ملف تدريبي: منحنى التكامل للحقل الاتجاهي

في هذا الملف التدريبي، سوف نتدرَّب على إيجاد منحنى التكامل لحقل اتجاهي.

س١:

لدينا المنحنى البارامتري 𞸎 = 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 مع الثابتين 󰏡 ، 𞸁 . يوضِّح الشكل البياني الحالة 󰏡 = ١ ٥ ، 𞸁 = ٥ بالنسبة إلى 𝜋 𞸍 ٢ 𝜋 .

أوجد الحقل الاتجاهي الذي يكون المنحنى 𞸎 = 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 ، 𞸑 = 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 هو منحنى تكامله.

  • أ 󰏡 𞸎 𞸁 𞸑 ، 󰏡 𞸎 + 𞸁 𞸑
  • ب 𞸁 𞸎 󰏡 𞸑 ، 𞸁 𞸎 + 󰏡 𞸑
  • ج 󰏡 𞸎 + 𞸁 𞸑 ، 𞸁 𞸎 󰏡 𞸑
  • د 󰏡 𞸎 𞸁 𞸑 ، 𞸁 𞸎 + 󰏡 𞸑
  • ه 𞸁 𞸎 + 󰏡 𞸑 ، 󰏡 𞸎 𞸁 𞸑

أوجد معادلة تفاضلية خطية من الرتبة الثانية تحقِّقها 𞸎 .

  • أ 𞸎 ٢ 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 + 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • ب ٢ 𞸎 + 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • ج 𞸎 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 + ٢ 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • د 𞸎 + 󰏡 𞸎 + 󰁓 󰏡 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢
  • ه 𞸎 󰏡 𞸎 + 󰁓 ٢ 󰏡 + 𞸁 󰁒 𞸎 = ٠ ٢ ٢

يمكنك معرفة أن 𞸎 = 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 حل أيضًا لهذه المعادلة التفاضلية؛ ومن ثم، فأي 𞸎 = 󰎨 ( 𞸍 ) = 𞸋 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍 للثابتين 𞸋 ، 𞸌 . باستخدام الحقل الاتجاهي، أوجد الدالة المناظرة 𞸑 = 𞸆 ( 𞸍 ) ؛ بحيث يكون 𞸎 = 󰎨 ( 𞸍 ) ، 𞸑 = 𞸆 ( 𞸍 ) هو منحنى التكامل.

  • أ 𞸌 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) 𞸁 𞸍 𞸁 𞸍
  • ب 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) 𞸁 𞸍 󰏡 𞸍
  • ج 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍
  • د 𞸌 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 𞸁 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍
  • ه 𞸌 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) + 𞸋 𞸤 ( 󰏡 𞸍 ) 󰏡 𞸍 󰏡 𞸍

بالنسبة إلى الحالة 󰏡 = ١ ٥ ، 𞸁 = ٥ ، أوجد المعادلات البارامترية للمنحنى التكاملي الذي يبدأ عند النقطة ( ٣ ، ٢ ) عندما تكون 𞸍 = ٠ .

  • أ 𞸎 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ، 𞸑 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • ب 𞸎 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ٢ ، 𞸑 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • ج 𞸎 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ، 𞸑 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • د 𞸎 = 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ، 𞸑 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥
  • ه 𞸎 = ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) ٢ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ٢ ، 𞸑 = ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) + ٣ 𞸤 ( ٥ 𞸍 ) 𞸍 ٥ 𞸍 ٥ ٢

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.