ملف تدريبي: البرمجة الخطية

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد الحل الأمثل لنظام خطي يتضمَّن دالة هدف وعدة قيود.

س١:

أوجد قيمتَي 𞸎، 𞸑 اللتين تحقِّقان أقصى قيمة للدالة 𞸓=٥𞸎+٢𞸑. اكتب إجابتك في صورة النقطة (𞸎،𞸑).

  • أ ( ٠ ، ٨ )
  • ب ( ٧ ، ٠ )
  • ج ( ٣ ، ٠ )
  • د ( ٧ ، ٨ )

س٢:

أوجد أقصى قيمة ممكنة لدالة الهدف 𞸋=٢𞸎+٦𞸑، إذا كانت الشروط 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٦، ٣𞸎+𞸑٩، 𞸎+٢𞸑٨.

س٣:

بمعلومية التمثيل البياني التالي، وأن 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٧، 𞸑٥، حدِّد أي نقطة للدالة 𞸓=٣𞸎𞸑 تكون هي نقطتها العظمى باستخدام البرمجة الخطية.

  • أ 𞸢
  • ب 󰏡
  • ج 𞸁
  • د 𞸃

س٤:

باستخدام البرمجة الخطية، أوجد القيمتين العظمى والصغرى للدالة 𞸓=٤𞸎٣𞸑، علمًا بأن 𞸎٠، 𞸑٠، 𞸎+𞸑٩، 𞸑٥ .

  • أالقيمة الصغرى ٥١، القيمة العظمى ١.
  • بالقيمة الصغرى ٠، القيمة العظمى ٩.
  • جالقيمة الصغرى ٧٢، القيمة العظمى ١.
  • دالقيمة الصغرى ٧٢، القيمة العظمى ٥١.

س٥:

أوجد أقل قيمة ممكنة لـ 𞸏=𞸎+𞸎١٢؛ حيث 𞸎+𞸎٢١٢، 𞸎+٣𞸎٠٢١٢، 𞸎+𞸎٨١١٢.

  • أ٢
  • ب١٦
  • ج٩
  • د١
  • ه٧

س٦:

أوجد القيم العظمى والصغرى لـ 𞸏=𞸎٢𞸎+𞸎١٢٣ المُقيدة بالشروط 𞸎+𞸎+𞸎٠١١٢٣، 𞸎+𞸎+𞸎٢١٢٣، 𞸎+٢𞸎+𞸎٧١٢٣ إن أمكن. جميع المتغيرات غير سالبة.

  • أالصغرى ١١٢، والعظمى ٥
  • بالصغرى ٧، والعظمى ٧
  • جالصغرى ٧٢، والعظمى ٧
  • دالصغرى ٣١٢، والعظمى ٥
  • هالصغرى ٧، والعظمى ٥

س٧:

أوجد قيم 𞸏=𞸎٢𞸎٣𞸎١٢٣ العظمى والصغرى التي تخضع للقيود 𞸎+𞸎+𞸎٨١٢٣، 𞸎+𞸎+٣𞸎١١٢٣، 𞸎+𞸎+𞸎٧١٢٣ إن أمكن. جميع المتغيرات غير سالبة.

  • أالقيمة الصغرى ٠٢، والقيمة العظمى ٧
  • بالقيمة الصغرى ٠٢، والقيمة العظمى ٦
  • جالقيمة الصغرى ١٢، والقيمة العظمى ٦
  • دالقيمة الصغرى ١٢، والقيمة العظمى ٧

س٨:

أوجد قيم 𞸏=٢𞸎+𞸎١٢ العظمى والصغرى المقيدة بالشرطين 𞸎𞸎+𞸎٠١١٢٣، 𞸎+𞸎+𞸎١١٢٣، 𞸎+٢𞸎+𞸎٧١٢٣ إن أمكن. جميع المتغيرات غير سالبة.

  • أالقيمة الصغرى ٠، والقيمة العظمى ٧
  • بالقيمة الصغرى ١، والقيمة العظمى ٧
  • جالقيمة الصغرى ١، والقيمة العظمى ١٤
  • دالقيمة الصغرى ٠، والقيمة العظمى ١٤

س٩:

أوجِد القيمة العظمى والقيمة الصغرى لـ 𞸏=𞸎٢𞸎١٢ المقيَّدة بالشروط 𞸎+𞸎+𞸎٠١١٢٣، 𞸎+𞸎+𞸎١١٢٣، 𞸎+٢𞸎+𞸎٧١٢٣ إن أمكن، علمًا بأن جميع المتغيِّرات غير سالبة.

  • أالقيمة الصغرى ٧، والقيمة العظمى ٧
  • بالقيمة الصغرى ٧٢، والقيمة العظمى ٧
  • جالقيمة الصغرى ٣١٢، والقيمة العظمى ٦
  • دالقيمة الصغرى ٧، والقيمة العظمى ٦

س١٠:

أوجد قيم 𞸏=𞸎+٢𞸎١٢ العظمى والصغرى، المقيدة بالشروط 𞸎𞸎+𞸎٠١١٢٣، 𞸎+𞸎+𞸎١١٢٣، 𞸎+٢𞸎+𞸎٧١٢٣، إن أمكن. جميع المتغيرات غير سالبة.

  • أالقيمة الصغرى ١، والقيمة العظمى ٧
  • بالقيمة الصغرى ١، والقيمة العظمى ٧٢٢
  • جالقيمة الصغرى ٠، والقيمة العظمى ٧٢٢
  • دالقيمة الصغرى ٠، والقيمة العظمى ٧

س١١:

يقدِّم مطعم للمأكولات البحرية نوعين من السمك؛ البلطي والبوري. يبيع المطعم ما لا يقل عن في اليوم، ولكنه لا يستهلك أكثر من ولا أكثر من . سعر سمكة البلطي الواحدة ، وسعر سمكة البوري الواحدة . نفترض أن تمثِّل كمية سمك البلطي المبيع يوميًّا، وتمثِّل كمية سمك البوري المبيع يوميًّا. إذا كان مدير المطعم يريد تقليل السعر الكلي للسمك، فاكتب دالة الهدف والمتباينة التي سوف تساعده ليقرر عدد الأسماك التي سوف يشتريه من كل نوع.

  • أ ، ، ، ، ،
  • ب ، ، ، ، ،
  • ج ، ، ، ، ،
  • د ، ، ، ، ،
  • ه ، ، ، ، ،

س١٢:

محل حلوى يبيع كيس حلوى المارشملو بمبلغ ٥ جنيهات مصرية وكيس حلوى الجيلي بمبلغ ٦ جنيهات مصرية. يُريد طفل شراء كِلا النوعين، ويوضِّح الشكل التالي الشروط المفروضة على ما يُمكِن للطفل شراؤه؛ حيث 𞸎 يُمثِّل عدد أكياس حلوى المارشملو التي يمكنه شراؤها، 𞸑 يُمثِّل عدد أكياس حلوى الجيلي التي يمكنه شراؤها. ما أقل سعر يمكن للطفل أن يدفعه في تلك الحالة؟

س١٣:

مصنع صغير يُنتِج نوعين من الأثاث المعدني 󰏡، 𞸁. يمكن أن يُنتِج المصنع على الأكثر ٥٢ أثاث معدنية في المجمل. رِبْحُ المصنع من النوع 󰏡 يساوي ٦٠ جنيهًا مصريًّا ورِبْحه من النوع 𞸁 يساوي ٤٠ جنيهًا مصريًّا. يبيع المصنع على الأقل من النوع 󰏡ﺿ ما يبيعه من النوع 𞸁. اكتب دالة الهدف والمتباينات التي تساعدك في إيجاد أكبر ربح للمصنع.

  • أ 󰏡 ٠ ، 𞸁 ٠ ، 󰏡 + 𞸁 ٥ ٢ ، 󰏡 ٢ 𞸁 ، 𞸓 ٠ ٦ 󰏡 + ٠ ٤ 𞸁
  • ب 󰏡 ٠ ، 𞸁 ٠ ، 󰏡 + 𞸁 ٥ ٢ ، 󰏡 = ٢ 𞸁 ، 𞸓 = ٠ ٦ 󰏡 + ٠ ٤ 𞸁
  • ج 󰏡 ٠ ، 𞸁 ٠ ، 󰏡 + 𞸁 = ٥ ٢ ، 󰏡 ٢ 𞸁 ، 𞸓 = ٠ ٦ 󰏡 + ٠ ٤ 𞸁
  • د 󰏡 ٠ ، 𞸁 ٠ ، 󰏡 + 𞸁 ٥ ٢ ، 󰏡 ٢ 𞸁 ، 𞸓 = ٠ ٦ 󰏡 + ٠ ٤ 𞸁

س١٤:

يُنتج مطعم لأغذية الأطفال نوعين من الأغذية بقيم غذائية مختلفة. النوع الأول يُرمَز له بالرمز 𞸎، سعره ٣ جنيهات مصرية للعلبة الواحدة التي تحتوي على ٣وات من فيتامين أ، و٢ من فيتامين ب. النوع الثاني يرمز له بالرمز 𞸑، سعره ٤ جنيهات مصرية للعلبة الواحدة التي تحتوي على ٤وات من فيتامين أ، و٣ من فيتامين ب. يحتاج الطفل على الأقل إلى ٠٢١وة من فيتامين أ، و١٠٠ من فيتامين ب لتلبية احتياجاته الغذائية. اذكر دالة الهدف، وقيود المتباينة اللازمة، لتحديد الكمية التي ينبغي شراؤها من كل نوع بأرخص سعر ممكن.

  • أ 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 ٠ ٢ ١ ، ٢ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٠ ٠ ١ ، 𞸋 = ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑
  • ب 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٣ 𞸎 + ٢ 𞸑 ٠ ٢ ١ ، ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٠ ٠ ١ ، 𞸋 = ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑
  • ج 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 ٠ ٢ ١ ، ٢ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٠ ٠ ١ ، 𞸋 ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑
  • د 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 ٠ ٢ ١ ، ٢ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٠ ٠ ١ ، 𞸋 = ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑

س١٥:

مصنع أغذية أطفال يُنتِج نوعين مختلفين من عبوات طعام الأطفال بقِيَم غذائية مختلفة. تحتوي عبوة واحدة من النوع الأول على و من فيتامين أ، ٤وات من فيتامين ب، وتحتوي عبوة واحدة من النوع الثاني على ٤وات من فيتامين أ، و من فيتامين ب. يحتاج كلُّ طفل إلى ٠٠١وة من فيتامين أ، ٠٤١وة من فيتامين ب على الأقل في كلِّ شهر. إذا كان سعر العبوة الواحدة من النوع الأول ٦ جنيهات مصرية وسعر العبوة الواحدة من النوع الثاني ٤ جنيهات مصرية، فأوجد دالة الهدف واحسب أقل تكلفة مُمكِنة لتزويد طفل واحد بالمواد الغذائية اللازمة شهريًّا باستخدام التمثيل البياني الموضَّح.

  • أ 𞸏 = ٦ 𞸎 + ٤ 𞸑 ، وأقل تكلفة ممكنة هي ٢٢٠ جنيهًا مصريًّا
  • ب 𞸏 = ٢ 𞸎 + ٤ 𞸑 ، وأقل تكلفة ممكنة هي ١٠٠ جنيه مصري
  • ج 𞸏 = ٤ 𞸎 + ٦ 𞸑 ، وأقل تكلفة ممكنة هي ١‎ ‎٨٠٠ جنيه مصري
  • د 𞸏 = ٤ 𞸎 + ٦ 𞸑 ، وأقل تكلفة ممكنة هي ٤٢٠ جنيهًا مصريًّا
  • ه 𞸏 = ٦ 𞸎 + ٤ 𞸑 ، وأقل تكلفة ممكنة هي ٢٨٠ جنيهًا مصريًّا

س١٦:

يُنتج مصنع لأغذية الأطفال نوعين من عبوات الأغذية بقيم غذائية مختلفة. النوع الأول به ٤وات من فيتامين أ، وون من فيتامين ب، والنوع الثاني به ون من فيتامين أ، و٣وات من فيتامين ب. يحتاج كل طفل على الأقل إلى ٠٢١وة من فيتامين أ، و٠٠١وة من فيتامين ب لكل وجبة. تبلغ تكلفة النوع الأول ٦ جنيهات مصرية، وتبلغ تكلفة النوع الثاني ٤ جنيهات مصرية. باستخدام الرسم البياني التالي، أوجد عدد العبوات التي يستهلكها كل طفل لتُزوِّده بالعناصر الغذائية اللازمة لكل وجبة بأقل تكلفة ممكنة.

  • أالعبوات من النوع الأول = ٢٠، والعبوات من النوع الثاني = ٢٠
  • بالعبوات من النوع الأول = ٠، والعبوات من النوع الثاني = ٦٠
  • جالعبوات من النوع الأول = ٣٠، والعبوات من النوع الثاني = ٠
  • دالعبوات من النوع الأول = ٢٠، والعبوات من النوع الثاني = ٢٠
  • هالعبوات من النوع الأول = ٠، والعبوات من النوع الثاني = ٣٣

س١٧:

تنتج ورشة بها عاملان نوعين من المكاتب المعدنية: النوع أ والنوع ب. يقوم أحد العاملَيْن بتصنيع المكاتب، ويقوم الآخر بطلائها. يستغرق العامل الأول ٤ ساعات لصناعة وحدة من النوع أ، و٣ ساعات لصناعة وحدة من النوع ب، في حين يستغرق العامل الثاني ٣ ساعات لطلاء وحدة من النوع أ و٤ ساعات لطلاء وحدة من النوع ب. يعمل العامل الأول ٥ ساعات على الأقل يوميًّا، ويعمل الآخر ٧ ساعات يوميًّا كحدٍّ أقصى. إذا كانت الورشة تحقِّق ربحًا قيمته ٦٠ جنيهًا مصريًّا (من كل وحدة)، فأوجد دالة الهدف والمتباينة المطلوبة لحساب عدد الوحدات اللازم إنتاجها يوميًّا من كل نوع لزيادة الربح 𞸓 لأعلى معدل.

  • أ 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 > ٥ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 < ٧ ، 𞸓 ٠ ٦ 𞸎 + ٠ ٦ 𞸑
  • ب 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٥ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 ٧ ، 𞸓 = ٠ ٦ 𞸎 + ٠ ٦ 𞸑
  • ج 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٥ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 ٧ ، 𞸓 = ٠ ٦ 𞸎 + ٠ ٦ 𞸑
  • د 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 < ٥ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 > ٧ ، 𞸓 = ٠ ٦ 𞸎 + ٠ ٦ 𞸑
  • ه 𞸎 ٠ ، 𞸑 ٠ ، ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٥ ، ٣ 𞸎 + ٤ 𞸑 ٧ ، 𞸓 ٠ ٦ 𞸎 + ٠ ٦ 𞸑

س١٨:

يُنتج مصنع نوعين من المكاتب المعدنية: النوع أ والنوع ب. يصنع عاملٌ المكاتب، ويدهنها عامل آخر. يستغرق العامل الأول ٣٫٥ ساعات لصنع وحدة من النوع أ، و ساعتين لصنع وحدة من النوع ب. يستغرق العامل الثاني ٤ ساعات لدهن وحدة من النوع أ و ساعتين لدهن وحدة من النوع ب. يعمل العامل الأول ٥ ساعات على الأقل يوميًّا، ويعمل العامل الآخر ٨ ساعات أقصى حدٍّ يوميًّا. إذا كان المصنع يحقِّق ربحًا ٥٠ جنيهًا مصريًّا من كل وحدة (من النوعين)، فحدِّد كم مكتبًا من كل نوع يجب إنتاجه يوميًّا لزيادة الربح.

  • أ ٠ و ة من النوع أ، ون من النوع ب.
  • ب و ن من النوع أ، ٠وة من النوع ب.
  • ج ٠ و ة من النوع أ، ٤وات من النوع ب.
  • د ٤ و ا ت من النوع أ، ٠وة من النوع ب.

س١٩:

عبوتان من منتجات التغذية، توفِّر الأولى للجسم ٤ سعرات حرارية، و٦ من فيتامين C، وتوفِّر الثانية ٣ سعرات حرارية، و٤ من فيتامين C. نحن نحتاج على الأقل إلى ٣٧ سعرًا حراريًّا، و٢٢ من فيتامين C. سعر العبوة الأولى ٦ جنيهات مصرية، وسعر العبوة الثانية ٨ جنيهات مصرية. باستخدام 𞸎 لتمثيل كمية العبوات من النوع الأول، واستخدام 𞸑 لتمثيل عدد العبوات من النوع الثاني، أوجد دالة الهدف التي تحقِّق أقل تكلفة لشراء العناصر الغذائية اللازمة.

  • أ 𞸓 < ٦ 𞸎 + ٨ 𞸑
  • ب 𞸓 = ٦ 𞸎 + ٨ 𞸑
  • ج ٤ 𞸎 + ٣ 𞸑 ٧ ٣
  • د 𞸓 = ٧ ٣ 𞸎 + ٢ ٢ 𞸑
  • ه 𞸓 = ٦ 𞸎 + ٤ 𞸑

س٢٠:

يستطيع مُزارعٌ تحسين جودة إنتاجه في حال استخدامه ٨١وة على الأقل من مركَّبات النيتروجين، و٦وات على الأقل من مركَّبات الفوسفات. يمكنه استخدام نوعين من الأسمدة: أ، ب. يوضِّح الجدول تكلفة كل نوع من الأسمدة ومحتوياته.

السماد عدد وحدات مركبات النيتروجين لكل كيلوجرام عدد وحدات مركبات الفوسفات لكل كيلوجرام التكلفة لكل كيلوجرام (بالجنيه)
أ ٣ ٢ ١٧٠
ب ٦ ١ ١٢٠

إذا كان الشكل الموضَّح يمثِّل الشروط المذكورة بالجدول، فأوجد أقل تكلفة يدفعها المزارع لشراء الأسمدة؛ ليوفر كمية كافية من مركَّبات كلا النوعين.

س٢١:

يُنتِج أحد المصانع كراسي وطاولات، ويحاول تحديد العدد اللازم إنتاجه لزيادة أرباحه.

حدَّدت إدارة المصنع العوائق، ورسمت المنطقة الممثِّلة للحل كما هو موضَّح؛ حيث تمثِّل 𞸎 عدد الكراسي، وتمثِّل 𞸑 عدد الطاولات.