ملف تدريبي: إيجاد نِقاط تقاطع دالتين

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد نقاط تقاطع دالتين، جبريًّا أو بيانيًّا، لحل أنظمة المعادلات عندما تكون إحدى المعادلتين أو كلتاهما غير خطية.

س١:

أوجد مجموعة نقاط تقاطع تمثيلي 𞸑=٣𞸎، 𞸎+𞸑=٠٤٢٢ البيانيين.

  • أ 󰁙 ( ٤ ، ٢ ١ ) ، ( ٤ ، ٢ ١ ) 󰁘
  • ب 󰁙 ( ٢ ، ٦ ) ، ( ٢ ، ٦ ) 󰁘
  • ج 󰁙 ( ٤ ، ٢ ١ ) ، ( ٢ ١ ، ٤ ) 󰁘
  • د 󰁙 ( ٢ ، ٦ ) ، ( ٦ ، ٢ ) 󰁘

س٢:

أجب عن الأسئلة التالية المتعلِّقة بالدالتين 𞸑=𞸎٣𞸎٤٢، 𞸑=𞸎+١.

أكمل جدول قيم الدالة 𞸑=𞸎٣𞸎٤٢.

𞸎 ٢ ١ ٠ ١ ٢
𞸑
  • أ ٤ ، ٢ ، ٤ ، ٦ ، ٦
  • ب ٤ ، ٢ ، ٣ ، ٧ ، ٨
  • ج ٦ ، ٠ ، ٣ ، ٧ ، ٨
  • د ٤ ، ٢ ، ٣ ، ٦ ، ٦
  • ه ٦ ، ٠ ، ٤ ، ٦ ، ٦

أكمل جدول قيم الدالة 𞸑=𞸎+١.

𞸎 ٢ ١ ٠ ١ ٢
𞸑
  • أ ٢ ، ١ ، ٠ ، ١ ، ٢
  • ب ١ ، ٠ ، ١ ، ٢ ، ٣
  • ج ٣ ، ٢ ، ١ ، ٠ ، ١
  • د ٣ ، ٢ ، ١ ، ٠ ، ١
  • ه ١ ، ٠ ، ١ ، ٢ ، ٣

استخدم جدولي القيم لتحديد نقطة تقاطع التمثيلين البيانيين.‎‎

  • أ ( ٢ ، ١ )
  • ب ( ١ ، ٠ )
  • ج ( ١ ، ٢ )
  • د ( ٢ ، ٠ )
  • ه ( ٠ ، ١ )

بتمديد الجدول إلى 𞸎=٨، تحقق هل هناك نقاط تقاطع أخرى. إذا كانت هناك نقاط تقاطع، فأوجد إحداثياتها.

  • أنعم، (٣،٤)
  • بنعم، (٥،٦)
  • جلا
  • دنعم، (٦،٥)
  • هنعم، (٤،٣)

س٣:

أجب على الأسئلة التالية:

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين (٢،٠)، (١،٢).

  • أ 𞸑 = 𞸎 + ٢
  • ب 𞸑 = ٢ 𞸎 ٤
  • ج 𞸑 = 𞸎 + ١
  • د 𞸑 = ٢ 𞸎 + ٤
  • ه 𞸑 = ٢ 𞸎 ٤

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين (١،٠)، (٠،٢).

  • أ 𞸑 = ٢ 𞸎 ٤
  • ب 𞸑 = ٢ 𞸎 + ٢
  • ج 𞸑 = ٢ 𞸎 + ٤
  • د 𞸑 = ٢ 𞸎 ٢
  • ه 𞸑 = ٢ 𞸎 ٤

وبناءً عليه، هل الخطان متقاطعان؟ إذا كانت الإجابة نعم، فوضح نقطة التقاطع.

  • ألا، لا يتقاطعان
  • بنعم، يتقاطعان عند (٢،٠)
  • جنعم، يتقاطعان عند (١،٠)
  • دنعم، يتقاطعان عند (١،٢)
  • هنعم، يتقاطعان عند (٠،٢)

س٤:

أجب على الأسئلة التالية.

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين (٢،١)، (٠،٣).

  • أ 𞸑 = 𞸎 + ١
  • ب 𞸑 = ٤ 𞸎 + ٧
  • ج 𞸑 = ٢ 𞸎 + ٣
  • د 𞸑 = ٢ 𞸎 + ٣
  • ه 𞸑 = 𞸎 + ٣

أوجد معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين (٢،٤)، (١،١).

  • أ 𞸑 = ٣ 𞸎 + ٢
  • ب 𞸑 = ٣ 𞸎 ٢
  • ج 𞸑 = ٣ 𞸎 + ٢
  • د 𞸑 = ٣ 𞸎 ٤
  • ه 𞸑 = ٣ 𞸎 + ٤

وبناءً على ما سبق، هل الخطان متقاطعان؟ إذا كانا متقاطعين، فوضح نقطة التقاطع.

  • أنعم، يتقاطعان عند (١،١)
  • بنعم، يتقاطعان عند (٢،١)
  • جنعم، يتقاطعان عند (٠،٣)
  • دلا، لا يتقاطعان
  • هنعم، يتقاطعان عند (٢،٤)

س٥:

أجب عن الأسئلة الآتية:

أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين (٣،١)، (٥،٣).

  • أ 𞸑 = ٢ 𞸎 ٨
  • ب 𞸑 = ٢ 𞸎 ٤
  • ج 𞸑 = 𞸎 ٢
  • د 𞸑 = ٢ 𞸎 ٢
  • ه 𞸑 = 𞸎 + ٢

أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطتين (٢،٤)، (٣،٣).

  • أ 𞸑 = 𞸎 + ٣
  • ب 𞸑 = 𞸎 + ٦
  • ج 𞸑 = 𞸎 + ٢
  • د 𞸑 = 𞸎 + ٢
  • ه 𞸑 = 𞸎 + ٦

وبناءً عليه، هل المستقيمان متقاطعان؟ إذا كانا متقاطعين، فوضِّح نقطة التقاطع.

  • ألا، لا يتقاطعان
  • بنعم، يتقاطعان عند (٣،٥)
  • جنعم، يتقاطعان عند (٤،٢)
  • دنعم، يتقاطعان عند (٢،٤)
  • هنعم، يتقاطعان عند (٥،٣)

س٦:

يوضِّح الشكل التالي التمثيل البياني للدالتين 󰎨(𞸎)=٢𞸎٢، 𞸓(𞸎)=(𞸎)𞸤. ما النقاط التي عندها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)؟

  • أ ( ٠ ، ١ ) ، ( ٣ ٠ ٢ ٫ ٠ ، ٤ ٩ ٥ ٫ ١ )
  • ب ( ١ ، ٠ ) ، ( ٤ ٩ ٥ ٫ ١ ، ٣ ٠ ٢ ٫ ٠ )
  • ج ( ١ ، ٠ ) ، ( ٣ ٠ ٢ ٫ ٠ ، ٤ ٩ ٥ ٫ ١ )
  • د ( ٠ ، ١ ) ، ( ٣ ٠ ٢ ٫ ٠ ، ٩ ٤ ٥ ٫ ١ )
  • ه ( ٠ ، ١ ) ، ( ٤ ٩ ٥ ٫ ١ ، ٣ ٠ ٢ ٫ ٠ )

س٧:

يوضِّح الشكل التالي التمثيل البياني للدالتين 󰎨(𞸎)=٦، 𞸓(𞸎)=٣𞸎٣𞸎٢. ما النقاط التي عندها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)؟

  • أ ( ٠ ، ١ ) ، ( ٠ ، ٦ )
  • ب ( ١ ، ٦ ) ، ( ٢ ، ٦ )
  • ج ( ١ ، ٦ ) ، ( ٢ ، ٦ )
  • د ( ٦ ، ١ ) ، ( ٦ ، ٢ )
  • ه ( ٦ ، ١ ) ، ( ٦ ، ٢ )

س٨:

يوضِّح الشكل التالي التمثيل البياني للدالتين 󰎨(𞸎)=٣𞸎٣، 𞸓(𞸎)=𞸎+٤𞸎٥٢. ما النِّقاط التي عندها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)؟

  • أ ( ١ ، ١ ) ، ( ٢ ، ٩ )
  • ب ( ١ ، ٠ ) ، ( ٨ ، ٧ ٢ )
  • ج ( ١ ، ٠ ) ، ( ٢ ، ٩ )
  • د ( ١ ، ١ ) ، ( ٩ ، ٢ )
  • ه ( ٠ ، ١ ) ، ( ٩ ، ٢ )

س٩:

يوضح الشكل التالي رسمين بيانيين للدالتين 󰎨(𞸎)=٤𞸎٢، 𞸓(𞸎)=٢𞸎+٤. ما النقطة التي تقع عندها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)؟

  • أ ( ٢ ، ١ )
  • ب ( ١ ، ٢ )
  • ج ( ١ ، ٢ )
  • د ( ٢ ، ٣ )
  • ه ( ٣ ، ٢ )

س١٠:

يوضِّح الشكل التالي رسمين بيانيين للدالتين 󰎨(𞸎)=٥𞸎٤، 𞸓(𞸎)=𞸎+٨. ما النقطة التي تكون عندها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)؟

  • أ ( ٢ ، ٦ )
  • ب ( ١ ، ١ )
  • ج ( ٥ ، ٣ )
  • د ( ٦ ، ٢ )
  • ه ( ٣ ، ٥ )

س١١:

يوضِّح الشكل المبين التمثيل البياني للدالة 󰎨(𞸎)=󰁓𞸎٥٧𞸎󰁒٠٥٣ إلى جانب ثلاثة مستقيمات في صورة 𞸑=𞸊𞸎.

من خلال حل 󰎨(𞸎)=𞸎، أوجد إحداثيات النقطتين 󰏡، 𞸁.

  • أ ( ٥ ، ٥ ) ، ( ٥ ، ٥ )
  • ب ( ٥ ، ٥ ) ، ( ٥ ، ٥ )
  • ج ( ٥ ، ٥ ) ، ( ٠ ، ٠ )
  • د ( ٥ ، ٥ ) ، ( ٥ ، ٥ )
  • ه ( ٠ ، ٠ ) ، ( ٥ ، ٥ )

لاحظ أنه من 󰎨(٢)=١٧٥٢، نعرف أن 𞸑=٢١٧٥٢𞸎 تقابل 𞸑=󰎨(𞸎) في النقطة 󰂔٢،١٧٥٢󰂓، إذن (𞸎٢) عامل للدالة التكعيبية 󰎨(𞸎)󰂔٢١٧٥٢𞸎󰂓. أوجد إحداثيات 𞸎 بالنسبة إلى التقاطعين الآخَرين.

  • أ 󰋴 ٢ ٢ + ١ ، 󰋴 ٢ ٢ ١
  • ب 󰋴 ٢ ٢ ١ ، 󰋴 ٢ ٢ + ١
  • ج 󰋴 ٢ ٢ ١ ، 󰋴 ٢ ٢ ١
  • د 󰋴 ٢ ٢ ، 󰋴 ٢ ٢
  • ه 󰋴 ٢ ٢ + ١ ، 󰋴 ٢ ٢ + ١

بسِّط المقدار الذي يعبِّر عن متوسط تغيُّر 󰎨 من 𞸎=𞸢 إلى 𞸎=𞸃 والتي تساوي ١ بالنسبة إلى المعادلة التربيعية في 𞸃 التي أحد معاملَيْها 𞸢.

  • أ ٤ 𞸃 + ٢ 𞸢 𞸃 + 󰁓 𞸢 ٥ ٢ 󰁒 = ٠ ٢ ٢
  • ب ٤ 𞸃 + ٢ 𞸢 𞸃 + 󰁓 𞸢 ٥ ٢ 󰁒 = ٠ ٢ ٢
  • ج 𞸃 + 𞸢 𞸃 + 𞸢 = ٠ ٢ ٢
  • د 𞸃 + 𞸢 𞸃 + 󰁓 𞸢 ٥ ٢ 󰁒 = ٠ ٢ ٢
  • ه 𞸃 𞸢 𞸃 + 󰁓 𞸢 ٥ ٢ 󰁒 = ٠ ٢ ٢

الإحداثي 𞸎 بالنسبة إلى 𞸢 للنقطة 𞸢؛ حيث توجد 𞸃 التي معدَّل تغيُّر 󰎨 عندها يساوي ١. من خلال إيجاد مميز المقدار التربيعي أوجد 𞸢، 𞸃.

  • أ 𞸢 = ٠ ١ 󰋴 ٣ ، 𞸃 = ٥ 󰋴 ٣
  • ب 𞸢 = ٠ ١ 󰋴 ٣ ، 𞸃 = ٥ 󰋴 ٣
  • ج 𞸢 = 󰋴 ٣ ، 𞸃 = 󰋴 ٣ ٢
  • د 𞸢 = ٠ ١ 󰋴 ٣ ٣ ، 𞸃 = ٥ 󰋴 ٣ ٣
  • ه 𞸢 = ٠ ١ 󰋴 ٣ ٣ ، 𞸃 = ٥ 󰋴 ٣ ٣

ما قِيَم 𞸢 التي لا توجد عندها نقاط للعنصر 𞸃؛ حيث معدَّل تغيُّر 󰎨 من 𞸎=𞸢 إلى 𞸎=𞸃 يساوي ١؟

  • أ 𞸢 > ٠ ١ 󰋴 ٣ أو 𞸢<٠١󰋴٣.
  • ب 𞸢 < 󰋴 ٣ ٣ أو 𞸢>󰋴٣٣.
  • ج 𞸢 > 󰋴 ٣ ٣ أو 𞸢<󰋴٣٣.
  • د 𞸢 < ٠ ١ 󰋴 ٣ ٣ أو 𞸢>٠١󰋴٣٣.
  • ه 𞸢 > ٠ ١ 󰋴 ٣ ٣ أو 𞸢<٠١󰋴٣٣.

س١٢:

أوجد جميع قيم 𞸎؛ حيث،󰎨(𞸎)=𞸍(𞸎) إذا كان󰎨(𞸎)=(𞸎+٤٣)٢، 𞸍(𞸎)=𞸎+٤٣.

  • أ 𞸎 = ٣ ٣ أو 𞸎=٥٣
  • ب 𞸎 = ٤ ٣ أو 𞸎=٥٣
  • ج 𞸎 = ٣ ٣ أو 𞸎=٤٣
  • د 𞸎 = ٤ ٣ أو 𞸎=٣٣
  • ه 𞸎 = ٣ ٣ أو 𞸎=٣٣

س١٣:

إذا كانت الدالة 󰎨𞹑𞹑؛ حيث 𞹑 هي مجموعة الأعداد الصحيحة، 󰎨(𞸎)=𞸎+٩𞸎+٢٢، 󰎨(𞸎)=٦١، فأوجد جميع قيم 𞸎 الممكنة.

  • أ ٦
  • ب٣ أو ٦
  • ج ٣
  • د ٣ أو ٦

س١٤:

يتقاطع التمثيلان البيانيان للدالة 󰎨١، والدالة 󰎨٢ عند النقطة (𞸊،٢)؛ حيث 󰎨(𞸎)=٢١𞸎، 󰎨(𞸎)=٣𞸎٢. أوجد مجموعة قيم 𞸊 الممكنة.

  • أ { ٢ }
  • ب { ١ }
  • ج { ١ }
  • د { ٢ }

س١٥:

يوضِّح الشكل الآتي التمثيل البياني للدالتين 󰎨(𞸎)=|٢𞸎|٥، 𞸓(𞸎)=(𞸎)𞸤. ما النقاط التي عندها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎)؟

  • أ ( ٧ ٠ ٠ ٫ ٠ ، ٦ ٨ ٩ ٫ ٤ ) ، ( ٨ ١ ١ ٫ ١ ، ٩ ٥ ٠ ٫ ٣ )
  • ب ( ٦ ٨ ٩ ٫ ٤ ، ٧ ٠ ٠ ٫ ٠ ) ، ( ٨ ١ ١ ٫ ١ ، ٩ ٥ ٠ ٫ ٣ )
  • ج ( ٧ ٠ ٠ ٫ ٠ ، ٦ ٨ ٩ ٫ ٤ ) ، ( ٩ ٥ ٠ ٫ ٣ ، ٨ ١ ١ ٫ ١ )
  • د ( ٦ ٨ ٩ ٫ ٤ ، ٧ ٠ ٠ ٫ ٠ ) ، ( ٩ ٥ ٠ ٫ ٣ ، ٨ ١ ١ ٫ ١ )
  • ه ( ٧ ٠ ٠ ٫ ٠ ، ٦ ٨ ٩ ٫ ٤ ) ، ( ٩ ٥ ٠ ٫ ٣ ، ٨ ١ ١ ٫ ١ )

س١٦:

أوجد الجزأين المقطوعين من المحور 𞸎 للدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٥١𞸎٢٤٢.

  • أ٢ و٧
  • ب٢ و٧
  • ج ٢ و٧
  • د ٢ و٧

س١٧:

أوجد مجموعة نقاط تقاطع تمثيلي 𞸎=𞸑، 𞸎+𞸑=٢٣٢٢ البيانيين.

  • أ 󰁙 ( ٦ ١ ، ٦ ١ ) ، ( ٦ ١ ، ٦ ١ ) 󰁘
  • ب 󰁙 ( ٦ ١ ، ٦ ١ ) ، ( ٦ ١ ، ٦ ١ ) 󰁘
  • ج 󰁙 ( ٤ ، ٤ ) ، ( ٤ ، ٤ ) 󰁘
  • د 󰁙 ( ٤ ، ٤ ) ، ( ٤ ، ٤ ) 󰁘

س١٨:

استخدِم الوسائل التكنولوجية لرسم منحنى لكلٍّ من 󰎨(𞸎)=١𞸎+٣، 𞸓(𞸎)=٦𞸎+٨. أوجد الإحداثيات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎) إذا تقاطع منحنياهما، لأقرب رقمين عشريين.

  • أالمنحنيان لا يتقاطعان.
  • ب ( ٠ ١ ٫ ١ ، ٣ ٥ ٫ ٠ ) ، ( ٧ ١ ٫ ٠ ، ٥ ٣ ٫ ٠ )
  • ج ( ٥ ٠ ٫ ٣ ، ٣ ٤ ٫ ٨ ١ ) ، ( ٠ ٧ ٫ ٠ ، ٣ ٤ ٫ ٠ )
  • د ( ٥ ٤ ٫ ١ ، ٩ ٦ ٫ ٠ ) ، ( ٢ ١ ٫ ٠ ، ٩ ٦ ٫ ٨ )
  • ه ( ٠ ١ ٫ ٣ ، ٧ ٥ ٫ ٠ ١ ) ، ( ٤ ٢ ٫ ١ ، ٧ ٥ ٫ ٠ )

س١٩:

أوجد النقطة التي تتقاطع عندها الدالة 󰎨(𞸎)=٢١ مع محور 𞸎 أو محور 𞸑.

  • أ ( ٢ ١ ، ٠ )
  • ب ( ٠ ، ٠ )
  • ج ( ٠ ، ٢ ١ )
  • د ( ٢ ١ ، ٢ ١ )

س٢٠:

أوجد قيم 󰏡، 𞸁 إذا كانت الدالة 󰎨(𞸎)=٤١𞸎+󰏡 تقطع محور 𞸑 في النقطة (𞸁،٣).

  • أ 󰏡 = ٣ ، 𞸁 = ٠
  • ب 󰏡 = ٠ ، 𞸁 = ٣
  • ج 󰏡 = ٣ ، 𞸁 = ٠
  • د 󰏡 = ٠ ، 𞸁 = ٣

س٢١:

إذا كانت الدالة 󰎨𞸈𞹑؛ حيث 󰎨(𞸎)=(𞸎+٧١)٢، والدالة 𞸓𞸈𞹑؛ حيث 𞸓(𞸎)=𞸎+٧١، فأوجد مجموعة حل 𞸎 التي تجعل 󰎨(𞸎)=𞸓(𞸎).

  • أ { ٧ ١ }
  • ب { ٧ ١ ، ٦ ١ }
  • ج { ٦ ١ }
  • د

س٢٢:

ما الإحداثي السيني للنقطة التي يتقاطع عندها منحنى الدالتين 󰎨(𞸎)=٩𞸎٠٢، 𞸓(𞸎)=٦𞸎٠٢؟

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.