ملف تدريبي: قاعدة السلسلة للدوال المتعدِّدة المتغيِّرات

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام قاعدة السلسلة مع المشتقة الجزئية لدوال متعددة المتغيرات؛ مثل إيجاد ∂ د(س، ص) /∂ ل؛ حيث س = ر (ل، م)، ص = ق (ل، م).

س١:

افترِض أن 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) على المنحنى 𝑥=𝑡+1، 𝑦=𝑡1. اكتب تعبيرًا لـ dd𝑧𝑡، بدلالة المشتقة الجزئية 𝑓.

  • أ2𝑡𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑡+1,𝑡1)2𝑡𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑡+1,𝑡1)
  • ب𝑡𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑡+1,𝑡1)×𝑡𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑡+1,𝑡1)
  • ج2𝑡𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑡+1,𝑡1)×2𝑡𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑡+1,𝑡1)
  • د2𝑡𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑡+1,𝑡1)+2𝑡𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑡+1,𝑡1)
  • ه𝑡𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑡+1,𝑡1)+𝑡𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑡+1,𝑡1)

س٢:

تصف المعادلتان التفاضليتان 𝑥=𝜙(𝑡)، 𝑦=𝜓(𝑡) المنحنى الذي يحقق (𝜙(1),𝜓(1))=(2,3). استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مقدارًا يعبر عن dd𝑤𝑡|||؛ حيث 𝑤=𝑒(𝑦)cos.

  • أ𝑒(3)𝜓(1)𝑒(3)𝜙(1)cossin
  • ب𝑒𝜙(1)(3)𝜓(1)sin
  • ج𝑒(3)𝜙(1)𝑒(3)𝜓(1)cossin
  • د𝑒(3)𝜙(1)+𝑒(3)𝜓(1)cossin
  • ه𝑒(2)𝜙(1)𝑒(2)𝜓(1)sincos

س٣:

لدينا 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦، ولدينا منحنًى يُعطى بالعلاقة 𝜙(𝑡)=(2𝑡,𝑡)sincos. استخدِم قاعدة السلسلة لتحديد قيم 𝑡 عندما تكون dd𝑡𝑓(𝜙(𝑡))=0. يمكن الإجابة بدلالة cos.

  • أ𝑛𝜋4,𝑛𝜋12,𝑛𝜋+12coscos؛ حيث 𝑛 عدد صحيح.
  • ب𝑛𝜋2,𝑛𝜋14,𝑛𝜋+14coscos؛ حيث 𝑛 عدد صحيح.
  • ج𝑛𝜋2,𝑛𝜋25,𝑛𝜋+25coscos؛ حيث 𝑛 عدد صحيح.
  • د𝑛𝜋4,𝑛𝜋35,𝑛𝜋+35coscos؛ حيث 𝑛 عدد صحيح.
  • ه𝑛𝜋2,𝑛𝜋12,𝑛𝜋+12coscos؛ حيث 𝑛 عدد صحيح.

س٤:

افترِض أن 𝑤=𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) على المنحنى 𝑥=𝑡، 𝑦=1𝑡، 𝑧=3𝑡. اكتب مقدارًا يُعبِّر عن dd𝑤𝑡|||، واكتب إجابتك بدلالة مشتقات 𝑓 الجزئية.

  • أdd𝑤𝑡=14𝜕𝑓𝜕𝑥2,14,12+116𝜕𝑓𝜕𝑦2,14,12+3𝜕𝑓𝜕𝑧2,14,12
  • بdd𝑤𝑡=14𝜕𝑓𝜕𝑥2,14,12116𝜕𝑓𝜕𝑦2,14,12+3𝜕𝑓𝜕𝑧2,14,12
  • جdd𝑤𝑡=2𝜕𝑓𝜕𝑥2,14,12+14𝜕𝑓𝜕𝑦2,14,12+12𝜕𝑓𝜕𝑧2,14,12
  • دdd𝑤𝑡=163𝜕𝑓𝜕𝑥2,14,12+1.386𝜕𝑓𝜕𝑦2,14,12+24𝜕𝑓𝜕𝑧2,14,12
  • هdd𝑤𝑡=14𝜕𝑓𝜕𝑥2,14,12𝜕𝑓𝜕𝑦2,14,12+3𝜕𝑓𝜕𝑧2,14,12

س٥:

يُمكِن حل الدالة 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦 بدلالة الإحداثيات القطبية عَبْر التحويلة 𝑐(𝑟,𝜃)=(𝑥,𝑦)؛ حيث 𝑥=𝑟𝜃cos، 𝑦=𝑟𝜃sin. باستخدام 𝜕𝐹𝜕𝜃 للتعبير عن المركبة الثانية 𝐹(𝑐) أو بأيِّ طريقة أخرى، اكتب مقدارًا للتعبير عن المشتقة الجزئية بدلالة 𝑥، 𝑦.

  • أ𝜕𝐹𝜕𝜃=2𝑥𝑦+3𝑥𝑦
  • ب𝜕𝐹𝜕𝜃=𝑥𝑦+𝑥𝑦
  • ج𝜕𝐹𝜕𝜃=𝑥𝑦+𝑥𝑦
  • د𝜕𝐹𝜕𝜃=2𝑥𝑦3𝑥𝑦
  • ه𝜕𝐹𝜕𝜃=3𝑥𝑦+𝑥𝑦

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.