ملف تدريبي: نظرية القيمة المتوسطة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على تفسير نظرية القيمة المتوسطة واستخدامها لتقريب صفر الدالة.

س١:

يوضِّح الشكل التالي منحنى الدالة 󰎨 على الفترة [٠،٦١] مع الخط المتقطع 𞸑=٠٣.

󰎨 ( ٠ ) < ٠ ٣ ، 󰎨 ( ٦ ١ ) > ٠ ٣ ، ولكن 󰎨(𞸎)٠٣ على جميع قيم [٠،٦١]. لماذا لا يُخالِف ذلك نظرية القيمة المتوسِّطة؟

  • ألأن الدالة غير متصلة عند 𞸎=٨.
  • بلأن الدالة غير مُعرَّفة على كل الفترة [٠،٦١].
  • جلأن نظرية القيمة المتوسِّطة تُطبَّق فقط على الدوال التي فيها 󰎨(𞸎)<٠ عند قيمة معينة.
  • دلأن نظرية القيمة المتوسِّطة تُطبَّق فقط على دوال كثيرات الحدود.
  • هلأن نظرية القيمة المتوسِّطة تُطبَّق فقط على الحالات التي تكون فيها 󰎨(𞸎)=٠ وليس 󰎨(𞸎)=٠٣.

س٢:

الدالة 𞸓 معرَّفة على الفترة [٢،٧] ومتصلة عليها. من المعلوم أن 𞸓(٢)=٣، 𞸓(٤)=٣، وهاتان هما قيمتا 𞸎[٢،٧] الوحيدتان عندما تكون 𞸓(𞸎)=٣. من المعلوم أيضًا أن 𞸓(٥)=٤. اشرح لماذا 𞸓(٦)>٣.

  • ألأنه إذا كانت 𞸓(٦)<٣، فإن 𞸓 تساوي ٣ عند نقطة ما فيما بين 𞸎=٤، 𞸎=٦ باستخدام نظرية القيمة المتوسطة
  • بلأن 𞸓 دالة تزايدية
  • جلأن 𞸓(٦)٣، ونحن نعلم بالفعل القيمتين اللتين تكون الدالة عندهما تساوي ٣
  • دلأن 𞸓(٦) يجب أن تكون أكبر من أو تساوي 𞸓(٥)

س٣:

يوضِّح الشكل جزءًا فقط من التمثيل البياني للدالة 󰎨 المُعرَّفة بالكامل على [٠،١].

إذا قلنا إن 󰎨(𞸎)𞸎 لكل 𞸎[٠،١]، فما الذي يمكننا استنتاجه عن 󰎨؟ ولماذا؟

  • أالدالة 󰎨 غير متصلة وفقًا لما تنُصُّ عليه نظرية القيمة المتوسِّطة
  • بالدالة 󰎨 متصلة؛ لأن الأجزاء الموضَّحة تبدو كذلك
  • جالدالة 󰎨 قابلة للاشتقاق؛ لأن الأجزاء الموضَّحة تبدو كذلك
  • د 󰎨 ( 𞸎 ) > 𞸎 لكل 𞸎<٥٫٠، 󰎨(𞸎)<𞸎 لكل 𞸎>٥٫٠؛ بسبب الطريقة المرسوم بها التمثيل البياني
  • ه لا يوجد ما يمكن استنتاجه من المعلومات المُعطاة.

س٤:

يوضِّح الشكل أجزاءً فقط من المنحنى 𞸑=󰎨(𞸎).

نعرف أن للدالة الخواص الآتية: 󰎨[٠،١][٠،١]، 󰎨 متصلة، 󰎨(٠)=٦٫٠، 󰎨(١)=٢٫٠. بمراعاة الفرق 󰎨(𞸎)𞸎، ما الذي يُمكِنك استنتاجه عن الدالة؟

  • أ يجب أن توجد النقطة 𞸋[٠،١]؛ بحيث تكون 󰎨(𞸋)=𞸋.
  • ب للدالة نقطة انقلاب في مكانٍ ما.
  • ج لا يوجد استنتاج مُحتمَل.
  • دتأخذ الدالة القيمة ٠٫٤ عند نقطةٍ ما.
  • ه الدالة صفرية عند بعض 𞸋[٠،١].

س٥:

قُذفت كرة في الهواء. موضعها الرأسي فوق الأرض يُعطى بالعلاقة: 𞸎(𞸍)=٣𞸍+٢١𞸍+٧٢. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، خلال أيٍّ من الفترات الآتية لا بد أن تسقط الكرة على الأرض؟

  • أ [ ٣ ، ٤ ]
  • ب [ ٤ ، ٥ ]
  • ج [ ٥ ، ٦ ]
  • د [ ١ ، ٢ ]
  • ه [ ٢ ، ٣ ]

س٦:

افترض أن 󰎨(𞸎)=٣𞸎𞸎٥. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، أيٌّ من الفترات الآتية ينبغي أن تحتوي على حل لـ 󰎨(𞸎)=٠؟

  • أ [ ٢ ، ٣ ]
  • ب [ ٣ ، ٢ ]
  • ج [ ١ ، ٢ ]
  • د [ ٠ ، ١ ]
  • ه [ ٢ ، ١ ]

س٧:

افترض أن 󰎨(𞸎)=𞸎+𞸎. وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، أيُّ العبارات الآتية صواب؟

  • أيوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث٠<𞸢<𝜋٢، تجعل 󰎨(𞸢)=١.
  • بيوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث𝜋<𞸢<𝜋٢، تجعل 󰎨(𞸢)=١.
  • جلا يوجد خيار صحيح.
  • ديوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث 𝜋٢<𞸢<٠، تجعل 󰎨(𞸢)=١.
  • هيوجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث 𝜋٢<𞸢<𝜋، تجعل 󰎨(𞸢)=١.

س٨:

تدرس دينا الدالة 󰎨(𞸎)=١٦𞸎٣𞸎٠١٣. أرادتْ أولًا إثبات وجود جذر بين ٥ و٦. علمتْ أن الدالة متصلة، وحسبتْ 󰎨(٥)=٧١٫٤، لأقرب رقمين عشريين، 󰎨(٦)=٨.

اشرح كيف يمكن استخدام حسابات دينا لإثبات وجود جذر بين ٥ و٦.

  • أبما أن قيم الدالة تقِلُّ بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، والدالة متصلة، إذن يوجد على الأقل جذر واحد بين ٥ و٦.
  • ببما أنه يوجد علامة تغيُّر بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، والدالة متصلة، إذن يوجد جذر واحد بين ٥ و٦.
  • جبما أنه يوجد علامة تغيُّر بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦) إذن يوجد على الأقل جذر واحد بين ٥ و٦ بغض النظر عن كون الدالة متصلة أم غير متصلة.
  • دبما أنه يوجد علامة تغيُّر بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦)، والدالة متصلة، إذن هناك على الأقل جذر واحد بين ٥ و٦.
  • هبما أن قيم الدالة تزداد بين قيم 󰎨(٥)، 󰎨(٦) إذن يوجد جذر واحد فقط بين ٥ و٦ بغض النظر عن كون الدالة متصلة أم لا.

قرَّرتْ دينا تقريب الجذر إلى رقم عشري واحد باستخدام الاستكمال الداخلي الخطي الذي يستخدم خواص المثلثات المتشابهة. رسمت الشكل التالي.

استخدمتْ دينا الشكل لتكوين المعادلة 𞸎٥|󰎨(٥)|=٦𞸎|󰎨(٦)| التي يمكن حلُّها لإيجاد التقريب الأول للجذر. احسب قيمة 𞸎 لأقرب ثلاثة أرقام عشرية.

ثم استخدمتْ دينا تقريبها الأول لإثبات الفترة التي يقع فيها الجذر، ثم كرَّرت العملية بفترة جديدة. أكمل العملية لإيجاد قيمة الجذر بدقة لأقرب رقم عشري.

س٩:

إذا كانت 󰎨(𞸎) متصلة على [٠،٣]، 󰎨(٠)>٠، 󰎨(٣)>٠، فهل يمكننا استخدام نظرية القيمة المتوسطة لاستنتاج أن 󰎨(𞸎) لا توجد بها أصفار في الفترة [٠،٣]؟

  • ألا
  • بنعم

س١٠:

انظر إلى الدالة الكثيرة الحدود 󰎨(𞸎).

إذا كان 󰎨(٢)=٢٢، 󰎨(٤)=١ فأيٌّ من الاستنتاجات التالية يمكنك رسمه حول أصفار 󰎨؟

  • أهناك صفرٌ في الفترة ]٢،٤[.
  • ب 󰎨 ( 𞸎 ) > ٠ لكل 𞸎٢؛ لذلك لا يمكن وجود صفر هناك.
  • جلا يمكنك رسم أي استنتاج.
  • دلا يوجد صفر في الفترة [٢،٤].
  • ه 󰎨 ( 𞸎 ) ٠ لكل 𞸎٢؛ لذلك لا يمكن وجود صفر هناك.

إذا كان: ـــــ𞸎󰎨(𞸎)=، فماذا يمكن أن نستنتج حول أصفار 󰎨 في الفترة ]،٢[؟

  • أليس هناك أصفار في تلك الفترة.
  • بهناك صفر واحد فقط في تلك الفترة.
  • جليس هناك ما يمكننا استنتاجه.
  • دهناك صفر واحد على الأقل في تلك الفترة.
  • ههناك صفران في تلك الفترة.

س١١:

وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة، في أيِّ الفترات الآتية يوجد حل للمعادلة 𞸎+𞸎+𞸎=٢؟

  • أ [ ١ ، ٢ ]
  • ب [ ٢ ، ١ ]
  • ج [ ٢ ، ٣ ]
  • د [ ٣ ، ٢ ]
  • ه [ ٠ ، ١ ]

س١٢:

يتحرَّك جسيم على طول خط مستقيم له عند كل زمن 𞸍 دالة موضع 𞸓(𞸍)، وهي دالة متصلة. افترض أن 𞸓(٢)=٥، 𞸓(٥)=٢. يتحرَّك جسيم آخر؛ بحيث يُعطى موضعه من المعادلة 󰎨(𞸍)=𞸓(𞸍)+𞸍. أيٌّ ممَّا يلي صواب؟

  • أ توجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث ٢<𞸢<٥، تجعل 󰎨(𞸢)=٥.
  • ب 󰎨 لها على الأقل صفر واحد.
  • ج 𞸓 لها على الأقل صفر واحد.
  • د توجد على الأقل 𞸢 واحدة؛ حيث ٢<𞸢<٥، تجعل 𞸓(𞸢)=١.
  • ه ٥ < 𞸓 ( 𞸍 ) < ٢ لكل 𞸍 بين ٢ و٥.

س١٣:

يدرس شريف الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎+٩𞸎٠٠٠١٣. في البداية، أراد أن يُثبِت أن هناك جذرًا بين العددين ٦ و٧. عرَفَ أن الدالة متصلة وحسَبَ أن الدالة 󰎨(٦)=٨٩٢، 󰎨(٧)=٢٩.

اشرح كيف يُمكِن استخدام حسابات شريف لإثبات أن الجذر يوجد بين العددين ٦ و٧.

  • أبما أن هناك إشارة تغيُّر بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) فإن هناك جذرًا واحدًا على الأقل بين ٦ و٧، سواء كانت الدالة متصلة أو غير متصلة.
  • ببما أن قيمة الدالة تَقِلُّ بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) والدالة متصلة، فإن هناك جذرًا واحدًا على الأقل بين ٦ و٧.
  • جبما أن هناك إشارة تغيُّر بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) والدالة متصلة، فإن هناك بالضبط جذرًا واحدًا بين ٦ و٧.
  • دبما أن هناك إشارة تغيُّر بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧) والدالة متصلة، فإن هناك جذرًا واحدًا على الأقل بين ٦ و٧.
  • هبما أن الدالة تَقِلُّ بين القيمتين 󰎨(٦)، 󰎨(٧)، فإن هناك بالضبط جذرًا واحدًا فقط بين ٦ و٧، سواء كانت الدالة متصلة أو غير متصلة.

قرَّر شريف أن يُقرِّب الجذر لأقرب رقم عشري باستخدام تنصيف الفترات. كانت طريقته كالآتي:

حسَبَ نِقاط النهاية للفترة، وأوجد نقطة المُنتصَف، ثم استبدل هذه القيمة بالدالة للتحقُّق من إشاراتها. استخدم شريف هذه الإشارة لتعديل فترته، ثم كرَّر الخطوات مع الفترة الجديدة.

أكمل شريف الجدول التالي حتى الآن؛ حيث 󰏡، 𞸁 طرفا نهاية الفترة.

󰏡 󰎨 ( 󰏡 ) 𞸁 󰎨 ( 𞸁 ) 󰏡 + 𞸁 ٢ 󰎨 󰃁 󰏡 + 𞸁 ٢ 󰃀
٦ −٢٩٨ ٧ ٩٢ ٦٫٥ −١١٧٫٦٢٥

استخدِم المعلومات المذكورة في جدول شريف لإيجاد الفترة التالية التي يجب أن يُراعيها شريف.

  • أ(٦٫٥,٧)
  • ب(٦,٦٫٥)

أكمل عملية شريف لإيجاد الجذر، لأقرب رقم عشري واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.