ملف تدريبي: عزم القصور الذاتي للمجسمات

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد عزم القصور الذاتي، ونصف قطر القصور الذاتي لمجسَّم، واستخدام نظرية المحاور المتوازية لإيجاد عزم القصور الذاتي لمجسَّم مركب عند محاور مختلفة.

س١:

يمتلك كريم نموذج لقطار يستخدم فيه مخروطًا دائريًا كحدافة. المخروط نصف قطرة هو 𝑟 وارتفاعه .

أوجد عزم قصوره الذاتي حول محور تماثله.

  • أ2𝑚𝑟5
  • ب2𝑚𝑟3
  • ج3𝑚𝑟10
  • د𝑚𝑟
  • ه3𝑚𝑟10

ما نصف قطر القصور الذاتي حول هذا المحور؟

  • أ𝑟
  • ب32𝑟
  • ج310𝑟
  • د310𝑟
  • ه𝑟

يرغب كريم أن يبدل المخروط بأسطوانة دائرية لها نفس الكتلة. ولا يريد أن يؤثر هذا التغير على أداء قطاره، لذا يحتاج إلى أسطوانة لها نفس عزم القصور الذاتي للمخروط. أوجد مقدار نصف القطر 𝑅 للأسطوانة التي يحتاج إلى شرائها.

  • أ𝑅=310𝑟
  • ب𝑅=35𝑟
  • ج𝑅=1235𝑟
  • د𝑅=310𝑟
  • ه𝑅=35𝑟

س٢:

افترض أن مجموعة أجسام عددها 𝑛 متصلة بحلقة دائرية نصف قطرها 𝑟. إذا كانت الكتلة الكلية للأجسام 𝑀، فأوجد عزم القصور الذاتي للنظام الناتج حول المحور المار عبر مركز الحلقة عموديًّا على مستوى الحلقة.

  • أ4𝑀𝑟
  • ب𝑀𝑟
  • ج𝑀𝑟
  • د2𝑀𝑟
  • ه𝑀𝑟𝑛

س٣:

تصمِّم دينا طرازًا لسيارة سباق. تريد أن تكون السيارة سريعة الاستجابة قدْر الإمكان؛ ولذلك تبحث عن عجلة نقل حركة بأصغر عزم قصور ذاتي. يوضِّح الشكل الآتي تركيبة عجلة نقل الحركة، 𝐷𝑊، بالنسبة إلى عمود الدوران النهائي للمحرك، 𝑂، وعمودي التدوير، 𝐷𝑆، 𝐷𝑆.

هناك خياران لعجلة نقل الحركة. يوضَّح الجدول الآتي خصائص كل عجلة نقل حركة على حدة بالتفصيل.

ما عزم القصور الذاتي لعجلة نقل الحركة أ حول المحور العمودي الذي يمرُّ عبر مركز القرص؟ أوجد الإجابة بوحدة الجرام في ملليمتر مربع.

ما عزم القصور الذاتي لعجلة نقل الحركة ب حول المحور العمودي الذي يمرُّ عبر مركز القرص؟ أوجد الإجابة بوحدة الجرام في ملليمتر مربع.

أيُّ عجلة نقل حركة يجب أن تختارها لتعظيم قابلية الاستجابة لطراز السيارة؟

  • أعجلة نقل الحركة أ
  • بعجلة نقل الحركة ب
  • جيمكنها اختيار أيٍّ منهما.

س٤:

ثلاثة قضبان خفيفة، طول كلٍّ منها 2𝑎، رُبطت معًا وكوَّنت المثلث 𝐴𝐵𝐶. كتل الأجسام الثلاثة 𝑚، 𝑚، 2𝑚 مربوطة بالرءوس 𝐴، 𝐵، 𝐶 على الترتيب. أوجد عزم القصور الذاتي للنظام الناتج حول المحور المار بالرأس 𝐴 الذي يوازي القاعدة 𝐵𝐶.

  • أ10𝑚𝑎
  • ب33𝑚𝑎
  • ج6𝑚𝑎
  • د9𝑚𝑎
  • ه9𝑚𝑎

س٥:

ثلاثة قضبان منتظمة، طول كلٍّ منها 2𝑎 وكتلة كلٍّ منها 𝑀، وُصِّلت بصلابة من أطرافها لتكوين مثلث متساوي الأضلاع 𝐴𝐵𝐶. أوجد عزم القصور الذاتي لهذه البنية المثلثية حول محور يمر بنقطة الرأس 𝐴 ويوازي القاعدة 𝐵𝐶.

  • أ113𝑀𝑎
  • ب14𝑀𝑎
  • ج5𝑀𝑎
  • د3𝑀𝑎
  • ه173𝑀𝑎

س٦:

عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع منتظم كتلته 𝑚، وطوله 2𝑎 حول محور عمودي على القضيب ويمر بمركزه يساوي 𝑚𝑎3. باستخدام نظرية المحاور المتوازية، أوجد عزم القصور الذاتي للقضيب حول محور عمودي على القضيب ويمر بأحد طرفيه.

  • أ5𝑚𝑎6
  • ب7𝑚𝑎12
  • ج4𝑚𝑎3
  • د3𝑚𝑎4
  • ه𝑚𝑎3

س٧:

أربعة قضبان منتظمة، كتلة كل قضيب 𝑀 وطوله 𝑎، متصلة بعضها ببعض من طرفيها مكوِّنة مربعًا. أوجد عزم القصور الذاتي لهذا المربع بدلالة أحد قطريه. يمكنك استخدام حقيقة أن عزم القصور لقضيب طوله 𝑙 وكتلته 𝑚 حول محور يمر بطرف واحد ويميل بزاوية 𝜃 للقضيب، يساوي 13𝑚𝑙𝜃sin.

  • أ4𝑀𝑎
  • ب𝑀𝑎
  • ج23𝑀𝑎
  • د16𝑀𝑎
  • ه13𝑀𝑎

س٨:

أوجد عزم القصور الذاتي لكرة مُصمَتة مُنتظِمة كتلتها 𝑚 ونصف قطرها 𝑎 حول محور يمَسُّ نقطة على سطحها.

  • أ5𝑚𝑎2
  • ب2𝑚𝑎5
  • ج3𝑚𝑎2
  • د7𝑚𝑎5
  • ه𝑚𝑎2

س٩:

صفيحة منتظمة على شكل نصف دائرة كتلتها 𝑚 ونصف قطرها 𝑎. أوجد عزم القصور الذاتي للصفيحة حول محور عمودي عليها ويمر بمركز الكتلة.

  • أ𝑚𝑎4
  • ب𝑚𝑎2
  • ج𝑚𝑎18𝜋9𝜋32
  • د𝑚𝑎18𝜋3𝜋16
  • ه𝑚𝑎9𝜋9𝜋16

س١٠:

حلقة دائرية منتظمة كتلتها 𝑚 مصنوعة من قرص نصف قطره 𝑅 عن طريق قَطْع قرص آخر متحد معه في المركز ونصف قطره𝑟. أوجد عزم القصور الذاتي للحلقة الدائرية حول محور يمر بمركزها ويتعامد على مستواها. يُمكِنك استخدام حقيقة أن عزم القصور الذاتي لقرص صلب نصف قطره 𝑎 وكتلته 𝑚 حول محور يمر بمركزه ويتعامد على مستواه يساوي 12𝑚𝑎.

  • أ𝑚𝑅+𝑟2(𝑅𝑟)
  • ب12𝑚𝑅+𝑟
  • ج12𝑚𝑟
  • د12𝑚𝑅
  • ه12𝑚𝑅𝑟

س١١:

قرص دائري منتظم كتلته 𝑚 ونصف قطره 𝑟، عزم القصور الذاتي له حول محور يمر بمركزه وعمودي على مستواه هو 𝑚𝑟2. استخدِم نظرية المحاور المتوازية لإيجاد عزم القصور الذاتي للقرص حول محور عمودي على مستوى القرص ويمر بنقطة على محيطه الدائري.

  • أ3𝑚𝑟2
  • ب𝑚𝑟2
  • ج𝑚𝑟
  • د3𝑚𝑟4
  • ه5𝑚𝑟4

س١٢:

سلك منتظم طوله 3𝑎 وكتلته 𝑚 مثني على شكل مثلث متساوي الأضلاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمثلث حول المحور العمودي على المثلث والذي يمر بأحد رءوسه.

  • أ3𝑚𝑎2
  • ب𝑚𝑎4
  • ج𝑚𝑎
  • د7𝑚𝑎4
  • ه3𝑚𝑎4

س١٣:

رُبط أحد طرفَيْ قضيب منتظم كتلته 𝑀 وطوله 𝑙 بمركز قرص منتظم نصف قطره 𝑟؛ بحيث يتعامد القضيب على مستوى القرص. أوجد عزم القصور الذاتي للنظام حول محور على طول القضيب. يُمكِن استخدام حقيقة أن عزم القصور الذاتي لقرص صلب نصف قطره 𝑑 وكتلته 𝑚 حول محور يمر عموديًّا بمركز القرص يساوي 12𝑚𝑑.

  • أ𝑀𝑙
  • ب12𝑚𝑟𝑀𝑙
  • ج𝑀𝑙12𝑚𝑟
  • د12𝑚𝑟
  • ه12𝑚𝑟+𝑀𝑙

س١٤:

حلقة منتظمة نصف قطرها 𞸓 وكتلتها 𞸊 فيها جسم كتلته 𞸊 مربوط بها. أوجد عزم القصور الذاتي للجسم المركب حول محور يمر بمركز الحلقة وعمودي على مستوى الحلقة.

  • أ𞸊𞸓
  • ب٢𞸊𞸓٢
  • ج𞸊𞸓٢
  • د٢𞸊𞸓٢٢
  • ه٢𞸊𞸓

س١٥:

أوجد عزم القصور الذاتي لكرة مجسَّمة منتظمة الشكل نصف قطرها 𝑎 وكتلتها 𝑚، حول وتر الكرة الذي يقع عند مسافة 2𝑎2 من مركز الكرة.

  • أ13𝑚𝑎20
  • ب𝑚𝑎2
  • ج9𝑚𝑎10
  • د2𝑚𝑎5
  • ه7𝑚𝑎5

س١٦:

أوجد عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع منتظم الشكل كتلته 𝑚 وطوله 2𝑙 حول محور يوازي القضيب وعلى مسافة 𝑑 منه.

  • أ𝑚𝑑
  • ب12𝑚𝑑
  • ج𝑚𝑑
  • د𝑚𝑑
  • ه𝑚𝑑

س١٧:

قضيب منتظم كتلته 2𝑚 وطوله 𝑙 مثبت في أحد طرفيه جسم كتلته 𝑚. أوجد عزم القصور الذاتي للنظام حول المحور الذي يمر عبر الطرف الآخر للقضيب ويتعامد عليه. يمكنك استخدام حقيقة أن عزم القصور الذاتي لقضيب طوله 𝑙 وكتلته 𝑚 حول محور يمر عبر طرف قضيب ويتعامد عليه يساوي 13𝑚𝑙.

  • أ13𝑚𝑙
  • ب53𝑚𝑙
  • ج𝑚𝑙
  • د43𝑚𝑙
  • ه2𝑚𝑙

س١٨:

جُمعت ثلاثة قضبان خفيفة معًا لتكوين المثلث القائم 𝐴𝐵𝐶، كما هو موضح في الصورة. عُلق ثلاثة أجسام كتلتها 𝑚، 2𝑚، 3𝑚 بالرءوس 𝐴، 𝐵، 𝐶 على الترتيب. أوجد عزم القصور الذاتي للنظام الناتج حول المحور المار بالرأس 𝐴 الذي يوازي القاعدة 𝐵𝐶.

  • أ15𝑚𝑎
  • ب45𝑚𝑎
  • ج27𝑚𝑎
  • د45𝑚𝑎
  • ه46𝑚𝑎

س١٩:

رُبطت ثلاثة قضبان خفيفة معًا لتكوِّن المثلث المتساوي الساقين 𝐴𝐵𝐶، كما هو موضح في الشكل. عُلِّقت ثلاثة أجسام كتلتها 𝑚، 𝑚، 2𝑚 بالرءوس 𝐴، 𝐵، 𝐶 على الترتيب. أوجد عزم القصور الذاتي للنظام الناتج حول المحور المار بالرأس 𝐴 والموازي للقاعدة 𝐵𝐶.

  • أ27𝑚𝑎
  • ب18𝑚𝑎
  • ج27𝑚𝑎
  • د9𝑚𝑎
  • ه28𝑚𝑎

س٢٠:

أوجد عزم القصور الذاتي لقرص دائري منتظم كتلته 𝑚، ونصف قطره 𝑟، حول المحور الذي يتعامد عليه والذي يمر بمركزه.

  • أ12𝑚𝑟
  • ب𝑚𝑟
  • ج8𝑚𝑟
  • د23𝑚𝑟
  • ه14𝑚𝑟

س٢١:

أوجد عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع منتظم كتلته 𝑚 وطوله 2𝑙 حول محور عمودي على القضيب ويمر بمركز القضيب.

  • أ112𝑚𝑙
  • ب16𝑚𝑙
  • ج13𝑚𝑙
  • د16𝑚𝑙
  • ه12𝑚𝑙

س٢٢:

أوجد عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع منتظم كتلته 𝑚، وطوله 2𝑙، حول محور يميل بزاوية 𝜃 على القضيب ويمر بأحد طرفيه.

  • أ𝑚𝑙𝜃sin
  • ب4𝑚𝑙𝜃3cos
  • ج4𝑚𝑙𝜃3sin
  • د𝑚𝑙𝜃3sin
  • ه4𝑚𝑙3

س٢٣:

أوجد عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع منتظم كتلته 𝑚 وطوله 𝑙 حول محور يميل بزاوية قياسها 𝜋3 على القضيب ويمر بمركز القضيب.

  • أ148𝑚𝑙
  • ب132𝑚𝑙
  • ج316𝑚𝑙
  • د116𝑚𝑙
  • ه14𝑚𝑙

س٢٤:

أوجد عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع مُنتظِم كتلته 𞸊 وطوله ٢𞸋 حول محور يميل بزاوية 𝜋٦ على القضيب، ويمر بالقضيب على بُعْد 𝑙٤ من مركزه.

  • أ٩١٢٩١𞸊𞸋٢
  • ب١٣𞸊𞸋٢
  • ج٩١٤٦𞸊𞸋٢
  • د١٨𞸊𞸋
  • ه٩١٦٩𞸊𞸋٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.