ملف تدريبي: مبدأ الاستقراء الرياضي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تطبيق مبدأ الاستقراء الرياضي لإثبات صيغة جمع.

س١:

حاولت سالي إثبات صيغة المجموع 𞸍𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸍(𞸍+١)(٢𞸍+١)٦.

تحقَّقت من صحة الأساس، باعتبار أن 𞸊𞸓=١٢󰌇𞸓=𞸊(𞸊+١)(٢𞸊+١)٦، وحاولت توضيح أن 𞸊+١𞸓=١٢󰌇𞸓=(𞸊+١)(𞸊+٢)(٢𞸊+٣)٦.

تعلم سالي أنها تحتاج إلى التعبير عن 𞸊+١𞸓=١٢󰌇𞸓 بدلالة افتراضها لـ 𞸊𞸓=١٢󰌇𞸓، ولكنها لا تتذكَّر الطريقة جيِّدًا. حدِّد أيٌّ من التالي صواب.

  • أ𞸊+١𞸓=١٢𞸊𞸓=١٢٢٢󰌇𞸓=󰌇𞸓+(𞸓+١)=𞸊(𞸊+١)(٢𞸊+١)٦+(𞸓+١)
  • ب𞸊+١𞸓=١٢𞸊𞸓=١٢٢٢󰌇𞸓=󰌇𞸓+١=𞸊(𞸊+١)(٢𞸊+١)٦+١
  • ج𞸊+١𞸓=١٢𞸊𞸓=١٢٢٢󰌇𞸓=󰌇𞸓+(𞸊+١)=𞸊(𞸊+١)(٢𞸊+١)٦+(𞸊+١)
  • د𞸊+١𞸓=١٢𞸊𞸓=١٢٢٢󰌇𞸓=󰌇𞸓+(𞸊)=𞸊(𞸊+١)(٢𞸊+١)٦+(𞸊)

س٢:

أولًا، تحتاج إلى التحقق من الأساس عند 𞸍=١. عوضت بالقيمة 𞸍=١ في المقدار وأوجدت الناتج عند قسمته على ٥.

ثم افترضت ياسمين أن 󰎨(𞸊)=٢٣٣𞸊𞸊 قابلة للقسمة على ٥. بعد ذلك احتاجت إلى توضيح أن 󰎨(𞸊+١)=٢٣٣(𞸊+١)𞸊+١ قابلة للقسمة على ٥. لإجراء ذلك، أخذت في الاعتبار الفرق بين 󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊). اكتب هذا الفرق في صورة 󰏡٢𞸁٣٣𞸊𞸊.

  • أ󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٧󰁓٢󰁒٤󰁓٣󰁒٣𞸊𞸊
  • ب󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٧󰁓٢󰁒٢󰁓٣󰁒٣𞸊𞸊
  • ج󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٩󰁓٢󰁒٢󰁓٣󰁒٣𞸊𞸊
  • د󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٩󰁓٢󰁒٤󰁓٣󰁒٣𞸊𞸊
  • ه󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٤󰁓٢󰁒٤󰁓٣󰁒٣𞸊𞸊

عند هذه المرحلة ليس واضحًا إذا كانت 󰎨(𞸊+١) قابلة للقسمة على ٥. ياسمين لاحظت أنه بإمكانها التعويض بقيمة 󰎨(𞸊) في المقدار. من خلال كتابة ٧󰁓٢󰁒٣𞸊 في صورة ٥󰁓٢󰁒+٢󰁓٢󰁒٣𞸊٣𞸊، أعد كتابة المقدار الذي يعبر عن 󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊) لدمج 󰎨(𞸊).

  • أ󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٥󰁓٢󰁒+٢󰎨(𞸊)٣𞸊
  • ب󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٥󰁓٢󰁒+󰎨(𞸊)𞸊
  • ج󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٥󰁓٢󰁒+󰎨(𞸊)٣𞸊
  • د󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=󰁓٢󰁒+٢󰎨(𞸊)٣𞸊
  • ه󰎨(𞸊+١)󰎨(𞸊)=٥󰁓٢󰁒+٢󰎨(𞸊)𞸊

ياسمين أعادت ترتيب المعادلة 󰎨(𞸊+١)=٥󰁓٢󰁒+٣󰎨(𞸊)٣𞸊. بعد ذلك توصلت للاستنتاج الآتي: إذا كان الافتراض بأن المقدار قابل للقسمة على ٥ عند 𞸍=𞸊 صحيحًا، فقد أوضحنا أن المقدار قابل للقسمة على ٥ عند 𞸍=𞸊+١. كما وضحنا أن المقدار قابل للقسمة على ٥ عند 𞸍=١، فقد أثبتنا بالاستقراء الرياضي أن المقدار قابل للقسمة على ٥ لكل الأعداد الصحيحة 𞸍١.

هل استنتاج ياسمين صحيح؟

  • ألا
  • بنعم

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.