ملف تدريبي: تطبيقات على المتتابعات الهندسية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على حلِّ التطبيقات الحياتية لمتتابعات هندسية؛ بإيجاد أساس المتتابعة، وصيغة الحد النوني الصريحة، ورتبة وقيمة حدٍّ معيَّن بالمتتابعة.

س١:

سقطت كرة مطاطية على أرضية، وارتدت إلى ١٤ الارتفاع الذي كانت عليه. إذا كان الارتفاع الذي سقطت منه الكرة ٦٥٣ سم فوق الأرضية، فأوجد الارتفاع الذي تصل إليه الكرة بعد الارتداد الثاني، لأقرب عدد صحيح.

س٢:

إذا كان عدد سكان إحدى المدن يبلغ الآن ٨٤٤‎ ‎٥٠١، ويزيد بمُعدَّل ثابت ٢١٪ سنويًّا، فأوجد عدد السكان لأقرب عدد صحيح بعد ٨ سنوات.

س٣:

الراتب الشهري لأحد الموظفين في هذه السنة ٢‎ ‎١٠٠ جنيه مصري. أوجد راتبه بعد ٨ سنوات إذا حصل على ٣٪ زيادة سنوية، لأقرب جنيه.

س٤:

تقل قيمة سيارة جديدة تكلفتها ٤٩٨‎ ‎٣٠٠ جنيه مصري بمعدل ٥١٪ سنويًّا. أوجد سعر السيارة بعد ٨ سنوات لأقرب جنيه.

س٥:

في اليوم الأول، صُبَّ ٤٢ لترًا من المياه في خزَّان، وفي كلِّ يوم بعد ذلك، كانت المياه تُصَبُّ في الخزَّان بمقدار ثلاثة أمثال اليوم السابق. في أيِّ يوم سيحتوي الخزَّان على ١‎ ‎١٣٤ لترًا؟

  • أفي اليوم ٣
  • بفي اليوم ٥
  • جفي اليوم ٦
  • دفي اليوم ٤
  • هفي اليوم ٢٧

س٦:

تحرَّك بندول مسافة ٣ أقدام عند تأرجحه الأول. عند كل تأرجح بعد ذلك، تحرَّك ٣٤ من المسافة التي تحرَّكها سابقًا. ما إجمالي المسافة التي تحرَّكها البندول عند توقُّفه عن التأرجح؟

س٧:

ترتد كرة إلى 𞸕 أمثال ارتفاعها السابق بعد كل ارتدادة. لُوحظ أنها ترتد إلى عُشر ارتفاعها الأصلي في الارتدادة السادسة. ما قيمة 𞸕؟ قرِّب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

س٨:

أرسل شخص رسالة إلى اثنين من أصدقائه، ثم أرسلها كلٌّ منهما إلى اثنين آخرين، وهكذا. إذا تسلَّم كل شخص الرسالة مرة واحدة فقط، فأوجِد عدد الأشخاص الذين تسلَّموا الرسالة في المرحلة السادسة.

س٩:

يزداد عدد الطلاب في إحدى المدارس بمُعدَّل ٠١٪ كلَّ عام، ويوجد حاليًّا ٨٨٩٢ً. ما عدد الطلاب في المدرسة بعد ٦ سنوات؟

س١٠:

عند عرض برنامج تليفزيوني جديد، قام بتنزيله ٠١أص. إذا زاد عدد الأشخاص إلى الضِّعف كلَّ يوم، فكم شخصًا يكون قد قام بتنزيل البرنامج بحلول نهاية أسبوعين؟

س١١:

نبيل وإنجي كانا يَدْرسان المتتابعات العددية.

الحد النوني لمتتابعة نبيل يُمكن إيجاده باستخدام الصيغة 𞸇=𞸋𞸍𞸍.

أما الحد النوني لمتتابعة إنجي فيُمكن إيجاده باستخدام 𞸇=𞸢𞸍٣𞸍.

الحد الأول في متتابعة نبيل يساوي ١٢٥. إذا كان كلٌّ من متتابعة نبيل وإنجي متطابقتين، فما القيمة التي يجب أن تختارها لتكون قيمة 𞸢؟

  • أ٥٠٠
  • ب٣٧٥
  • ج١٢٥
  • د٢٥
  • ه٥

يريد سامح أن يجري متتابعة باستخدام الصيغة 𞸇=٥٢𞸍𞸊𞸍. إذا كانت متتابعته تتطابَق مع متتابعة نبيل وإنجي، فما قيمة 𞸊؟

  • أ ٣ ٢
  • ب ١ ٢
  • ج ٢ ٣
  • د٣
  • ه ١ ٣

س١٢:

حساب المجتمع الإحصائي للنمل من أسبوع لاسبوع ممثَّل بواسطة الصيغة التكرارية 𞸋=٥٠٫١𞸋𞸍+١𞸍. إذا وصل المجتمع الإحصائي بعد ٢٤ أسبوعًا إلى ٠٠٢١، فماذا كان المجتمع الإحصائي الابتدائي؟

س١٣:

حساب تعداد النمل الأبيض من أسبوع إلى آخر مُمثَّل بالصيغة التكرارية 𞸏=٥٠٫١𞸏𞸍+١𞸍. ما الصيغة التكرارية التي يمكن استخدامها إذا كان التعداد يُحسب شهريًّا؟ استخدم متوسط عدد الأسابيع لكل شهر طوال سنة كاملة، علمًا بأن هناك ٥٢ أسبوعًا أو ١٢ شهرًا في السنة الواحدة، وقرِّب إجابتك لأقرب رقمين عشريين.

  • أ 𞸏 = ٦ ٢ ٫ ٠ 𞸏 𞸍 + ١ 𞸍
  • ب 𞸏 = ٤ ٥ ٫ ٢ 𞸏 𞸍 + ١ 𞸍
  • ج 𞸏 = ٤ ٢ ٫ ١ 𞸏 𞸍 + ١ 𞸍
  • د 𞸏 = ٠ ٢ ٫ ٤ 𞸏 𞸍 + ١ 𞸍
  • ه 𞸏 = ٦ ٢ ٫ ١ 𞸏 𞸍 + ١ 𞸍

س١٤:

في اليوم الأول، يوجد ٨١٠ من جراثيم البكتريا في مزرعة بكترية من طبق بتري. أوجد، لأقرب عدد صحيح، عدد جراثيم البكتريا بعد six أيام، مع افتراض تضاعفه يوميًّا.

  • أ ٥ ٩ ٥ ١ ً
  • ب ٠ ٧ ٨ ٢ ٠ ١ ً
  • ج ٠ ٥ ٦ ٢ ٥ ً
  • د ٠ ٣ ٠ ١ ٥ ً
  • ه ٠ ١ ١ ٥ ٢ ا

س١٥:

تتدرب يارا في الصالة الرياضية. على المشَّاية الرياضية، تجري ٢٥٠ م في الدقيقة الأولى وتقل المسافة التي تجريها بنسبة ٠١٪ كل دقيقة لاحقة.

ما المسافة التي تجريها في ١٠ دقائق لأقرب متر؟

  • أ ١‎ ‎٥٣١ م
  • ب ٢‎ ‎٥٠٠ م
  • ج ٢‎ ‎٢٥٠ م
  • د٨٧٥ م
  • ه ١‎ ‎٦٢٨ م

س١٦:

لحساب مبلغ من المال في حسابات الادخارات المنظمة؛ حيث يودِع المدَّخِر مبلغًا منتظمًا على فترات زمنية منتظمة، نأخذ في اعتبارنا أن الإيداع الشهري يكون منفصلًا كلٌّ على حدة.

افترض أن المدَّخِر يقوم بالإيداعات المنتظمة في آخر يوم من كل شهر في أحد الحسابات البنكية؛ حيث تُحسب الفائدة في اليوم الأخير من كل شهر.

نرمز للإيداع المنتظم بالرمز 𞸃، ومعدل الفائدة الشهرية بالرمز 𞹎 (معدل الفائدة الشهرية 𞸋٪ يمكن أن يعطي 𞹎 كقيمة من 𞸋٠٠١).

في يوم الإيداع رقم 𞸍 ، ربح الإيداع الأول فائدة لـ (𞸍١) شهر، فكانت قيمة الإيداع 𞸃(١+𞹎)𞸍١.

وبالمثل في يوم الإيداع رقم 𞸍، ربح الإيداع الثاني فائدة لـ (𞸍٢) شهر، فكانت قيمة الإيداع 𞸃(١+𞹎)𞸍٢.

. النمط مستمر حتى نعتبر أن الإيداع رقم 𞸍 لم يربح أي فائدة في اليوم الذي أُودع فيه، وتكون قيمته 𞸃.

لحساب المبلغ الإجمالي في الحساب البنكي للمدَّخِر، 𞸑، في يوم الإيداع رقم 𞸍، نحتاج إلى معرفة مجموع قيم الإيداعات المنفردة.

بدءًا بالإيداع رقم 𞸍، نحصل على

ما نوع المتسلسلة التي تراها في الطرف الأيسر من المعادلة‎؟

  • أتوافقية
  • بهندسية
  • جحسابية
  • دفيبوناتشي

باستخدام صيغة مجموع الحدود 𞸍 الأولى في المتسلسة الهندسية، اكتب صيغة 𞸑 التي تمثِّل المبلغ الإجمالي في الحساب البنكي للمدخِر.

  • أ 𞸑 = 𞸃 󰃁 ( ١ + 𞹎 ) ١ 𞹎 + ١ 󰃀 𞸍
  • ب 𞸑 = 𞸃 󰃁 ١ 𞹎 ١ 𞹎 󰃀 𞸍 ١
  • ج 𞸑 = 𞸃 󰃁 ( ١ + 𞹎 ) ١ 𞹎 󰃀 𞸍 ١
  • د 𞸑 = 𞸃 󰃁 ( ١ + 𞹎 ) ١ 𞹎 󰃀 𞸍
  • ه 𞸑 = 𞸃 󰃁 ١ 𞹎 ١ 𞹎 󰃀 𞸍

س١٧:

يدَّخر نادر٠٢دورًاأ كلَّ شهر في حسابٍ مقدار الفائدة السنوية فيه ٤٪ تتراكم شهريًّا.

ما المبلغ الذي يكون في حساب نادر بعد مرور ٤ سنوات من الادخار المنتظم؟ قرِّب إجابتك لأقرب سنت.

إذا تراكمت الفائدة كلَّ ثلاثة أشهر، فما المبلغ الذي يكون في الحساب بعد مرور ٤ سنوات؟

س١٨:

تُريد رانيا استبدال سيارتها في غضون عامين. قرَّرت ادِّخار بعض المال كلَّ شهر، وأفضل حساب ادخار له مُعدَّل فائدة سنوية ٩٪ مُركَّبة شهريًّا.

كم يجب أن يكون القسط المنتظم الشهري إذا كانت رانيا تنوي ادِّخار ٠٠٠٥دورأ لقسط السيارة؟ قرِّب إجابتك لأقرب دولار.

س١٩:

ترتبط قيمة القرض والمدفوعات الشهرية على القرض بالصيغة 𞸒=𞸌󰃁١(١+𞸐))𞸐󰃀،𞸍 حيث 𞸒 قيمة القرض، 𞸌 المدفوعات الشهرية، 𞸐 مُعدَّل الفائدة الشهرية، 𞸍 عدد الشهور التي يتم تسديد القرض على مدارها.

يُقدِّم تاجر سيارات قرضًا مدته ٤ سنوات بفائدة شهرية مقدارها ٥٫٠٪.

استخدِم الصيغة لحساب المدفوعات الشهرية على السيارة التي سعرها ٠٠٠٥٢دورأ دون دفع دفعة مقدمة.

س٢٠:

خزان ماء به ١‎ ‎٧٧٨ لترًا، انخفض حجم الماء بداخله خلال ثلاثة أيام متتالية بمقدار ١٤، ٢٨، ٥٦ على الترتيب. إذا استمر انخفاض منسوب الماء داخل الخزان بنفس المعدل، فما الزمن الذي يستغرقه الخزان ليصبح فارغًا؟

س٢١:

تربط الصيغة الآتية بين مبلغ القرض ودفعة السداد الشهرية:𞸋=𞸆󰃁(١(١+𞸕))𞸕󰃀،𞸍 حيث 𞸋 تمثِّل مبلغ القرض، 𞸆 تمثِّل دفعة السداد الشهرية، 𞸕 تمثِّل نسبة الفائدة الشهرية، 𞸍 تمثِّل عدد الأشهر التي يُسدَّد فيها القرض.

يقدِّم تاجر مطابخ قرضًا لمدة ستة أعوام بفائدة شهرية نسبتها ٤٫٠٪.

استخدم الصيغة لحساب دفعة السداد الشهرية، لأقرب سنت، لمطبخ تكلفته ٠٠٠٠٢دورأ، دون دفعة مقدمة.

  • أ٣٢٠٫٢٥ دولارًا أمريكيًّا
  • ب٤٨٠٫٠٠ دولارًا أمريكيًّا
  • ج٢٤٠٫٢٥ دولارًا أمريكيًّا
  • د٢٨٠٫٨٠ دولارًا أمريكيًّا
  • ه٣٧٥٫٦٠ دولارًا أمريكيًّا

العميل الذي يريد شراء المطبخ يمكنه سداد دفعات قدرها ٢٥٠ دولارًا أمريكيًّا شهريًّا. احسب الدفعة المقدمة التي يجب عليه دفعها حتى تصبح دفعات السداد الشهرية ميسرة. وضِّح إجابتك بالعملة المناسبة.

  • أ ٠ ٠ ٦ ٣ د و ر أ
  • ب ٠ ٠ ٤ ٤ د و ر أ
  • ج ٠ ٠ ٧ ٦ د و ر أ
  • د ٠ ٠ ٢ ٧ د و ر أ
  • ه ٠ ٠ ٩ ٢ د و ر أ

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.