ورقة تدريب الدرس: التكامل الخطي للحقل الاتجاهي الرياضيات

البدء في التمرين

في ورقة التدريب هذه، سوف نتدرَّب على إيجاد التكامل الخطي لحقلٍ اتجاهيٍّ على طول منحنًى موجَّه.

س١:

افترِض أن 𝐶 مسار يُعطى بالعلاقة ⃑𝑟(𝑡)=(𝑡,𝑡) لكل 0≤𝑡≤1، 𝐶 مسار يُعطى بالعلاقة ⃑𝑟(𝑡)=(1−𝑡,1−𝑡) لكل 0≤𝑡≤1، ⃑𝐹=𝑥⃑𝑖+(𝑦+1)⃑𝑗ln. دون حساب التكامل، أيٌّ من التالي صواب؟

  • أ⃑𝐹⋅⃑𝑟>⃑𝐹⋅⃑𝑟dd
  • ب⃑𝐹⋅⃑𝑟=⃑𝐹⋅⃑𝑟dd
  • ج⃑𝐹⋅⃑𝑟<⃑𝐹⋅⃑𝑟dd

س٢:

في الشكل، يتكوَّن المنحنى 𝐶 من 𝑃 إلى 𝑄 من رُبعَي دائرتَي الوحدة؛ الدائرة الأولى مركزها (1، 0)، والدائرة الأخرى مركزها (3، 0). احسب التكامل الخطي ⃑𝐹⋅⃑𝑟d؛ حيث ⃑𝐹=𝑥2𝑦2⃑𝑖−𝑥2𝑦2⃑𝑗sinsincoscos.

  • أ21232+21212sincoscossin
  • ب−21212−21212sincoscossin
  • ج−21232−23212sincoscossin
  • د−21212+21212sincoscossin
  • ه21232+21212sincoscossin

س٣:

افترِض أن 𝑃 قوس دائرة الوحدة في المستوى 𝑥𝑦 مرسومًا في عكس اتجاه عقارب الساعة من (0,1) إلى (1,0). أوجد القيمة المُحدَّدة للتكامل الخطي للحقل الاتجاهي ⃑𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)=3𝑥𝑒⃑𝑖+2𝑦𝑧𝑒⃑𝑗+𝑦𝑒⃑𝑘 على 𝑃.

  • أ1+𝑒
  • ب1+2𝑒
  • ج1−𝑒
  • د𝑒−1
  • ه1−2𝑒

س٤:

ندرس مثالًا، يحقِّق فيه الحقل الاتجاهي ⃑𝐹=(𝐹,𝐹) المعادلة: 𝜕𝐹𝜕𝑦−𝜕𝐹𝜕𝑥=0، لكنه لا ينتج عن دالة جهد. على المستوى الذي حُذفت فيه نقطة الأصل، افترض الحقل الاتجاهي ⃑𝐹(𝑥,𝑦)=−𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦.

في نصف المستوى (المفتوح) 𝑥>0 يُمكننا تعريف دالة الزاوية 𝜃(𝑥,𝑦)=𝑦𝑥arctan. هذه الدالة معرَّفة جيدًا، وتعطي قيمة بين −𝜋2، 𝜋2. ما قِيَمة التدرُّج ∇𝜃؟

  • أ𝑦𝑥+𝑦,−𝑥𝑥+𝑦
  • ب−𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ج𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • د−𝑦𝑥+𝑦,−𝑥𝑥+𝑦
  • ه−𝑥𝑥+𝑦,𝑦𝑥+𝑦

باستخدام الشكل الموضَّح، استخدم قيمة 𝜃 السابقة لتعريف دالة الزاوية 𝜃(𝑥,𝑦)، في المنطقة 𝑦>0، باستخدام تركيب مناسب، بدوران 𝜋2.

  • أ𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(−𝑦,𝑥)+𝜋2
  • ب𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(−𝑦,𝑥)
  • ج𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(−𝑦,−𝑥)+𝜋2
  • د𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,−𝑥)+𝜋2
  • ه𝜃(𝑥,𝑦)=𝜃(𝑦,−𝑥)

ما قيمة ∇𝜃(𝑥,𝑦)؟

  • أ𝑦𝑥+𝑦,−𝑥𝑥+𝑦
  • ب𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • ج−𝑦𝑥+𝑦,𝑥𝑥+𝑦
  • د−𝑥𝑥+𝑦,𝑦𝑥+𝑦
  • ه−𝑦𝑥+𝑦,−𝑥𝑥+𝑦

إذا كانت 𝜃، 𝜃 تقعان في الربع 𝑥>0، 𝑦>0، يمكننا تعريف الزاوية 𝑇(𝑥,𝑦) عند كل نقطة في منطقة الاتحاد بقِيَم تتراوح بين −𝜋2، 3𝜋2. استخدم الدالتين 𝜃، 𝜃 لإيجاد ⃑𝐹⋅⃑𝑟d؛ حيث 𝐶 قوس دائرة الوحدة من 12,−√32 إلى −1√2,1√2. اكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

  • أ13𝜋12
  • ب3𝜋5
  • ج𝜋12
  • د𝜋5
  • ه12𝜋13

بنفس الطريقة، يمكننا تعريف 𝜃 في نصف المستوى 𝑥<0، وكذلك 𝜃 في نصف المستوى 𝑦<0. بناء على ذلك، احسب التكامل الخطي ⃑𝐹⋅⃑𝑟d حول دائرة نصف قطرها √2، ابتداء من 𝑃(1,−1)، وفي عكس اتجاه عقارب الساعة إلى 𝑃، واكتب إجابتك بدلالة 𝜋.

  • أ𝜋2
  • ب𝜋
  • ج𝜋√2
  • د√2𝜋
  • ه2𝜋

س٥:

افترِض أن F هو تدرُّج الدالة 𝑓(𝑥,𝑦)=2𝑥−𝑦، ولدينا النِّقاط 𝑃(0,0),𝑄(1,0),𝑅(0,1),𝑆(1,1)، 𝑇(−1,−1). اختر بداية ونقطة نهاية من هذه المجموعة لتكبير التكامل ⋅Frd؛ حيث 𝐶 هو الخط بين النقطتين المختارتين.

  • أمن 𝑆 إلى 𝑄
  • بمن 𝑅 إلى 𝑇
  • جمن 𝑇 إلى 𝑄
  • دمن 𝑃 إلى 𝑅
  • همن 𝑄 إلى 𝑇

س٦:

افترض أن لدينا تمثيلين بالمعادلات البرامترية للتكامل الخطي󰏅⃐󰄮󰎨⋅𞸃⃐󰄮𞸓𞸋؛ حيث 𞸋 القطعة المستقيمة 𞸑=𞸎 من (٠،٠) إلى (١،١)، ⃐󰄮󰎨=٦𞸎⃐󰄮󰄮󰄮𞹎+(𞸎+𞸑)⃐󰄮󰄮𞹏٢.

احسب التكامل باستخدام ⃐󰄮𞸓(𞸍)=(𞸍،𞸍) على ٠≤𞸍≤١.

  • أ٦
  • ب٥٣
  • ج١٣٢١
  • د١
  • ه٣٢٦

احسب التكامل باستخدام ⃐󰄮𞸓(𞸍)=󰁓𞸤،𞸤󰁒𞸍−١𞸍−١ على ٠≤𞸍≤٢ﻟﻮ𞸤.

  • أ٣٢٦
  • ب٢١(١−٢)ﻟﻮ𞸤
  • ج٣١−٢١٢٢ﻟﻮ𞸤
  • د١
  • ه٨١٢−٤٣٣ﻟﻮ𞸤

الممارسة مفتاحك للتفوق.

تدرَّب يوميًا على عدد من الأسئلة المجانية للحصول على أعلى الدرجات. حمِّل تطبيق Nagwa Practice الآن!

امسح الكود!

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.