ملف تدريبي: أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية العادية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على حل نظام من معادلات تفاضلية خطية عادية من الدرجة الأولى.

س١:

أوجد الحل العام للنظام التالي من المعادلات التفاضلية العادية‎: 𞸑 = 𞸑 + 𞸑 ، 𞸑 = ٤ 𞸑 + 𞸑 . ١ ١ ٢ ٢ ١ ٢

  • أ 𞸑 = 𞸢 𞸢 ١ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 + ٢ 𞸢 ٢ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ب 𞸑 = 𞸢 𞸢 ١ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 + ٢ 𞸢 ٢ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ج 𞸑 = 𞸢 𞸢 ١ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 + ٢ 𞸢 ٢ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍
  • د 𞸑 = 𞸢 𞸢 ١ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 + ٢ 𞸢 ٢ ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍

س٢:

أوجد الحل العام لنظام المعادلات التفاضلية العادية الآتي: 𞸑 = 𞸑 𞸑 ، 𞸑 = ٢ 𞸑 ٤ 𞸑 . 󰍱 ١ ١ ٢ 󰍱 ٢ ١ ٢

  • أ 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ، 𞸑 = 𞸢 𞸤 + ٢ 𞸢 𞸤 ١ ١ ٢ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍 ٢ ١ ٢ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍
  • ب 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ، 𞸑 = 𞸢 𞸤 + ٢ 𞸢 𞸤 ١ ١ ٢ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍 ٢ ١ ٢ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍
  • ج 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ، 𞸑 = 𞸢 𞸤 + ٢ 𞸢 𞸤 ١ ١ ٢ ٢ ١ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ 𞸍 ٣
  • د 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ، 𞸑 = 𞸢 𞸤 + ٢ 𞸢 𞸤 ١ ١ ٢ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍 ٢ ١ ٢ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍

س٣:

افترض أنه طُلِب منك تكوين نظام من المعادلات التفاضلية العادية لوضْع نموذج لديناميكيات المفترس-الفريسة. افترض أن 𞸎 ، 𞸑 يشيران إلى عدد الفرائس (على سبيل المثال: الأرانب) والحيوانات المفترسة (على سبيل المثال: الذئاب)، على الترتيب، كدالة في الزمن 𞸍 ؛ حيث تمثِّل الأعداد الموجبة 𝛼 ، 𝛽 ، 𝛾 ، 𝛿 البارامترات التي تصف كيفية تعامل بعض الحيوانات المفترسة وبعض الفرائس بعضها مع بعض. أيٌّ من الأنظمة التالية الخاصة بالمعادلات التفاضلية العادية غير الخطية يصف هذا النظام؟

  • أ 𞸎 = 𞸑 ( 𝛼 𝛽 𞸎 ) ، 𞸑 = 𞸎 ( 𝛾 𝛿 𞸑 ) .
  • ب 𞸎 = 𞸎 ( 𝛼 𝛽 𞸎 ) ، 𞸑 = 𞸑 ( 𝛾 𝛿 𞸑 ) .
  • ج 𞸎 = 𞸎 ( 𝛼 𝛽 𞸑 ) ، 𞸑 = 𞸑 ( 𝛾 𝛿 𞸎 ) .
  • د 𞸎 = 𞸎 ( 𝛼 𝛽 𞸑 ) ، 𞸑 = 𞸑 ( 𝛾 𝛿 𞸎 ) .

س٤:

يمكن تحويل معادلة تفاضلية من الرتبة ا إلى النظام ذي الأبعاد ا من معادلات تفاضلية من الرتبة الأولى. بالنسبة إلى المعادلة التفاضلية التالية من الرتبة الرابعة، حدِّد النظام الرباعي الأبعاد المناظر للمعادلات التفاضلية العادية من الرتبة الأولى: 𞸑 + 𞸓 𞸑 ٢ 𞸑 = ٣ 𞸑 𞸑 = ٠ .

استخدِم المُتغيِّرات الأربعة الجديدة 𞸎 = 𝑦 ١ ، 𞸎 = 𞸑 ٢ ، 𞸎 = 𞸑 ٣ ، 𞸎 = 𞸑 ٤ لإجراء ذلك.

  • أ 𞸎 = 𞸎 󰍱 ١ ٢ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٢ ٣ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٣ ٤ ، 𞸎 = 𞸓 𞸎 + ٢ 𞸎 + ٣ 𞸎 + 𞸎 󰍱 ٤ ١ ٢ ٣ ٤
  • ب 𞸎 = 𞸎 󰍱 ١ ٢ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٢ ٣ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٣ ٤ ، 𞸎 = 𞸓 𞸎 + ٢ 𞸎 + ٣ 𞸎 + 𞸎 ٤ ١ ٢ ٣ ٤
  • ج 𞸎 = 𞸎 󰍱 ١ ٢ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٢ ٣ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٣ ٤ ، 𞸎 = 𞸎 + ٣ 𞸎 + ٢ 𞸎 𞸎 ٤ ١ ٢ ٣ ٤
  • د 𞸎 = 𞸎 󰍱 ١ ٢ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٢ ٣ ، 𞸎 = 𞸎 󰍱 ٣ ٤ ، 𞸎 = 𞸎 + ٣ 𞸎 + ٢ 𞸎 𞸓 𞸎 󰍱 ٤ ١ ٢ ٣ ٤

س٥:

حُلَّ نظام المعادلات الخطية التفاضلية التالية باستخدام طرق المصفوفات، بمعلومية المصفوفة 󰃁 𞸑 𞸑 󰃀 . ١ ٢

  • أ 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 + 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 ١ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ب 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 + 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ج 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 + 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 ١ ٣ 𞸍 ٢ ٣ 𞸍
  • د 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 + 𞸢 󰂔 ١ ٢ 󰂓 𞸤 ١ ٣ 𞸍 ٢ 𞸍

س٦:

أوجد الحل العام لنظام المعادلات التفاضلية العادية التالي: 𞸑 = ٣ 𞸑 + ٢ 𞸑 ، 𞸑 = ٤ 𞸑 + 𞸑 . 󰍱 ١ ١ ٢ 󰍱 ٢ ١ ٢

  • أ 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ١ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ٢ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍
  • ب 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ١ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ٢ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍
  • ج 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ١ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ٢ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍
  • د 𞸑 = 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ١ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸢 𞸤 + 𞸢 𞸤 ٢ ١ 𞸍 ٢ ٥ 𞸍

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.