ملف تدريبي: مبدأ الاستقراء الرياضي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي لإثبات صيغة جمع.

س١:

حاولت سمر إثبات صيغة المجموع 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

تحقَّقت من صحة الأساس، باعتبار أن 𝑟=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6, وحاولت توضيح أن 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)6.

تعلم سمر أنها تحتاج إلى التعبير عن 𝑟 بدلالة افتراضها لـ 𝑟، ولكنها لا تتذكَّر الطريقة جيِّدًا. حدِّد أيٌّ من التالي صواب.

  • أ𝑟=𝑟+(𝑘+1)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑘+1)
  • ب𝑟=𝑟+1=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+1
  • ج𝑟=𝑟+(𝑟+1)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑟+1)
  • د𝑟=𝑟+(𝑘)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑘)

س٢:

مريم تريد إثبات، باستخدام الاستقراء، أن 𝑓(𝑛)=23 قابلة للقسمة على 5 لكل الأعداد الصحيحة 𝑛1.

أولًا، تحتاج إلى التحقق من الأساس عند 𝑛=1. عوضت بالقيمة 𝑛=1 في المقدار وأوجدت الناتج عند قسمته على 5.

ثم افترضت مريم أن 𝑓(𝑘)=23 قابلة للقسمة على 5. بعد ذلك احتاجت إلى توضيح أن 𝑓(𝑘+1)=23() قابلة للقسمة على 5. لإجراء ذلك، أخذت في الاعتبار الفرق بين 𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘). اكتب هذا الفرق في صورة 𝑎2𝑏3.

  • أ𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=7223
  • ب𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=9243
  • ج𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=7243
  • د𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=9223
  • ه𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=4243

عند هذه المرحلة ليس واضحًا إذا كانت 𝑓(𝑘+1) قابلة للقسمة على 5. مريم لاحظت أنه بإمكانها التعويض بقيمة 𝑓(𝑘) في المقدار. من خلال كتابة 72 في صورة 52+22، أعد كتابة المقدار الذي يعبر عن 𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘) لدمج 𝑓(𝑘).

  • أ𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=2+2𝑓(𝑘)
  • ب𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+2𝑓(𝑘)
  • ج𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+2𝑓(𝑘)
  • د𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+𝑓(𝑘)
  • ه𝑓(𝑘+1)𝑓(𝑘)=52+𝑓(𝑘)

مريم أعادت ترتيب المعادلة 𝑓(𝑘+1)=52+3𝑓(𝑘). بعد ذلك توصلت للاستنتاج الآتي: إذا كان الافتراض بأن المقدار قابل للقسمة على 5 عند 𝑛=𝑘 صحيحًا، فقد أوضحنا أن المقدار قابل للقسمة على 5 عند 𝑛=𝑘+1. كما وضحنا أن المقدار قابل للقسمة على 5 عند 𝑛=1، فقد أثبتنا بالاستقراء الرياضي أن المقدار قابل للقسمة على 5 لكل الأعداد الصحيحة 𝑛1.

هل استنتاج مريم صحيح؟

  • أنعم
  • بلا

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.