ملف تدريبي: صيغة أويلر للمتطابقات المثلثية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام قانو أويلر لإثبات المتطابقات المثلثية؛ مثل ضعف الزاوية ونصف الزاوية.

س١:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن (٣𝜃)، بدلالة 𝜃.

  • أ ( ٣ 𝜃 ) = ٢ 𝜃 𝜃 ١ ٢ 𝜃 ٣ ٢
  • ب ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 + 𝜃 ١ ٣ 𝜃 ٣ ٢
  • ج ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 𝜃 ١ ٣ 𝜃 ٣ ٢
  • د ( ٣ 𝜃 ) = ٢ 𝜃 + 𝜃 ١ ٢ 𝜃 ٣ ٢
  • ه ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 + 𝜃 ١ + ٣ 𝜃 ٣ ٢

س٢:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن ٥𝜃 في الصورة 󰏡(٥𝜃)+𞸁(٣𝜃)+𞸢(𝜃)؛ حيث كلٌّ من 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت ينبغي إيجادها.

  • أ ٥ 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ( ٥ 𝜃 ) + ٠ ١ ( ٣ 𝜃 ) ٥ ( 𝜃 ) 󰁒
  • ب ٥ 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ( ٥ 𝜃 ) ٥ ( ٣ 𝜃 ) + ٠ ١ ( 𝜃 ) 󰁒
  • ج ٥ 𝜃 = ( ٥ 𝜃 ) ٥ ( ٣ 𝜃 ) + ٠ ١ ( 𝜃 )
  • د ٥ 𝜃 = ١ ٢ ٣ 󰁓 ( ٥ 𝜃 ) ٥ ( ٣ 𝜃 ) + ٠ ١ ( 𝜃 ) 󰁒
  • ه ٥ 𝜃 = ١ ٢ ٣ 󰁓 ( ٥ 𝜃 ) + ٠ ١ ( ٣ 𝜃 ) ٥ ( 𝜃 ) 󰁒

س٣:

باستخدام صيغة أويلر، استنبِط صيغة (٣𝜃) وصيغة (٣𝜃) بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ ( ٣ 𝜃 ) = ٤ 𝜃 + ٣ 𝜃 ٣ ، ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 + ٤ 𝜃 ٣
  • ب ( ٣ 𝜃 ) = ٢ 𝜃 + ٣ 𝜃 ٣ ، ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 ٢ 𝜃 ٣
  • ج ( ٣ 𝜃 ) = ٤ 𝜃 ٣ 𝜃 ٣ ، ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 ٤ 𝜃 ٣
  • د ( ٣ 𝜃 ) = 𝜃 + ٣ 𝜃 𝜃 ٣ ٢ ، ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 𝜃 + 𝜃 ٢ ٣
  • ه ( ٣ 𝜃 ) = ٢ 𝜃 ٣ 𝜃 ٣ ، ( ٣ 𝜃 ) = ٣ 𝜃 + ٢ 𝜃 ٣

س٤:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن ٤𝜃 في الصورة 󰏡(٤𝜃)+𞸁(٢𝜃)+𞸢؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت نريد إيجادها.

  • أ ٤ 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ٤ ( ٤ 𝜃 ) + ( ٢ 𝜃 ) + ٦ 󰁒
  • ب ٤ 𝜃 = ١ ٨ 󰁓 ( ٤ 𝜃 ) + ٤ ( ٢ 𝜃 ) + ٣ 󰁒
  • ج ٤ 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ( ٤ 𝜃 ) + ٤ ( ٢ 𝜃 ) + ٦ 󰁒
  • د ٤ 𝜃 = ١ ٨ 󰁓 ( ٤ 𝜃 ) + ٤ ( ٢ 𝜃 ) + ٦ 󰁒
  • ه ٤ 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ٦ ( ٤ 𝜃 ) + ٨ ( ٢ 𝜃 ) + ١ 󰁒

س٥:

عبِّر عن 𝜃، 𝜃 بدلالة 𞸤𞸕𝜃، 𞸤𞸕𝜃.

  • أ 𝜃 = ١ ٢ 󰁓 𞸤 + 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃 ، 𝜃 = ١ ٢ 𞸕 󰁓 𞸤 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • ب 𝜃 = ١ ٢ 󰁓 𞸤 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃 ، 𝜃 = ١ ٢ 𞸕 󰁓 𞸤 + 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • ج 𝜃 = ١ ٢ 𞸤 𞸕 𝜃 ، 𝜃 = ١ ٢ 𞸕 𞸤 𞸕 𝜃
  • د 𝜃 = ١ ٢ 𞸕 󰁓 𞸤 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃 ، 𝜃 = ١ ٢ 󰁓 𞸤 + 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • ه 𝜃 = ١ ٢ 𞸕 󰁓 𞸤 + 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃 ، 𝜃 = ١ ٢ 󰁓 𞸤 𞸤 󰁒 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃

س٦:

استخدم صيغة أويلر للتعبير عن (٨𝜃)، بدلالة 𝜃.

تلميح: اكتب أولًا (٨𝜃)، (٨𝜃) بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ ( ٨ 𝜃 ) = ٨ 𝜃 ٦ ٥ 𝜃 ٦ ٥ 𝜃 + ٨ 𝜃 ١ + ٨ ٢ 𝜃 ٠ ٧ 𝜃 + ٨ ٢ 𝜃 + 𝜃 ٣ ٥ ٧ ٢ ٤ ٦ ٨
  • ب ( ٨ 𝜃 ) = ٧ 𝜃 + ٥ ٣ 𝜃 ١ ٢ 𝜃 + 𝜃 ١ + ١ ٢ 𝜃 ٥ ٣ 𝜃 + ٧ 𝜃 ٣ ٥ ٧ ٢ ٤ ٦
  • ج ( ٨ 𝜃 ) = ٧ 𝜃 ٥ ٣ 𝜃 + ١ ٢ 𝜃 𝜃 ١ ١ ٢ 𝜃 + ٥ ٣ 𝜃 ٧ 𝜃 ٣ ٥ ٧ ٢ ٤ ٦
  • د ( ٨ 𝜃 ) = ٨ 𝜃 + ٦ ٥ 𝜃 ٦ ٥ 𝜃 + ٨ 𝜃 ١ ٨ ٢ 𝜃 + ٠ ٧ 𝜃 ٨ ٢ 𝜃 + 𝜃 ٣ ٥ ٧ ٢ ٤ ٦ ٨
  • ه ( ٨ 𝜃 ) = ٨ 𝜃 ٦ ٥ 𝜃 + ٦ ٥ 𝜃 ٨ 𝜃 ١ ٨ ٢ 𝜃 + ٠ ٧ 𝜃 ٨ ٢ 𝜃 + 𝜃 ٣ ٥ ٧ ٢ ٤ ٦ ٨

س٧:

باستخدام صيغة أويلر، عبر عن 𞸤٥𞸕𝜃 بدلالة جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية.

  • أ ( ٥ 𝜃 ) + 𞸕 ( ٥ 𝜃 )
  • ب ٥ 𝜃 ٥ 𞸕 𝜃
  • ج ( ٥ 𝜃 ) 𞸕 ( ٥ 𝜃 )
  • د ٥ 𝜃 + ٥ 𞸕 𝜃
  • ه ( ٥ 𝜃 ) 𞸕 ( ٥ 𝜃 )

س٨:

ما المُتطابِقات المثلثية التي يُمكِن استنتاجها بواسطة تطبيق مُتطابِقة أويلر لـ 𞸤𞸕(𝜃𝜑)؟

  • أ ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 𝜃 𝜑 ، ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 + 𝜃 𝜑
  • ب ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 + 𝜃 𝜑 ، ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 𝜃 𝜑
  • ج ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 𝜃 𝜑 ، ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 + 𝜃 𝜑
  • د ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 + 𝜃 𝜑 ، ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 𝜃 𝜑
  • ه ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 + 𝜃 𝜑 ، ( 𝜃 𝜑 ) = 𝜃 𝜑 𝜃 𝜑

س٩:

استخدِم صيغة أويلر للتعبير عن 𞸤𞸕𝜃 بدلالة الجيب وجيب التمام.

  • أ 𞸤 = 𝜃 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • ب 𞸤 = 𝜃 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • ج 𞸤 = 𝜃 + 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • د 𞸤 = 𝜃 + 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃
  • ه 𞸤 = 𝜃 𞸕 𝜃 𞸕 𝜃

إذا كانت 𞸤𞸤=١𞸕𝜃𞸕𝜃، فما المُتطابِقة المثلثية التي يُمكِن اشتقاقها من خلال فك الدوال الأسية بدلالة الدوال المثلثية؟

  • أ 𝜃 + 𝜃 ١
  • ب ٢ ٢ ٢ 𝜃 𝜃 𝜃
  • ج ٢ ٢ 𝜃 + 𝜃 ١
  • د ٢ ٢ 𝜃 + 𝜃 ١
  • ه ٢ ٢ 𝜃 𝜃 ١

س١٠:

اشتق المتطابقتين المثلثيتين بمراعاة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ 𞸤+𞸤𞸕(𝜃+𝜑)𞸕(𝜃𝜑).

  • أ 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • ب 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • ج 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • د 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • ه 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒

بالمثل، ما المتطابقتان المثلثيتان اللتان يُمكِن اشتقاقهما بمراعاة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ 𞸤𞸤𞸕(𝜃+𝜑)𞸕(𝜃𝜑)؟

  • أ 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 𝜑 ) ( 𝜃 + 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • ب 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 𝜑 ) ( 𝜃 + 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • ج 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 𝜑 ) ( 𝜃 + 𝜑 ) 󰁒
  • د 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 𝜑 ) + ( 𝜃 + 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒
  • ه 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 + 𝜑 ) + ( 𝜃 𝜑 ) 󰁒 ، 𝜃 𝜑 = ١ ٢ 󰁓 ( 𝜃 𝜑 ) + ( 𝜃 + 𝜑 ) 󰁒

س١١:

استخدم صيغة أويلر لاشتقاق صيغة من ٦𝜃، ٦𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ ٦ 𝜃 = 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 𝜃 ٦ ٤ ٢ ٢ ٤ ٦ ، ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 𝜃 + ٠ ٢ 𝜃 𝜃 ٦ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٣ ٥
  • ب ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 𝜃 + ٠ ٢ 𝜃 𝜃 ٦ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٣ ٥ ، ٦ 𝜃 = 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 𝜃 ٦ ٤ ٢ ٢ ٤ ٦
  • ج ٦ 𝜃 = 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 𝜃 𝜃 ٦ ٤ ٢ ٢ ٤ ٦ ، ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 𝜃 + ٦ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٣ ٥
  • د ٦ 𝜃 = 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 𝜃 + 𝜃 ٦ ٤ ٢ ٢ ٤ ٦ ، ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 𝜃 + ٠ ٢ 𝜃 𝜃 + ٦ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٣ ٥
  • ه ٦ 𝜃 = 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 𝜃 ٦ ٤ ٢ ٢ ٤ ٦ ، ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 𝜃 ٦ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٣ ٥

بعد ذلك، عبِّر عن ٦𝜃 بدلالة 𝜃.

  • أ ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 + ٠ ٢ 𝜃 + ٦ 𝜃 ١ + ٥ ١ 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 + 𝜃 ٣ ٥ ٢ ٤ ٦
  • ب ٦ 𝜃 = ١ + ٥ ١ 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٦ 𝜃 + ٠ ٢ 𝜃 ٦ 𝜃 ٢ ٤ ٦ ٣ ٥
  • ج ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 ٦ 𝜃 ١ ٥ ١ 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٣ ٥ ٢ ٤ ٦
  • د ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 + ٠ ٢ 𝜃 ٦ 𝜃 ١ + ٥ ١ 𝜃 ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٣ ٥ ٢ ٤ ٦
  • ه ٦ 𝜃 = ٦ 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 + ٦ 𝜃 ١ ٥ ١ 𝜃 + ٥ ١ 𝜃 𝜃 ٣ ٥ ٢ ٤ ٦

س١٢:

استخدِم صيغة أويلر للتعبير عن ٣٢𝜃𝜃 بالصورة 󰏡𝜃+𞸁٣𝜃+𞸢٥𝜃؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت مطلوب إيجادها.

  • أ ٣ ٢ 𝜃 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 𝜃 ( ٣ 𝜃 ) ٢ ( ٥ 𝜃 ) 󰁒
  • ب ٣ ٢ 𝜃 𝜃 = ١ ٦ ١ ( ٢ 𝜃 + ٣ 𝜃 ٥ 𝜃 )
  • ج ٣ ٢ 𝜃 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ٤ 𝜃 + ( ٣ 𝜃 ) ( ٥ 𝜃 ) 󰁒
  • د ٣ ٢ 𝜃 𝜃 = ١ ٢ ٣ 󰁓 ٢ 𝜃 ( ٣ 𝜃 ) + ( ٥ 𝜃 ) 󰁒
  • ه ٣ ٢ 𝜃 𝜃 = ١ ٢ ٣ 󰁓 ٢ 𝜃 + ( ٣ 𝜃 ) ( ٥ 𝜃 ) 󰁒

بناءً على ذلك، أوجد حلول ٥𝜃٣𝜃=٠ في الفترة ٠𝜃<𝜋. أعطِ إجابتك في صورة دقيقة.

  • أ 𝜃 = ٠ ، 𝜋 ٨ ، ٣ 𝜋 ٨ ، ٥ 𝜋 ٨ ، ٧ 𝜋 ٨
  • ب 𝜃 = ٠ ، 𝜋 ٢ ١ ، ٥ 𝜋 ٢ ١
  • ج 𝜃 = ٠ ، 𝜋 ٤ ، ٣ 𝜋 ٤
  • د 𝜃 = ٠ ، 𝜋 ٦ ، ٥ 𝜋 ٦
  • ه 𝜃 = ٠ ، 𝜋 ٢ ١ ، ٥ 𝜋 ٢ ١ ، ٧ 𝜋 ٢ ١ ، ١ ١ 𝜋 ٢ ١

س١٣:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن 𝜃𝜃٤ في الصورة 󰏡(𝜃)+𞸁(٣𝜃)+𞸢(٥𝜃)؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت يجب إيجادها.

  • أ 𝜃 𝜃 = ١ ٢ ٣ 󰁓 ٣ 𝜃 + ٢ ( ٣ 𝜃 ) ( ٥ 𝜃 ) 󰁒 ٤
  • ب 𝜃 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ٢ 𝜃 ٢ ( ٣ 𝜃 ) ( ٥ 𝜃 ) 󰁒 ٤
  • ج 𝜃 𝜃 = ١ ٢ ٣ 󰁓 ٢ 𝜃 + ٣ ( ٣ 𝜃 ) + ( ٥ 𝜃 ) 󰁒 ٤
  • د 𝜃 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 𝜃 + ٣ ( ٣ 𝜃 ) + ٥ ( ٥ 𝜃 ) 󰁒 ٤
  • ه 𝜃 𝜃 = ١ ٦ ١ 󰁓 ٢ 𝜃 + ٣ ( ٣ 𝜃 ) + ( ٥ 𝜃 ) 󰁒 ٤

س١٤:

استخدِم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لكلٍّ من ٥𝜃، ٥𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ ( ٥ 𝜃 ) = 𝜃 + ٠ ١ 𝜃 𝜃 ٥ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٢ ٤ ، ( ٥ 𝜃 ) = 𝜃 + ٠ ١ 𝜃 𝜃 ٥ 𝜃 𝜃 ٥ ٣ ٢ ٤
  • ب ( ٥ 𝜃 ) = ٤ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥ ، ( ٥ 𝜃 ) = ٤ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥
  • ج ( ٥ 𝜃 ) = ٤ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥ ، ( ٥ 𝜃 ) = ٤ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥
  • د ( ٥ 𝜃 ) = ٦ ١ 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥ ٣ ، ( ٥ 𝜃 ) = ٦ ١ 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥ ٣
  • ه ( ٥ 𝜃 ) = ٦ ١ 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥ ٣ ، ( ٥ 𝜃 ) = ٦ ١ 𝜃 ٠ ٢ 𝜃 + ٥ 𝜃 ٥ ٣

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.