ملف تدريبي: التكامل بالكسور الجزئية مع وجود عوامل خطية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام الكسور الجزئية لإيجاد قيمة تكامل الدوال الكسرية ذات العوامل الخطية.

س١:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎+٤𞸎+١(𞸎١)(𞸎+١)(𞸎+٣)𞸃𞸎٢.

  • أ٤٣١|𞸎١|+١٢١|𞸎+١|١٤١|𞸎+٣|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • ب٣٤|𞸎١|+١٢|𞸎+١|١٤|𞸎+٣|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • ج٢٣|𞸎١|+١٢|𞸎+١|١٤|𞸎+٣|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • د٤٣|𞸎١|+١٢|𞸎+١|+١٤|𞸎+٣|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • ه٤٣|𞸎١|+١٤|𞸎+١|١٤|𞸎+٣|+𞸊𞸤𞸤𞸤

س٢:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅٦𞸎+٧(𞸎+٢)𞸃𞸎٢.

  • أ٦|𞸎+٢|+٥|𞸎+٢|+𞸖𞸤𞸤
  • ب٦|𞸎+٢|٥(𞸎+٢)+𞸖𞸤١
  • ج٣|𞸎+٢|٤(𞸎+٢)+𞸖𞸤١
  • د٦|𞸎+٢|+٥(𞸎+٢)+𞸖𞸤٣
  • ه٦|𞸎+٢|+٥(𞸎+٢)+𞸖𞸤١

س٣:

استخدِم الكسور الجزئية لحساب 󰏅١(𞸎١)𞸃𞸎٢٢.

  • أ١٤󰍸(𞸎+١)(𞸎١)󰍸𞸎٢(𞸎١)+𞸊𞸤٢
  • ب١٤󰍾𞸎+١𞸎١󰍾𞸎٢(𞸎١)+𞸊𞸤٢
  • ج١٤󰍾𞸎+١𞸎١󰍾١𞸎١+𞸊𞸤٢
  • د١٢󰍾𞸎+١𞸎١󰍾𞸎٢(𞸎١)+𞸊𞸤٢
  • ه١٤󰍾𞸎+١𞸎١󰍾+𞸎٢(𞸎١)+𞸊𞸤٢

س٤:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎(𞸎١)(𞸎+٢𞸎+١)𞸃𞸎٢٢.

  • أ١٤󰍸(𞸎١)(𞸎+١)󰍸١٢𞸎+٢+𞸊𞸤٣
  • ب١٤󰍸(𞸎١)(𞸎+١)󰍸+١٢𞸎+٢+𞸊𞸤٣
  • ج١٢󰍸(𞸎١)(𞸎+١)󰍸+١٢𞸎+٢+𞸊𞸤٣
  • د١٤󰍾(𞸎١)(𞸎+١)󰍾+١٢𞸎+٢+𞸊𞸤٣
  • ه١٤󰍸(𞸎١)(𞸎+١)󰍸+١𞸎+١+𞸊𞸤٣

س٥:

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد مقدار تحليلي للتكامل:󰏅٣𞸍٩𞸍+٨𞸍(𞸍٢)𞸃𞸍.𞸎١٢٢

  • أ٢(𞸎)+(٢𞸎)١𞸎٢𞸤𞸤
  • ب٢(𞸎)+(٢𞸎)١𞸎٢١𞸤𞸤
  • ج٢(𞸎)+(𞸎٢)١𞸎٢١𞸤𞸤
  • د٢(𞸎)+(٢𞸎)+١𞸎٢١𞸤𞸤
  • ه٢(𞸎)+(𞸎٢)+١𞸎٢١𞸤𞸤

س٦:

أوجد 󰎨 بحيث تكون 󰎨(𞸎)=𞸎(𞸎𞸤)٢ ، 󰎨(٠)=٢.

  • أ󰎨(𞸎)=|(𞸤𞸎)|+𞸤𞸤𞸎𞸤
  • ب󰎨(𞸎)=|(𞸎𞸤)|𞸎𞸤𞸎𞸤
  • ج󰎨(𞸎)=|(𞸎𞸤)|+𞸤𞸤𞸎𞸤
  • د󰎨(𞸎)=|(𞸤𞸎)|𞸎𞸤𞸎𞸤
  • ه󰎨(𞸎)=|(𞸤𞸎)|+𞸤𞸎𞸤𞸤

س٧:

الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎(𞸎𞸤)٢ مُعرَّفة على 𞹇{𞸤}.

أوجد المشتقة العكسية 𞹟 للدالة 󰎨؛ حيث 𞹟(٠)=٢. ما قيمة 𞹟(٢𞸤)؟

  • أ𞹟(𞸎)=(|𞸎𞸤|)+𞸤𞸤𞸎𞸤، 𞹟(٢𞸤)=٠.
  • ب𞹟(𞸎)=(|𞸎𞸤|)𞸎𞸤𞸎𞸤، 𞹟(٢𞸤)=١.
  • ج𞹟(𞸎)=(|𞸎𞸤|)𞸤𞸤𞸎𞸤، 𞹟(٢𞸤)=٠.
  • د𞹟(𞸎)=(|𞸎𞸤|)𞸤𞸤𞸎𞸤، 𞹟(٢𞸤)=٢.
  • ه𞹟(𞸎)=(|𞸎𞸤|)+𞸤𞸤𞸎𞸤، 𞹟(٢𞸤)=٢.

هل يُمكن إيجاد المشتقة العكسية 𞸓 التي تحقِّق 𞸓(٠)=٢؛ حيث 𞸓(٢𞸤)=١؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فما قيمة 𞸓(𞸎)؟

  • أنعم، 𞸓(𞸎)=(𞸤𞸎)+𞸤𞸤𞸎𞸎<𞸤،(𞸎𞸤)+𞸤𞸤𞸎+١𞸎>𞸤.إذاإذا𞸤𞸤
  • بلا

ما استنتجته مما سبق يبدو أنه يخالف النتيجة التي توضِّح أن أي مشتقتين عكسيتين يجب أن يُفرَّق بينهما بدالة ثابتة؛ لأن 𞸓𞹟 ليست دالة ثابتة. لماذا لا يوجد اختلاف؟

  • ألأن النتيجة تفترض أن المجال عبارة عن فترة.
  • بلأن 𞸓𞹟 ثابتة؛ حيث قيمتها تساوي ٠ على (،𞸤)، وتساوي ١ على (𞸤،).
  • جلأن هذه النتيجة يوجد بها عائق أحيانًا؛ أي إنها أحيانًا تفشل.
  • دلأن 𞹟، 𞸓 ليستا دالتين تفاضليتين؛ والنتيجة تنطبق فقط على الدوال التفاضلية.
  • هلأن هذه النتيجة تتطلَّب شرطًا إضافيًّا يُطبَّق على المشتقات العكسية.

س٨:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎+٤(𞸎+٦)(𞸎١)𞸃𞸎.

  • أ٢٧|𞸎+٦|٥٧|𞸎١|+𞸖𞸤𞸤
  • ب٢٧١|𞸎٦|+٥٧١|𞸎+١|+𞸖𞸤𞸤
  • ج٢٧|𞸎+٦|+٥٧|𞸎١|+𞸖𞸤𞸤
  • د٢٧|𞸎١|+٥٧|𞸎+٦|+𞸖𞸤𞸤
  • ه٢٧|𞸎+٦|٥٧|𞸎١|+𞸖𞸤𞸤

س٩:

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد قيمة 󰏅١𞸎(𞸎+٢)𞸃𞸎.

  • أ١٢󰍾󰋺𞸎𞸎+٢󰍾+𞸖𞸤
  • ب𞸤󰋴𞸎(𞸎+٢)+𞸖
  • ج𞸤󰋽|𞸎||𞸎+٢|
  • د𞸤󰍾𞸎𞸎+٢󰍾+𞸖
  • ه١٢󰋴𞸎(𞸎+٢)+𞸖𞸤

س١٠:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎+٤𞸎(𞸎+١)𞸃𞸎١١٢.

  • أ٣٢+٤١٢+٣٣٢𞸤𞸤𞸤
  • ب٣٢+٤١٢+٣٣٢𞸤𞸤𞸤
  • ج٣٢٤١٢٣٣٢𞸤𞸤𞸤
  • د٣٢٤١٢+٣٣٢𞸤𞸤𞸤
  • ه٣٢٤١٤+٣٣٤𞸤𞸤𞸤

س١١:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅١𞸕+𞸕٢𞸕𞸃𞸕٣٢.

  • أ١٢|𞸕|١٦|𞸕+٢|+١٣|𞸕١|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • ب١٢|𞸕|+١٦|𞸕+٢|+١٣|𞸕١|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • ج١٢|𞸕|+١٦|𞸕+٢|+١٣|𞸕١|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • د١٢|𞸕|+١٦|𞸕٢|+١٦|𞸕+١|+𞸊𞸤𞸤𞸤
  • ه١٢|𞸕|+١٦|𞸕+٢|١٣|𞸕١|+𞸊𞸤𞸤𞸤

س١٢:

استخدم الكسور الجزئية لتقدير التكامل 󰏅٢𞸎(𞸎+٧)𞸃𞸎٢.

  • أ٢󰁓𞸎٧|𞸎+٧|󰁒+𞸊𞸤
  • ب٢󰁓𞸎+٧|𞸎+٧|󰁒+𞸊𞸤
  • ج٢󰃁|𞸎+٧|+١𞸎+٧󰃀+𞸊𞸤
  • د٢𞸎+٧+𞸊
  • ه٢󰃁|𞸎+٧|+٧𞸎+٧󰃀+𞸊𞸤

س١٣:

استخدم الكسور الجزئية لتقدير التكامل 󰏅٤𞸎٥𞸎٤١𞸃𞸎٢.

  • أ٤٩󰁓|𞸎+٢||𞸎٧|󰁒+𞸊𞸤𞸤
  • ب٤٩󰁓|𞸎٧||𞸎+٢|󰁒+𞸊𞸤𞸤
  • ج٤٩󰁓|𞸎٧|+|𞸎+٢|󰁒+𞸊𞸤𞸤
  • د٤٥󰁓|𞸎٧|+|𞸎+٢|󰁒+𞸊𞸤𞸤
  • ه٩٤󰁓|𞸎+٧||𞸎٢|󰁒+𞸊𞸤𞸤

س١٤:

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد قيمة التكامل 󰏅٢𞸎+٣٠١𞸎+١٢𞸎+٩𞸎𞸃𞸎٣٢.

  • أ١٣󰍾٥+٣𞸎󰍾+𞸊𞸤
  • ب١٥󰍾٥+٣𞸎󰍾+𞸊𞸤
  • ج١٣󰍾𞸎٥𞸎+٣󰍾+𞸊𞸤
  • د١٥󰍾𞸎٥𞸎+٣󰍾+𞸊𞸤
  • ه١٣󰍾𞸎٢𞸎+٣󰍾+𞸊𞸤

س١٥:

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد قيمة التكامل 󰏅٣٥𞸎٠٢𞸃𞸎٢.

  • أ٣٠١(|𞸎٢|+|𞸎+٢|)+𞸊𞸤𞸤
  • ب٣٠١(|𞸎٢||𞸎+٢|)+𞸊𞸤𞸤
  • ج٣٠٢(|𞸎٢||𞸎+٢|)+𞸊𞸤𞸤
  • د٣٠١(|𞸎+٢||𞸎٢|)+𞸊𞸤𞸤
  • ه٣٠٢(|𞸎+٢||𞸎٢|)+𞸊𞸤𞸤

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.