ملف تدريبي: التكامل الخطي للحقل الاتجاهي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد التكامل الخطي لحقلٍ اتجاهيٍّ على طول منحنًى موجَّه.

س١:

احسب 󰏅󰄮󰎨𞸃󰄮𞸓𞸌 للحقل الاتجاهي 󰄮󰎨(𞸎،𞸑)، والمنحنى 𞸌؛ حيث 󰄮󰎨(𞸎،𞸑)=𞸑󰄮󰄮󰄮𞹎𞸎󰄮󰄮󰄮𞹑؛ 𞸌𞸎=𞸍، 𞸑=𞸍، ٠𞸍٢𝜋.

  • أ𝜋٢
  • ب𝜋٢
  • ج٠
  • د٢𝜋
  • ه٢𝜋

س٢:

احسب 𝑓𝑟d للحقل الاتجاهي 𝑓(𝑥,𝑦) والمنحنى 𝐶؛ حيث 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦𝑖+𝑥𝑦𝑗، 𝐶 هو المسار المُتعدِّد الأضلاع من (0,0) إلى (1,0) إلى (0,1) إلى (0,0).

  • أ715
  • ب0
  • ج715
  • د130
  • ه130

س٣:

احسب 𝑓𝑟d بالنسبة إلى حقل المتجهات 𝑓(𝑥,𝑦) والمنحنى 𝐶؛ حيث 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑖𝑗؛ 𝐶𝑥=3𝑡:، 𝑦=2𝑡، 0𝑡1.

س٤:

احسب 󰏅󰄮󰎨𞸃󰄮𞸓𞸌 للحقل الاتجاهي 󰄮󰎨(𞸎،𞸑،𞸏)=𞸑󰄮󰄮󰄮𞹎𞸎󰄮󰄮󰄮𞹑+𞸏󰄮󰄮𞹏 والمنحنى 𞸌𞸎=𞸍؛ حيث 𞸑=𞸍، 𞸏=𞸍، ٠𞸍٢𝜋.

  • أ٢𝜋(𝜋+١)٢
  • ب٢𝜋(𝜋+١)
  • ج٢𝜋(𝜋١)٢
  • د٢𝜋٢
  • ه٢𝜋(𝜋١)

س٥:

احسب 𝑓𝑟d بالنسبة للحقل الاتجاهي 𝑓(𝑥,𝑦) والمنحنى 𝐶؛ حيث 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑖𝑦𝑗؛ 𝐶𝑥=𝑡:cos، 𝑦=𝑡sin، 0𝑡2𝜋.

س٦:

احسب 𝑓𝑟d للحقل الاتجاهي 𝑓(𝑥,𝑦) والمنحنى 𝐶؛ حيث 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥+𝑦𝑖؛ 𝐶𝑥=2+𝑡cos، 𝑦=𝑡sin، 0𝑡2𝜋.

س٧:

احسب 𝑓𝑟d للحقل الاتجاهي 𝑓(𝑥,𝑦) والمنحنى 𝐶؛ حيث 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥𝑦𝑖+𝑥𝑦𝑗، 𝐶𝑥=𝑡:cos، 𝑦=𝑡sin، 0𝑡2𝜋.

  • أ2𝜋
  • ب0
  • ج23+2𝜋
  • د23+2𝜋
  • ه2𝜋

س٨:

افترِض أن 𝐶 مسار يُعطى بالعلاقة 𝑟(𝑡)=(𝑡,𝑡) لكل 0𝑡1، 𝐶 مسار يُعطى بالعلاقة 𝑟(𝑡)=(1𝑡,1𝑡) لكل 0𝑡1، 𝐹=𝑥𝑖+(𝑦+1)𝑗ln. دون حساب التكامل، أيٌّ من التالي صواب؟

  • أ𝐹𝑟>𝐹𝑟dd
  • ب𝐹𝑟=𝐹𝑟dd
  • ج𝐹𝑟<𝐹𝑟dd

س٩:

في الشكل، يتكوَّن المنحنى 𞸌 من 𞸋 إلى 𞸊 من رُبعَي دائرتَي الوحدة؛ الدائرة الأولى مركزها (١، ٠) والدائرة الأخرى مركزها (٣، ٠). احسب التكامل الخطي 󰏅𞹟𞸃𞸓𞸌؛ حيث 𞹟=󰂔𞸎٢󰂓󰂔𞸑٢󰂓𞹎󰂔𞸎٢󰂓󰂔𞸑٢󰂓𞹑.

  • أ٢󰂔١٢󰂓󰂔٣٢󰂓+٢󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓
  • ب٢󰂔١٢󰂓󰂔٣٢󰂓٢󰂔٣٢󰂓󰂔١٢󰂓
  • ج٢󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓+٢󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓
  • د٢󰂔١٢󰂓󰂔٣٢󰂓+٢󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓
  • ه٢󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓٢󰂔١٢󰂓󰂔١٢󰂓

س١٠:

افترِض أن 𝑃 قوس دائرة الوحدة في المستوى 𝑥𝑦 مرسومًا في عكس اتجاه عقارب الساعة من (0,1) إلى (1,0). أوجد القيمة المُحدَّدة للتكامل الخطي للحقل الاتجاهي 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=3𝑥𝑒𝑖+2𝑦𝑧𝑒𝑗+𝑦𝑒𝑘 على 𝑃.

  • أ1+𝑒
  • ب1+2𝑒
  • ج1𝑒
  • د𝑒1
  • ه12𝑒

س١١:

احسب 𝑓𝑟d لمجال المتجه 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑖𝑗+𝑘 والمنحنى 𝐶𝑥=3𝑡، 𝑦=2𝑡، 𝑧=𝑡، 0𝑡1.

س١٢:

أحسب 𝑓𝑟d للحقل الاتجاهي 𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘 والمنحني 𝐶𝑥=𝑡:cos، 𝑦=𝑡sin، 𝑧=2، 0𝑡2𝜋.

س١٣:

ندرس مثالًا، يحقِّق فيه الحقل الاتجاهي 𝐹=(𝐹,𝐹) المعادلة: 𝜕𝐹𝜕𝑦𝜕𝐹𝜕𝑥=0، لكنه لا ينتج عن دالة جهد. على المستوى الذي حُذفت فيه نقطة الأصل، افترض الحقل الاتجاهي 𝐹(𝑥,𝑦)=𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦.

في نصف المستوى (المفتوح) 𝑥>0 يُمكننا تعريف دالة الزاوية 𝜃(𝑥,𝑦)=𝑦𝑥arctan. هذه الدالة معرَّفة جيدًا، وتعطي قيمة بين 𝜋2، 𝜋2. ما قِيَمة التدرُّج 𝜃؟

  • أ𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ب𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ج𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • د𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ه𝑥𝑥+𝑦,𝑦𝑥+𝑦

باستخدام الشكل الموضَّح، استخدم قيمة 𝜃 السابقة لتعريف دالة الزاوية 𝜃(𝑥,𝑦)، في المنطقة 𝑦>0، باستخدام تركيب مناسب، بدوران 𝜋2.

  • أ𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,𝑥)+𝜋2
  • ب𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,𝑥)
  • ج𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,𝑥)+𝜋2
  • د𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,𝑥)+𝜋2
  • ه𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,𝑥)

ما قيمة 𝜃(𝑥,𝑦)؟

  • أ𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ب𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ج𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • د𝑥𝑥+𝑦,𝑦𝑥+𝑦
  • ه𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦

إذا كانت 𝜃، 𝜃 تقعان في الربع 𝑥>0، 𝑦>0، يمكننا تعريف الزاوية 𝑇(𝑥,𝑦) عند كل نقطة في منطقة الاتحاد بقِيَم تتراوح بين 𝜋2، 3𝜋2. استخدم الدالتين 𝜃، 𝜃 لإيجاد 𝐹𝑟d؛ حيث 𝐶 قوس دائرة الوحدة من 12,32 إلى 12,12. اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

  • أ13𝜋12
  • ب3𝜋5
  • ج𝜋12
  • د𝜋5
  • ه12𝜋13

بنفس الطريقة، يمكننا تعريف 𝜃 في نصف المستوى 𝑥<0، وكذلك 𝜃 في نصف المستوى 𝑦<0. بناء على ذلك، احسب التكامل الخطي 𝐹𝑟d حول دائرة نصف قطرها 2، ابتداء من 𝑃(1,1)، وفي عكس اتجاه عقارب الساعة إلى 𝑃، واكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

  • أ𝜋2
  • ب𝜋
  • ج𝜋2
  • د2𝜋
  • ه2𝜋

س١٤:

افترِض أن F هو تدرُّج الدالة 𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥𝑦، ولدينا النِّقاط 𝑃(0,0),𝑄(1,0),𝑅(0,1),𝑆(1,1)، 𝑇(1,1). اختر بداية ونقطة نهاية من هذه المجموعة لتكبير التكامل Frd؛ حيث 𝐶 هو الخط بين النقطتين المختارتين.

  • أمن 𝑆 إلى 𝑄
  • بمن 𝑅 إلى 𝑇
  • جمن 𝑇 إلى 𝑄
  • دمن 𝑃 إلى 𝑅
  • همن 𝑄 إلى 𝑇

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.