ورقة تدريب: تطبيقات على المتتابعات والمتسلسلات الهندسية

في ورقة التدريب هذه، سوف نتدرَّب على حلِّ التطبيقات الحياتية على المتتابعات والمتسلسلات الهندسية؛ حيث إيجاد أساس المتتابعة، وصيغة الحد النوني الصريحة، ورتبة وقيمة حدٍّ معيَّن، ومجموع عدد معيَّن من الحدود.

س١:

سقطت كرة مطاطية على أرضية، وارتدت إلى ١٤ الارتفاع الذي كانت عليه. إذا كان الارتفاع الذي سقطت منه الكرة ٦٥٣ سم فوق الأرضية، فأوجد الارتفاع الذي تصل إليه الكرة بعد الارتداد الثاني، لأقرب عدد صحيح.

س٢:

إذا كان عدد سكان إحدى المدن يبلغ الآن ٨٤٤‎ ‎٥٠١، ويزيد بمُعدَّل ثابت ٢١٪ سنويًّا، فأوجد عدد السكان لأقرب عدد صحيح بعد ٨ سنوات.

س٣:

الراتب الشهري لأحد الموظفين في هذه السنة ٢‎ ‎١٠٠ جنيه مصري. أوجد راتبه بعد ٨ سنوات إذا حصل على ٣٪ زيادة سنوية، لأقرب جنيه.

س٤:

تقل قيمة سيارة جديدة تكلفتها ٤٩٨‎ ‎٣٠٠ جنيه مصري بمعدل ٥١٪ سنويًّا. أوجد سعر السيارة بعد ٨ سنوات لأقرب جنيه.

س٥:

في اليوم الأول، صُبَّ ٤٢ لترًا من المياه في خزَّان، وفي كلِّ يوم بعد ذلك، كانت المياه تُصَبُّ في الخزَّان بمقدار ثلاثة أمثال اليوم السابق. في أيِّ يوم سيحتوي الخزَّان على ١‎ ‎١٣٤ لترًا؟

  • أفي اليوم ٤
  • بفي اليوم ٥
  • جفي اليوم ٣
  • دفي اليوم ٦
  • هفي اليوم ٢٧

س٦:

ترتد كرة إلى 𞸕 أمثال ارتفاعها السابق بعد كل ارتدادة. لُوحظ أنها ترتد إلى عُشر ارتفاعها الأصلي في الارتدادة السادسة. ما قيمة 𞸕؟ قرِّب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

س٧:

أرسل شخص رسالة إلى اثنين من أصدقائه، ثم أرسلها كلٌّ منهما إلى اثنين آخرين، وهكذا. إذا تسلَّم كل شخص الرسالة مرة واحدة فقط، فأوجِد عدد الأشخاص الذين تسلَّموا الرسالة في المرحلة السادسة.

س٨:

يزداد عدد الطلاب في إحدى المدارس بمُعدَّل ٠١٪ كلَّ عام، ويوجد حاليًّا ٨٨٩٢ً. ما عدد الطلاب في المدرسة بعد ٦ سنوات؟

س٩:

عند عرض برنامج تليفزيوني جديد، قام بتنزيله ٠١أص. إذا كان عدد الأشخاص يزيد يومًا ويومًا؛ بحيث يزيد إلى الضعف كل يومين، فكم شخصًا يكون قد قام بتنزيل البرنامج بحلول نهاية أسبوعين؟

س١٠:

حساب المجتمع الإحصائي للنمل من أسبوع إلى أسبوع ممثَّل بواسطة الصيغة التكرارية 𞸋=٥٠٫١𞸋𞸍+١𞸍. إذا أصبح المجتمع الإحصائي بعد ٢٤ أسبوعًا يساوي ١‎ ‎٢٠٠، فماذا كان المجتمع الإحصائي الابتدائي؟

س١١:

حساب تعداد النمل الأبيض من أسبوع إلى آخر مُمثَّل بالصيغة التكرارية 𞸏=٥٠٫١𞸏𞸍+١𞸍. ما الصيغة التكرارية التي يمكن استخدامها إذا كان التعداد يُحسب شهريًّا؟ استخدم متوسط عدد الأسابيع لكل شهر طوال سنة كاملة، علمًا بأن هناك ٥٢ أسبوعًا أو ١٢ شهرًا في السنة الواحدة، وقرِّب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

  • أ𞸏=٤٢٫١𞸏𞸍+١𞸍
  • ب𞸏=٤٥٫٢𞸏𞸍+١𞸍
  • ج𞸏=٦٢٫٠𞸏𞸍+١𞸍
  • د𞸏=٠٢٫٤𞸏𞸍+١𞸍
  • ه𞸏=٦٢٫١𞸏𞸍+١𞸍

س١٢:

في اليوم الأول، كان هناك ٨١٠ من جراثيم البكتيريا في مزرعة بكتيرية من طبق بتري. أوجد، لأقرب عدد صحيح، عدد جراثيم البكتيريا بعد ٦ أيام، مع افتراض تضاعفه يوميًّا.

س١٣:

تتدرب منى في الصالة الرياضية. على المشَّاية الرياضية، تجري ٢٥٠ م في الدقيقة الأولى وتقل المسافة التي تجريها بنسبة ٠١٪ كل دقيقة لاحقة.

ما المسافة التي تجريها في ١٠ دقائق لأقرب متر؟

س١٤:

انضمَّتْ داليا إلى شركة براتب ابتدائي قدره ٢٨‎ ‎٠٠٠ دولار أمريكي. تتلقَّى زيادة في الراتب بنسبة ٥٫٢٪ بعد كل سنة كاملة تقضيها في العمل.

الإجمالي الذي تحصل عليه داليا خلال 𞸍 سنة يمثِّل متسلسلة هندسية. ما أساس المتسلسلة الهندسية؟

اكتب صيغة لـ 𞸢𞸍، المبلغ الإجمالي بفئة دولار أمريكي، الذي تحصل عليه داليا في 𞸍 سنة في الشركة.

  • أ𞸢=٠٠٠٠٢١١󰁓٥٢٠٫١١󰁒𞸍𞸍
  • ب𞸢=٧٤٩٨٥󰁓٥٧٤٫١١󰁒𞸍𞸍
  • ج𞸢=٧٦٦٨١󰁓٥٫٢١󰁒𞸍𞸍
  • د𞸢=٠٠٠٨٢󰁓١٥٢٠٫١󰁒𞸍𞸍
  • ه𞸢=٠٠٠٠٢١١󰁓١٥٧٩٫٠󰁒𞸍𞸍

بعد مرور ٢٠ سنة من العمل في الشركة، تركتْ داليا العمل. استخدِم الصيغة لحساب المبلغ الإجمالي الذي حصلتْ عليه في الشركة.

اشرح لماذا سيكون المبلغ الفعلي الذي حصلتْ عليه مختلفًا عن المبلغ المحسوب باستخدام الصيغة.

  • أقيمة الدولار تتغيَّر مع الوقت.
  • بأنفقتْ جزءًا من المال خلال ٢٠ سنة.
  • جستكون القيمة الابتدائية للمبلغ الفعلي مختلفة مقارنةً بالمبلغ المحسوب باستخدام الصيغة.
  • دعند اللزوم، سيُقرَّب الراتب السنوي الجديد.
  • هستكون النسبة المئوية للمبلغ الفعلي مختلفة مقارنةً بالمبلغ المحسوب باستخدام الصيغة.

س١٥:

عندما انتقل آدم إلى شقته لأول مرة، كان مبلغ الإيجار الذي يدفعه ٠٠٢٣١دورأ في السنة. يرفع المالك الإيجار بمعدَّل ٣٪ سنويًّا. يعيش آدم في الشقة منذ ١٧ سنة. باعتبار إجمالي الإيجار المدفوع متسلسلة هندسية، احسب إجمالي الإيجار الذي دفعه آدم على مدار ١٧ سنة، الفترة التي قضاها في الشقة. قرِّب إجابتك لأقرب دولار.

س١٦:

لحساب مبلغ من المال في حسابات الادخارات المنظمة؛ حيث يودِع المدَّخِر مبلغًا منتظمًا على فترات زمنية منتظمة، نأخذ في اعتبارنا أن الإيداع الشهري يكون منفصلًا كلٌّ على حدة.

افترض أن المدَّخِر يقوم بالإيداعات المنتظمة في آخر يوم من كل شهر في أحد الحسابات البنكية؛ حيث تُحسب الفائدة في اليوم الأخير من كل شهر.

نرمز للإيداع المنتظم بالرمز 𞸃، ومعدل الفائدة الشهرية بالرمز 𞹎 (معدل الفائدة الشهرية 𞸋٪ يمكن أن يعطي 𞹎 كقيمة من 𞸋٠٠١).

في يوم الإيداع رقم 𞸍 ، ربح الإيداع الأول فائدة لـ (𞸍١) شهر، فكانت قيمة الإيداع 𞸃(١+𞹎)𞸍١.

وبالمثل في يوم الإيداع رقم 𞸍، ربح الإيداع الثاني فائدة لـ (𞸍٢) شهر، فكانت قيمة الإيداع 𞸃(١+𞹎)𞸍٢.

. النمط مستمر حتى نعتبر أن الإيداع رقم 𞸍 لم يربح أي فائدة في اليوم الذي أُودع فيه، وتكون قيمته 𞸃.

لحساب المبلغ الإجمالي في الحساب البنكي للمدَّخِر، 𞸑، في يوم الإيداع رقم 𞸍، نحتاج إلى معرفة مجموع قيم الإيداعات المنفردة.

بدءًا بالإيداع رقم 𞸍، نحصل على 𞸑=𞸃+𞸃(١+𞹎)+𞸃(١+𞹎)++𞸃(١+𞹎).٢𞸍١

ما نوع المتسلسلة التي تراها في الطرف الأيسر من المعادلة‎؟

  • أحسابية
  • بتوافقية
  • جهندسية
  • دفيبوناتشي

باستخدام صيغة مجموع الحدود 𞸍 الأولى في المتسلسة الهندسية، اكتب صيغة 𞸑 التي تمثِّل المبلغ الإجمالي في الحساب البنكي للمدخِر.

  • أ𞸑=𞸃󰃁(١+𞹎)١𞹎+١󰃀𞸍
  • ب𞸑=𞸃󰃁(١+𞹎)١𞹎󰃀𞸍
  • ج𞸑=𞸃󰃁(١+𞹎)١𞹎󰃀𞸍١
  • د𞸑=𞸃󰃁١𞹎١𞹎󰃀𞸍
  • ه𞸑=𞸃󰃁١𞹎١𞹎󰃀𞸍١

س١٧:

توفِّر أميرة مبلغ ٠٥دورًاأ كلَّ شهر في صندوق استثمار ذي عائد مرتفع. يتكفَّل الصندوق بدفع فائدة سنوية قدرها ٦٪، تتراكم شهريًّا.

ما المبلغ الذي ستحصل عليه أميرة في صندوقها بعد مرور سنتين؟

س١٨:

يدَّخر فارس ٠٢دورًاأ كلَّ شهر في حسابٍ مقدار الفائدة السنوية فيه ٤٪ تتراكم شهريًّا.

ما المبلغ الذي يكون في حساب فارس بعد مرور ٤ سنوات من الادخار المنتظم؟ قرِّب إجابتك لأقرب سنت.

إذا تراكمت الفائدة كلَّ ثلاثة أشهر، فما المبلغ الذي يكون في الحساب بعد مرور ٤ سنوات؟

س١٩:

خزَّان ماء به ١‎ ‎٧٧٨ لترًا، انخفض حجم الماء بداخله بمقدار ١٤ و٢٨ و٥٦ خلال ثلاثة أيام متتالية، على الترتيب. إذا استمر انخفاض منسوب الماء داخل الخزَّان بنفس المُعدَّل، فما الزمن الذي يستغرقه الخزَّان ليُصبِح فارغًا؟

س٢٠:

دُحرجت كرة على مستوًى أفقي، فقطعت مسافة ١٤٥ سم في الدقيقة الأولى، وتناقصت المسافة بمقدار ٥٢٪ لكل دقيقة تالية. أوجد المسافة الكلية التي قطعتها حتى توقَّفت تمامًا.

س٢١:

يبلغ دخْل أمير في السنة الأولى ٩‎ ‎٩١١ جنيهًا مصريًّا، ويزيد بنسبة ٨٫٠٪ كل عام. أوجد دخْل أمير في ٣ سنوات، وإجمالي دخل أمير خلال ٣ سنوات.

  • أجنيه مصري واحد، ٩‎ ‎٩٩١ جنيهًا مصريًّا
  • ب١٠‎ ‎١٥١ جنيهًا مصريًّا، ٢٩‎ ‎٩٧١ جنيهًا مصريًّا
  • ج١٠‎ ‎٠٧٠ جنيهًا مصريًّا، ١٩‎ ‎٩٠١ جنيه مصري
  • د١٠‎ ‎٠٧٠ جنيهًا مصريًّا، ٢٩‎ ‎٩٧١ جنيهًا مصريًّا

س٢٢:

سقطت كرة رأسيًّا إلى أسفل من ارتفاع ٢٧٠ سم فوق سطح الأرض؛ حيث كل مرة تلامس الكرة الأرض ترتد ٤٩ من مسافة السقوط السابقة. أوجد مسافة السقوط عندما تلامس الكرة الأرض في المرة الرابعة، وأوجد المسافة الكلية التي تقطعها الكرة أثناء حركتها لأقرب وحدة، إذا لزم الأمر.

  • أ٢٤ سم، ٧٠٢ سم
  • ب٢٤ سم، ٤٨٦ سم
  • ج١١ سم، ٧٠٢ سم
  • د٢٦ سم، ٩٤٥ سم
  • ه٤٦ سم، ٩٤٥ سم

س٢٣:

إذا كان إنتاج إحدى آبار البترول في كل عام أقل بنسبة ٠٢٪ من العام الذي يسبقه، وكان إنتاج السنة الأولى ٠٥٤٨٢ً، فأوجد العدد الكلي للبراميل في أول eightسنة، واحسب الحد الأقصى لإنتاج البئر، مقربًا الناتج لأقرب وحدة.

  • أ٨١٤٢١١ً، ٠٥٢٢٤١ً
  • ب٤٨٣٨١١ً، ٠٥٢٢٤١ً
  • ج٣٩٩٨٦٥ً، ٣٦٥٥٣ً
  • د٩٩٩٨٦٥ً، ٣٦٥٥٣ً

س٢٤:

أريدُ شراء بعض الأثاث لمنزلي الجديد. أستطيع دفع مبلغ ١٥٠ دولارًا أمريكيًّا شهريًّا لمدة ٣ سنوات. يقدِّم معرض الأثاث قروضًا بفائدة شهرية مقدارها ٦٫٠٪. ما أقصى حدٍّ يمكنني اقتراضه، لأقرب مائة دولار أمريكي؟

س٢٥:

تمتلك شركة ستة مستودعات لتخزين القمح؛ حيث يمكن أن يخزِّن المستودع الأول ٣٤٠ طنًّا متريَّا، وكل مستودع تالٍ يمكن أن يخزن ثلثي الكمية التي يستوعبها المستودع الذي قبله. هل يمكن للشركة تخزين ٤‎ ‎٣٢٤ طنًّا متريَّا من القمح؟ أوجد الحد الأقصى من القمح الذي يمكن للشركة تخزينه لأقرب طن.

  • ألا، ٩٣٠ طنًّا متريَّا
  • بلا، ٨٨٦ طنًّا متريَّا
  • جنعم، ٤‎ ‎٤٨٤ طنًّا متريَّا
  • دنعم، ٧‎ ‎٠٦٦ طنًّا متريَّا

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.