ملف تدريبي: معادلة كوشي-أويلر التفاضلية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على حل معادلات كوشي أويلر التفاضلية للصورة العامة «أ_ن س ^ن ص^⁽ن⁾ + أ_ن₋₁ س^ن⁻¹ ص^⁽ن⁻¹⁾ + ... + أ₀ ص = د(س)».

س١:

الدوال 𞸑=𞸎١، 𞸑=𞸎٢٢، 𞸑=𞸎٣٣ ثلاثة حلول خطية للمعادلة التفاضلية 𞸎𞸑٣𞸎𞸑+٦𞸎𞸑٦𞸑=٠٣(٣)٢󰍱󰍱󰍱. أوجد حلًّا مُعيَّنًا يُحقِّق الشروط الابتدائية 𞸑(١)=٦، 𞸑(١)=٤١󰍱، 𞸑(١)=٢٢󰍱󰍱.

  • أ 𞸑 = 𞸎 + 𞸎 + ٣ 𞸎 ٢ ٣
  • ب 𞸑 = 𞸎 ٢ 𞸎 + 𞸎 ٢ ٣
  • ج 𞸑 = 𞸎 + ٢ 𞸎 + ٣ 𞸎 ٢ ٣
  • د 𞸑 = 𞸎 ٢ 𞸎 + ٣ 𞸎 ٢ ٣
  • ه 𞸑 = 𞸎 ٢ 𞸎 ٣ 𞸎 ٢ ٣

س٢:

الدوال 𞸑١=𞸎، 𞸑٢=𞸎٢، 𞸑٣=𞸎٢𞸤𞸎 ثلاثة حلول مستقلة خطية للمعادلة التفاضلية 𞸎٣𞸑(٣)+٦𞸎٢𞸑󰍱󰍱+٤𞸎𞸑󰍱٤𞸑=٠. أوجد الحل الخاص الذي يُحقِّق الشروط الابتدائية 𞸑(١)=١، 𞸑󰍱(١)=٥، 𞸑󰍱󰍱(١)=١١.

  • أ 𞸑 = ٢ 𞸎 ٢ 𞸎 ٢ + 𞸎 ٢ 𞸤 𞸎
  • ب 𞸑 = ٨ ٣ 𞸎 ٨ ٣ 𞸎 ٢ + 𞸎 ٢ 𞸤 𞸎
  • ج 𞸑 = ٢ 𞸎 𞸎 ٢ + 𞸎 ٢ 𞸤 𞸎
  • د 𞸑 = ١ ١ ٦ 𞸎 ٥ ٦ 𞸎 ٢ + ٣ ٢ 𞸎 ٢ 𞸤 𞸎
  • ه 𞸑 = 𞸎 ٢ 𞸎 ٢ + 𞸎 ٢ 𞸤 𞸎

س٣:

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية التالية بالمعاملات المتغيرة: 𞸎𞸑+𞸎𞸑+𞸑=𞸎٢. هذا مثال على معادلة أويلر التفاضلية (الطرف الأيمن لا يساوي صفرًا).

  • أ 𞸑 = 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) 𞸎 ٢ ١ 𞸤 ٢ 𞸤
  • ب 𞸑 = 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 𞸎 ٢ ١ 𞸤 ٢ 𞸤
  • ج 𞸑 = 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 𞸎 ٢ ١ 𞸤 ٢ 𞸤
  • د 𞸑 = 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 𞸢 ( ( 𞸎 ) ) + 󰋴 𞸎 ١ 𞸤 ٢ 𞸤

س٤:

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية المتجانسة ذات المعاملات المتغيرة: 𞸎𞸑+٣𞸎𞸑٣𞸑=٠٢󰍱󰍱󰍱. هذا مثال على معادلة أويلر-كوشي التفاضلية (صفر الطرف الأيمن).

  • أ 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 ١ ٢ ٢
  • ب 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 ١ ٢ ٣
  • ج 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 ١ ٢
  • د 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 ١ ٢ ١

س٥:

أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية التالية باستخدام طريقة تخفيض الرتبة: 𞸎𞸑+𞸎𞸑𞸑=٠٢, 𞸎٠ and 𞸑=𞸎١.

  • أ 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 ١ ١ ٢ ٢
  • ب 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 + 𞸎 ٢ ( 𞸎 ) ١ ١ ٢ ٢ 𞸤
  • ج 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 + 𞸎 ٢ ( 𞸎 ) ١ ٢ ٢ 𞸤
  • د 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 ١ ٢ ٢
  • ه 𞸑 = 𞸢 𞸎 + 𞸢 𞸎 ١ ١ ٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.