ملف تدريبي: البرمجة الخطية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد الحل الأمثل لنظام خطي يتضمَّن دالة هدف وعدة قيود.

س١:

أوجد قيمتَي 𞸎، 𞸑 اللتين تحقِّقان أقصى قيمة للدالة 𞸓=٥𞸎+٢𞸑. اكتب إجابتك في صورة النقطة (𞸎،𞸑).

  • أ(٠،٨)
  • ب(٧،٨)
  • ج(٧،٠)
  • د(٣،٠)

س٢:

أوجد القيمة العظمى لدالة الهدف 𞸋=٢𞸎+٦𞸑، إذا كانت القيود هي 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٦، ٣𞸎+𞸑٩، 𞸎+٢𞸑٨.

س٣:

بمعلومية التمثيل البياني التالي، وأن 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٧، 𞸑٥، حدِّد أي نقطة للدالة 𞸓=٣𞸎𞸑 تكون هي نقطتها العظمى باستخدام البرمجة الخطية.

  • أ󰏡
  • ب𞸃
  • ج𞸢
  • د𞸁

س٤:

باستخدام البرمجة الخطية، أوجد القيمتين العظمى والصغرى للدالة 𞸓=٤𞸎٣𞸑، علمًا بأن 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٩، 𞸑٥ .

  • أالقيمة الصغرى ٧٢، القيمة العظمى ١.
  • بالقيمة الصغرى ٥١، القيمة العظمى ١.
  • جالقيمة الصغرى ٧٢، القيمة العظمى ٥١.
  • دالقيمة الصغرى ٠، القيمة العظمى ٩.

س٥:

أوجد أقل قيمة ممكنة لـ 𞸏=𞸎+𞸎١٢؛ حيث 𞸎+𞸎٢١٢، 𞸎+٣𞸎٠٢١٢، 𞸎+𞸎٨١١٢.

س٦:

أوجد القيم العظمى والصغرى لـ 𞸏=𞸎٢𞸎+𞸎١٢٣ المُقيدة بالشروط 𞸎+𞸎+𞸎٠١١٢٣، 𞸎+𞸎+𞸎٢١٢٣، 𞸎+٢𞸎+𞸎٧١٢٣ إن أمكن. جميع المتغيرات غير سالبة.

  • أالصغرى ٧، والعظمى ٧
  • بالصغرى ٧، والعظمى ٥
  • جالصغرى ٣١٢، والعظمى ٥
  • دالصغرى ٧٢، والعظمى ٧
  • هالصغرى ١١٢، والعظمى ٥

س٧:

انظر المتباينات التالية ذات المتغيرات غير السالبة 𞸎١، 𞸎٢، 𞸎٣: 𞸎+𞸎+𞸎٨،𞸎+𞸎+٣𞸎١،𞸎+𞸎+𞸎٧.١٢٣١٢٣١٢٣أوجد القيم العظمى والصغرى الممكنة لـ 𞸏=𞸎٢𞸎٣𞸎١٢٣ التي تخضع لتلك القيود.

  • أالقيمة الصغرى: ١٢، القيمة العظمى: ٦
  • بالقيمة الصغرى: ٠٢، القيمة العظمى: ٦
  • جالقيمة الصغرى: ١٢، القيمة العظمى: ٧
  • دالقيمة الصغرى: ٠٢، القيمة العظمى: ٧

س٨:

انظر المتباينات الآتية في المتغيرات غير السالبة 𞸎١، 𞸎٢، 𞸎٣: 𞸎𞸎+𞸎٠١،𞸎+𞸎+𞸎١،𞸎+٢𞸎+𞸎٧.١٢٣١٢٣١٢٣أوجد القيم العظمى والصغرى الممكنة لـ 𞸏=٢𞸎+𞸎١٢، المقيدة بهذه الشروط.

  • أالقيمة الصغرى: ١، والقيمة العظمى: ١٤
  • بالقيمة الصغرى: ١، والقيمة العظمى: ٧
  • جالقيمة الصغرى: ٠، والقيمة العظمى: ١٤
  • دالقيمة الصغرى: ٠، والقيمة العظمى: ٧

س٩:

بمراعاة المتباينات الآتية في المتغيِّرات غير السالبة 𞸎١، 𞸎٢، 𞸎٣: 𞸎+𞸎+𞸎٠١،𞸎+𞸎+𞸎١،𞸎+٢𞸎+𞸎٧.١٢٣١٢٣١٢٣أوجد قيم 𞸏=𞸎٢𞸎١٢ العظمى والصغرى الممكنة والمقيدة بهذه الشروط.

  • أالصغرى: ٧٢، العظمى: ٧
  • بالصغرى: ٧، العظمى: ٦
  • جالصغرى: ٣١٢، العظمى: ٦
  • دالصغرى: ٧، العظمى: ٧

س١٠:

اعتبر المتباينات الآتية في المتغيِّرات غير السالبة 𞸎١، 𞸎٢، 𞸎٣: 𞸎𞸎+𞸎٠١،𞸎+𞸎+𞸎١،𞸎+٢𞸎+𞸎٧.١٢٣١٢٣١٢٣أوجد قِيَم 𞸏=𞸎+٢𞸎١٢ العظمى والصغرى، المقيدة بالشروط.

  • أالصغرى: ٠، العظمى: ٧٢٢
  • بالصغرى: ٠، العظمى: ٧
  • جالصغرى: ١، العظمى: ٧٢٢
  • دالصغرى: ١، العظمى: ٧

س١١:

يقدِّم مطعم للمأكولات البحرية نوعين من السمك؛ البلطي والبوري. يبيع المطعم ما لا يقل عن ٠٤ في اليوم، ولكنه لا يستهلك أكثر من ٠٣ بلطي ولا أكثر من ٥٤ بوري. سعر سمكة البلطي الواحدة ٦ جنيهات مصرية، وسعر سمكة البوري الواحدة ٨ جنيهات مصرية. نفترض أن 𞸎 تمثِّل كمية سمك البلطي المبيع يوميًّا، وتمثِّل 𞸑 كمية سمك البوري المبيع يوميًّا. إذا كان مدير المطعم يريد تقليل السعر الكلي 𞸓 للسمك، فاكتب دالة الهدف والمتباينة التي سوف تساعده ليقرِّر عدد الأسماك التي سوف يشتريها من كل نوع.

  • أ𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٠٤، 𞸎<٠٣، 𞸑<٥٤، 𞸓=٦𞸎+٨𞸑
  • ب𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑>٠٤، 𞸎٠٣، 𞸑٥٤، 𞸓=٦𞸎+٨𞸑
  • ج𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٠٤، 𞸎٠٣، 𞸑٥٤، 𞸓=٦𞸎+٨𞸑
  • د𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٠٤، 𞸎٠٣، 𞸑٥٤، 𞸓>٦𞸎+٨𞸑
  • ه𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٠٤، 𞸎٠٣، 𞸑٥٤، 𞸓=٦𞸎+٨𞸑

س١٢:

محل حلوى يبيع كيس حلوى المارشملو بمبلغ ٥ جنيهات مصرية وكيس حلوى الجيلي بمبلغ ٦ جنيهات مصرية. يُريد طفل شراء كِلا النوعين، ويوضِّح الشكل التالي الشروط المفروضة على ما يُمكِن للطفل شراؤه؛ حيث 𞸎 يُمثِّل عدد أكياس حلوى المارشملو التي يمكنه شراؤها، 𞸑 يُمثِّل عدد أكياس حلوى الجيلي التي يمكنه شراؤها. ما أقل سعر يمكن للطفل أن يدفعه في تلك الحالة؟

س١٣:

مصنع صغير يُنتِج نوعين من الأثاث المعدني 󰏡، 𞸁. يمكن أن يُنتِج المصنع على الأكثر ٥٢ أثاث معدنية في المجمل. رِبْحُ المصنع من النوع 󰏡 يساوي ٦٠ جنيهًا مصريًّا ورِبْحه من النوع 𞸁 يساوي ٤٠ جنيهًا مصريًّا. يبيع المصنع على الأقل من النوع ﺿ  󰏡 ما يبيعه من النوع 𞸁. اكتب دالة الهدف والمتباينات التي تساعدك في إيجاد أكبر ربح للمصنع.

  • أ󰏡٠، 𞸁٠، 󰏡+𞸁٥٢، 󰏡=٢𞸁، 𞸓=٠٦󰏡+٠٤𞸁
  • ب󰏡٠، 𞸁٠، 󰏡+𞸁٥٢، 󰏡٢𞸁، 𞸓٠٦󰏡+٠٤𞸁
  • ج󰏡٠، 𞸁٠، 󰏡+𞸁٥٢، 󰏡٢𞸁، 𞸓=٠٦󰏡+٠٤𞸁
  • د󰏡٠، 𞸁٠، 󰏡+𞸁=٥٢، 󰏡٢𞸁، 𞸓=٠٦󰏡+٠٤𞸁

س١٤:

يُنتج مطعم لأغذية الأطفال نوعين من الأغذية بقيم غذائية مختلفة. النوع الأول يُرمَز له بالرمز 𞸎، سعره ٣ جنيهات مصرية للعلبة الواحدة التي تحتوي على ٣وات من فيتامين أ، و٢ من فيتامين ب. النوع الثاني يرمز له بالرمز 𞸑، سعره ٤ جنيهات مصرية للعلبة الواحدة التي تحتوي على ٤وات من فيتامين أ، و٣ من فيتامين ب. يحتاج الطفل على الأقل إلى ٠٢١وة من فيتامين أ، و١٠٠ من فيتامين ب لتلبية احتياجاته الغذائية. اذكر دالة الهدف، وقيود المتباينة اللازمة، لتحديد الكمية التي ينبغي شراؤها من كل نوع بأرخص سعر ممكن.

  • أ𞸎٠، 𞸑٠، ٣𞸎+٤𞸑٠٢١، ٢𞸎+٣𞸑٠٠١، 𞸋=٣𞸎+٤𞸑
  • ب𞸎٠، 𞸑٠، ٣𞸎+٢𞸑٠٢١، ٤𞸎+٣𞸑٠٠١، 𞸋=٣𞸎+٤𞸑
  • ج𞸎٠، 𞸑٠، ٣𞸎+٤𞸑٠٢١، ٢𞸎+٣𞸑٠٠١، 𞸋٣𞸎+٤𞸑
  • د𞸎٠، 𞸑٠، ٣𞸎+٤𞸑٠٢١، ٢𞸎+٣𞸑٠٠١، 𞸋=٣𞸎+٤𞸑

س١٥:

مصنع أغذية أطفال يُنتِج نوعين مختلفين من عبوات طعام الأطفال بقِيَم غذائية مختلفة. تحتوي عبوة واحدة من النوع الأول على و من فيتامين أ، ٤وات من فيتامين ب، وتحتوي عبوة واحدة من النوع الثاني على ٤وات من فيتامين أ، و من فيتامين ب. يحتاج كلُّ طفل إلى ٠٠١وة من فيتامين أ، ٠٤١وة من فيتامين ب على الأقل في كلِّ شهر. إذا كان سعر العبوة الواحدة من النوع الأول ٦ جنيهات مصرية وسعر العبوة الواحدة من النوع الثاني ٤ جنيهات مصرية، فأوجد دالة الهدف واحسب أقل تكلفة مُمكِنة لتزويد طفل واحد بالمواد الغذائية اللازمة شهريًّا باستخدام التمثيل البياني الموضَّح.

  • أ𞸏=٤𞸎+٦𞸑، وأقل تكلفة ممكنة هي ٤٢٠ جنيهًا مصريًّا
  • ب𞸏=٦𞸎+٤𞸑، وأقل تكلفة ممكنة هي ٢٨٠ جنيهًا مصريًّا
  • ج𞸏=٢𞸎+٤𞸑، وأقل تكلفة ممكنة هي ١٠٠ جنيه مصري
  • د𞸏=٤𞸎+٦𞸑، وأقل تكلفة ممكنة هي ١‎ ‎٨٠٠ جنيه مصري
  • ه𞸏=٦𞸎+٤𞸑، وأقل تكلفة ممكنة هي ٢٢٠ جنيهًا مصريًّا

س١٦:

يُنتج مصنع لأغذية الأطفال نوعين من عبوات الأغذية بقيم غذائية مختلفة. النوع الأول به ٤وات من فيتامين أ، وون من فيتامين ب، والنوع الثاني به ون من فيتامين أ، و٣وات من فيتامين ب. يحتاج كل طفل على الأقل إلى ٠٢١وة من فيتامين أ، و٠٠١وة من فيتامين ب لكل وجبة. تبلغ تكلفة النوع الأول ٦ جنيهات مصرية، وتبلغ تكلفة النوع الثاني ٤ جنيهات مصرية. باستخدام الرسم البياني التالي، أوجد عدد العبوات التي يستهلكها كل طفل لتُزوِّده بالعناصر الغذائية اللازمة لكل وجبة بأقل تكلفة ممكنة.

  • أالعبوات من النوع الأول = =٠٣، والعبوات من النوع الثاني = =٠
  • بالعبوات من النوع الأول = =٠٢، والعبوات من النوع الثاني = =٠٢
  • جالعبوات من النوع الأول = =٠، والعبوات من النوع الثاني = =٣٣
  • دالعبوات من النوع الأول = =٠، والعبوات من النوع الثاني = =٠٦
  • هالعبوات من النوع الأول = =٠٢، والعبوات من النوع الثاني = =٠٢

س١٧:

تنتج ورشة بها عاملان نوعين من المكاتب المعدنية: النوع أ والنوع ب. يقوم أحد العاملَيْن بتصنيع المكاتب، ويقوم الآخر بطلائها. يستغرق العامل الأول ٤ ساعات لصناعة وحدة من النوع أ، و٣ ساعات لصناعة وحدة من النوع ب، في حين يستغرق العامل الثاني ٣ ساعات لطلاء وحدة من النوع أ و٤ ساعات لطلاء وحدة من النوع ب. يعمل العامل الأول ٥ ساعات على الأقل يوميًّا، ويعمل الآخر ٧ ساعات يوميًّا كحدٍّ أقصى. إذا كانت الورشة تحقِّق ربحًا قيمته ٦٠ جنيهًا مصريًّا (من كل وحدة)، فأوجد دالة الهدف والمتباينة المطلوبة لحساب عدد الوحدات اللازم إنتاجها يوميًّا من كل نوع لزيادة الربح 𞸓 لأعلى معدل.

  • أ𞸎٠، 𞸑٠، ٤𞸎+٣𞸑>٥، ٣𞸎+٤𞸑<٧، 𞸓٠٦𞸎+٠٦𞸑
  • ب𞸎٠، 𞸑٠، ٤𞸎+٣𞸑٥، ٣𞸎+٤𞸑٧، 𞸓=٠٦𞸎+٠٦𞸑
  • ج𞸎٠، 𞸑٠، ٤𞸎+٣𞸑٥، ٣𞸎+٤𞸑٧، 𞸓=٠٦𞸎+٠٦𞸑
  • د𞸎٠، 𞸑٠، ٤𞸎+٣𞸑٥، ٣𞸎+٤𞸑٧، 𞸓٠٦𞸎+٠٦𞸑
  • ه𞸎٠، 𞸑٠، ٤𞸎+٣𞸑<٥، ٣𞸎+٤𞸑>٧، 𞸓=٠٦𞸎+٠٦𞸑

س١٨:

يُنتج مصنع نوعين من المكاتب المعدنية: النوع أ والنوع ب. يصنع عاملٌ المكاتب، ويدهنها عامل آخر. يستغرق العامل الأول ٣٫٥ ساعات لصنع وحدة من النوع أ، و ساعتين لصنع وحدة من النوع ب. يستغرق العامل الثاني ٤ ساعات لدهن وحدة من النوع أ و ساعتين لدهن وحدة من النوع ب. يعمل العامل الأول ٥ ساعات على الأقل يوميًّا، ويعمل العامل الآخر ٨ ساعات أقصى حدٍّ يوميًّا. إذا كان المصنع يحقِّق ربحًا ٥٠ جنيهًا مصريًّا من كل وحدة (من النوعين)، فحدِّد كم مكتبًا من كل نوع يجب إنتاجه يوميًّا لزيادة الربح.

  • أ٠وة من النوع أ، ٤وات من النوع ب.
  • ب٠وة من النوع أ، ون من النوع ب.
  • جون من النوع أ، ٠وة من النوع ب.
  • د٤وات من النوع أ، ٠وة من النوع ب.

س١٩:

عبوتان من منتجات التغذية، توفِّر الأولى للجسم ٤ سعرات حرارية، و٦ من فيتامين C، وتوفِّر الثانية ٣ سعرات حرارية، و٤ من فيتامين C. نحن نحتاج على الأقل إلى ٣٧ سعرًا حراريًّا، و٢٢ من فيتامين C. سعر العبوة الأولى ٦ جنيهات مصرية، وسعر العبوة الثانية ٨ جنيهات مصرية. باستخدام 𞸎 لتمثيل كمية العبوات من النوع الأول، واستخدام 𞸑 لتمثيل عدد العبوات من النوع الثاني، أوجد دالة الهدف التي تحقِّق أقل تكلفة لشراء العناصر الغذائية اللازمة.

  • أ٤𞸎+٣𞸑٧٣
  • ب𞸓=٦𞸎+٨𞸑
  • ج𞸓=٦𞸎+٤𞸑
  • د𞸓=٧٣𞸎+٢٢𞸑
  • ه𞸓<٦𞸎+٨𞸑

س٢٠:

يستطيع مُزارعٌ تحسين جودة إنتاجه في حال استخدامه ٨١وة على الأقل من مركَّبات النيتروجين، و٦وات على الأقل من مركَّبات الفوسفات. يمكنه استخدام نوعين من الأسمدة: أ، ب. يوضِّح الجدول تكلفة كل نوع من الأسمدة ومحتوياته.

السمادعدد وحدات مركبات النيتروجين لكل كيلوجرامعدد وحدات مركبات الفوسفات لكل كيلوجرامالتكلفة لكل كيلوجرام (بالجنيه)
أ٣٢١٧٠
ب٦١١٢٠

إذا كان الشكل الموضَّح يمثِّل الشروط المذكورة بالجدول، فأوجد أقل تكلفة يدفعها المزارع لشراء الأسمدة؛ ليوفر كمية كافية من مركَّبات كلا النوعين.

س٢١:

يُنتِج أحد المصانع كراسي وطاولات، ويحاول تحديد العدد اللازم إنتاجه لزيادة أرباحه.

حدَّدت إدارة المصنع العوائق، ورسمت المنطقة الممثِّلة للحل كما هو موضَّح؛ حيث تمثِّل 𞸎 عدد الكراسي، وتمثِّل 𞸑 عدد الطاولات.

إذا وجدت الإدارة المشتري الذي وافق على دفع رسم يُحقِّق للمصنع ربحًا مقداره ١٥٠ لكل كرسي و١٨٠ لكل طاولة، فما أقصى ربحٍ يمكنهم توقُّعه؟

إذا لم يكن بالإمكان غير ضمان ربحٍ مقداره ٥٠ لكل كرسي و١٨٠ لكل طاولة، فما عدد الكراسي والطاولات اللازم إنتاجه لزيادة أرباح المصنع؟

  • أ٣٢ كرسيًّا، و٠ طاولة
  • ب٤٥ كرسيًّا، و٠ طاولة
  • ج٣٨ كرسيًّا، و١٨ طاولة
  • د١٨ كرسيًّا، و٣٨ طاولة
  • ه٠ كرسي، و٣٢ طاولة

س٢٢:

تقوم شركة صغيرة بصبغ القمصان بلون واحد أو بعدة ألوان، وترغب إدارة الشركة في تحديد عدد القمصان من كل نوع لتجهيزها لموسم التخفيضات المقبل. تبلغ الميزانية ٢٤٠ دولارًا أمريكيًّا، ويتكلَّف شراء كل قميص دولارين أمريكيين، ويتكلَّف صبغ القميص بلون واحد ٠٫٥٠ دولار أمريكي، بينما تبلغ تكلفة صبغه بعدة ألوان ١٫٥٠ دولار أمريكي. لا يتبقى للشركة سوى ٨ ساعات لتجهيز جميع القمصان، وتستغرق دقيقتين لصبغ قميص بلون واحد، وتستغرق ١٠ دقائق لصبغ قميص متعدد الألوان.

تريد الشركة زيادة الأرباح، علمًا بأنه يمكن بيع القمصان التي بلون واحد مقابل ٨ دولارات أمريكية لكل قميص، والقمصان المتعددة الألوان مقابل ١٠ دولارات أمريكية لكل قميص.

افترض أن 𞸎 يمثِّل عدد القمصان ذات اللون الواحد، 𞸑 يمثِّل عدد القمصان المتعددة الألوان. أيُّ الاختيارات الآتية يوضِّح المنطقة الممثِّلة للحل؟

  • أ
  • ب
  • ج
  • د

حدِّد دالة الهدف.

  • أ󰎨(𞸎،𞸑)=٢𞸎+٥٫١𞸑+٠٤٢
  • ب󰎨(𞸎،𞸑)=٢𞸎+٠١𞸑٠٨٤
  • ج󰎨(𞸎،𞸑)=٨𞸎+٠١𞸑
  • د󰎨(𞸎،𞸑)=٥٫٢𞸎+٥٫٣𞸑٠٤٢
  • ه󰎨(𞸎،𞸑)=٢𞸎+٥٫١𞸑

ما عدد القمصان من كل نوع التي يجب على الشركة إنتاجها لزيادة أرباحها؟

  • أ٠ قميص من ذات اللون الواحد، ٤٨ قميصًا من متعددة الألوان
  • ب٨٩ قميصًا من ذات اللون الواحد، ٦٩ قميصًا من متعددة الألوان
  • ج٦٩ قميصًا من ذات اللون الواحد، ٤٠ قميصًا من متعددة الألوان
  • د٤٠ قميصًا من ذات اللون الواحد، و٤٠ قميصًا من متعددة الألوان
  • ه٤٨ قميصًا من ذات اللون الواحد، ٠ قميص من متعددة الألوان

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.