ملف تدريبي: طول قوس المنحنى القطبي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على استخدام قانون طول قوس من منحنًى قطبي للتعبير عن منحنًى بارامتري لإيجاد طوله.

س١:

اكتب التكامل الذي يُعبِّر عن طول قوس الشكل الحلزوني 𞸓=𝜃 بين 𝜃=٠، 𝜃=𝜋. لا تُوجِد قيمة التكامل.

  • أ 󰏅 𝜋 ٠ 󰋴 ١ + 𞸤 𝜃 ٢ 𞸃 𝜃
  • ب 󰏅 𝜋 ٠ 󰋴 ١ 𝜃 ٢ 𞸃 𝜃
  • ج 󰏅 𝜋 ٠ 󰋴 ١ 𞸤 𝜃 ٢ 𞸃 𝜃
  • د 󰏅 𝜋 ٠ 󰋴 ١ + 𝜃 ٢ 𞸃 𝜃

س٢:

الغرض من السؤال الحصول على أفضل تقديرات لطول المنحنى الحلزوني.

استخدم حقيقة أن 𞸎<١+𞸎<(١+𞸎)٢٢٢ عند 𞸎>٠، لإيجاد الحدين السفلي والعلوي لطول 𞸋 للمنحنى الحلزوني 𞸓=𝜃 بين 𝜃=٠، 𝜃=𝜋. قرِّب الإجابة لأقرب ٤ أرقام عشرية.

  • أ ٨ ٤ ٣ ٩ ٫ ٤ < 𞸋 < ٦ ٥ ٠ ٥ ٫ ٦
  • ب ٨ ٤ ٣ ٩ ٫ ٤ < 𞸋 < ٦ ٩ ٦ ٨ ٫ ٠ ١
  • ج ٦ ٩ ٦ ٨ ٫ ٩ < 𞸋 < ٧ ٢ ٥ ١ ٫ ٧ ١
  • د ٤ ٦ ٧ ٠ ٫ ٨ < 𞸋 < ٦ ٩ ٦ ٨ ٫ ٠ ١
  • ه ٨ ٤ ٣ ٩ ٫ ٤ < 𞸋 < ٤ ٦ ٧ ٠ ٫ ٨

بمقارنة 󰋴١+𞸎٢ بمتوسط 𞸎،١+𞸎 عند 𞸎>٠، أوجد أفضل حدين لتقدير 𞸋. قرِّب الإجابة لأقرب ٤ أرقام عشرية.

  • أ ٨ ٤ ٣ ٩ ٫ ٤ < 𞸋 < ٦ ٩ ٦ ٨ ٫ ٠ ١
  • ب ٨ ٤ ٣ ٩ ٫ ٤ < 𞸋 < ٤ ٦ ٧ ٠ ٫ ٨
  • ج ٨ ٤ ٣ ٩ ٫ ٤ < 𞸋 < ٦ ٥ ٠ ٥ ٫ ٦
  • د ٦ ٥ ٠ ٥ ٫ ٦ < 𞸋 < ٤ ٦ ٧ ٠ ٫ ٨
  • ه ٦ ٥ ٠ ٥ ٫ ٦ < 𞸋 < ٦ ٩ ٦ ٨ ٫ ٠ ١

س٣:

افترِض أن 𞸐 هو طول قوس المنحنى القطبي 𞸓=٣𝜃 على الفترة ٠𝜃𝜋٢. اكتب 𞸐 في صورة تكامل محدد.

  • أ 𞸐 = 󰏅 𝜋 ٢ ٠ 󰋴 ٣ 𝜃 ٢ + ٣ 𞸃 𝜃
  • ب 𞸐 = 󰏅 𝜋 ٢ ٠ ٣ 󰋴 𝜃 ٢ + ١ 𞸃 𝜃
  • ج 𞸐 = 󰏅 𝜋 ٢ ٠ 󰋴 ٠ ١ 𞸃 𝜃
  • د 𞸐 = 󰏅 𝜋 ٢ ٠ ٤ 𞸃 𝜃
  • ه 𞸐 = 󰏅 𝜋 ٢ ٠ 󰋴 ٣ 𝜃 + ٣ 𞸃 𝜃

باستخدام الآلة الحاسبة أو غيرها، أوجد قيمة 𞸐 وقرِّب إجابتك لأقرب ٤ أرقام عشرية.

س٤:

أوجد الطول الكلي لقوس المنحنى القطبي 𞸓=٣𝜃.

  • أ٦
  • ب ٩ 𝜋
  • ج ٦ 𝜋
  • د ٣ 𝜋
  • ه٣

س٥:

أوجد طول قوس المنحنى القطبي 𞸓=𝜃+𝜃؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة [٠،𝜋].

  • أ ٢ 𝜋
  • ب ٢ 󰋴 ٢
  • ج 󰋴 ٢ 𝜋
  • د ٤ 𝜋
  • ه ٢ 󰋴 ٢ 𝜋

س٦:

في المنحنى القطبي 𞸓=١𝜃، تقع 𝜃 في الفترة [٠،٢𝜋]. أوجد التكامل المُحدَّد الذي يُمثِّل طول قوس هذا المنحنى.

  • أ 󰏅 󰋴 𝜃 ١ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠
  • ب 󰏅 󰋴 𝜃 + ١ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢ ٢
  • ج 󰏅 𝜃 + ١ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢ ٢
  • د٠
  • ه 󰏅 󰋴 𝜃 ١ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢ ٢

س٧:

في المنحنى القطبي 𞸓=١+𝜃، تقع 𝜃 في الفترة [٠،٢𞸈]. أوجد التكامل المحدد الذي يُمثِّل طول قوس هذا المنحنى.

  • أ 󰏅 󰋴 ٢ + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𞸈 ٠
  • ب 󰏅 ( ١ + 𝜃 + 𝜃 ) 𞸃 𝜃 ٢ 𞸈 ٠
  • ج 󰏅 ( ٢ + ٢ 𝜃 ) 𞸃 𝜃 ٢ 𞸈 ٠
  • د 󰏅 󰋴 ١ + 𝜃 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𞸈 ٠
  • ه 󰏅 󰋴 ١ + 𝜃 + 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𞸈 ٠

س٨:

أوجد طول المنحنى القطبي 𝑟=٥𝜃؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة [٠،٢𝜋].

  • أ 󰋴 ٢ ( ٥ ٢ ١ ) 𝜋
  • ب 󰋴 ١ + ( ٥ ) ٥ ( ٥ ٢ ١ ) 𞸤 ٢ 𞸤 𝜋
  • ج ٢ 󰋴 ١ + ( ٥ ) ٥ ( ٥ ٢ ١ ) 𞸤 ٢ 𞸤 𝜋
  • د ٥ ٢ 󰋴 ١ + ( ٥ ) ٥ 𝜋 𞸤 ٢ 𞸤
  • ه 󰋷 ١ + ( ٥ ) ( ٥ ٢ ١ ) 𞸤 ٢ 𝜋

س٩:

أوجد تكامل محدد يُمثِّل طول قوس المنحني 𞸓=١+𝜃 على الفترة ٠𝜃٢𝜋.

  • أ 󰏅 ٢ + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠
  • ب 󰏅 󰋴 ٢ + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٠
  • ج 󰏅 󰋴 ٢ 𝜃 + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢
  • د 󰏅 󰋴 ٢ + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠
  • ه 󰏅 󰋴 ١ + 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢

س١٠:

أوجد طول قوس المنحنى القطبي الذي يُعطى بالعلاقة 𞸓=𞸤٣𝜃 على الفترة ٠𝜃٢.

  • أ 󰋴 ٠ ١ ٣ 󰁓 𞸤 ١ 󰁒 ٦
  • ب ٤ ٣ 󰁓 𞸤 ١ 󰁒 ٣
  • ج 󰋴 ٠ ١ ٣ 󰁓 𞸤 ١ 󰁒 ٦ 𝜋
  • د 󰋴 ٠ ١ 󰁓 𞸤 ١ 󰁒 ٦
  • ه ٠ ١ 󰁓 𞸤 ١ 󰁒 ٢ ١

س١١:

أوجد طول قوس المنحنى القطبي 𞸓=١𝜃 على الفترة ٠𝜃٢𝜋.

س١٢:

أوجد طول القوس للمنحنى القطبي𞸓=٦؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة 󰂗٠،𝜋٢󰂖.

  • أ ٣ 𝜋 ٢
  • ب ٦ 𝜋
  • ج ٣ 𝜋
  • د ٨ ١ 𝜋
  • ه 󰋴 ٦ 𝜋 ٢

س١٣:

اعتبر المنحنى القطبي 𞸓=٤𝜃؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة 󰂗٠،𝜋٢󰂖. أوجد التكامل المحدد الذي يمثِّل طول قوس هذا المنحنى.

  • أ 󰏅 ٢ 󰋴 𝜃 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠
  • ب 󰏅 ٢ 󰋴 𝜃 + 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠
  • ج 󰏅 ٦ ١ 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠
  • د 󰏅 ٤ 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠
  • ه 󰏅 ( ٤ 𝜃 ٤ 𝜃 ) 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠

س١٤:

أوجد طول القوس للمنحنى القطبي 𞸓=٦𝜃؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة 󰂗٠،𝜋٢󰂖.

  • أ٦
  • ب ٣ 𝜋
  • ج ٨ ١ 𝜋
  • د ٣ ٢ 𝜋
  • ه ٦ 𝜋

س١٥:

أوجد طول القوس للمنحنى القلبي 𞸓=٢+٢𝜃.

س١٦:

لدينا المنحنى القطبي 𞸓=٢𝜃؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة 󰂗٠،𝜋٣󰂖. أوجد التكامل المحدد الذي يُمثِّل طول قوس ذلك المنحنى.

  • أ 󰏅 ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٣ ٠ ٢
  • ب 󰏅 󰋴 ٤ 𝜃 + ٢ 𝜃 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٣ ٠ ٢
  • ج 󰏅 ٤ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٣ ٠ ٤
  • د 󰏅 󰋴 ٢ 𝜃 ٢ 𝜃 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٣ ٠
  • ه 󰏅 󰋴 ٢ 𝜃 + ٢ 𝜃 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٣ ٠

س١٧:

أوجد طول قوس المنحنى القطبي 𞸓=٨+٨𝜃 على مدار الفترة ٠𝜃𝜋.

س١٨:

افترض أن 𞸋 طول القوس للمنحنى القطبي 𞸓=٢𝜃٢ على الفترة ٠𝜃𝜋. عبِّر عن 𞸋 في صورة تكامل محدد.

  • أ 𞸋 = 󰏅 󰋴 ٢ 𝜃 + ٤ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٠ ٢
  • ب 𞸋 = 󰏅 󰋴 ١ + ٤ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٠
  • ج 𞸋 = 󰏅 󰋴 ١ + ٦ ١ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٠ ٢
  • د 𞸋 = 󰏅 󰋴 ٢ 𝜃 + ٤ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٠ ٤ ٢
  • ه 𞸋 = 󰏅 ٢ 󰋴 𝜃 + ٤ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٠ ٤ ٢

باستخدام الآلة الحاسبة أو غيرها، أوجد قيمة 𞸋 مقربًا إجابتك لأقرب ٣ أرقام عشرية.

س١٩:

افترِض أن 𞸐 طول قوس المنحنى القطبي 𞸓=󰂔𝜃٢󰂓٢ على الفترة ٠𝜃𝜋. عبِّر عن 𞸐 باعتباره تكاملًا محددًا.

  • أ 𞸐 = 󰏅 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 󰋺 ١ + ٣ 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 𞸃 𝜃 𝜋 ٠ ٢
  • ب 𞸐 = 󰏅 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 𞸃 𝜃 𝜋 ٠
  • ج 𞸐 = 󰏅 󰋺 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 + 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 𞸃 𝜃 𝜋 ٠
  • د 𞸐 = 󰏅 󰋺 ١ + 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 𞸃 𝜃 𝜋 ٠ ٢ ٢
  • ه 𞸐 = 󰏅 󰋺 ١ + 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 󰂔 𝜃 ٢ 󰂓 𞸃 𝜃 𝜋 ٠

باستخدام الآلة الحاسبة أو غير ذلك، أوجد قيمة 𞸐. قرِّب إجابتك لأقرب ٤ أرقام عشرية.

س٢٠:

افترِض أن 𞸋 طول القوس للمنحنى القطبي 𞸓=٢𝜃 على الفترة 𝜋𝜃٢𝜋. اكتب 𞸋 في صورة تكامل محدد.

  • أ 𞸋 = 󰏅 󰋺 ٢ 𝜃 + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 𝜋 ٢ ٤
  • ب 𞸋 = 󰏅 󰋺 ٢ 𝜃 + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 𝜋 ٢
  • ج 𞸋 = 󰏅 ٢ 󰋺 𝜃 + ١ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 𝜋 ٢ ٤
  • د 𞸋 = 󰏅 󰋺 ١ + ٤ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 𝜋 ٤
  • ه 𞸋 = 󰏅 󰋺 ١ + ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 𝜋 ٢

باستخدام الآلة الحاسبة أو غير ذلك، أوجد قيمة 𞸋 وقرِّب إجابتك لأقرب ٤ أرقام عشرية.

س٢١:

أوجد التكامل المحدد الذي يُمثِّل طول القوس 𞸓=٤𝜃 في الفترة ٠𝜃𝜋٢.

  • أ 󰏅 ٤ 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠
  • ب 󰏅 󰋴 ١ + ٦ ١ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠ ٢
  • ج ٢ 󰏅 󰋴 𝜃 + 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠
  • د 󰏅 ٤ 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠
  • ه 󰏅 ٤ 󰋴 ٢ 𝜃 𞸃 𝜃 𝜋 ٢ ٠

س٢٢:

أوجد طول المنحنى القطبي 𞸓=٦𝜃+٨𝜃؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة [٠،𝜋].

  • أ ٠ ٠ ٢ 𝜋
  • ب ٥ 𝜋
  • ج ٠ ١ 𝜋
  • د ٠ ٢ 𝜋
  • ه ٠ ٠ ١ 𝜋

س٢٣:

أوجد طول قوس المنحنى القطبي 𞸓=𝜃٢؛ حيث 𝜃 تقع في الفترة [٠،٢𝜋].

  • أ ٤ ٣ 󰂗 󰁓 𝜋 + ١ 󰁒 ١ 󰂖 ٢ ٣ ٢
  • ب ٨ ٣ 󰂗 󰁓 𝜋 + ١ 󰁒 ١ 󰂖 ٢ ٣ ٢
  • ج ٦ ٩ 𝜋 + ٠ ٦ ١ 𝜋 ٥ ١ ٥ ٣
  • د ١ ٣ 󰂗 󰁓 ٤ 𝜋 + ١ 󰁒 ١ 󰂖 ٢ ٣ ٢
  • ه ٦ ١ ٣ 󰂗 󰁓 𝜋 + ١ 󰁒 ١ 󰂖 ٢ ٣ ٢

س٢٤:

أوجد التكامل غير المحدد الذي يُمثِّل طول القوس على الفترة .

  • أ
  • ب
  • ج
  • د
  • ه

س٢٥:

في المنحنى القطبي 𞸓=𝜃، تقع 𝜃 على الفترة [٠،٢𝜋]. أوجد التكامل المحدد الذي يمثل طول قوس هذا المنحنى.

  • أ 󰏅 󰋴 𝜃 + ١ 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢
  • ب 󰏅 󰋴 𝜃 ١ 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢
  • ج 󰏅 󰁓 𝜃 + ١ 󰁒 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠ ٢
  • د 󰏅 ( 𝜃 + ١ ) 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠
  • ه 󰏅 󰋴 𝜃 + ١ 𞸃 𝜃 ٢ 𝜋 ٠

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.