ملف تدريبي: تطبيقات على المتجهات

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام العمليات على المتجهات لحل مسائل حياتية متنوِّعة، مثل الملاحة والفيزياء.

س١:

تتحرَّك سيارة شرطة على طريق سريع أفقي بسرعة ٤٧ كم/س. استخدمت السيارة رادارًا لقياس سرعة شاحنة تتحرَّك في نفس الاتجاه. إذا كانت قراءة الرادار ٥٠ كم/س، فاحسب السرعة الفعلية للشاحنة.

س٢:

تحركت شاحنة مسافة ١٥٠ كم في اتجاه east، ثم مسافة ٢٠٠ كم في اتجاه ٠٦. أوجد مقدار إزاحة الشاحنة، لأقرب كيلومتر واتجاهها لأقرب دقيقة.

  • أ١٨٠ كم، ١٤٣٣ north of west
  • ب٣٥٠ كم، ٦٩٤ south of east
  • ج٣٠٤ كم، ٣٤٤٣ north of east
  • د٢٠٠ كم، ٠٦ north of east

س٣:

تتحرَّك سيارتان على نفس الطريق المستقيم بسرعة ٨٧ كم/س، ٨٥ كم/س على الترتيب. إذا كان 󰄮𞸉 متجه وحدة في اتجاه حركة السيارة الأولى، فأوجد السرعة النسبية للسيارة الأولى بالنسبة للسيارة الثانية، إذا كانت السيارتان تتحرَّكان في نفس الاتجاه.

  • أ󰁓٢٧١󰄮𞸉󰁒 كم/س
  • ب󰁓٢󰄮𞸉󰁒 كم/س
  • ج󰁓٧٨󰄮𞸉󰁒 كم/س
  • د󰁓٥٨󰄮𞸉󰁒 كم/س

س٤:

السيارتان 󰏡، 𞸁 تتحركان في اتجاهين متضادين على نفس الطريق بسرعة ٦٢ كم/س، ٣١ كم/س على الترتيب. إذا كان 󰄮󰄮𞸤 متجه وحدة في اتجاه حركة السيارة 󰏡، فأوجد سرعة السيارة 󰏡 بالنسبة إلى السيارة 𞸁.

  • أ(٣٩󰄮󰄮𞸤) كم/س
  • ب(١٣󰄮󰄮𞸤) كم/س
  • ج(١٣󰄮󰄮𞸤) كم/س
  • د(٢٦󰄮󰄮𞸤) كم/س

س٥:

طفلان يرمي أحدهما كرةً للآخَر بشكل مستقيم عَبْر المقعد الخلفي للسيارة، وفي اتجاه عمودي على اتجاه حركة السيارة. رُميت الكرة بسرعة مقدارها ١٠ أميال/س بالنسبة إلى السيارة، وكانت السيارة تتحرَّك في خط مستقيم بسرعة مقدارها ٢٥ ميلًا/س على طول الطريق. إذا أخفق طفل منهما في إمساك الكرة، وتركها تخرج من النافذة، فأوجد الزاوية التي تصنعها مع الاتجاه الأمامي للسيارة، وأهمِلْ مقاومة الرياح. اكتب إجابتك بالدرجات، لأقرب منزلة عشرية إذا لزم الأمر.

  • أ٨٫١٢
  • ب٣٫٠٤
  • ج٢٫٨٦
  • د٠٫٠٩
  • ه٥٫٢٣

س٦:

طفلان يرمي كلٌّ منهما الكرة للآخَر مباشرةً في المقعد الخلفي لسيارة، في اتجاه عمودي على اتجاه حركة السيارة. تُرمى الكرة بسرعة ٨ أميال/س بالنسبة إلى السيارة، وتسير السيارة في خط مستقيم بسرعة ٤٥ ميلًا/س على طول الطريق. إذا أخطأ أحد الطفلين وترك الكرة تخرج من النافذة، فأوجد الزاوية التي تصنعها مع اتجاه السيارة إلى الأمام مع إهمال مقاومة الرياح. اكتب إجابتك بالدرجات، لأقرب ثلاث منازل عشرية، إذا لزم الأمر.

  • أ٦٧٤٫٢٣
  • ب٠٩
  • ج١٨٠٫٠١
  • د٤٦٢٫٠٤
  • ه٩١٩٫٩٧

س٧:

بدأ رجل السير من المنزل حتى سار مسافة ٣ أميال بزاوية ٠٢ في اتجاه شمال الغرب، ثم سار مسافة ٥ أميال بزاوية ٠١ في اتجاه غرب الجنوب، ثم سار مسافة ٤ أميال بزاوية ٥١ في اتجاه شمال الشرق. إذا سار الرجل في خط مستقيم عائدًا إلى المنزل، فما مقدار المسافة التي يجب عليه أن يسيرها، وفي أي اتجاه، لأقرب ثلاثة أعداد عشرية صحيحة؟

  • أ٩٫٧٦٢ أميال، ٧٫٦٢٣ شمال الغرب.
  • ب٢٫٨٦٨ ميل، ٨٦٫٤٧٤ شمال الغرب.
  • ج٥٫٣٥١ أميال، ٥٦٫٩٨٢ شمال الغرب.
  • د٥٫٣٥١ أميال، ٥٦٫٩٨٣ شمال الغرب.
  • ه٢٫٨٦٨ ميل، ٨٦٫٤٧٤ شمال الغرب.

س٨:

أوجد قيم 𞸋، 𞸌، 𞸍 التي تجعل المتجهين 󰏡=󰁓𞸋٢،𞸌٢،٤󰁒٢، 󰄮󰄮𞸁=󰁓٣،٢،𞸍󰁒٢ متساويين.

  • أ𞸋=١، 𞸌=٤، 𞸍=١
  • ب𞸋=٥، 𞸌=٢ أو ٢، 𞸍=٢ أو ٢
  • ج𞸋=٣، 𞸌=٢، 𞸍=٤
  • د𞸋=٥، 𞸌=٢ أو ٢، 𞸍=٢ أو ٢

س٩:

متجه السرعة هو كمية متجهة يجمع بين مقدار السرعة والاتجاه. على سبيل المثال: متجه السرعة لقطاع من نهر المسيسيبي بالقرب من نيو أورلينز يساوي ٣ أميال/س في اتجاه الشرق.

ما مقدار متجه السرعة؟

ما اتجاه متجه السرعة؟

  • أ٣ أميال/س شرقًا
  • بالمسيسيبي
  • جميل/س شرقًا
  • د نيو أورلينز
  • هالشرق

س١٠:

تتحرَّك سيارتان على نفس الطريق المستقيم بسرعة ١٧ كم/س، ٥٠ كم/س على الترتيب. إذا كان 󰄮𞸉 متجه وحدة في اتجاه حركة السيارة الأولى، فأوجد السرعة النسبية للسيارة الأولى بالنسبة للسيارة الثانية، إذا كانت السيارتان تتحرَّكان في نفس الاتجاه.

  • أ󰁓٧٦󰄮𞸉󰁒 كم/س
  • ب󰁓٧١󰄮𞸉󰁒 كم/س
  • ج󰁓٠٥󰄮𞸉󰁒 كم/س
  • د󰁓٣٣󰄮𞸉󰁒 كم/س

س١١:

السيارتان 󰏡، 𞸁 تتحركان في اتجاهين متضادين على نفس الطريق بسرعة ١٣ كم/س، ٨٢ كم/س على الترتيب. إذا كان 󰄮󰄮𞸤 متجه وحدة في اتجاه حركة السيارة 󰏡، فأوجد سرعة السيارة 󰏡 بالنسبة إلى السيارة 𞸁.

  • أ(٣١󰄮󰄮𞸤) كم/س
  • ب(٩٦󰄮󰄮𞸤) كم/س
  • ج(٩٦󰄮󰄮𞸤) كم/س
  • د(٥٩󰄮󰄮𞸤) كم/س

س١٢:

تتحرَّك سيارة شرطة على طريق سريع أفقي بسرعة ٣٣ كم/س. استخدمت السيارة رادارًا لقياس سرعة شاحنة تتحرَّك في نفس الاتجاه. إذا كانت قراءة الرادار ١٠٠ كم/س، فاحسب السرعة الفعلية للشاحنة.

س١٣:

إذا كان 󰄮𞸏󰏡=٧١󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮𞸏𞸁=٨󰄮󰄮󰄮𞹎، فأوجد 󰄮𞸏𞸁󰏡.

  • أ٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎
  • ب٩󰄮󰄮󰄮𞹎
  • ج٥٢󰄮󰄮󰄮𞹎
  • د٩󰄮󰄮󰄮𞹎

س١٤:

تؤثِّر القوى 󰄮󰄮𞹟=٠١󰄮󰄮󰄮𞹎٧󰄮󰄮󰄮𞹑١، 󰄮󰄮𞹟=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎󰄮󰄮󰄮𞹑٢، 󰄮󰄮𞹟=٥󰄮󰄮󰄮𞹎+(𞸁٠١)󰄮󰄮󰄮𞹑٣ على جسم؛ حيث 󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮󰄮󰄮𞹑 متجها وحدة متعامدان. إذا كانت محصلة القوى󰄮󰄮𞹇=٣١󰄮󰄮󰄮𞹎٣󰄮󰄮󰄮𞹑، فأوجد قيمة 󰏡، 𞸁.

  • أ󰏡=٨، 𞸁=٥
  • ب󰏡=٨٢، 𞸁=٥
  • ج󰏡=٨، 𞸁=٥١
  • د󰏡=٢، 𞸁=٥١
  • ه󰏡=٨، 𞸁=٥

س١٥:

إذا كان 󰄮󰄮𞹟=٨󰄮󰄮󰄮𞹎٥󰄮󰄮󰄮𞹑١، 󰄮󰄮𞹟=٥١󰄮󰄮󰄮𞹎٥󰄮󰄮󰄮𞹑٢، ومحصلتهما 󰄮𞸇=󰏡󰄮󰄮󰄮𞹎𞸁󰄮󰄮󰄮𞹑، فأوجد قيمة كلٍّ من 󰏡، 𞸁.

  • أ󰏡=٧، 𞸁=٠١
  • ب󰏡=٣٢، 𞸁=٠١
  • ج󰏡=٧، 𞸁=٠١
  • د󰏡=٧، 𞸁=٠١
  • ه󰏡=٧، 𞸁=٠

س١٦:

إذا كان 󰄮𞸏󰏡𞸁=٦٧󰄮󰄮󰄮𞹎، 󰄮𞸏󰏡=٥󰄮󰄮󰄮𞹎، فأوجد 󰄮𞸏𞸁.

  • أ١٧󰄮󰄮󰄮𞹎
  • ب١٨󰄮󰄮󰄮𞹎
  • ج١٧󰄮󰄮󰄮𞹎
  • د١٨󰄮󰄮󰄮𞹎

س١٧:

عرض أحد الأنهار يبلغ نصف ميل، ويتدفَّق فيه تيار مائي بسرعة ميلين لكل ساعة من الشرق إلى الغرب. يمكن لشخص أن يسبح بسرعة ٣ أميال لكل ساعة في الماء الراكد. يقف هذا الشخص على الضفة الجنوبية من النهر؛ لذا كم درجة يجب أن يسبح بها بهذا المعدَّل ناحية شرق الشمال لكي يقطع المسافة ناحية الشمال عبر النهر مباشرةً، لأقرب منزلة عشرية واحدة؟ ما الإجابة على هذه المسألة إذا تدفَّق النهر بمعدَّل ٣ أميال لكل ساعة، وكان الشخص يستطيع أن يسبح بمعدَّل ميلين لكل ساعة؟

  • أ٨٫١٤، ٠٫٢٤
  • ب٤٫٣٦، ٠٫٢٤
  • ج٧٫٣٣، لا يمكن للشخص أن يتجه ناحية الشمال مباشرةً في الحالة الثانية.
  • د٨٫١٤، لا يمكن للشخص أن يتجه ناحية الشمال مباشرةً في الحالة الثانية.
  • ه٤٫٣٦، لا يمكن للشخص أن يتجه ناحية الشمال مباشرةً في الحالة الثانية.

س١٨:

تغادر سيدة منزلها وتمشي ٣ أميال إلى الغرب، ثم ميلين إلى الجنوب الغربي. كم تبعُد السيدة عن منزلها؟ في أيِّ اتجاه يجب أن تسير مباشرةً إلى المنزل؟ اكتب المسافة بالميل لأقرب منزلتين عشريتين، والاتجاه بالدرجات لأقرب منزلة عشرية.

  • أ٤٫١٥ أميال، ٣٫٤١ شمال الشرق
  • ب٤٫٦٤ أميال، ٨٫٧١ شمال الشرق
  • ج٤٫٦٤ أميال، ٢٫٧٢ شرق الشمال
  • د٤٫١٥ أميال، ٧٫٠٣ شمال الشرق
  • ه٢١٫٥٠ ميلًا، ٢٫٧٢ شمال الشرق

س١٩:

بدأ رجل السير من منزله فقطع مسافة ٤ أميال شرقًا، وميلين جنوب شرق، و٥ أميال جنوبًا، و٤ أميال جنوب غرب، وميلين شرقًا. ما إجمالي المسافة التي قطعها الرجل؟ إذا سار الرجل في خط مستقيم عند العودة إلى المنزل، فما المسافة التي سيقطعها؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية إذا لزم الأمر.

  • أ١٧ ميلًا، ١٣٫٨ ميلًا
  • ب١٥ ميلًا، ١٠٫٣ أميال
  • ج١٧ ميلًا، ١٠٫٣ أميال
  • د١٣ ميلًا، ٦٫٧ أميال
  • ه١٥ ميلًا، ١٣٫٨ ميلًا

س٢٠:

تتجه طائرة للشمال بسرعة جوية ٥٠٠ كم/س، ولكن رياحًا تهب من الشمال الغربي بسرعة ٥٠ كم/س. كم درجة ستنحرف بها الطائرة عن المسار، وما سرعة الطائرة بالنسبة للأرض؟

  • أ٢٫٦٨، ٥٥٢٫٣ كم/س
  • ب٥٫١، ٥٥٠٫٠ كم/س
  • ج٨٫٣، ٥٣٦٫٥ كم/س
  • د٨٫٣، ٥٥٢٫٣ كم/س
  • ه٢٫٦٨، ٥٣٦٫٥ كم/س

س٢١:

تحرَّك جسم مسافة ٢٨ م باتجاه الشرق، ثم تحرك مسافة ١٤ م باتجاه الشمال. أوجد إزاحة الجسم، وحدِّد اتجاه الإزاحة لأقرب دقيقة.

  • أ٤١󰋴٣ م، ٦٣ شمال الشرق.
  • ب٤١󰋴٣ م، ٢٦ شمال الشرق.
  • ج٤١󰋴٥ م، ٢٦ شمال الشرق.
  • د٤١󰋴٥ م، ٦٣ شمال الشرق.

س٢٢:

طارت طائرة في اتجاه الشمال بسرعة ١٥٠ ميلًا/س. كانت الرياح تدفع الطائرة في اتجاه الشرق بسرعة ٤٠ ميلًا/س. بعد مرور ١ س، بدأت الطائرة تطير بزاوية قياسها ٠٣ شرق الشمال. بافتراض أن الطائرة بدأت من النقطة (٠،٠)، أوجد بالزوج المُرتَّب موضع الطائرة بعد مرور ٢ س من بَدْء الرحلة. افترِض أن الشمال هو الاتجاه الموجب للمحور 𞸑 والشرق هو الاتجاه الموجب للمحور 𞸎.

  • أ(٥٥١،٥٢٢)
  • ب󰂔٥٥١،٠٥١+٥٧󰋴٣󰂓
  • ج(٠٣٢،٠٠٣)
  • د󰂔٠٨+٥٧󰋴٣،٥٢٢󰂓
  • ه󰂔٠٨+٥٧󰋴٣،٠٥١+٥٧󰋴٣󰂓

س٢٣:

اتجهتْ طائرة نحو الشمال بسرعة ٦٠٠ كم/س، ولكن هبَّتْ رياح من جهة الجنوب الغربي بسرعة ٨٠ كم/س. كم درجةً انحرفتِ الطائرة عن مسارها في النهاية، وما سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلة عشرية واحدة.

  • أ١٫٥٨، ٦٨٤٫٧ كم/س
  • ب٩٫٤، ٦٥٩٫٠ كم/س
  • ج٩٫٤، ٦٨٤٫٧ كم/س
  • د٥٫٢، ٦٨٠٫٠ كم/س
  • ه١٫٥٨، ٦٥٩٫٠ كم/س

س٢٤:

طائرة تُحلق بسرعة جوية مقدارها ٥٠٠ كم/س. إذا كانت الرياح تهُب بسرعة ٨٠ كم/س من الشمال الغربي، فبأيِّ زاوية يجب أن يقود الطيار الطائرة في اتجاه الشمال؟ قرِّب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

  • أ٢٧٩٫٦
  • ب٢٨٤٫٥
  • ج٦٩٤٫٦
  • د٣٠٨٫٥
  • ه٣٥٢٫٦

س٢٥:

تقع النقطتان 󰏡، 𞸁 في حقل. أراد رامي أن يُطيِّر طائرة بجهاز تحكُّم عن بُعْد من النقطة 󰏡 إلى النقطة 𞸁، وذلك في الاتجاه الزاوي ٠٢٠، وكان مقدار سرعة الرياح المقيسة ١٠ أميال/س في الاتجاه الزاوي ٠٠٣.

إذا أراد أن يُطيِّر طائرته بسرعة ٢٥ ميلًا/س، فما الاتجاه الزاوي المطلوب لكي تطير الطائرة من النقطة 󰏡 إلى النقطة 𞸁؟ قرِّب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

  • أ٥٢٫٠٥٠
  • ب٠٢٫٣٤٠
  • ج٦٢٫٨٧٠
  • د٢١٫٥٣٠
  • ه٣٧٫٠٤٠

احسب سرعة طائرة التحكُّم عن بُعْد بالنسبة إلى الأرض لأقرب منزلتين عشريتين.

  • أ٢٠٫١٢ ميلًا/س
  • ب١٢٫١٤ ميلًا/س
  • ج١٩٫٨٩ ميلًا/س
  • د٢٤٫٧١ ميلًا/س
  • ه٧٤٫١٥ ميلًا/س

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.