ملف تدريبي: منحنى التكامل للحقل الاتجاهي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد منحنى التكامل لحقل اتجاهي.

س١:

يوضِّح الشكل الحقل الاتجاهي 𝑦,𝑥+52𝑦، بجانب خطوط الانسياب.

افترِض أننا نعرف أن لبعض الأعداد 𝑘 المنحنيين التكامليين 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)؛ حيث 𝑓، 𝑔 تشكيلان خطيان لبعض قِيَم 𝑒. ما قِيَم 𝑘؟

  • أ13، 2
  • ب12، 3
  • ج13، 3
  • د12، 2
  • ه14، 2

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (1,0) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=43𝑒+13𝑒,𝑦=23𝑒+23𝑒
  • ب𝑥=43𝑒+13𝑒,𝑦=23𝑒+23𝑒
  • ج𝑥=43𝑒+13𝑒,𝑦=23𝑒23𝑒
  • د𝑥=43𝑒+13𝑒,𝑦=23𝑒23𝑒
  • ه𝑥=43𝑒13𝑒,𝑦=23𝑒+23𝑒

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (0,2) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=43𝑒43𝑒,𝑦=23𝑒83𝑒
  • ب𝑥=43𝑒+43𝑒,𝑦=23𝑒+83𝑒
  • ج𝑥=43𝑒43𝑒,𝑦=23𝑒83𝑒
  • د𝑥=43𝑒43𝑒,𝑦=23𝑒+83𝑒
  • ه𝑥=43𝑒+43𝑒,𝑦=23𝑒+83𝑒

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (1,1) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=23𝑒𝑒3,𝑦=𝑒323𝑒
  • ب𝑥=23𝑒+𝑒3,𝑦=𝑒3+23𝑒
  • ج𝑥=23𝑒𝑒3,𝑦=𝑒3+23𝑒
  • د𝑥=23𝑒+𝑒3,𝑦=𝑒323𝑒
  • ه𝑥=23𝑒+𝑒3,𝑦=𝑒3+23𝑒

عندما تكون 𝑡، وعندما تكون 𝑡 على طول منحنى تكامل، يقترب قاطع تمام الزاوية بين (0,0)، (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) من أحد الخطين المستقيمين 𝐿، 𝐿 الموضَّحين. ما ميل كلٍّ من هذين الخطين المستقيمين؟

  • أميل 𝐿=12، وميل 𝐿=2
  • بميل 𝐿=12، وميل 𝐿=2
  • جميل 𝐿=12، وميل 𝐿=2
  • دميل 𝐿=14، وميل 𝐿=2
  • هميل 𝐿=14، وميل 𝐿=2

س٢:

يوضِّح الشكل الحقل الاتجاهي 𝑦,𝑥32𝑦، بالإضافة إلى تمثيلات لانسيابه.

افترِض أننا نعرف أن لبعض الأعداد 𝑘 منحنيَي التكامل 𝑥=𝑓(𝑡)، 𝑦=𝑔(𝑡)؛ حيث كلٌّ من 𝑓، 𝑔 تركيب خطي من 𝑒. ما قِيَم 𝑘؟

  • أ14، 2
  • ب14، 2
  • ج12، 2
  • د12، 2
  • ه12، 14

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (0,2) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=35𝑒45𝑒، 𝑦=35𝑒+85𝑒
  • ب𝑥=45𝑒45𝑒، 𝑦=25𝑒+85𝑒
  • ج𝑥=45𝑒+45𝑒، 𝑦=25𝑒85𝑒
  • د𝑥=45𝑒+45𝑒، 𝑦=25𝑒85𝑒
  • ه𝑥=45𝑒45𝑒، 𝑦=25𝑒+85𝑒

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (1,1) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=25𝑒+35𝑒، 𝑦=15𝑒65𝑒
  • ب𝑥=15𝑒35𝑒، 𝑦=25𝑒65𝑒
  • ج𝑥=25𝑒35𝑒، 𝑦=15𝑒+65𝑒
  • د𝑥=25𝑒35𝑒، 𝑦=15𝑒+65𝑒
  • ه𝑥=25𝑒+35𝑒، 𝑦=15𝑒65𝑒

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل المار بالنقطة (2,2) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=45𝑒+65𝑒، 𝑦=25𝑒125𝑒
  • ب𝑥=45𝑒65𝑒، 𝑦=25𝑒+125𝑒
  • ج𝑥=45𝑒65𝑒، 𝑦=25𝑒+125𝑒
  • د𝑥=45𝑒+65𝑒، 𝑦=25𝑒125𝑒
  • ه𝑥=35𝑒65𝑒، 𝑦=35𝑒125𝑒

باستخدام حقيقة أن 𝑒𝑒=1، أوجد معادلة ديكارتية تُحقِّقها نِقاط منحنى التكامل المار بالنقطة (0,2) عندما تكون 𝑡=0. لا حاجة إلى تبسيط المقدار.

  • أ𝑥+12𝑦16𝑥+13𝑦=1
  • ب𝑥+12𝑦16𝑥13𝑦=1
  • ج𝑥+16𝑦12𝑥+13𝑦=1
  • د𝑥+16𝑦12𝑥13𝑦=1
  • ه𝑥+13𝑦12𝑥16𝑦=1

عندما تكون 𝑡، وعندما تكون 𝑡 على طول منحنى التكامل، يقترب المستقيم القاطع الواصل بين (0,0)، (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) من أحد الخطين المستقيمين 𝐿، 𝐿 الموضَّحين. ما ميل كلٍّ من هذين الخطين المستقيمين؟

  • أميل 𝐿=12، وميل 𝐿=2
  • بميل 𝐿=14، وميل 𝐿=1
  • جميل 𝐿=13، وميل 𝐿=2
  • دميل 𝐿=12، وميل 𝐿=2
  • هميل 𝐿=12، وميل 𝐿=1

س٣:

لدينا المنحنى البارامتري 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)cos، 𝑦=𝑒(𝑏𝑡)sin مع الثابتين 𝑎، 𝑏. يوضِّح الشكل البياني الحالة 𝑎=15، 𝑏=5 بالنسبة إلى 𝜋𝑡2𝜋.

أوجد الحقل الاتجاهي الذي يكون المنحنى 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)cos، 𝑦=𝑒(𝑏𝑡)sin هو منحنى تكامله.

  • أ𝑏𝑥𝑎𝑦,𝑏𝑥+𝑎𝑦
  • ب𝑎𝑥+𝑏𝑦,𝑏𝑥𝑎𝑦
  • ج𝑎𝑥𝑏𝑦,𝑏𝑥+𝑎𝑦
  • د𝑎𝑥𝑏𝑦,𝑎𝑥+𝑏𝑦
  • ه𝑏𝑥+𝑎𝑦,𝑎𝑥𝑏𝑦

أوجد معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية تحقِّقها 𝑥.

  • أ𝑥2𝑎𝑥+𝑎+𝑏𝑥=0
  • ب2𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑏𝑥=0
  • ج𝑥𝑎𝑥+2𝑎+𝑏𝑥=0
  • د𝑥𝑎𝑥+𝑎+2𝑏𝑥=0
  • ه𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑏𝑥=0

يمكنك معرفة أن 𝑥=𝑒(𝑏𝑡)sin حل أيضًا لهذه المعادلة التفاضلية؛ ومن ثم، فأي 𝑥=𝑓(𝑡)=𝑃𝑒(𝑏𝑡)+𝑄𝑒(𝑏𝑡)cossin للثابتين 𝑃، 𝑄. باستخدام الحقل الاتجاهي، أوجد الدالة المناظرة 𝑦=𝑔(𝑡)؛ بحيث يكون 𝑥=𝑓(𝑡)، 𝑦=𝑔(𝑡) هو منحنى التكامل.

  • أ𝑄𝑒(𝑏𝑡)+𝑃𝑒(𝑏𝑡)cossin
  • ب𝑄𝑒(𝑏𝑡)+𝑃𝑒(𝑎𝑡)cossin
  • ج𝑄𝑒(𝑏𝑡)+𝑃𝑒(𝑏𝑡)cossin
  • د𝑄𝑒(𝑎𝑡)+𝑃𝑒(𝑎𝑡)cossin
  • ه𝑄𝑒(𝑎𝑡)+𝑃𝑒(𝑎𝑡)cossin

بالنسبة إلى الحالة 𝑎=15، 𝑏=5، أوجد المعادلات البارامترية للمنحنى التكاملي الذي يبدأ عند النقطة (3,2) عندما تكون 𝑡=0.

  • أ𝑥=2𝑒(5𝑡)2𝑒(5𝑡)cossin، 𝑦=3𝑒(5𝑡)+3𝑒(5𝑡)cossin
  • ب𝑥=3𝑒(5𝑡)+2𝑒(5𝑡)cossin، 𝑦=2𝑒(5𝑡)3𝑒(5𝑡)cossin
  • ج𝑥=3𝑒(5𝑡)2𝑒(5𝑡)cossin، 𝑦=2𝑒(5𝑡)+3𝑒(5𝑡)cossin
  • د𝑥=𝑒(5𝑡)2𝑒(5𝑡)cossin، 𝑦=3𝑒(5𝑡)+3𝑒(5𝑡)cossin
  • ه𝑥=2𝑒(5𝑡)+2𝑒(5𝑡)cossin، 𝑦=3𝑒(5𝑡)+3𝑒(5𝑡)cossin

س٤:

يوضح الشكلان الحقل الاتجاهي (9𝑦,𝑥+6𝑦) بالإضافة إلى انسيابه.

باقتراض أننا نعلم أنه لعددٍ ما 𝑘، يوجد منحنيا التكامل 𝑥=𝑓(𝑡)، 𝑦=𝑔(𝑡)؛ حيث 𝑓، 𝑔 تركيبتان خطيتان لـ 𝑒. ما قيمة 𝑘؟

في تلك الحالة؛ حيث 𝑘 جذر مُكرَّر، تُستخدَم تركيبات خطية من 𝑡𝑒، 𝑒. بِناءً على ذلك، أوجد المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (0,2) عندما تكون 𝑡=0.

  • أ𝑥=9𝑡𝑒، 𝑦=2𝑒+3𝑡𝑒
  • ب𝑥=9𝑒، 𝑦=2𝑒3𝑡𝑒
  • ج𝑥=3𝑡𝑒، 𝑦=2𝑒+2𝑡𝑒
  • د𝑥=18𝑡𝑒، 𝑦=2𝑒+6𝑡𝑒
  • ه𝑥=18𝑡𝑒، 𝑦=2𝑒6𝑡𝑒

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (1,1) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=𝑒2𝑡𝑒، 𝑦=𝑒+𝑡𝑒
  • ب𝑥=𝑒6𝑡𝑒، 𝑦=𝑒2𝑡𝑒
  • ج𝑥=𝑒6𝑡𝑒، 𝑦=𝑒+2𝑡𝑒
  • د𝑥=𝑒+6𝑡𝑒، 𝑦=𝑒2𝑡𝑒
  • ه𝑥=𝑒6𝑡𝑒، 𝑦=𝑒+2𝑡𝑒

ما المعادلات البارامترية لمنحنى التكامل الذي يقع عند (1,0) عندما تكون 𝑡=0؟

  • أ𝑥=𝑒+3𝑡𝑒، 𝑦=𝑡𝑒
  • ب𝑥=𝑒3𝑡𝑒، 𝑦=𝑡𝑒
  • ج𝑥=𝑒2𝑡𝑒، 𝑦=𝑡𝑒
  • د𝑥=𝑒𝑒، 𝑦=𝑡𝑒
  • ه𝑥=𝑒3𝑡𝑒، 𝑦=𝑡𝑒

افترِض أن 𝑡، 𝑡 عَبْر منحنى التكامل، والقاطع بين (0، 0)، (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) يصل إلى المستقيم المُتقطِّع الموضَّح. ما ميل ذلك الخط المستقيم؟

  • أ13
  • ب13
  • ج12
  • د12
  • ه14

س٥:

إذا كانت 𞸎=󰎨(𞸍) تَصِف منحنى تكامل الحقل الاتجاهي 𞸇(𞸎،𞸑)=(𞸑،𞸎) باستخدام البارامترات، فإن 󰎨=󰎨. هذا يعني أن 󰎨 عبارة عن تركيب خطي من 𞸤𞸍، 𞸤𞸍.

أوجد للإحداثي 𞸎 الدالة البارامترية 󰎨(𞸍) لمنحنى التكامل لهذا الحقل الاتجاهي الذي يبدأ عند النقطة (٢،٣).

  • أ󰎨(𞸍)=٥٢𞸤١٢𞸤𞸍𞸍
  • ب󰎨(𞸍)=١٢𞸤٥٢𞸤𞸍𞸍
  • ج󰎨(𞸍)=٣٢𞸤٢٣𞸤𞸍𞸍
  • د󰎨(𞸍)=٥٢𞸤+١٢𞸤𞸍𞸍
  • ه󰎨(𞸍)=١٢𞸤+٥٢𞸤𞸍𞸍

أوجد المعادلة الكارتيزية لمنحنى التكامل الذي تعيَّن سابقًا.

تلميح: المعادلة عبارة عن قطع زائد.

  • أ𞸎𞸑=٥٢٢
  • ب𞸎+𞸑=٥٢٢
  • ج𞸎+𞸑=٥٢٢
  • د𞸎٢𞸑=٥٢٢
  • ه𞸎𞸑=٥٢٢

أوجد المعادلة الكارتيزية لمنحنى التكامل لهذا الحقل الاتجاهي الذي يبدأ عند النقطة (٢،٢).

  • أ𞸑=𞸎٢
  • ب𞸑=𞸎٢
  • ج𞸑=𞸎
  • د𞸑=𞸎
  • ه𞸑=𞸎+٢

س٦:

منحنى تكامل (أو تدفق) الحقل الاتجاهي 𝑉 عبارة عن منحنى بارامتري 𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)، فيه 𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)=𝑉(𝑓(𝑡),𝑔(𝑡)) لكل 𝑡؛ حيث 𝑓، 𝑔 معرَّفتان.

من خلال حل المعادلتين 𝑓(𝑡)=1، 𝑔(𝑡)=2، أوجد منحنى التكامل للحقل الاتجاهي 𝑉(𝑥,𝑦)=1,2 الذي يحقِّق أيضًا (𝑓(0),𝑔(0))=(1,1).

  • أ𝑓(𝑡)=2𝑡1𝑔(𝑡)=2𝑡+1,
  • ب𝑓(𝑡)=𝑡1,𝑔(𝑡)=2𝑡1
  • ج𝑓(𝑡)=𝑡1,𝑔(𝑡)=2𝑡+1
  • د𝑓(𝑡)=2𝑡+1𝑔(𝑡)=𝑡1,
  • ه𝑓(𝑡)=𝑡+1,𝑔(𝑡)=2𝑡+1

افترض أن الحقل الاتجاهي 𝑉(𝑥,𝑦)=1,2. أوجد المعادلة الكارتيزية لمنحنى تكامل الحقل الاتجاهي الذي تكون عنده النقطة (2,3) عند 𝑡=0.

  • أ𝑦+2𝑥=7
  • ب𝑦𝑥=7
  • ج𝑦2𝑥=7
  • د𝑦2𝑥=7
  • ه2𝑦𝑥=7

أوجد المعادلة الكارتيزية لمنحنى تكامل 𝑉(𝑥,𝑦)=1,𝑥 التي تبدأ عند النقطة (2، 2).

  • أ𝑦=𝑥3
  • ب𝑦=𝑥5𝑥+102
  • ج𝑦=𝑥4𝑥+82
  • د𝑦=𝑥2
  • ه𝑦=𝑥2

أوجد المعادلة الكارتيزية لمنحنى تكامل 𝑉(𝑥,𝑦)=𝑥,𝑥 التي تبدأ عند النقطة (2، 2).

  • أ𝑦=𝑥2
  • ب𝑦=(𝑥1)2+2(𝑥1)+(𝑥1)12ln
  • ج𝑦=𝑥4𝑥+82
  • د𝑦=𝑥2
  • ه𝑦=𝑥3

أوجد المعادلات البارامترية لمنحنى تكامل 𝑉(𝑥,𝑦)=𝑥,𝑥 التي تبدأ عند النقطة (0، 2).

  • أ𝑓(𝑡)=1,𝑔(𝑡)=0
  • ب𝑓(𝑡)=1,𝑔(𝑡)=3
  • ج𝑓(𝑡)=0,𝑔(𝑡)=2
  • د𝑓(𝑡)=1,𝑔(𝑡)=2
  • ه𝑓(𝑡)=0,𝑔(𝑡)=3

هل منحنيا تكامل الحقلين الاتجاهيين 1,𝑥، 𝑥,𝑥 اللذان يبدآن عند النقطة (0، 2) يصفان نفس المجموعة في لكل 𝑡0؟

  • أنعم
  • بلا

هل منحنيا تكامل الحقلين الاتجاهيين 1,𝑥، 𝑥,𝑥 اللذان يبدآن عند النقطة (2، 2) يصفان نفس المجموعة في لكل 𝑡0؟

  • أنعم
  • بلا

يقع كلٌّ من منحنيَي تكامل 1,𝑥، 𝑥,𝑥 اللذين يبدآن عند (2,4) داخل المنحنى 𝑦=𝑥2+2، لكنهما يذهبان في اتجاهين مختلفين. أوجد المعادلات البارامترية التي تحقِّق تكامل الحقل الاتجاهي 𝑥,𝑥، وتبدأ عند النقطة (2,4).

  • أ𝑓(𝑡)=32𝑡+3,𝑔(𝑡)=2(2𝑡+1)+2
  • ب𝑓(𝑡)=22𝑡+1,𝑔(𝑡)=2(2𝑡+1)+2
  • ج𝑓(𝑡)=22𝑡+1,𝑔(𝑡)=3(2𝑡+3)+5
  • د𝑓(𝑡)=2𝑡+1,𝑔(𝑡)=2(𝑡+1)+5

هل منحنيا تكامل الحقلين الاتجاهيين 1,𝑥، 𝑥,𝑥 اللذان يبدآن عند النقطة (0، 2)، يصفان نفس المجموعة في لكل 𝑡0؟

  • ألا
  • بنعم

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.