ملف تدريبي: نظرية القيمة المتوسِّطة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تفسير واستخدام نظرية القيمة المتوسطة ونظرية رول.

س١:

فارس غير مقتنع بأن نظرية القيمة المتوسطة صحيحة؛ حيث يقول إن الدالة 󰎨(𞸎)=|𞸎| من خواصها أننا إذا افترضنا أن 󰏡=٢، 𞸁=٢، فإن 󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)𞸁󰏡=٠، ولكن لا توجد النقطة 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)=٠. ما الخطأ؟

  • أالدالة غير قابلة للاشتقاق عند 𞸎=٠. تتطلَّب النظرية قابلية الاشتقاق في إحدى الفترات.
  • بتتطلَّب النظرية أن يكون المجال فترة، 𞹇 ليست فترة.
  • جالدالة غير متصلة. النظرية تتطلَّب اتصالًا في إحدى الفترات.
  • دالدالة يجب أن تكون تزايدية بصورة كاملة على الفترة.
  • هالدالة يجب أن تكون تناقصية بصورة كاملة على الفترة.

س٢:

لا تقتنع سارة بصحة نظرية القيمة المتوسطة؛ لأنها ترى أن الدالة 󰎨(𞸎)=|𞸎| قابلة للاشتقاق بالتأكيد على 𞸇{٠}. لكن إذا افترضنا أن 󰏡=١، 𞸁=١، نجد أن 󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)𞸁󰏡=٠، ولكن لا توجد النقطة 𞸎؛ حيث 󰎨(𞸎)=٠. ما الخطأ الذي وقعت فيه؟

  • أالدالة يجب أن تكون متصلة على الفترة.
  • بالنظرية تتطلَّب أن يكون المجال في صورة فترة، 𞸇{٠} ليست كذلك.
  • جالدالة يجب أن تكون تزايدية على الفترة.
  • دالنظرية تتطلَّب أن تكون الدالة قابلة للاشتقاق على مجالها.
  • هالدالة يجب أن تكون تناقصية على الفترة.

س٣:

هل تُطبَّق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة 𞸑=٢󰋴𞸎٤٢ في الفترة [٢،٢]؟

  • ألا
  • بنعم

س٤:

هل تنطبق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة 𞸑=٢|𞸎+٢| في الفترة [٠،٦]؟

  • ألا
  • بنعم

س٥:

هل تُطبَّق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة 𞸑=٢𞸎٤𞸎+٧٣ في الفترة [٠،٥]؟

  • أنعم
  • بلا

س٦:

هل تُطبَّق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة 𞸑=٣+|٢𞸎| في الفترة [٢،٢]؟

  • أنعم
  • بلا

س٧:

للدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎، أوجد جميع قيم 𞸢 الممكنة التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [٤،٩].

  • أ󰋺٥٢
  • ب٥٢٤
  • ج١٥
  • د٠
  • ه٥٢

س٨:

للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎٢، أوجد جميع قيم 𞸢 الممكنة التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [٤،٤].

س٩:

هل تُطبق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة 𞸑=٣𞸎٢𝜋𞸎 في الفترة [٠،٢]؟

  • ألا
  • بنعم

س١٠:

للدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎٣، أوجد جميع قيم 𞸢 الممكنة التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [١،٣].

  • أ٢
  • ب󰋴٩٣٣
  • ج١٢
  • د٣󰋴٩٣
  • ه٠

س١١:

للدالة 󰎨(𞸎)=𞸎٤𞸎٣، أوجد جميع قيم 𞸢 الممكنة التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [٢،٢].

  • أ𞸎=٠، 𞸎=٢
  • ب𞸎=٢، 𞸎=٢
  • ج𞸎=٢󰋴٣
  • د𞸎=٢󰋴٣
  • ه𞸎=٢󰋴٣، 𞸎=٢󰋴٣

س١٢:

للدالة 󰎨(𞸎)=(𞸎١)٨، أوجد جميع قيم 𞸢 الممكنة التي تحقق نظرية القيمة المتوسطة في الفترة [٠،٢].

س١٣:

تسقط صخرة من ارتفاع ٨١ قدمًا. موضعها عند اللحظة 𞸍 ثانية بعد سقوطها حتى ارتطامها بالأرض يُعطى بالدالة: 𞸎(𞸍)=٦١𞸍+١٨٢.

أوجد الوقت الذي استغرقته الصخرة حتى ارتطمت بالأرض.

  • أ٠ ث
  • ب٣٢ ث
  • ج١٨٦١ ث
  • د٩٢󰋴٢ ث
  • ه٩٤ ث

أوجد السرعة المتوسطة 𞸏ا للصخرة من نقطة إطلاقها حتى ارتطامها بالأرض.

أوجد الزمن 𞸍، حسب نظرية القيمة المتوسطة عندما تكون سرعة الصخرة اللحظية تساوي 𞸏ا.

  • أ٩٤ ث
  • ب٨٩ ث
  • ج٤٩ ث
  • د٠ ث
  • ه٩٨ ث

س١٤:

هل تُطبَّق نظرية القيمة المتوسطة على الدالة 𞸑=٢٣𝜋𞸎 في الفترة [١،٣]؟

  • أنعم
  • بلا

س١٥:

لديك النتيجة: إذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏، 󰎨(𞸎)=٠󰍱، فإن 󰎨(𞸎)=𞸢 ثابت لكل 𞸎𞹏.

أيُّ الجمل الآتية تعبِّر بالضبط عن الشيء نفسه لنتيجة الدالة الثابتة؟

  • أإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏، 󰎨(𞸎)٠ عند كلٍّ من 𞸎𞹏، فإن 󰎨(𞸎) ليست دالة ثابتة.
  • بإذا كانت 󰎨 دالة ثابتة على الفترة 𞹏، فإن 󰎨 قابلة للاشتقاق، 󰎨(𞸎)=٠ عند جميع 𞸎𞹏.
  • جإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الدالة 𞹏، 󰎨(󰏡)٠ عند بعض 󰏡𞹏، فإن 󰎨(𞸎) ليست دالة ثابتة.
  • دإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 وليست دالة ثابتة، فإن 󰎨(󰏡)٠ عند بعض 󰏡𞹏.
  • هإذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 وليست دالة ثابتة، فإن 󰎨(𞸎)٠ عند جميع 𞸎𞹏.

إذا كانت 󰎨 قابلة للاشتقاق على الفترة 𞹏 وليست ثابتة، نحصل على النقاط 󰏡،𞸁𞹏 مع 󰎨(󰏡)󰎨(𞸁). كيف يوضِّح ذلك أن 󰎨(𞸢)٠ عند النقطة 𞸢𞹏؟

  • ألأنه حينها 󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)𞸁󰏡٠، وبواسطة نظرية القيمة المتوسطة، توجد نقطة 𞸢 مع 󰎨(𞸢)=󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)𞸁󰏡.
  • بلأن 󰎨(𞸁)󰎨(󰏡) تعني أن واحدًا من 󰎨(󰏡) أو 󰎨(𞸁) ليست صفرًا، يمكننا استخدام 𞸢 عند تلك النقطة.
  • جلأن الدوال الثابتة فقط التي يكون لديها 󰎨(𞸎)=٠ على مجالها.
  • دلأن 󰎨(𞸁)󰎨(󰏡)𞸁󰏡٠، وبواسطة نظرية القيمة المتوسطة، توجد نقطة 𞸢 مع 󰎨(𞸢)=󰎨(𞸁)󰎨(󰏡).
  • هلأنه إذا كانت 󰎨(𞸎)=٠ على 𞹏، فإن 󰎨 ستكون دالة ثابتة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.