ملف تدريبي: متسلسلات ماكلورين وتايلور للدوال المشهورة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد تمثيل متسلسلة تايلور/ماكلورين للدوال الشائعة، مثل الدوال الأُسِّية، والمثلثية، ومفكوك ذات الحدين.

س١:

اعتبر 󰎨(𞸎)=(٢𞸎)𞸤.

أوجد تمثيل متسلسلة القوى للدالة 󰎨(𞸎).

  • أ󰎨(𞸎)=(٢)󰌇𞸎٢(𞸍+١)𞸤𞸍=٠𞸍+١𞸍+١
  • ب󰎨(𞸎)=(٢)+󰌇𞸎٢(𞸍+١)𞸤𞸍=١𞸍+١𞸍+١
  • ج󰎨(𞸎)=(٢)󰌇󰃁١𞸍󰃀󰂔𞸎٢󰂓𞸤𞸍=٠𞸍
  • د󰎨(𞸎)=(٢)󰌇󰂔𞸎٢󰂓𞸤𞸍=١𞸍+١
  • ه󰎨(𞸎)=(٢)+󰌇󰂔𞸎٢󰂓𞸤𞸍=٠𞸍+١

أوجد فترة تقاربها.

  • أ|𞸎|<٢
  • ب|𞸎|>١
  • ج|𞸎|>٢
  • د|𞸎|>٠
  • ه|𞸎|<١

س٢:

افترِض أن 𞸓(𞸎)=𞸤𞸎.

أوجد تمثيل متسلسلة القوى للدالة 𞸓(𞸎).

  • أ𞸓(𞸎)=󰌇𞸎𞸍𞸍=٠𞸍+١
  • ب𞸓(𞸎)=󰌇𞸎𞸍+١𞸍=٠𞸍+١
  • ج𞸓(𞸎)=󰌇𞸎𞸍𞸍=١𞸍
  • د𞸓(𞸎)=󰌇𞸎𞸍𞸍=٠𞸍
  • ه𞸓(𞸎)=󰌇𞸎𞸍𞸍=١𞸍+١

استخدِم أول ثلاثة حدود في المتسلسلة لإيجاد قيمة تقريبية لـ 𞸤٤٫٠ لأقرب رقمين عشريين.

س٣:

يمكن تمثيل الدالة 𞸎 عن طريق متسلسلة القوى 𞸍=٠𞸍٢𞸍󰌇(١)٢𞸍𞸎. استخدِم أول حدين من هذه المتسلسلة لإيجاد القيمة التقريبية لـ ٥٫٠ لأقرب رقمين عشريين.

س٤:

الدالة 𞸎 يمكن تمثيلها من خلال متسلسلة القوى 𞸍=٠𞸍٢𞸍+١󰌇(١)٢𞸍+١𞸎. استخدم أول حدين لهذه المتسلسلة لإيجاد القيمة التقريبية لدالة الجيب ٥٫٠ لأقرب رقمين عشريين.

س٥:

لدينا مفكوك ذات الحدَّيْن للمقدار 󰃁١+١𞸍󰃀𞸍.

أيٌّ من المقادير التالية يعتبر حده الرابع؟

  • أ󰂔١󰂓󰂔١+󰂓٣١𞸍٢𞸍
  • ب󰂔١󰂓󰂔١󰂓٣𞸍٣١𞸍٢𞸍
  • ج󰃁١١𞸍󰃀󰃁١٢𞸍󰃀
  • د󰂔١󰂓󰂔١󰂓٣١𞸍٢𞸍
  • ه𞸍٣

ما نهاية الحد (𞸊+١)؛ حيث 𞸍 تئول إلى ما لا نهاية؟

  • أ١𞸊𞸊١
  • ب١𞸊
  • ج
  • د١
  • ه١𞸊+١

إذن، اكتب في صورة رمز التجميع المتسلسلة التي تساوي نهاية 󰃁١+١𞸍󰃀𞸍؛ حيث 𞸍 تئول إلى ما لا نهاية.

  • أ𞸍=٠󰌇١𞸍
  • ب𞸍=٠󰌇١𞸍𞸍١
  • ج𞸍=٠󰌇𞸍٢𞸍١

ما قيمة هذه المتسلسلة؟

  • أ𝜑
  • ب𞹎
  • ج𞸤
  • د𝜋

س٦:

استخدم متسلسلة ماكلورين لدالة 𞸎 للتعبير عن 󰏅󰁓𞸎󰁒𞸃𞸎٣ في صورة متسلسلة غير منتهية.

  • أ𞸍=٠𞸍٦𞸍+٤󰌇(١)𞸎٢𞸍+١(٦𞸍+٤)+𞸖
  • ب𞸍=٠𞸍٦𞸍+٤󰌇(١)𞸎٦𞸍+٤+𞸖
  • ج𞸍=٠٦𞸍+٤󰌇𞸎٢𞸍+١(٦𞸍+٤)+𞸖
  • د𞸍=٠٦𞸍+٤󰌇𞸎٦𞸍+٤+𞸖
  • ه𞸍=٠𞸍٦𞸍+٣󰌇(١)𞸎٢𞸍+١+𞸖

س٧:

استخدم متسلسلة ماكلورين لدالة 𞸤𞸎 للتعبير عن 󰏅𞸤𞸃𞸎𞸎٢ في صورة متسلسلة غير منتهية.

  • أ𞸍=٠٢𞸍󰌇𞸎٢𞸍+𞸢
  • ب𞸍=٠٢𞸍+١󰌇𞸎𞸍+𞸢
  • ج𞸍=٠٢𞸍+١󰌇𞸎𞸍(٢𞸍+١)+𞸢
  • د𞸍=٠٢𞸍󰌇𞸎𞸍+𞸢
  • ه𞸍=٠٢𞸍+١󰌇𞸎٢𞸍+١+𞸢

س٨:

أوجد متسلسلة ماكلورين لـ 𞸤󰂔١𞸎٢󰂓.

  • أ󰌇١(𞸍+١)󰂔𞸎٢󰂓𞸍=٠𞸍+١
  • ب󰌇١𞸍+١󰂔𞸎٢󰂓𞸍=٠𞸍+١
  • ج𞸍=٠𞸍𞸍+١󰌇(١)١(𞸍+١)󰂔𞸎٢󰂓
  • د𞸍=٠𞸍𞸍+١󰌇(١)١(𞸍+١)(𞸎)
  • ه󰌇١𞸍+١(𞸎)𞸍=٠𞸍+١

س٩:

اكتب أول ثلاثة حدود لمفكوك تايلور للدالة 󰎨(𞸎)=𞸤𞸎٢ حول ١ بالقوى الأسية التصاعدية لـ (𞸎١).

  • أ𞸤+٢𞸤(𞸎١)+٣𞸤(𞸎١)٢٤
  • ب𞸤+٢𞸤(𞸎+١)+٣𞸤(𞸎+١)٢
  • ج𞸤٢𞸤(𞸎١)٣𞸤(𞸎١)٢
  • د𞸤+٢𞸤(𞸎١)+٢𞸤(𞸎١)٢
  • ه𞸤+٢𞸤(𞸎١)+٣𞸤(𞸎١)٢

س١٠:

اكتب أول ثلاثة حدود من مفكوك تايلور للمعادلة 󰎨(𞸎)=𞸎 عند 𝜋 بترتيب قوى (𞸎𝜋) التصاعدية.

  • أ١٢١٤(𞸎𝜋)+١٨٤(𞸎𝜋)٢٤
  • ب١+١٢(𞸎𝜋)١٤٢(𞸎𝜋)٤٨
  • ج١+١٢(𞸎𝜋)١٤٢(𞸎𝜋)٢٤
  • د١٢+١٤(𞸎𝜋)١٨٤(𞸎𝜋)٢٤
  • ه١١٢(𞸎𝜋)+١٤٢(𞸎𝜋)٢٤

س١١:

بكتابة ثلاثة حدود لا تساوي صفرًا لمفكوك تايلور للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎 حَوْل 𝜋٢ بقوى 󰂔𞸎𝜋٢󰂓 التصاعدية، قدِّر قيمة ٦٫١. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

  • أ١٫٠٢
  • ب٠٫٩٩٨
  • ج١٫٠٠
  • د٠٫٩٩٩
  • ه١٫٠١

س١٢:

بكتابة أول ثلاثة حدود لا تساوي صفرًا في مفكوك ماكلورين للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎 بقوى 𞸎 التصاعدية، حدِّد قيمة 𝜋٤. قرِّب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.

  • أ٠٫٩٨٧
  • ب١٫٠٠
  • ج٠٫٩٨٨
  • د٠٫٩٨٩
  • ه٠٫٩٨٦

س١٣:

أوجد أول ثلاثة حدود لا تساوي صفرًا في مفكوك تايلور للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸤𞸎𞸎 حول 𝜋 بقوى (𞸎𝜋) التصاعدية.

  • أ٢𞸤(𞸎𝜋)٢𞸤(𞸎𝜋)١٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • ب٢𞸤(𞸎𝜋)٢𞸤(𞸎𝜋)٢٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • ج٢𞸤(𞸎𝜋)+٢𞸤(𞸎𝜋)+٢٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • د٢𞸤(𞸎+𝜋)٢𞸤(𞸎+𝜋)٢٣𞸤(𞸎+𝜋)𝜋𝜋٢𝜋٣
  • ه٢𞸤(𞸎𝜋)٢𞸤(𞸎𝜋)٢٣𞸤(𞸎𝜋)𝜋٢𝜋٤𝜋٦

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.