ورقة تدريب: تحويلات موبيوس

في ورقة التدريب هذه، سوف نتدرَّب على تفسير تحويل موبيوس في المستوى المركب.

س١:

افترض تحويلات موبيوس 𞸍(𞸏)=𞸏+٣𞸕𞸕𞸏٢١، 𞸍(𞸏)=𞸕𞸏+١٢𞸏٢؛ حيث 𞸏٢𞸕، أو ٠.

اكتب تعبيرًا عن تركيب 𞸍𞸍(𞸏)١٢.

  • أ𞸍𞸍(𞸏)=٢𞸕𞸏٥٢𞸏+٦𞸕١٢
  • ب𞸍𞸍(𞸏)=٧𞸕𞸏+١٥𞸏+𞸕١٢
  • ج𞸍𞸍(𞸏)=(١+𞸕)𞸏+١+٣𞸕(٢+𞸕)𞸏٢١٢
  • د𞸍𞸍(𞸏)=٧𞸕𞸏+١(٤+𞸕)𞸏+١١٢
  • ه𞸍𞸍(𞸏)=(١+𞸕)𞸏٢+٣𞸕٢𞸏+٦𞸕١٢

س٢:

يُعرَف التحويل الذي يحوِّل المستوى 𝑧 إلى المستوى 𝑤 بـ 𝑇𝑧1𝑧؛ حيث 𝑧0.

أوجد معادلة لصورة |𝑧|=2 وفقًا للتحويل.

  • أ|𝑤|=1
  • ب|𝑤|=12
  • ج𝑤=2
  • د𝑤=12
  • ه|𝑤|=2

أوجد معادلة لصورة arg(𝑧)=3𝜋4.

  • أarg(𝑤)=𝜋4
  • بarg(𝑤)=3𝜋4
  • جarg(𝑤)=43𝜋
  • دarg(𝑤)=𝜋4
  • هarg(𝑤)=3𝜋4

أوجد معادلة كارتيزية لصورة Im(𝑧)=2.

  • أ𝑢+𝑣+14=116
  • ب𝑢+𝑣+12=14
  • ج2𝑢+2𝑣+14=116
  • د𝑣=0
  • ه𝑣=12

أوجد معادلة كارتيزية لصورة |𝑧𝑖|=12.

  • أ𝑢+𝑣+43=49
  • ب𝑢+𝑣+83=0
  • ج𝑢+𝑣+43=0
  • د𝑢+𝑣=0
  • ه𝑢+𝑣+43=49

س٣:

التحويل الذي يربط المستوى 𝑧 بالمستوى 𝑤 هو 𝑇𝑧13𝑧6𝑖.

أوجد المعادلة الكارتيزية لصورة |𝑧+2|=3.

  • أ𝑢23+𝑣23=1
  • ب𝑢23+𝑣+23=1
  • ج𝑢43𝑢+𝑣43𝑣16𝑢𝑣19=0
  • د𝑢23+𝑣+23=0
  • ه𝑢221+𝑣+221=5147

أوجد المعادلة الكارتيزية لصورة Re(𝑧)=5.

  • أ𝑢130𝑣=1900
  • ب𝑢115+𝑣=1225
  • ج𝑢130+𝑣=1900
  • د𝑢115𝑣=1225
  • ه𝑢+𝑣=5

س٤:

التحويل، 𝑇، الذي يحوِّل المستوى 𝑧 إلى المستوى 𝑤 نحصل عليه من العلاقة 𝑇(𝑧)=(2+𝑖)𝑧+4𝑧𝑖؛ حيث 𝑧𝑖.

أوجد المعادلة الكارتيزية لصورة المحور التخيلي تحت التحويل 𝑇.

  • أ(𝑢1)+𝑣+52=134
  • ب𝑣=432𝑢
  • ج𝑣=32𝑢4
  • د𝑣=32𝑢+4
  • ه(𝑢1)+𝑣+52=12

بناءً على ذلك، أوجد صورة Im(𝑧)>0 تحت التحويل 𝑇.

  • أ𝑣>432𝑢
  • ب(𝑢1)+𝑣+52>134
  • ج𝑣<432𝑢
  • د𝑣>32𝑢4
  • ه(𝑢1)+𝑣+52<134

س٥:

أيُّ تحويلات موبيوس يُحوِّل |𞸏|=١ إلى المحور الحقيقي؟

  • أ𞸇(𞸏)=𞸏٢𞸏+٢
  • ب𞸇(𞸏)=𞸏١𞸏+١
  • ج𞸇(𞸏)=𞸕𞸏+𞸕𞸏+١
  • د𞸇(𞸏)=𞸕𞸏٢𞸕𞸏+٢
  • ه𞸇(𞸏)=𞸕𞸏𞸕𞸏+١

س٦:

افترض أن 󰎨𞹇𞹇 تحويل خطي فيه 󰎨(٢)=٧. ما قيمة 󰎨(١)؟

  • أ٧٢
  • بيعتمد ذلك على تعريف 󰎨.
  • ج١
  • د٢٧
  • ه٧

س٧:

افترِض أن 𝐿 عبارة عن تحويل خطي. ما قيمة 𝐿(0)؟

س٨:

أيُّ تحويلات موبيوس 󰎨 ينقل ٢ إلى ٠، و٠ إلى ٣، وله ـــــ𞸏󰎨(𞸏)=٣𞸕؟

  • أ󰎨(𞸏)=𞸏+٢𞸕٣𞸕𞸏٦𞸕
  • ب󰎨(𞸏)=٣𞸕𞸏٦𞸕𞸏+٢𞸕
  • ج󰎨(𞸏)=𞸏+١٣𞸕𞸏١٦𞸕١٢𞸕
  • د󰎨(𞸏)=𞸕𞸏٣٣𞸏+٦
  • ه󰎨(𞸏)=٣𞸏+٦𞸕𞸏٣

س٩:

أوجد المعادلة للصورة arg(𝑧)=𝜋2 طبقًا لعملية التحويل 𝑤=𝑧7𝑧2𝑖، 𝑧2𝑖7، التي تربط بين المستوى-𝑧 والمستوى-𝑤.

  • أarg(𝑤)=𝜋2
  • بarg(𝑤)=𝜋2
  • جarg(𝑤)=0
  • دarg(𝑤)=2𝜋3
  • هarg(𝑤)=𝜋6

س١٠:

التحويل الهندسي 󰎨 الذي يُحوِّل المستوى 𞸏١ إلى المستوى 𞸏٢ يُعطَى بالعلاقة 󰎨(𞸏)=𞸕𞸏+٢(٢𞸕)𞸏+٤𞸕١١١؛ حيث 𞸏٤𞸕٢𞸕١. أوجد صورة المنطقة |𞸏+٢𞸕||𞸏٣𞸕|١١ طبقًا للتحويل الهندسي 󰎨.

  • أ󰂔𞸎+٠١٩󰂓+󰂔𞸑+١٩󰂓٨٩٢٢
  • ب󰂔𞸎+٠١٩󰂓+󰂔𞸑١٩󰂓٨٩٢٢
  • ج󰂔𞸎+٠١٩󰂓+󰂔𞸑١٩󰂓٤٧١٨٢٢
  • د󰂔𞸎٤٩󰂓+󰂔𞸑١٣󰂓٤٣١٨٢٢
  • ه󰂔𞸎+٠١٩󰂓+󰂔𞸑١٩󰂓٨٩٢٢

س١١:

إذا كان 󰏡𞸃𞸁𞸢=٠، فبسِّط المقدار 󰏡𞸏+𞸁𞸢𞸏+𞸃؛ حيث 𞸏𞸃𞸢.

  • أ󰏡+𞸁𞸢+𞸃
  • ب𞸁𞸢
  • ج𞸢󰏡
  • د󰏡𞸃
  • ه𞸁𞸃

س١٢:

يُحسَب التحويل الذي يربط المستوى 𞸏١ بالمستوى 𞸏٢ بالمعادلة: 𞸏=𞸕𞸏+٦𞸏٣𞸕٢١١؛ حيث 𞸏٣𞸕١.

أوجد المعادلة الديكارتية للصورة |𞸏|=٣١ بعد التحويل.

  • أ𞸎+󰂔𞸑١٢󰂓=٣٤٢٢
  • ب𞸎+𞸑=٣٤٢٢
  • ج𞸑=٣٢
  • د𞸏=𞸕+٢١𞸕٢
  • ه𞸑=٣٤

أوجد المعادلة الديكارتية للصورة |𞸏|=١١ بعد التحويل.

  • أ𞸎+󰂔𞸑٧١٨󰂓=٩٤٢٢
  • ب𞸎+󰂔𞸑+٧١٨󰂓=٩٤٦٢٢
  • ج𞸎+󰂔𞸑٧١٨󰂓=٩٤٦٢٢
  • د𞸎+󰂔𞸑٥٢󰂓=٣٢٢
  • ه𞸎+󰂔𞸑٥٢󰂓=٣٤٢٢

س١٣:

إذا كان تحويلَا موبيوس 󰎨(𞸏)=󰏡𞸏+𞸁𞸢𞸏+𞸃١، 󰎨(𞸏)=𝛼𞸏+𝛽𝛾𞸏+𝛿٢، فاكتب مقدارًا للتركيب 󰎨󰎨١٢ بدلالة 󰏡، 𞸁، 𞸢، 𞸃، 𝛼، 𝛽، 𝛾، 𝛿 وحدِّد إذا ما كان التحويل الناتج هو تحويل موبيوس.

  • أ󰎨󰎨(𞸏)=󰏡𝛼𞸏+𞸁𝛽𞸢𝛾𞸏+𞸃𝛿١٢ ليس تحويل موبيوس.
  • ب󰎨󰎨(𞸏)=(󰏡𝛼+𞸢𝛽)𞸏+(𞸁𝛼+𞸃𝛽)(󰏡𝛾+𞸢𝛿)𞸏+(𞸁𝛾+𞸃𝛿)١٢ هو تحويل موبيوس.
  • ج󰎨󰎨(𞸏)=󰏡𝛼𞸏+(󰏡𝛽+𞸁𝛼)𞸏+𞸁𝛽𞸢𝛾𞸏+(𞸢𝛿+𞸃𝛾)𞸏+𞸃𝛿١٢٢٢ ليس تحويل موبيوس.
  • د󰎨󰎨(𞸏)=(󰏡𝛼+𞸁𝛾)𞸏+(󰏡𝛽+𞸁𝛿)𞸢𞸏+𞸃١٢ ليس تحويل موبيوس.
  • ه󰎨󰎨(𞸏)=(󰏡𝛼+𞸁𝛾)𞸏+(󰏡𝛽+𞸁𝛿)(𞸢𝛼+𞸃𝛾)𞸏+(𞸢𝛽+𞸃𝛿)١٢ هو تحويل موبيوس.

س١٤:

اكتب تعبيرًا للتركيب 𞸍𞸍(𞸏)٢١؛ حيث 𞸍(𞸏)١، 𞸍(𞸏)٢ هما تحويلا موبيوس 𞸍(𞸏)=(٢+٣𞸕)𞸏+٥𞸏+٢𞸕١، 𞸍(𞸏)=٢𞸏٣+𞸕(١٢𞸕)𞸏+٥٢؛ حيث 𞸏٢𞸕 أو ٥١٢𞸕.

  • أ𞸍𞸍(𝑧)=(٧+٥𞸕)𞸏+٥+٥𞸕(١٧𞸕)𞸏+٥٥١𞸕٢١
  • ب𞸍𞸍(𞸏)=(١٤𞸕)𞸏+٦١٧𞸕(٦٣𞸕)𞸏+٣١٦𞸕٢١
  • ج𞸍𞸍(𞸏)=(٤+٣𞸕)𞸏+٢+𞸕(١٢𞸕)𞸏+٥𞸕٢١
  • د𞸍𞸍(𞸏)=(١٤𞸕)𞸏+٦١٧𞸕(٢٣𞸕)𞸏+٧٤𞸕٢١
  • ه𞸍𞸍(𞸏)=(٥+٢𞸕)𞸏+٥𞸕(٤٧𞸕)𞸏٠١𞸕٢١

س١٥:

تحويل يُحوِّل المستوى 𞸏 إلى المستوى 𞸏 يُعطَى بالمعادلة 󰎨(𞸏)=𞸕𞸏+٦٣𞸕𞸏٣𞸕؛ حيث 𞸏٣𞸕.

أوجد المعادلة الكارتيزية لصورة |𞸏|=٦ بعد التحويل.

  • أ󰂔𞸔+١٣󰂓+󰂔𞸒٢٣󰂓=٨٩٢٢
  • ب󰂔𞸔+١٣󰂓+󰂔𞸒٢٣󰂓=٣٤٢٢
  • ج󰂔𞸔+١٣󰂓+󰂔𞸒+٢٣󰂓=٢٩٢٢
  • د(𞸔+١)+𞸒=٤٢٢
  • ه(𞸔+١)+𞸒=٢٢٢

س١٦:

التحويل 𝑇، الذي يحوِّل المستوى 𝑧 إلى المستوى 𝑤 يُعطى بالعلاقة 𝑇(𝑧)=𝑧+𝑖𝑧𝑖؛ حيث 𝑧𝑖. أوجد صورة المنطقة Re(𝑧)<4 تحت التحويل 𝑇.

  • أ(𝑢1)+𝑣14>116
  • ب(𝑢1)+𝑣14<116
  • ج𝑢+𝑣43<19
  • د𝑢+𝑣43>19
  • ه𝑢+𝑣83<499

س١٧:

التحويل 󰎨، الذي يحوِّل المستوى 𞸏 إلى المستوى 𞸏 يُعطى بالعلاقة 󰎨(𞸏)=(٢+𞸕)𞸏٣𞸏٢+٢𞸕؛ حيث 𞸏٢٢𞸕٣. أوجد صورة المنطقة |𞸏|٢ تحت التحويل󰎨.

  • أ󰂔𞸔٤٢١٣󰂓+󰂔𞸒+٤٢١٣󰂓٠٦١١٦٩٢٢
  • ب󰂔𞸔٧٦󰂓+󰂔𞸒٧٣󰂓٠١٩٤٢٢
  • ج󰂔𞸔٧٦󰂓+󰂔𞸒٧٣󰂓٤٧٢٢
  • د󰂔𞸔٤٢١٣󰂓+󰂔𞸒+٤٢١٣󰂓٠٦١١٦٩٢٢
  • ه󰂔𞸔٧٦󰂓+󰂔𞸒٧٣󰂓٤٧٢٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.