ملف تدريبي: التكامل بالكسور الجزئية مع وجود عوامل خطية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام الكسور الجزئية للدوال الكسرية ذات العوامل الخطية المُتكرِّرة لحساب تكاملها.

س١:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎+٤𞸎+١(𞸎١)(𞸎+١)(𞸎+٣)𞸃𞸎٢.

  • أ ٣ ٤ | 𞸎 ١ | + ١ ٢ | 𞸎 + ١ | ١ ٤ | 𞸎 + ٣ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • ب ٤ ٣ ١ | 𞸎 ١ | + ١ ٢ ١ | 𞸎 + ١ | ١ ٤ ١ | 𞸎 + ٣ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • ج ٢ ٣ | 𞸎 ١ | + ١ ٢ | 𞸎 + ١ | ١ ٤ | 𞸎 + ٣ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • د ٤ ٣ | 𞸎 ١ | + ١ ٤ | 𞸎 + ١ | ١ ٤ | 𞸎 + ٣ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • ه ٤ ٣ | 𞸎 ١ | + ١ ٢ | 𞸎 + ١ | + ١ ٤ | 𞸎 + ٣ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤

س٢:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅٦𞸎+٧(𞸎+٢)𞸃𞸎٢.

  • أ ٦ | 𞸎 + ٢ | + ٥ ( 𞸎 + ٢ ) + 𞸖 𞸤 ٣
  • ب ٦ | 𞸎 + ٢ | + ٥ | 𞸎 + ٢ | + 𞸖 𞸤 𞸤
  • ج ٦ | 𞸎 + ٢ | + ٥ ( 𞸎 + ٢ ) + 𞸖 𞸤 ١
  • د ٣ | 𞸎 + ٢ | ٤ ( 𞸎 + ٢ ) + 𞸖 𞸤 ١
  • ه ٦ | 𞸎 + ٢ | ٥ ( 𞸎 + ٢ ) + 𞸖 𞸤 ١

س٣:

استخدِم الكسور الجزئية لحساب 󰏅١(𞸎١)𞸃𞸎٢٢.

  • أ ١ ٤ 󰍾 𞸎 + ١ 𞸎 ١ 󰍾 𞸎 ٢ ( 𞸎 ١ ) + 𞸊 𞸤 ٢
  • ب ١ ٤ 󰍾 𞸎 + ١ 𞸎 ١ 󰍾 + 𞸎 ٢ ( 𞸎 ١ ) + 𞸊 𞸤 ٢
  • ج ١ ٤ 󰍸 ( 𞸎 + ١ ) ( 𞸎 ١ ) 󰍸 𞸎 ٢ ( 𞸎 ١ ) + 𞸊 𞸤 ٢
  • د ١ ٤ 󰍾 𞸎 + ١ 𞸎 ١ 󰍾 ١ 𞸎 ١ + 𞸊 𞸤 ٢
  • ه ١ ٢ 󰍾 𞸎 + ١ 𞸎 ١ 󰍾 𞸎 ٢ ( 𞸎 ١ ) + 𞸊 𞸤 ٢

س٤:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎(𞸎١)(𞸎+٢𞸎+١)𞸃𞸎٢٢.

  • أ ١ ٢ 󰍸 ( 𞸎 ١ ) ( 𞸎 + ١ ) 󰍸 + ١ ٢ 𞸎 + ٢ + 𞸊 𞸤 ٣
  • ب ١ ٤ 󰍸 ( 𞸎 ١ ) ( 𞸎 + ١ ) 󰍸 ١ ٢ 𞸎 + ٢ + 𞸊 𞸤 ٣
  • ج ١ ٤ 󰍸 ( 𞸎 ١ ) ( 𞸎 + ١ ) 󰍸 + ١ ٢ 𞸎 + ٢ + 𞸊 𞸤 ٣
  • د ١ ٤ 󰍸 ( 𞸎 ١ ) ( 𞸎 + ١ ) 󰍸 + ١ 𞸎 + ١ + 𞸊 𞸤 ٣
  • ه ١ ٤ 󰍾 ( 𞸎 ١ ) ( 𞸎 + ١ ) 󰍾 + ١ ٢ 𞸎 + ٢ + 𞸊 𞸤 ٣

س٥:

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد مقدار تحليلي للتكامل:󰏅٣𞸍٩𞸍+٨𞸍(𞸍٢)𞸃𞸍.𞸎١٢٢

  • أ ٢ ( 𞸎 ) + ( 𞸎 ٢ ) + ١ 𞸎 ٢ ١ 𞸤 𞸤
  • ب ٢ ( 𞸎 ) + ( ٢ 𞸎 ) ١ 𞸎 ٢ 𞸤 𞸤
  • ج ٢ ( 𞸎 ) + ( 𞸎 ٢ ) ١ 𞸎 ٢ ١ 𞸤 𞸤
  • د ٢ ( 𞸎 ) + ( ٢ 𞸎 ) + ١ 𞸎 ٢ ١ 𞸤 𞸤
  • ه ٢ ( 𞸎 ) + ( ٢ 𞸎 ) ١ 𞸎 ٢ ١ 𞸤 𞸤

س٦:

أوجد 󰎨 بحيث تكون 󰎨(𞸎)=𞸎(𞸎𞸤)󰍱٢ ، 󰎨(٠)=٢.

  • أ 󰎨 ( 𞸎 ) = ( 𞸤 𞸎 ) 𞸎 𞸤 𞸎 𞸤
  • ب 󰎨 ( 𞸎 ) = ( 𞸤 𞸎 ) + 𞸤 𞸤 𞸎 𞸤
  • ج 󰎨 ( 𞸎 ) = ( 𞸤 𞸎 ) + 𞸤 𞸎 𞸤 𞸤
  • د 󰎨 ( 𞸎 ) = ( 𞸎 𞸤 ) + 𞸤 𞸤 𞸎 𞸤
  • ه 󰎨 ( 𞸎 ) = ( 𞸎 𞸤 ) 𞸎 𞸤 𞸎 𞸤

س٧:

الدالة مُعرَّفة على .

أوجد المشتقة العكسية للدالة ؛ حيث . ما قيمة ؟

  • أ .
  • ب .
  • ج .
  • د .
  • ه .

هل يُمكن إيجاد المشتقة العكسية التي تحقِّق ؛ حيث ؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فما قيمة ؟

  • أنعم،
  • بلا

ما استنتجته مما سبق يبدو أنه يخالف النتيجة التي توضِّح أن أي مشتقتين عكسيتين يجب أن يُفرَّق بينهما بدالة ثابتة؛ لأن ليست دالة ثابتة. لماذا لا يوجد اختلاف؟

  • ألأن ثابتة؛ حيث قيمتها تساوي ٠ على ، وتساوي ١ على .
  • بلأن النتيجة تفترض أن المجال عبارة عن فترة.
  • جلأن هذه النتيجة يوجد بها عائق أحيانًا؛ أي إنها أحيانًا تفشل.
  • دلأن هذه النتيجة تتطلَّب شرطًا إضافيًّا يُطبَّق على المشتقات العكسية.
  • هلأن ، ليستا دالتين تفاضليتين؛ والنتيجة تنطبق فقط على الدوال التفاضلية.

س٨:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎+٤(𞸎+٦)(𞸎١)𞸃𞸎.

  • أ ٢ ٧ ١ | 𞸎 ٦ | + ٥ ٧ ١ | 𞸎 + ١ | + 𞸖 𞸤 𞸤
  • ب ٢ ٧ | 𞸎 + ٦ | + ٥ ٧ | 𞸎 ١ | + 𞸖 𞸤 𞸤
  • ج ٢ ٧ | 𞸎 ١ | + ٥ ٧ | 𞸎 + ٦ | + 𞸖 𞸤 𞸤
  • د ٢ ٧ | 𞸎 + ٦ | ٥ ٧ | 𞸎 ١ | + 𞸖 𞸤 𞸤
  • ه ٢ ٧ | 𞸎 + ٦ | ٥ ٧ | 𞸎 ١ | + 𞸖 𞸤 𞸤

س٩:

استخدم الكسور الجزئية لإيجاد قيمة 󰏅١𞸎(𞸎+٢)𞸃𞸎.

  • أ ١ ٢ 󰍾 󰋺 𞸎 𞸎 + ٢ 󰍾 + 𞸊 𞸤
  • ب 𞸤 󰍾 𞸎 𞸎 + ٢ 󰍾 + 𞸊
  • ج 𞸤 󰋴 𞸎 ( 𞸎 + ٢ ) + 𞸊
  • د 𞸤 󰋽 | 𞸎 | | 𞸎 + ٢ |
  • ه ١ ٢ 󰋴 𞸎 ( 𞸎 + ٢ ) + 𞸊 𞸤

س١٠:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅𞸎+٤𞸎(𞸎+١)𞸃𞸎١١٢.

  • أ ٣ ٢ ٤ ١ ٢ ٣ ٣ ٢ 𞸤 𞸤 𞸤
  • ب ٣ ٢ ٤ ١ ٢ + ٣ ٣ ٢ 𞸤 𞸤 𞸤
  • ج ٣ ٢ + ٤ ١ ٢ + ٣ ٣ ٢ 𞸤 𞸤 𞸤
  • د ٣ ٢ + ٤ ١ ٢ + ٣ ٣ ٢ 𞸤 𞸤 𞸤
  • ه ٣ ٢ ٤ ١ ٤ + ٣ ٣ ٤ 𞸤 𞸤 𞸤

س١١:

استخدم الكسور الجزئية لحساب 󰏅١𞸕+𞸕٢𞸕𞸃𞸕٣٢.

  • أ ١ ٢ | 𞸕 | + ١ ٦ | 𞸕 + ٢ | + ١ ٣ | 𞸕 ١ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • ب ١ ٢ | 𞸕 | + ١ ٦ | 𞸕 ٢ | + ١ ٦ | 𞸕 + ١ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • ج ١ ٢ | 𞸕 | + ١ ٦ | 𞸕 + ٢ | ١ ٣ | 𞸕 ١ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • د ١ ٢ | 𞸕 | ١ ٦ | 𞸕 + ٢ | + ١ ٣ | 𞸕 ١ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤
  • ه ١ ٢ | 𞸕 | + ١ ٦ | 𞸕 + ٢ | + ١ ٣ | 𞸕 ١ | + 𞸊 𞸤 𞸤 𞸤

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.