ملف تدريبي: صيغة أويلر للمتطابقات المثلثية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام قانون أويلر لإثبات المتطابقات المثلثية؛ مثل ضِعْف الزاوية ونِصْف الزاوية.

س١:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن (٣𝜃)، بدلالة 𝜃.

  • أ(٣𝜃)=٢𝜃𝜃١٢𝜃٣٢
  • ب(٣𝜃)=٣𝜃+𝜃١٣𝜃٣٢
  • ج(٣𝜃)=٣𝜃𝜃١٣𝜃٣٢
  • د(٣𝜃)=٢𝜃+𝜃١٢𝜃٣٢
  • ه(٣𝜃)=٣𝜃+𝜃١+٣𝜃٣٢

س٢:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن ٥𝜃 في الصورة 󰏡(٥𝜃)+𞸁(٣𝜃)+𞸢(𝜃)؛ حيث كلٌّ من 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت ينبغي إيجادها.

  • أ٥𝜃=١٦١󰁓(٥𝜃)+٠١(٣𝜃)٥(𝜃)󰁒
  • ب٥𝜃=١٦١󰁓(٥𝜃)٥(٣𝜃)+٠١(𝜃)󰁒
  • ج٥𝜃=(٥𝜃)٥(٣𝜃)+٠١(𝜃)
  • د٥𝜃=١٢٣󰁓(٥𝜃)٥(٣𝜃)+٠١(𝜃)󰁒
  • ه٥𝜃=١٢٣󰁓(٥𝜃)+٠١(٣𝜃)٥(𝜃)󰁒

س٣:

باستخدام صيغة أويلر، استنبِط صيغة (٣𝜃) وصيغة (٣𝜃) بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ(٣𝜃)=٤𝜃+٣𝜃٣، (٣𝜃)=٣𝜃+٤𝜃٣
  • ب(٣𝜃)=٢𝜃+٣𝜃٣، (٣𝜃)=٣𝜃٢𝜃٣
  • ج(٣𝜃)=٤𝜃٣𝜃٣، (٣𝜃)=٣𝜃٤𝜃٣
  • د(٣𝜃)=𝜃+٣𝜃𝜃٣٢، (٣𝜃)=٣𝜃𝜃+𝜃٢٣
  • ه(٣𝜃)=٢𝜃٣𝜃٣، (٣𝜃)=٣𝜃+٢𝜃٣

س٤:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن ٤𝜃 في الصورة 󰏡(٤𝜃)+𞸁(٢𝜃)+𞸢؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت نريد إيجادها.

  • أ٤𝜃=١٦١󰁓٤(٤𝜃)+(٢𝜃)+٦󰁒
  • ب٤𝜃=١٨󰁓(٤𝜃)+٤(٢𝜃)+٣󰁒
  • ج٤𝜃=١٦١󰁓(٤𝜃)+٤(٢𝜃)+٦󰁒
  • د٤𝜃=١٨󰁓(٤𝜃)+٤(٢𝜃)+٦󰁒
  • ه٤𝜃=١٦١󰁓٦(٤𝜃)+٨(٢𝜃)+١󰁒

س٥:

عبِّر عن 𝜃، 𝜃 بدلالة 𞸤𞸕𝜃، 𞸤𞸕𝜃.

  • أ𝜃=١٢󰁓𞸤+𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃، 𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃
  • ب𝜃=١٢󰁓𞸤𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃، 𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤+𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃
  • ج𝜃=١٢𞸤𞸕𝜃، 𝜃=١٢𞸕𞸤𞸕𝜃
  • د𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃، 𝜃=١٢󰁓𞸤+𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃
  • ه𝜃=١٢𞸕󰁓𞸤+𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃، 𝜃=١٢󰁓𞸤𞸤󰁒𞸕𝜃𞸕𝜃

س٦:

استخدم صيغة أويلر للتعبير عن (٨𝜃)، بدلالة 𝜃.

تلميح: اكتب أولًا (٨𝜃)، (٨𝜃) بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ(٨𝜃)=٨𝜃٦٥𝜃٦٥𝜃+٨𝜃١+٨٢𝜃٠٧𝜃+٨٢𝜃+𝜃٣٥٧٢٤٦٨
  • ب(٨𝜃)=٧𝜃+٥٣𝜃١٢𝜃+𝜃١+١٢𝜃٥٣𝜃+٧𝜃٣٥٧٢٤٦
  • ج(٨𝜃)=٧𝜃٥٣𝜃+١٢𝜃𝜃١١٢𝜃+٥٣𝜃٧𝜃٣٥٧٢٤٦
  • د(٨𝜃)=٨𝜃+٦٥𝜃٦٥𝜃+٨𝜃١٨٢𝜃+٠٧𝜃٨٢𝜃+𝜃٣٥٧٢٤٦٨
  • ه(٨𝜃)=٨𝜃٦٥𝜃+٦٥𝜃٨𝜃١٨٢𝜃+٠٧𝜃٨٢𝜃+𝜃٣٥٧٢٤٦٨

س٧:

باستخدام صيغة أويلر، عبر عن 𞸤٥𞸕𝜃 بدلالة جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية.

  • أ(٥𝜃)+𞸕(٥𝜃)
  • ب٥𝜃٥𞸕𝜃
  • ج(٥𝜃)𞸕(٥𝜃)
  • د٥𝜃+٥𞸕𝜃
  • ه(٥𝜃)𞸕(٥𝜃)

س٨:

ما المُتطابِقات المثلثية التي يُمكِن استنتاجها بواسطة تطبيق مُتطابِقة أويلر لـ 𞸤𞸕(𝜃𝜑)؟

  • أ(𝜃𝜑)=𝜃𝜑𝜃𝜑، (𝜃𝜑)=𝜃𝜑+𝜃𝜑
  • ب(𝜃𝜑)=𝜃𝜑+𝜃𝜑، (𝜃𝜑)=𝜃𝜑𝜃𝜑
  • ج(𝜃𝜑)=𝜃𝜑𝜃𝜑، (𝜃𝜑)=𝜃𝜑+𝜃𝜑
  • د(𝜃𝜑)=𝜃𝜑+𝜃𝜑، (𝜃𝜑)=𝜃𝜑𝜃𝜑
  • ه(𝜃𝜑)=𝜃𝜑+𝜃𝜑، (𝜃𝜑)=𝜃𝜑𝜃𝜑

س٩:

استخدِم صيغة أويلر للتعبير عن 𞸤𞸕𝜃 بدلالة الجيب وجيب التمام.

  • أ𞸤=𝜃+𞸕𝜃𞸕𝜃
  • ب𞸤=𝜃𞸕𝜃𞸕𝜃
  • ج𞸤=𝜃+𞸕𝜃𞸕𝜃
  • د𞸤=𝜃𞸕𝜃𞸕𝜃
  • ه𞸤=𝜃𞸕𝜃𞸕𝜃

إذا كان 𞸤𞸤=١𞸕𝜃𞸕𝜃، فما المُتطابِقة المثلثية التي يُمكِن استنتاجها بفك الأسس بدلالة الدوال المثلثية؟

  • أ٢٢٢𝜃𝜃𝜃
  • ب𝜃+𝜃١
  • ج٢٢𝜃+𝜃١
  • د٢٢𝜃+𝜃١
  • ه٢٢𝜃𝜃١

س١٠:

اشتق المتطابقتين المثلثيتين بمراعاة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ 𞸤+𞸤𞸕(𝜃+𝜑)𞸕(𝜃𝜑).

  • أ𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒
  • ب𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒
  • ج𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒
  • د𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒
  • ه𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒

بالمثل، ما المتطابقتان المثلثيتان اللتان يُمكِن اشتقاقهما بمراعاة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ 𞸤𞸤𞸕(𝜃+𝜑)𞸕(𝜃𝜑)؟

  • أ𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃𝜑)(𝜃+𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒
  • ب𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃𝜑)(𝜃+𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒
  • ج𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃𝜑)(𝜃+𝜑)󰁒
  • د𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃𝜑)+(𝜃+𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)(𝜃𝜑)󰁒
  • ه𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃+𝜑)+(𝜃𝜑)󰁒، 𝜃𝜑=١٢󰁓(𝜃𝜑)+(𝜃+𝜑)󰁒

س١١:

استخدم صيغة أويلر لاشتقاق صيغة من ٦𝜃، ٦𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ٦𝜃=𝜃+٥١𝜃𝜃٥١𝜃𝜃𝜃٦٤٢٢٤٦، ٦𝜃=٦𝜃𝜃+٠٢𝜃𝜃٦𝜃𝜃٥٣٣٥
  • ب٦𝜃=٦𝜃𝜃+٠٢𝜃𝜃٦𝜃𝜃٥٣٣٥، ٦𝜃=𝜃+٥١𝜃𝜃٥١𝜃𝜃𝜃٦٤٢٢٤٦
  • ج٦𝜃=𝜃٥١𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃𝜃٦٤٢٢٤٦، ٦𝜃=٦𝜃𝜃٠٢𝜃𝜃+٦𝜃𝜃٥٣٣٥
  • د٦𝜃=𝜃+٥١𝜃𝜃+٥١𝜃𝜃+𝜃٦٤٢٢٤٦، ٦𝜃=٦𝜃𝜃+٠٢𝜃𝜃+٦𝜃𝜃٥٣٣٥
  • ه٦𝜃=𝜃٥١𝜃𝜃٥١𝜃𝜃𝜃٦٤٢٢٤٦، ٦𝜃=٦𝜃𝜃٠٢𝜃𝜃٦𝜃𝜃٥٣٣٥

بعد ذلك، عبِّر عن ٦𝜃 بدلالة 𝜃.

  • أ٦𝜃=٦𝜃+٠٢𝜃+٦𝜃١+٥١𝜃+٥١𝜃+𝜃٣٥٢٤٦
  • ب٦𝜃=١+٥١𝜃٥١𝜃𝜃٦𝜃+٠٢𝜃٦𝜃٢٤٦٣٥
  • ج٦𝜃=٦𝜃٠٢𝜃٦𝜃١٥١𝜃٥١𝜃𝜃٣٥٢٤٦
  • د٦𝜃=٦𝜃+٠٢𝜃٦𝜃١+٥١𝜃٥١𝜃𝜃٣٥٢٤٦
  • ه٦𝜃=٦𝜃٠٢𝜃+٦𝜃١٥١𝜃+٥١𝜃𝜃٣٥٢٤٦

س١٢:

استخدِم صيغة أويلر للتعبير عن ٣٢𝜃𝜃 بالصورة 󰏡𝜃+𞸁٣𝜃+𞸢٥𝜃؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت مطلوب إيجادها.

  • أ٣٢𝜃𝜃=١٦١󰁓𝜃(٣𝜃)٢(٥𝜃)󰁒
  • ب٣٢𝜃𝜃=١٦١(٢𝜃+٣𝜃٥𝜃)
  • ج٣٢𝜃𝜃=١٦١󰁓٤𝜃+(٣𝜃)(٥𝜃)󰁒
  • د٣٢𝜃𝜃=١٢٣󰁓٢𝜃(٣𝜃)+(٥𝜃)󰁒
  • ه٣٢𝜃𝜃=١٢٣󰁓٢𝜃+(٣𝜃)(٥𝜃)󰁒

بعد ذلك، أوجد الحلول لـ ٥𝜃٣𝜃=٠ في الفترة ٠𝜃<𝜋. أعطِ إجابتك في صورة دقيقة.

  • أ𝜃=٠، 𝜋٨، ٣𝜋٨، ٥𝜋٨، ٧𝜋٨
  • ب𝜃=٠، 𝜋٢١، ٥𝜋٢١
  • ج𝜃=٠، 𝜋٤، ٣𝜋٤
  • د𝜃=٠، 𝜋٦، ٥𝜋٦
  • ه𝜃=٠، 𝜋٢١، ٥𝜋٢١، ٧𝜋٢١، ١١𝜋٢١

س١٣:

باستخدام صيغة أويلر، عبِّر عن 𝜃𝜃٤ في الصورة 󰏡(𝜃)+𞸁(٣𝜃)+𞸢(٥𝜃)؛ حيث 󰏡، 𞸁، 𞸢 ثوابت يجب إيجادها.

  • أ𝜃𝜃=١٢٣󰁓٣𝜃+٢(٣𝜃)(٥𝜃)󰁒٤
  • ب𝜃𝜃=١٦١󰁓٢𝜃٢(٣𝜃)(٥𝜃)󰁒٤
  • ج𝜃𝜃=١٢٣󰁓٢𝜃+٣(٣𝜃)+(٥𝜃)󰁒٤
  • د𝜃𝜃=١٦١󰁓𝜃+٣(٣𝜃)+٥(٥𝜃)󰁒٤
  • ه𝜃𝜃=١٦١󰁓٢𝜃+٣(٣𝜃)+(٥𝜃)󰁒٤

س١٤:

استخدِم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لكلٍّ من ٥𝜃، ٥𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ(٥𝜃)=𝜃+٠١𝜃𝜃٥𝜃𝜃٥٣٢٤، (٥𝜃)=𝜃+٠١𝜃𝜃٥𝜃𝜃٥٣٢٤
  • ب(٥𝜃)=٤𝜃+٥𝜃٥، (٥𝜃)=٤𝜃+٥𝜃٥
  • ج(٥𝜃)=٤𝜃+٥𝜃٥، (٥𝜃)=٤𝜃+٥𝜃٥
  • د(٥𝜃)=٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃٥٣، (٥𝜃)=٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃٥٣
  • ه(٥𝜃)=٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃٥٣، (٥𝜃)=٦١𝜃٠٢𝜃+٥𝜃٥٣

س١٥:

استخدِم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ ٤𝜃 بدلالة 𝜃.

  • أ٤𝜃٤𝜃+١٤٢
  • ب٨𝜃٨𝜃٤٢
  • ج٨𝜃٨𝜃+١٤٢
  • د٤𝜃٤𝜃٤٢
  • ه٨𝜃+٨𝜃+١٤٢

استخدِم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ ٤𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ٢𝜃𝜃󰁓𝜃𝜃󰁒٢٢
  • ب٤𝜃𝜃󰁓𝜃𝜃󰁒٢٢
  • ج٨𝜃𝜃󰁓𝜃𝜃󰁒٢٢
  • د𝜃𝜃󰁓𝜃𝜃󰁒٢٢
  • ه١٢𝜃𝜃󰁓𝜃𝜃󰁒٢٢

س١٦:

استخدِم صيغة أويلر للتعبير عن 𞸤𝜃𞸕 بدلالة الجيب وجيب التمام.

  • أ𝜃𞸕𝜃
  • ب𝜃+𞸕𝜃
  • ج𝜃𞸕𝜃
  • د𝜃+𞸕𝜃
  • ه𝜃+𞸕𝜃

إذا كان 𞸤𞸤=١𝜃𞸕𝜃𞸕، فما المُتطابِقة المثلثية التي يُمكِن استنتاجها بفك المقدار الأسي إلى مقدار آخَر بدلالة دوال مثلثية؟

  • أ٢٢١٢𝜃+١٢𝜃=١
  • ب٢٢٢𝜃+𝜃=١
  • ج٢٢𝜃+𝜃=١
  • د٢٢𝜃𝜃=١
  • ه٢٢𝜃+𝜃=٠

س١٧:

استخدم صيغة أويلر لاستنتاج صيغة لـ ٢𝜃، ٢𝜃 بدلالة 𝜃، 𝜃.

  • أ٢𝜃٢𝜃٢٢، ٢𝜃𝜃
  • ب٢٢𝜃𝜃، ٢𝜃𝜃
  • ج٢٢٢𝜃٢𝜃، ٢٢𝜃٢𝜃
  • د٢٢𝜃𝜃، 𝜃𝜃
  • ه٢٢𝜃+𝜃، ٢𝜃𝜃

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.