين لدالة 𞸤𞸎 للتعبير عن 󰏅𞸤𞸃𞸎𞸎٢ في صورة متسلسلة غير منتهية.

  • أ𞸍=٠٢𞸍󰌇𞸎٢𞸍+𞸢
  • ب𞸍=٠٢𞸍+١󰌇𞸎𞸍+𞸢
  • ج𞸍=٠٢𞸍+١󰌇𞸎𞸍(٢𞸍+١)+𞸢
  • د𞸍=٠٢𞸍󰌇𞸎𞸍+𞸢
  • ه𞸍=٠٢𞸍+١󰌇𞸎٢𞸍+١+𞸢

س٩:

أوجد متسلسلة ماكلورين لـ 𞸤󰂔١𞸎٢󰂓.

  • أ󰌇١(𞸍+١)󰂔𞸎٢󰂓𞸍=٠𞸍+١
  • ب󰌇١𞸍+١󰂔𞸎٢󰂓𞸍=٠𞸍+١
  • ج𞸍=٠𞸍𞸍+١󰌇(١)١(𞸍+١)󰂔𞸎٢󰂓
  • د𞸍=٠𞸍𞸍+١󰌇(١)١(𞸍+١)(𞸎)
  • ه󰌇١𞸍+١(𞸎)𞸍=٠𞸍+١

س١٠:

اكتب أول ثلاثة حدود لمفكوك تايلور للدالة 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎٢ حول ١ بالقوى الأسية التصاعدية لـ (𞸎١).

  • أ𞸤+٢𞸤(𞸎١)+٣𞸤(𞸎١)٢٤
  • ب𞸤+٢𞸤(𞸎+١)+٣𞸤(𞸎+١)٢
  • ج𞸤٢𞸤(𞸎١)٣𞸤(𞸎١)٢
  • د𞸤+٢𞸤(𞸎١)+٢𞸤(𞸎١)٢
  • ه𞸤+٢𞸤(𞸎١)+٣𞸤(𞸎١)٢

س١١:

اكتب أول ثلاثة حدود من مفكوك تايلور للمعادلة 󰎨(𞸎)=𞸎 عند 𝜋 بترتيب قوى (𞸎𝜋) التصاعدية.

  • أ١٢١٤(𞸎𝜋)+١٨٤(𞸎𝜋)٢٤
  • ب١+١٢(𞸎𝜋)١٤٢(𞸎𝜋)٤٨
  • ج١+١٢(𞸎𝜋)١٤٢(𞸎𝜋)٢٤
  • د١٢+١٤(𞸎𝜋)١٨٤(𞸎𝜋)٢٤
  • ه١١٢(𞸎𝜋)+١٤٢(𞸎𝜋)٢٤

س١٢:

بكتابة ثلاثة حدود لا تساوي صفرًا لمفكوك تايلور للدالة 𝑓(𝑥)=2𝑥sin حَوْل 𝜋2 بقوى 𝑥𝜋2 التصاعدية، قدِّر قيمة sin1.6. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

س١٣:

بكتابة أول ثلاثة حدود لا تساوي صفرًا في مفكوك ماكلورين للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 بقوى 𞸎 التصاعدية، حدِّد قيمة 𝜋٤. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

  • أ٠٫٩٨٧
  • ب١٫٠٠
  • ج٠٫٩٨٨
  • د٠٫٩٨٩
  • ه٠٫٩٨٦

س١٤:

أوجد أول ثلاثة حدود لا تساوي صفرًا في مفكوك تايلور للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸤𞸎𞸎 حول 𝜋 بقوى (𞸎𝜋) التصاعدية.

  • أ٢𞸤(𞸎𝜋)٢𞸤(𞸎𝜋)١٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • ب٢𞸤(𞸎𝜋)٢𞸤(𞸎𝜋)٢٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • ج٢𞸤(𞸎𝜋)+٢𞸤(𞸎𝜋)+٢٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • د٢𞸤(𞸎+𝜋)٢𞸤(𞸎+𝜋)٢٣𞸤(𞸎+𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • ه٢𞸤(𞸎𝜋)٢𞸤(𞸎𝜋)٢٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋٢𝜋٤𝜋٦

س١٥:

قرب 󰏅(𞸎)𞸃𞸎١٠٢ باستخدام أول حدين بالمتسلسلة المناسبة.

  • أ٢٧
  • ب٥٨١
  • ج٢٩
  • د٥٤١
  • ه٣١٢٤

س١٦:

اكتب أول ثلاثة حدود لمفكوك تايلور لكلِّ 󰎨(𞸎)=(𞸎+١)𞸤 حول 𞸎=󰏡 بالترتيب التصاعدي لقوى (𞸎󰏡).

  • أ󰎨(𞸎)=(󰏡+١)١󰏡+١(𞸎󰏡)+١٢(󰏡+١)(𞸎󰏡)𞸤٢٢
  • ب󰎨(𞸎)=(󰏡+١)(󰏡+١)(𞸎󰏡)+(󰏡+١)(𞸎󰏡)𞸤٢٢
  • ج󰎨(𞸎)=(󰏡+١)+(󰏡+١)(𞸎󰏡)(󰏡+١)(𞸎󰏡)𞸤٢٢
  • د󰎨(𞸎)=(󰏡+١)+٢󰏡+١(𞸎󰏡)١٣(󰏡+١)(𞸎󰏡)𞸤٢٢
  • ه󰎨(𞸎)=(󰏡+١)+١󰏡+١(𞸎󰏡)١٢(󰏡+١)(𞸎󰏡)𞸤٢٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.