ملف تدريبي: مبرهنة القيمة الوسيطية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تفسير مبرهنة القيمة الوسيطية واستخدامها لتقريب صفر الدالة.

س١:

الدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎+٣ تحقق الدالة 󰎨(١)<٣ والدالة 󰎨(١)>٣. لكن لا يوجد 𞸎 بين ١، ١؛ حيث 󰎨(𞸎)=٣. لماذا لا يتناقض ذلك مع نظرية القيمة الوسيطية؟

  • ألأن الدالة غير معرَّفة على الفترة [١،١] بأكملها.
  • بلأن نظرية القيمة الوسيطية تنطبق على الفترة ]٠،[ فقط.
  • جلأن نظرية القيمة الوسيطية تنطبق على الحالة التي تكون فيها 󰎨(𞸎)=٠ فقط، وليس 󰎨(𞸎)=٣.
  • دلأن الدالة 󰎨 غير متصلة على مجالها.
  • هلأن نظرية القيمة الوسيطية تنطبق على الدوال الكثيرات الحدود فقط.

س٢:

يوضِّح الشكل التالي منحنى الدالة 󰎨 على الفترة [٠،٦١] مع الخط المتقطع 𞸑=٠٣.

󰎨(٠)<٠٣، 󰎨(٦١)>٠٣. ولكن 󰎨(𞸎)٠٣ لجميع قيم [٠،٦١]. لماذا لا يُخالِف ذلك مبرهنة القيمة الوسيطية؟

  • ألأن مبرهنة القيمة الوسيطية تُطبَّق فقط على دوال كثيرات الحدود.
  • بلأن مبرهنة القيمة الوسيطية تُطبَّق فقط على الدوال التي فيها 󰎨(𞸎)<٠ عند قيمة معينة.
  • جلأن مبرهنة القيمة الوسيطية تُطبَّق فقط على الحالات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)=٠ وليس 󰎨(𞸎)=٠٣.
  • دلأن الدالة غير متصلة عند 𞸎=٨.
  • هلأن الدالة غير مُعرَّفة على كل الفترة [٠،٦١].

س٣:

الدالة 𞸓 معرَّفة على الفترة [٢،٧] ومتصلة عليها. من المعلوم أن 𞸓(٢)=٣، 𞸓(٤)=٣، وهاتان هما قيمتا 𞸎[٢،٧] الوحيدتان عندما تكون 𞸓(𞸎)=٣. من المعلوم أيضًا أن 𞸓(٥)=٤. اشرح لماذا 𞸓(٦)>٣.

  • ألأن 𞸓(٦) يجب أن تكون أكبر من أو تساوي 𞸓(٥)
  • بلأنه إذا كانت 𞸓(٦)<٣، فإن 𞸓 تساوي ٣ عند نقطة ما فيما بين 𞸎=٤، 𞸎=٦ باستخدام نظرية القيمة المتوسطة
  • جلأن 𞸓 دالة تزايدية
  • دلأن 𞸓(٦)٣، ونحن نعلم بالفعل القيمتين اللتين تكون الدالة عندهما تساوي ٣

س٤:

يوضِّح الشكل جزءًا فقط من التمثيل البياني للدالة 󰎨 المُعرَّفة بالكامل على [٠،١].

إذا قلنا إن 󰎨(𞸎)𞸎 لكل 𞸎[٠،١]، فما الذي يمكننا استنتاجه عن 󰎨؟ ولماذا؟

  • أ󰎨(𞸎)>𞸎 لكل 𞸎<٥٫٠، 󰎨(𞸎)<𞸎 لكل 𞸎>٥٫٠؛ بسبب الطريقة المرسوم بها التمثيل البياني
  • بالدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق؛ لأن الأجزاء الموضَّحة تبدو كذلك
  • جلا يوجد ما يمكن استنتاجه من المعلومات المُعطاة.
  • دالدالة 󰎨 متصلة؛ لأن الأجزاء الموضَّحة تبدو كذلك
  • هالدالة 󰎨 غير متصلة وفقًا لما تنُصُّ عليه نظرية القيمة المتوسِّطة

س٥:

يوضِّح الشكل أجزاءً فقط من المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎).

نعرف أن للدالة الخواص الآتية: 󰎨[٠،١][٠،١]، 󰎨 متصلة، 󰎨(٠)=٦٫٠، 󰎨(١)=٢٫٠. بمراعاة الفرق 󰎨(𞸎)𞸎، ما الذي يُمكِنك استنتاجه عن الدالة؟

  • أيجب أن توجد النقطة 𞸋[٠،١]؛ بحيث تكون 󰎨(𞸋)=𞸋.
  • بالدالة صفرية عند بعض 𞸋[٠،١].
  • جتأخذ الدالة القيمة ٠٫٤ عند نقطةٍ ما.
  • دلا يوجد استنتاج مُحتمَل.
  • هللدالة نقطة انقلاب في مكانٍ ما.

س٦:

قُذفت كرة في الهواء. موضعها الرأسي فوق الأرض يُعطى بالعلاقة: 𞸎(𞸍)=٣𞸍+٢١𞸍+٧٢. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، خلال أيٍّ من الفترات الآتية لا بد أن تسقط الكرة على الأرض؟

  • أ[٤،٥]
  • ب[٢،٣]
  • ج[٥،٦]
  • د[٣،٤]
  • ه[١،٢]

س٧:

افترض أن 󰎨(𞸎)=٣𞸎𞸎٥. وفقًا لمبرهنة القيمة الوسيطية، أيٌّ من الفترات الآتية ينبغي أن تحتوي على حل لـ 󰎨(𞸎)=٠؟

  • أ[٢،٣]
  • ب[٣،٢]
  • ج[١،٢]
  • د[٠،١]
  • ه[٢،١]

س٨:

افترض أن 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸎. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، أيُّ العبارات الآتية صواب؟

  • أيوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث٠<𞸢<𝜋٢، تجعل 󰎨(𞸢)=١.
  • بيوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث𝜋<𞸢<𝜋٢، تجعل 󰎨(𞸢)=١.
  • جلا يوجد خيار صحيح.
  • ديوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث 𝜋٢<𞸢<٠، تجعل 󰎨(𞸢)=١.
  • هيوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث 𝜋٢<𞸢<𝜋، تجعل 󰎨(𞸢)=١.

س٩:

تدرس لبنى الدالة 󰎨(𞸎)=١٦𞸎٣𞸎٠١٣. أرادتْ أولًا إثبات وجود جذر بين ٥ و٦. علمتْ أن الدالة متصلة، وحسبتْ 󰎨(٥)=٧١٫٤، لأقرب منزلتين عشريتين، 󰎨(٦)=٨.

اشرح كيف يمكن استخدام حسابات لبنى لإثبات وجود جذر بين ٥ و٦.

  • أبما أن هناك تغيُّرًا في الإشارة بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، والدالة متصلة، إذن هناك على الأقل جذر واحد بين ٥ و٦.
  • ببما أن هناك تغيُّرًا في الإشارة بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، والدالة متصلة، إذن يوجد جذر واحد بين ٥ و٦.
  • جبما أن هناك تغيُّرًا في الإشارة بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، إذن يوجد على الأقل جذر واحد بين ٥ و٦ بغض النظر عن كون الدالة متصلة أو غير متصلة.
  • دبما أن قيم الدالة تزداد بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، إذن يوجد جذر واحد فقط بين ٥ و٦ بغض النظر عن كون الدالة متصلة أو غير متصلة.
  • هبما أن قيم الدالة تقِلُّ بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، والدالة متصلة، إذن يوجد على الأقل جذر واحد بين ٥ و٦.

قرَّرتْ لبنى تقريب الجذر إلى منزلة عشرية واحدة باستخدام الاستكمال الداخلي الخطي الذي يستخدم خواص المثلثات المتشابهة. رسمت الشكل الآتي:

استخدمتْ لبنى الشكل لتكوين المعادلة 𞸎٥|󰎨(٥)|=٦𞸎|󰎨(٦)| التي يمكن حلُّها لإيجاد التقريب الأول للجذر. احسب قيمة 𞸎 لأقرب ثلاث منازل عشرية.

ثم استخدمتْ لبنى تقريبها الأول لإثبات الفترة التي يقع فيها الجذر، ثم كرَّرت العملية بفترة جديدة. أكمل العملية لإيجاد قيمة الجذر لأقرب منزلة عشرية.

س١٠:

إذا كانت 󰎨(𞸎) متصلة على [٠،٣]، 󰎨(٠)>٠، 󰎨(٣)>٠، فهل يمكننا استخدام مبرهنة القيمة الوسيطية لاستنتاج أن 󰎨(𞸎) ليس لها أصفار في الفترة [٠،٣]؟

  • ألا
  • بنعم

س١١:

انظر إلى الدالة الكثيرة الحدود 󰎨(𞸎).

إذا كان 󰎨(٢)=٢٢، 󰎨(٤)=١ فأيٌّ من الاستنتاجات التالية يمكنك رسمه حول أصفار 󰎨؟

  • أ󰎨(𞸎)٠ لكل 𞸎٢؛ لذلك لا يمكن وجود صفر هناك.
  • بهناك صفرٌ في الفترة ]٢،٤[.
  • جلا يمكنك رسم أي استنتاج.
  • دلا يوجد صفر في الفترة [٢،٤].
  • ه󰎨(𞸎)>٠ لكل 𞸎٢؛ لذلك لا يمكن وجود صفر هناك.

إذا كان: ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=، فماذا يمكن أن نستنتج حول أصفار 󰎨 في الفترة ]،٢[؟

  • أهناك صفر واحد فقط في تلك الفترة.
  • بليس هناك ما يمكننا استنتاجه.
  • جهناك صفر واحد على الأقل في تلك الفترة.
  • دليس هناك أصفار في تلك الفترة.
  • ههناك صفران في تلك الفترة.

س١٢:

وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، في أيِّ الفترات الآتية يوجد حل للمعادلة 𞸎+𞸎+𞸎=٢؟

  • أ[١،٢]
  • ب[٢،١]
  • ج[٢،٣]
  • د[٣،٢]
  • ه[٠،١]

س١٣:

يتحرَّك جسيم على طول خط مستقيم له عند كل زمن 𞸍 دالة موضع 𞸓(𞸍)، وهي دالة متصلة. افترض أن 𞸓(٢)=٥، 𞸓(٥)=٢. يتحرَّك جسيم آخر؛ بحيث يُعطى موضعه من المعادلة 󰎨(𞸍)=𞸓(𞸍)+𞸍. أيٌّ ممَّا يلي صواب؟

  • أ توجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث ٢<𞸢<٥، تجعل 󰎨(𞸢)=٥.
  • ب󰎨 لها على الأقل صفر واحد.
  • ج𞸓 لها على الأقل صفر واحد.
  • د توجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث ٢<𞸢<٥، تجعل 𞸓(𞸢)=١.
  • ه٥<𞸓(𞸍)<٢ لكل 𞸍 بين ٢ و٥.

س١٤:

يدرس عادل الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٩𞸎٠٠٠١٣. في البداية، أراد أن يُثبِت أن هناك جذرًا بين العددين ٦ و٧. عرَفَ أن الدالة متصلة وحسَبَ أن الدالة 󰎨(٦)=٨٩٢، 󰎨(٧)=٢٩.

اشرح كيف يُمكِن استخدام حسابات عادل لإثبات أن الجذر يوجد بين العددين ٦ و٧.

  • أبما أن هناك إشارة تغيُّر بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) والدالة متصلة، فإن هناك بالضبط جذرًا واحدًا بين ٦ و٧.
  • ببما أن قيمة الدالة تَقِلُّ بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) والدالة متصلة، فإن هناك جذرًا واحدًا على الأقل بين ٦ و٧.
  • جبما أن الدالة تَقِلُّ بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧)، فإن هناك بالضبط جذرًا واحدًا فقط بين ٦ و٧، سواء كانت الدالة متصلة أو غير متصلة.
  • دبما أن هناك إشارة تغيُّر بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) والدالة متصلة، فإن هناك جذرًا واحدًا على الأقل بين ٦ و٧.
  • هبما أن هناك إشارة تغيُّر بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) فإن هناك جذرًا واحدًا على الأقل بين ٦ و٧، سواء كانت الدالة متصلة أو غير متصلة.

قرَّر عادل أن يُقرِّب الجذر لأقرب رقم عشري باستخدام تنصيف الفترات. كانت طريقته كالآتي:

حسَبَ نِقاط النهاية للفترة، وأوجد نقطة المُنتصَف، ثم استبدل هذه القيمة بالدالة للتحقُّق من إشاراتها. استخدم شريف هذه الإشارة لتعديل فترته، ثم كرَّر الخطوات مع الفترة الجديدة.

أكمل شريف الجدول التالي حتى الآن؛ حيث 󰏡، 𞸁 طرفا نهاية الفترة.

󰏡󰎨(󰏡)𞸁󰎨(𞸁)󰏡+𞸁٢󰎨󰃁󰏡+𞸁٢󰃀
٦−٢٩٨٧٩٢٦٫٥−١١٧٫٦٢٥

استخدِم المعلومات المذكورة في جدول عادل لإيجاد الفترة التالية التي يجب أن يُراعيها عادل.

  • أ(٦,٦٫٥)
  • ب(٦٫٥,٧)

أكمل عملية عادل لإيجاد الجذر، لأقرب رقم عشري واحد.

س١٥:

افترض أن الدالة 󰎨(𞸎) متصلة. إذا كانت 󰎨(٥)=٢، 󰎨(٨)=٤، فأيٌّ ممَّا يلي يجب أن يكون صحيحًا طبقًا لمبرهنة القيمة الوسيطية؟

  • أتقع أصفار 󰎨(𞸎) في الفترة [٥،٨].
  • بلا يوجد صفر في الفترة [٥،٨].
  • جيوجد على الأقل صفر واحد في الفترة [٥،٨].
  • دلا توجد أصفار في الفترتين ]،٥]، [٨،[.
  • هيوجد بالتحديد صفر واحد في الفترة [٥،٨].

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.