تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

بدء التمرين

ملف تدريبي: نظرية القيمة المتوسِّطة

س١:

نادر غير مقتنع أن نظرية القيمة المتوسطة صحيحة؛ حيث يقول إن الدالة 󰎨 ( 𞸎 ) = | 𞸎 | بها خاصية أننا إذا افترضنا أن 󰏡 = ٢ ، 𞸁 = ٢ ، نجد أن 󰎨 ( 𞸁 ) 󰎨 ( 󰏡 ) 𞸁 󰏡 = ٠ ، ولكن لا توجد النقطة 𞸎 ؛ حيث 󰎨 ( 𞸎 ) = ٠ 󰍱 . ما الخطأ؟

  • أالدالة يجب أن تكون تناقصية بصورة كاملة على الفترة.
  • بتتطلَّب النظرية أن يكون المجال فترة لا تكون 𞹇 .
  • جالدالة يجب أن تكون تزايدية بصورة كاملة على الفترة.
  • دالدالة غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎 = ٠ . تتطلَّب النظرية قابلية الاشتقاق في إحدى الفترات.
  • هالدالة غير متصلة. النظرية تتطلَّب اتصالًا في إحدى الفترات.

س٢:

لديك النتيجة: إذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 ، 󰎨 ( 𞸎 ) = ٠ 󰍱 ، فإن 󰎨 ( 𞸎 ) = 𞸢 ثابت لكل 𞸎 𞹏 .

أيُّ الجمل الآتية تعبِّر بالضبط عن الشيء نفسه لنتيجة الدالة الثابتة؟

  • أإذا كانت 󰎨 دالة ثابتة على الفترة 𞹏 ، فإن 󰎨 قابلة للاشتقاق، 󰎨 ( 𞸎 ) = ٠ عند جميع 𞸎 𞹏 .
  • بإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 وليست دالة ثابتة، فإن 󰎨 ( 𞸎 ) ٠ عند جميع 𞸎 𞹏 .
  • جإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الدالة 𞹏 ، 󰎨 ( 󰏡 ) ٠ عند بعض 󰏡 𞹏 ، فإن 󰎨 ( 𞸎 ) ليست دالة ثابتة.
  • دإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 وليست دالة ثابتة، فإن 󰎨 ( 󰏡 ) ٠ عند بعض 󰏡 𞹏 .
  • هإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 ، 󰎨 ( 𞸎 ) ٠ عند كلٍّ من 𞸎 𞹏 ، فإن 󰎨 ( 𞸎 ) ليست دالة ثابتة.

إذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 وليست ثابتة، نحصل على النقاط 󰏡 ، 𞸁 𞹏 مع 󰎨 ( 󰏡 ) 󰎨 ( 𞸁 ) . كيف يوضِّح ذلك أن 󰎨 ( 𞸢 ) ٠ عند النقطة 𞸢 𞹏 ؟

  • ألأنه حينها 󰎨 ( 𞸁 ) 󰎨 ( 󰏡 ) 𞸁 󰏡 ٠ ، وبواسطة نظرية القيمة المتوسطة، توجد نقطة 𞸢 مع 󰎨 ( 𞸢 ) = 󰎨 ( 𞸁 ) 󰎨 ( 󰏡 ) 𞸁 󰏡 .
  • بلأنه إذا كانت 󰎨 ( 𞸎 ) = ٠ على 𞹏 ، فإن 󰎨 ستكون دالة ثابتة.
  • جلأن الدوال الثابتة فقط التي يكون لديها 󰎨 ( 𞸎 ) = ٠ على مجالها.
  • دلأن 󰎨 ( 𞸁 ) 󰎨 ( 󰏡 ) تعني أن واحدًا من 󰎨 ( 󰏡 ) أو 󰎨 ( 𞸁 ) ليست صفرًا، يمكننا استخدام 𞸢 عند تلك النقطة.
  • هلأن 󰎨 ( 𞸁 ) 󰎨 ( 󰏡 ) 𞸁 󰏡 ٠ ، وبواسطة نظرية القيمة المتوسطة، توجد نقطة 𞸢 مع 󰎨 ( 𞸢 ) = 󰎨 ( 𞸁 ) 󰎨 ( 󰏡 ) .