ملف تدريبي: منحنى التكامل للحقل الاتجاهي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد منحنى التكامل لحقل اتجاهي.

س١:

يوضِّح الشكل الحقل الاتجاهي 󰂔𞸑،𞸎+٥٢𞸑󰂓، بجانب خطوط الانسياب.

افترِض أننا نعرف أن لبعض الأعداد 𞹏 المنحنيين التكامليين 𞸎=󰎨(𞸍)،𞸑=𞹎(𞸍)؛ حيث 󰎨، 𞹎 تشكيلان خطيان لبعض قِيَم 𞸤𞹏𞸍. ما قِيَم 𞹏؟

  • أ ١ ٣ ، ٢
  • ب ١ ٢ ، ٣
  • ج ١ ٣ ، ٣
  • د ١ ٢ ، ٢
  • ه ١ ٤ ، ٢

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (١،٠) عندما تكون 𞸍=٠؟

  • أ 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 + ١ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 + ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ب 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 + ١ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 + ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ج 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 + ١ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • د 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 + ١ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ه 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 ١ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 + ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (٠،٢) عندما تكون 𞸍=٠؟

  • أ 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 ٤ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 ٨ ٣ 𞸤 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ب 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 + ٤ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 + ٨ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ج 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 ٤ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 ٨ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • د 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 ٤ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 + ٨ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ه 𞸎 = ٤ ٣ 𞸤 + ٤ ٣ 𞸤 ، 𞸑 = ٢ ٣ 𞸤 + ٨ ٣ 𞸤 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (١،١) عندما تكون 𞸍=٠؟

  • أ 𞸎 = ٢ ٣ 𞸤 𞸤 ٣ ، 𞸑 = 𞸤 ٣ ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ب 𞸎 = ٢ ٣ 𞸤 + 𞸤 ٣ ، 𞸑 = 𞸤 ٣ + ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ج 𞸎 = ٢ ٣ 𞸤 𞸤 ٣ ، 𞸑 = 𞸤 ٣ + ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • د 𞸎 = ٢ ٣ 𞸤 + 𞸤 ٣ ، 𞸑 = 𞸤 ٣ ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٢ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ه 𞸎 = ٢ ٣ 𞸤 + 𞸤 ٣ ، 𞸑 = 𞸤 ٣ + ٢ ٣ 𞸤 𞸍 ٣ 𞸍 ٢ ٢ 𞸍 ٢ 𞸍

عندما تكون 𞸍، وعندما تكون 𞸍 على طول منحنى تكامل، يقترب قاطع تمام الزاوية بين (٠،٠)، (󰎨(𞸍)،𞹎(𞸍)) من أحد الخطين المستقيمين 𞸋١، 𞸋٢ الموضَّحين. ما ميل كلٍّ من هذين الخطين المستقيمين؟

  • أميل 𞸋=١٢١، وميل 𞸋=٢٢
  • بميل 𞸋=١٢١، وميل 𞸋=٢٢
  • جميل 𞸋=١٢١، وميل 𞸋=٢٢
  • دميل 𞸋=١٤١، وميل 𞸋=٢٢
  • هميل 𞸋=١٤١، وميل 𞸋=٢٢

س٢:

لدينا المنحنى البارامتري 𞸎=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍، 𞸑=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍 مع الثابتين 󰏡، 𞸁. يوضِّح الشكل البياني الحالة 󰏡=١٥، 𞸁=٥ بالنسبة إلى 𝜋𞸍٢𝜋.

أوجد الحقل الاتجاهي الذي يكون المنحنى 𞸎=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍، 𞸑=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍 هو منحنى تكامله.

  • أ 󰏡 𞸎 + 𞸁 𞸑 ، 𞸁 𞸎 󰏡 𞸑
  • ب 󰏡 𞸎 𞸁 𞸑 ، 󰏡 𞸎 + 𞸁 𞸑
  • ج 󰏡 𞸎 𞸁 𞸑 ، 𞸁 𞸎 + 󰏡 𞸑
  • د 𞸁 𞸎 󰏡 𞸑 ، 𞸁 𞸎 + 󰏡 𞸑
  • ه 𞸁 𞸎 + 󰏡 𞸑 ، 󰏡 𞸎 𞸁 𞸑

أوجد معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية تحقِّقها 𞸎.

  • أ 𞸎 󰏡 𞸎 + 󰁓 ٢ 󰏡 + 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • ب 𞸎 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 + ٢ 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • ج 𞸎 + 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • د ٢ 𞸎 + 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • ه 𞸎 ٢ 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 + 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢

يمكنك معرفة أن 𞸎=𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍 حل أيضًا لهذه المعادلة التفاضلية؛ ومن ثم، فأي 𞸎=󰎨(𞸍)=𞸋𞸤(𞸁𞸍)+𞸌𞸤(𞸁𞸍)󰏡𞸍󰏡𞸍 للثابتين 𞸋، 𞸌. باستخدام الحقل الاتجاهي، أوجد الدالة المناظرة 𞸑=𞸆(𞸍)؛ بحيث يكون 𞸎=󰎨(𞸍)، 𞸑=𞸆(𞸍) هو منحنى التكامل.

  • أ 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍
  • ب 𞸌 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) 𞸁 𞸍 𞸁 𞸍
  • ج 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍
  • د 𞸌 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍
  • ه 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) 𞸁 𞸍 󰏡 𞸍

بالنسبة إلى الحالة 󰏡=١٥، 𞸁=٥، أوجد المعادلات البارامترية للمنحنى التكاملي الذي يبدأ عند النقطة (٣،٢) عندما تكون 𞸍=٠.

  • أ 𞸎 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ، 𞸑 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • ب 𞸎 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ٢ ، 𞸑 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • ج 𞸎 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ، 𞸑 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • د 𞸎 = 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ، 𞸑 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • ه 𞸎 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ٢ ، 𞸑 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ٢

س٣:

يوضح الشكلان الحقل الاتجاهي (٩𞸑،𞸎+٦𞸑) بالإضافة إلى انسيابه.

باقتراض أننا نعلم أنه لعددٍ ما 𞸊، يوجد منحنيا التكامل 𞸎=󰎨(𞸍)، 𞸑=𞸓(𞸍)؛ حيث 󰎨، 𞸓 تركيبتان خطيتان لـ 𞸤𞸊𞸍. ما قيمة 𞸊؟

في تلك الحالة؛ حيث 𞸊 جذر مُكرَّر، تُستخدَم تركيبات خطية من 𞸍𞸤𞸊𞸍، 𞸤𞸊𞸍. بِناءً على ذلك، أوجد المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (٠،٢) عندما تكون 𞸍=٠.

  • أ 𞸎 = ٣ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸤 + ٢ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍
  • ب 𞸎 = ٨ ١ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸤 + ٦ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍
  • ج 𞸎 = ٩ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸤 + ٣ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍
  • د 𞸎 = ٨ ١ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸤 ٦ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍
  • ه 𞸎 = ٩ 𞸤 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = ٢ 𞸤 ٣ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (١،١) عندما تكون 𞸍=٠؟

  • أ 𞸎 = 𞸤 ٦ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 + ٢ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍
  • ب 𞸎 = 𞸤 + ٦ 𞸍 𞸤 ٢ 𞸍 ٢ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 ٢ 𞸍 𞸤 ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ج 𞸎 = 𞸤 ٦ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 ٢ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍
  • د 𞸎 = 𞸤 ٦ 𞸍 𞸤 ٢ 𞸍 ٢ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 + ٢ 𞸍 𞸤 ٢ 𞸍 ٢ 𞸍
  • ه 𞸎 = 𞸤 ٢ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 + 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (١،٠) عندما تكون 𞸍=٠؟

  • أ 𞸎 = 𞸤 ٢ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍
  • ب 𞸎 = 𞸤 ٣ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍
  • ج 𞸎 = 𞸤 ٣ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍
  • د 𞸎 = 𞸤 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍
  • ه 𞸎 = 𞸤 + ٣ 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍 ٣ 𞸍 ، 𞸑 = 𞸍 𞸤 ٣ 𞸍

افترِض أن 𞸍، 𞸍 عَبْر منحنى التكامل، والقاطع بين (٠، ٠)، 󰁓󰎨(𞸍)،𞸓(𞸍)󰁒 يصل إلى المستقيم المُتقطِّع الموضَّح. ما ميل ذلك الخط المستقيم؟

  • أ ١ ٤
  • ب ١ ٣
  • ج ١ ٢
  • د ١ ٣
  • ه ١ ٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.