ملف تدريبي: تقريب مقادير كثيرات الحدود لتايلور إلى دالة

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد كثيرات حدود تايلور-ماكلورين واستخدامها لتقريب دالة.

س١:

أوجد متسلسلة تايلور من الدرجة الثالثة التي تُقرب الدالة 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎 عند النقطة 󰏡=٩.

  • أ ٣ + ١ ٦ ( 𞸎 ٩ ) ١ ٨ ٠ ١ ( 𞸎 ٩ ) ١ ٨ ٤ ٦ ( 𞸎 ٩ ) ٢ ٣
  • ب ٣ + ١ ٦ ( 𞸎 ٩ ) + ١ ٦ ١ ٢ ( 𞸎 ٩ ) + ١ ٨ ٨ ٨ ٣ ( 𞸎 ٩ ) ٢ ٣
  • ج ٣ + ١ ٦ ( 𞸎 ٩ ) ١ ٦ ١ ٢ ( 𞸎 ٩ ) + ١ ٤ ٤ ٩ ١ ( 𞸎 ٩ ) ٢ ٣
  • د ٣ + ١ ٦ ( 𞸎 ٩ ) ١ ٦ ١ ٢ ( 𞸎 ٩ ) + ١ ٨ ٨ ٨ ٣ ( 𞸎 ٩ ) ٢ ٣
  • ه ٣ + ١ ٦ ( 𞸎 ٩ ) ١ ٨ ٠ ١ ( 𞸎 ٩ ) + ١ ٨ ٤ ٦ ( 𞸎 ٩ ) ٢ ٣

س٢:

أوجد متسلسلة تايلور من الدرجة الرابعة التي تُقرِّب الدالة 󰎨(𞸎)=𞸤٢𞸎 عند النقطة 󰏡=٣.

  • أ 𞸤 + 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٢ ٣ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ١ ٣ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٢ ٥ ١ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) ٦ ٦ ٦ ٢ ٦ ٣ ٦ ٤
  • ب 𞸤 + ٢ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٢ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٨ ٣ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٤ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) ٦ ٦ ٦ ٢ ٦ ٣ ٦ ٤
  • ج 𞸤 + ٢ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٢ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٤ ٣ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٢ ٣ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) ٦ ٦ ٦ ٢ ٦ ٣ ٦ ٤
  • د 𞸤 + 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) ٦ ٦ ٦ ٢ ٦ ٣ ٦ ٤
  • ه 𞸤 + ٢ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٤ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٨ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) + ٦ ١ 𞸤 ( 𞸎 ٣ ) ٦ ٦ ٦ ٢ ٦ ٣ ٦ ٤

س٣:

أوجد كثيرات حدود تايلور من الدرجة الثالثة التي تقرب الدالة 󰎨(𞸎)=١٢𞸎 عند النقطة 󰏡=١٢.

  • أ ١ + ٢ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 + ٤ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 + ٨ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٢ ٣
  • ب ١ ٢ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٤ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٨ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٢ ٣
  • ج ١ ٤ ١ ٨ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ١ ٦ ١ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ١ ٤ ٢ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٢ ٣
  • د ١ ٢ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 + ٤ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٨ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٢ ٣
  • ه ١ ٤ + ١ ٨ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ١ ٦ ١ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 + ١ ٤ ٢ 󰂔 𞸎 ١ ٢ 󰂓 ٢ ٣

س٤:

أوجد كثيرات حدود تايلور من الدرجة الرابعة التي تقرب الدالة 󰎨(𞸎)=٣𞸎 عند النقطة 󰏡=𝜋٣.

  • أ ١ + ٩ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٧ ٢ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٢ ٤
  • ب ١ + ٩ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٧ ٢ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٢ ٣
  • ج ١ + ٩ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٧ ٢ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٣
  • د ١ + ٩ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 + ٧ ٢ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٢ ٤
  • ه ١ + ٩ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 + ٧ ٢ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٣ 󰂓 ٢ ٤

س٥:

أوجد كثيرات حدود تايلور من الدرجة الثانية التي تقرب الدالة 󰎨(𞸎)=𞸎+٢𞸎٣٣ عند النقطة 󰏡=٢.

  • أ ٩ + ٧ ( 𞸎 ٢ ) + ٦ ( 𞸎 ٢ ) ٢
  • ب ٩ + ٨ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ٢ ( 𞸎 ٢ ) ٢
  • ج ٩ + ٨ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ( 𞸎 ٢ ) ٢
  • د ٩ + ٤ ١ ( 𞸎 ٢ ) + ٦ ( 𞸎 ٢ ) ٢
  • ه ٩ + ٤ ١ ( 𞸎 ٢ ) + ٢ ١ ( 𞸎 ٢ ) ٢

س٦:

خط التماس يعطي تقريبًا خطيًّا للدالة بالقرب من نقطة. نحن ندرس الدوال الكثيرة الحدود ذات الرتب العليا.

افترض أن 󰎨 قابلة للاشتقاق مرتين عند 𞸎=𞸅. إذا كانت 𞸓(𞸎)=󰏡+𞸁(𞸎𞸅)+𞸢(𞸎𞸅)٢ الدالة الكثيرة الحدود التي تجعل 𞸓(𞸅)=󰎨(𞸅)، 𞸓(𞸅)=󰎨(𞸅)󰍱󰍱، 𞸓(𞸅)=󰎨(𞸅)󰍱󰍱󰍱󰍱، فبدلالة 󰎨، ما معاملات 󰏡، 𞸁، 𞸢؟

  • أ 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) 󰍱 󰍱 󰍱
  • ب 󰎨 ( 𞸅 ) 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) 󰍱 󰍱 󰍱 󰍱 󰍱 󰍱
  • ج 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) ٢ 󰍱 󰍱 󰍱
  • د 󰎨 ( 𞸅 ) 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) 󰍱 󰍱 󰍱
  • ه 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) ، 󰎨 ( 𞸅 ) 󰍱

هل 𞸓 دالة تربيعية كثيرة الحدود على الدوام؟ ولماذا؟

  • ألا؛ لأن النقطة 𞸅 قد تكون انعكاسًا للنقطة 󰎨
  • بنعم؛ لأن المعاملات تصل إلى درجتين.

ما قيمة 𞸓(𞸎)، إذا كانت 󰎨(𞸎)=󰋴𞸎٣ عند 𞸎=٨؟ عبِّر عن المعاملات بصيغة الكسور.

  • أ ١ ٤ ٤ ١ + ١ ٨ ٨ ٢ ( 𞸎 ٨ ) + ١ ٦ ٧ ٥ ( 𞸎 ٨ ) ٢
  • ب ٢ + ٢ ( 𞸎 ٨ ) + ١ ٢ ١ ( 𞸎 ٨ ) ٢
  • ج ١ ٦ + ١ ٢ ١ ( 𞸎 ٨ ) + ١ ٢ ١ ( 𞸎 ٨ ) ٢
  • د ٢ + ١ ٢ ١ ( 𞸎 ٨ ) ١ ٨ ٨ ٢ ( 𞸎 ٨ ) ٢
  • ه ٢ + ١ ٢ ١ ( 𞸎 ٨ ) ١ ٤ ٤ ١ ( 𞸎 ٨ ) ٢

باستخدام الدالة ٣󰋴𞸎 عند 𞸎=٨، أوجد تقريب خط التماس للجذر التكعيبي ٧ إلى ٥ أرقام عشرية.

باستخدام الدالة ٣󰋴𞸎 عند 𞸎=٨، أوجد التقريب التربيعي للجذر التكعيبي ٧ إلى ٥ أرقام عشرية.

س٧:

أوجد كثيرة حدود تايلور من الدرجة الثالثة للدالة 󰎨(𞸎)=١𞸎٢ عند النقطة 󰏡=٢.

  • أ ١ ٤ + ١ ٤ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ٦ ١ ( 𞸎 ٢ ) + ١ ٨ ( 𞸎 ٢ ) ٢ ٣
  • ب ١ ٤ ١ ٨ ( 𞸎 ٢ ) + ١ ٦ ١ ( 𞸎 ٢ ) ١ ٢ ٣ ( 𞸎 ٢ ) ٢ ٣
  • ج ١ ٤ + ١ ٤ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ٨ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ٤ ( 𞸎 ٢ ) ٢ ٣
  • د ١ ٤ ١ ٤ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ٨ ( 𞸎 ٢ ) ٣ ٤ ( 𞸎 ٢ ) ٢ ٣
  • ه ١ ٤ ١ ٤ ( 𞸎 ٢ ) + ٣ ٦ ١ ( 𞸎 ٢ ) ١ ٨ ( 𞸎 ٢ ) ٢ ٣

س٨:

استخدم كثيرة حدود تايلور من الدرجة الثانية لتقريب الدالة 󰎨(𞸎)=٢+𞸎+𞸎٢ عند النقطة 󰏡=١.

  • أ ٤ + ٣ ( ١ 𞸎 ) + ( ١ 𞸎 ) ٢
  • ب ٤ + ٣ ( 𞸎 ١ ) + ٢ ( 𞸎 ١ ) ٢
  • ج ٤ + ٣ ( 𞸎 ١ ) + ( 𞸎 ١ ) ٢
  • د ٤ + ٣ ٢ ( ١ 𞸎 ) + ٢ ٣ ( ١ 𞸎 ) ٢
  • ه ٤ + ٣ ٢ ( 𞸎 ١ ) + ٢ ٣ ( 𞸎 ١ ) ٢

س٩:

أوجد كثيرة حدود تايلور من الدرجة الثالثة للدالة 󰎨(𞸎)=٢𞸎𞸤 عند النقطة 󰏡=١.

  • أ 𞸤 ٢ ٣ ٢ + ( 𞸎 ١ ) ( 𞸎 ١ ) + ( 𞸎 ١ )
  • ب 𞸤 ٢ ٣ ٢ + ( 𞸎 ١ ) + ( 𞸎 ١ ) + ( 𞸎 ١ )
  • ج 𞸤 ٢ ٣ ٢ + ( 𞸎 ١ ) ١ ٢ ( 𞸎 ١ ) + ١ ٣ ( 𞸎 ١ )
  • د 𞸤 ٢ ٣ ٢ + ١ ٢ ( 𞸎 ١ ) ١ ٣ ( 𞸎 ١ ) + ١ ٤ ( 𞸎 ١ )
  • ه 𞸤 ٢ ٣ ٢ + ( 𞸎 ١ ) + ١ ٢ ( 𞸎 ١ ) + ١ ٣ ( 𞸎 ١ )

س١٠:

أوجد كثيرة حدود تايلور من الدرجة الرابعة للدالة ‎󰎨(𞸎)=𞸎 عند النقطة 󰏡=𝜋٢.

  • أ ١ ١ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 + ١ ٤ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ٢ ٤
  • ب ١ + 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ١ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ٢ ٤
  • ج ١ + ١ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ١ ٤ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ٢
  • د ١ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 + ١ ٨ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ٢ ٤
  • ه ١ ١ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 + ١ ٤ ٢ 󰂔 𞸎 𝜋 ٢ 󰂓 ٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.